离散数学习题解答 第十四章习题解答(1)

由消去律得ba ab，即G;可交换。
14.11已知G;为不可交换群，当G 2时，必存在
a,b G, a b, a e,b e,但ab ba.
证明：G;为群
a G, 有aa1 a1a e. (1) 若a a1 ，命题得证。 （2）若a a1，即G中每一个元素的逆元为其自身, 那么ab (ab)1 b1a1 ba, 满足交换律，与题设 矛盾。 由（1），（2）可得必存在a,b G, a b, ab ba.
2.有单位元e
0m
。
,n
0 m,n
M1m,n (Q)
M1m,n (Q) 0m,n
(5) n ;
解答：是拟群。
1.满足结合性。 （i j） k i ( j k) 2.有单位元e 0。 0 i i 0
14.4指出下列代数系统中那些是群？那些 是可交换群?为什么？
(1);,其中 定义如下：a,b , a b a b 2;
解答：是拟群。 1.满足结合性。 （A B） C A (B C) 2.有单位元e 。 A A
(4) Mm,n (Q);
解答：是拟群。
1.满足结合性。 （M1m,n (Q) M2m,n (Q)） M3m,n (Q)
M1 m ,n
(Q)
(M 2m,n
(Q)
M3 m ,n
(Q))
解答：是可交换群。 1.满足结合律。(a b) c a (b c) a b c 4 2.有单位元e 2. e a a e e a 2 a 3.每一个元素有逆元. a1 4 a 4.可交换. a b b a a b 2
(2);,其中定义如下：a,b , a b a b ab;
解答：不是群。
e 0为单位元。
a1 a ,当a 1时，无逆元；当 a 不为整数时，
a 1
a 1
也没有逆元。
(3)1的n次根，关于乘法的运算。
解答：是可交换群。
1.复数乘法满足结合律与交换律;
2.有单位元e 1;
3.每一个元素均有逆元。1的n次方根形式为
x cos 2k i sin 2k (k 0,1,n 1)
n
n
x1 cos 2(n k) i sin 2(n k) .
n
n
(4)1的所有正整数次根关于乘法运算。
解答：是可交换群。
1.满足结合律与交换律显而易见;
2.有单位元e 1;有逆元同上；
3.封闭性.
x1 x2
(cos 2k1
n1
i sin
2k1
n1
) (c os 2k 2
n2
i sin
(6)F (x);,其中F (x) a0 an xn | ai R,i 1,, n;
n N ,为多项式加法运算。
解答：是可交换群。
单位元为f (x) 0；g(x) F (x),逆元为 g(x). 结合律与交换律显而易见。
14.6证明：S ,ห้องสมุดไป่ตู้S为所有S S的一一对应所组成的
集合，关于映射的复合运算，TS；为群；S S为所有
S S的映射组成的集合，则S S； 不是群。
证明：（1）TS；为群
1.封闭性。若f , g TS , f g TS 2.结合性。 ( f g) h f (g h)
3.有单位元恒等变换I. I f f I
4.每一个元素有逆元。
f为一一映射，存在逆元f 1.
综上所述，TS；为群。
(2) S S ; 不是群。
设f是S S的一个映射，但不是一一映射。
f没有逆映射，即没有逆元.
S S ; 不是群。
14.10G;为群，是可交换的，当且仅当，对任意
a,b G, 有（ab）2 a2b2。 证明：（1）必要性。
G;为可交换群，
（ab）2 （ab）(ab) a(ba)b a(ab)b (aa)(bb) a2b2 (2)充分性。 （ab）2 a2b2 a(ba)b a(ab)b
14.1指出下列代数系统那些是半群，那些 是拟群，并说明理由。
(1);
解答：不是半群。 （a b） c a (b c)。不满足结合性。
（2）C；
解答：是拟群。 1.满足结合性。（a b） c a (b c),a,b, c C 2.有单位元e 1。 1 a a 1 a, a C
(3)S P(S);
2k2
n2
)
(cos 2(k1n2 k2n1) i sin 2(k1n2 k2n1) ) y;
n1n2
n1n2
则y为1的n1n2次根。
(5) R*;* ,*定义如下：a,b R, a *b a2b2, R* R 0.
解答：不是群。 不满足结合律。
a *(b *c) a2b4c4 (a *b) *c a4b4c2