固体与半导体物理-第三章晶格振动与晶体的热学性质-1

M
2m cos m M2
1 2
aq
m2
ei
1 2
aq
2Mm cos aq
R ei
q
a
a
cos
1 2
aq
0
1 aq
2
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2
3
2
，＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型
振动状态 a
例：
1 4a
2
4 5
a
(ℓ＝整数) 则 q与 q描述同一晶格
2
q1
1
2a
q2
2 2
5
2a
2
q2 q1 a
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3.2 一维双原子链的振动
• 运动方程 • 色散关系 • 周期性边界条件 • 声学波和光学波
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1. 运动方程
2. 色散关系
ω
2(
1
)2
sin
qa
ωm
m
2
• 周期性
q
a
a
ω(q)= ω(q+2πl/a)
-π/a
q 0 π/a
• 对称性：ω(q)= ω(-q)
W-q关系—色散曲线
(q 0)
2(
1
)2
qa
ma q q
m2 2
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3. 相速与群速
u n Aei(qnat)
光频支格波
a
max
min max
-m in
０
a
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3. 声学波和光学波
－
声频支格波
频率位于超声波频率范围
2
1 M
1 m
2
m
2 M
光频支格波
频率位于红外光波频率范围
π a
π a
q
a
a
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• 光学波和声学波在简约布区内的极值：
q0
0
{Be
i[t
q
(
n
1 2
)
a]
Bei[t
q
(
n
1 2
)
a]
2 Aei(tqna)}
m(i)2
Bei[t
q(n
1 2
)a]
{ Aei[t q ( n 1) a ]
Aei (t qna)
2
Bei[t
q
(
n
1 2
)
a
]
}
MA 2 mB 2
[
B(e
i
qa 2
[
A(e
i
qa 2
e
i
qa 2
)
2
A]
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
• 一维单原子链的振动 • 一维双原子链的振动 • 声学波和光学波 • 晶格振动能量的量子化•声子 • 三维晶格的振动
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• 离子晶体中的长光学波 • 晶格振动模式密度 • 晶格热容的量子理论 • 确定晶格振动谱的实验方法 • 非谐振动，热膨胀，热传导 • 晶格的状态方程
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• 3.1 一维单原子链的振动
• 运动方程 • 色散关系 • 相速与群速 • 周期性边界条件
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1. 运动方程
β
un-1 un un+1
a
n-1 n n+1 n+2
• 只考虑最近邻相互作用，采用简谐近似：
U (a ) U (a) dU 1 d 2U 2 (n) U (a) 1 d 2U 2
• 晶格中原子的集体振动形成格波。
• 对于确定的n：原子的位移随时间作简谐振动。 • 对于确定时刻t：不同原子有不同的振动位相，全
体原子的位置形成波动图像。
•
相速：vp
k
－波位相的传Biblioteka 速度。•群速：vg
d
dk
－波包（波能量）的传播速度。
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4. 周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
考虑由两种原子等距相间排列的一维双原子链
a Mm
{
n-1 n n n+1
(设M > m)
{ 运动方程：
M n n n1 2n
m n n n1 2 n
设试解：
it naq
Ae n
{ Bei
t
n
1 2
aq
n
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M (i)2
Aei(t qna)
d a 2 d 2 a
2 d 2 a
f dU d 2U
d
d 2 a
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• 由牛顿定律，第n个原子的运动方程：
m d2un dt 2
(un - un1) (un1 un )
(un1 un1 2un )
• 设试解： u n Aei(qnat)
2
1 M
1 m
0 0
q
a
a
2
m
a
2
M
• 光学波的最小频率大于声学波的最大频率
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• 光学波和声学波的物理图象
• 光学波（optical branch） 第n个原胞中两种原子的位移之比
n n
M
2m cos
1 2
aq
ei
1 2
aq
m M 2 m2 2Mm cos aq
Mm
2
{(M m) [M 2 m2 2Mm cos(qa)]1 2}
Mm
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2. 色散关系
2
1
{(m M) [m2 M2 2mMcosqa]2 }
mM
•
周期性：K h
2
a
h
(q) (q Kh )
• 对称性： (q) (q)
－
声频支格波
2
Mm 4 2 (M m) 2 4 2 sin 2 qa 0
2
2 1 {2 (M m) [4 2 (M m)2 4Mm 4 2 sin 2 qa ]1 2}
2Mm
2
{(M m) [(M m)2 4Mm sin 2 qa ]1 2}
Mm
2
{(M m) [M 2 m2 2Mm(1 2sin 2 qa )]1 2}
e
i
qa 2
)
2B]
(2
2
M 2 ) A 2 cos qa A (2
cos qa B 0 2
m 2 ) B
0
2
2 M 2 2 cos qa
2
2 cos qa
2 0
2 m 2
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(2 M 2 )(2 m 2 ) 4 2 cos2 qa 0
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m(i)2 Aei(qnat) {Aei[q(n-1)at] Aei[q(n1)at] 2Aei(qnat)}
m 2 (eiqa eiqa 2)
(2cos qa 2）
2 2 (1 cos qa)
m
2(
1
)2
sin
qa
m
2
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• 玻恩－卡门边界条件：
eiqNa 1
qNa 2 l
un uNn
式中l为任意整数
又：q限制在中心布区内，即：
a
q
a
故： N l N
2
2
波矢取值数＝Ｎ
晶格振动波矢取值数＝晶格原胞数
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q取不同的值，相邻原子间的振动位相差不同，则晶格振
动状态不同，但是，当：
q q 2