粗糙集综述word版

粗糙集论文

题目 粗糙集综述

1 粗糙集属性约简

1.1 经典粗糙集属性约简

对于经典粗糙集我们可以用上下近似来描述。

给定知识库()R U K ,=，对于每个子集U X ⊆和一个等价关系()K ind R ∈，定义两个上下近似：

{}{}.

|/,|/ U U φ≠⋂∈=⊆∈=X Y R U Y X R X Y R U Y X R 另外上下近似还可以用以下的等式表达：

[]{}[]{}.

|,| U U φ≠⋂∈=⊆∈=X x U x X R X x U x X R R R 当利用区分矩阵来表达知识时有许多优点，特别是他能很容易计算约简和核。约简是满足能区别由整个属性集区别的所有对象的属性极小子集。如果A 包含B 是满足B 交区别对象x 和y 的所有属性集合的极小子集不为空，且区别对象x 和y 的所有属性集合的极小子集不为空，则B 是A 的一个约简。核是区分矩阵中所有单个元素组成的集合。

对于决策表,C 为条件属性集，D 为决策属性集，决策表S 的区分矩阵是一个n n ⨯矩阵，其任一元素为

},x ),(),(|{),(a *）（且y a y f a x f C a y x ω≠∈=

对于满足),(,,x y x U y ω∈

)(y )(x D pos D pos C C ∉∈且,

或者

)(y )(x D pos D pos C C ∈∉且，

或者

).(),()(,D ind y x D pos y x C ∉∈且

如果φφ≠∀≠⋂⊆),(,),(C C C **''y x a y x a 满足条件的极小子集（关于包含），则'C 是C 的D 约简（相对约简）.

D 核（相对核）是决策表S 的区分矩阵中所有单个元素组成的集合，即

}.,},{),(a |{)(core *U y x a y x C a C D ∈=∈=其中

1.2 变精度粗糙集属性约简

变精度粗糙集是粗糙集的扩充，它是在基本粗糙集模型的基础上引入

)5.00(<≤ββ，即允许一定程度的错误分类率存在。这一方面完善了近似空间的概念，另一方面也有利于粗糙集理论从认为不相关的数据中发现相关数据。当β=0时，经典粗糙集模型是变精度粗糙集模型的一个特例。

X 和Y 表示有限论域U 的非空子集，且Y ⊆X 。

令

⎩⎨⎧>>⋂=0,|X |0,0,|X | |,X |/|Y X |1-Y)c(X, 多数包含关系定义为ββ

≤⇔⊇),(Y Y X c X 。

约简是保持和决策属性Q 的依赖性相同的最小条件属性子集。通过近似以来的定义来引入近似约简概念。

条件属性集P 关于据测属性集Q 的β约简是P 的一个子集),,(βQ P red ，且满足：

),),,,((),,()1(ββγβγQ Q P red Q P =. 不成立。都将是中去掉任何一个属性，从)1(),,()2(βQ P red

引入)5.00(<≤ββ参数后，扩充了基本粗糙集理论，更好体现了数据分析中的数据相关性，从而为获取近似决策规则奠定了基础。

1.3 概率粗糙集属性约简

概率是对不确定的随机事件的一种客观的反映。经典粗糙集模型是基于可利用信息的完全性的，因而忽视了可利用信息的不完全性和可能存在的统计信息，从概率论的观点出发来研究粗糙集理论，为研究不确定信息系统提供了新的粗糙集模型。

设U 是有限对象构成的论域，R 是U 上的等价关系，其构成的等价类为

},,{/U 21n X X X R ，=。

令P 为定义在U 的子集类构成的σ代数上的概率测度，三元组),,(A P R U p =称为概率近似空间。U 中的每个自己称为概念，它代表一个随机事件。

定义X 关于概率近似空间),,(A P R U p =依参数βα,概率()I 型下近似)(PI X a 和上近似)(PI X β如下：

｝

｛)][|(|)(a x X P U x X PI a ≥∈=， ｝

｛)][|(|)(ββ≥∈=x X P U x X PI 。 当)(PI )(PI X X a β=时，称X 依参数βα,关于p A 是概率()I 型可定义，否则称X 依参数βα,关于p A 是概率()I 型粗糙集。同样概率粗糙集模型还有很多其他形式如概率()II 型，概率()III 型，概率()IV 型。

设),,,(ρV A U K =为一个信息系统，},,,{/21*n X X X R U R ==为等价关系R 在U 上导出的划分，S 为U 上另一个等价关系，且},,,{S 21*m Y Y Y =，则在已知知识*R 时知识*S 的正则条件熵定义为

m X Y P X Y P X P R S n i m

j i j i j i log /)|(log )|()()|(H 11*

*0∑∑==-= 显然1)|(H 0**0≤≤R S 。

系统K 中的属性子集A M ⊆称为关于属性集A B ⊆是统计依赖的，若存在M 的一个真子集L 使)|()|(**0**0L B H M B H =，否则称M 关于B 是统计独立的。N

称为M 关于B 的所有相对约简记为)(sred M B ，所有这些约简的交集称为M 关于B 的相对核，记为)(score M 。

系统K 中的属性子集A M ⊆称为关于属性集A B ⊆是统计依赖的，若存在M 的一个真子集L 使)|()|(**0**0L B H M B H =，否则称M 关于B 是统计独立的。N 称为M 关于B 的一个相对约简，若N 是M 关于B 的一个极大统计独立子集，M 关于B 的相对约简记为)(score B M 。

属性a 在A 中称为统计可省略的，若)|()}){\(|(**0**0A A H a A A H =，否则称a 在A 中为统计不可省略的。属性a 在A 中称为关于属性集D 是统计不可省略的，若)|()}){\(|(**0**0A D H a A D H =，否则称a 在A 中关于属性集D 是统计不可省略的。

1.4 模糊粗糙集及其发展情况

在人们的实际生活中，涉及更多的是模糊概念和模糊知识。反映在粗糙集模型中主要有两类，一类是知识库的知识是清晰的，而被近似的概念是模糊的，另一类是知识库的知识和被近似的概念都是模糊的。

在经典粗糙集模型中，论域U 上任意一个经典集合A 不一定能用知识库()R U ,中的知识来精确描述，这时就用A 关于()R U ,的一对上下近似来描述。但在实际生活中，人们涉及到的知识火概念往往是模糊的不确定的，即A 是U 上的一个模糊集合，于是提出了模糊粗糙集模型。

设()R U ,是经典近似空间，即R 是论域U 上的一个等价关系。若A 是U 上的一个模糊集合，贼A 关于()R U ,的一堆下近似R A 和上近似R A 定义为U 上的一对模糊集合，其隶属函数分别定义为

,},][|)(sup{)(,

},][|)(inf{)(U x x y y A x A U x x y y A x A R R R R ∈∈=∈∈=

其中[]R x 为元素x 在关系R 下的等价类。若)()(x A x A R R =，则称A 是可定义的，