空间向量与平行关系
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《空间向量与平行关系》
教学目标:
知识与技能:掌握线线平行,线面平行,面面平行的传统,基底,坐标方法.
过程与方法:在简单例题中利用这三种方法,循序渐进,慢慢熟练掌握.
情感与价值:通过对线,面平行,两种方法的比较.发现其中的数学规律,
学会总结,慢慢理解加深对数学的认识.
教育目标:数学课到底教什么?
一教知识:传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性,即事物在变化过程中保持的不变性。如三角形(类),其内角和
为180度(共有属性),而多边形的外角和为360度(更高层面的总结).
二教方法和思想:引导学生重演知识的发生发展的过程,感受人类先哲们探索的艰辛,体会数学先驱们天才的思想,从而学会观察事物,提出问题并加以解决,让数学知识
这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。
三引导学生融会贯通:简化记忆,构建起自己的数学结构,即总结出自己解决问题的“中途点”,以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题.
教学难点:线,面平行传统方法的回顾
处理办法:在学案进行复习巩固
教学重点:用向量解决线,面平行问题
处理办法:通过例题循序渐进
教学设计
一.(复习回顾)
2.方向向量:在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示,该向量称为这条直线
的一个方向向量.法向量:垂直于平面的向量(非零向量)
向量垂直:0=⋅⇔⊥→→→→b a b a (两非零向量)“思考为什么要强调两非零向量”?
二.新知引入:向量法
1.设直线m l ,的方向向量分别为→→b a ,,平面βα,的法向量分别为→→v u ,,则:
R
b a b a m l ∈=⇔⇔→→→→λλ,∥∥0
=⋅⇔⊥⇔→→→→u a u a l α∥R
v u v u ∈=⇔⇔→→→→λλβα,∥∥1.线线平行
①设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,,根据下列条件判断直线n m ,的位置关系:()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ,()2,1,2--=→a ()
2,1,2--=→b ,②已知→1e ,→2e 是空间任意两个非零向量,根据下列条件判断直线n m ,的位置关系:→→→-=2132e e a →→→
+-=2132e e b →
→→-=2132e e a →
→
→
-=2
164e e b 2.线面平行
①设直线l 的方向向量为→a ,平面α的法向量为→u ,且直线l 不在平面α内.若0=⋅→→u a ,则(
)A.l α∥B.l ⊂α
C.l ⊥αD.l ⊂α或l α
∥②设直线l 的方向向量为→a ,平面α的法向量为→u ,若0=⋅→→u a ,则()
A.l α∥B.l ⊂α
C.l ⊥αD.l ⊂α或l α∥
③设直线m 的方向向量为→a ,平面σ的法向量为,→u 直线m 不在平面α内.
根据下列条件判断直线m 与平面σ的位置关系:()5,2,2-=→a ()4,46-=→,u ()5,2,2-=→a ()
2,23-=→,u 3.面面平行
①设平面βα,的法向量分别为→→v u ,,根据下列条件判断直线βα,的位置关系()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()
4,4,2--=→v ②设平面σ的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-1,-2,k ),若βα∥,则k =(
)
A.2B.-4
C.4D.-2
在处理空间立体几何类题目的时候,可以考虑用这3种方法⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧)坐标(空间直角坐标系基底向量法传统方法.2.1下面就从这个题目简单的体会一下三种方法处理问题的过程吧.
例.已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为2,F E ,分别是1BB 和1DD 的中点:求证:(1)AE FC ∥1(尝试上面总结的3种方法)
(2)∥1FC 平面ADE
(3)平面ADE ∥平面F
B C 11方法一:(传统方法)
证明:
(1)过E 点作1CC 的垂线,与1CC 交于点O ,连接DO
1111D C B A ABCD -是正方体
则有=∥EO BC =
∥AD ,即四边形AEOD 为平行四边形.∴DO
AE ∥ E 分别是1BB 的中点,即O 为中点1
CC 又因为F 为1DD 的中点,即FD =
∥1OC ,即四边形1FDOC 为为平行四边形.∴DO FC ∥1,即AE
FC ∥1(2)由(1)可知,AE
FC ∥1则⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ADE FC ADE AE AE
FC 平面平面∥11∥1FC 平面ADE
(3)AD C B AD BC BC C B ∥∥∥1111⇒⎭⎬⎫,AED C B AED C B AED AD AD C B 平面∥平面平面∥111111⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊄⊂由(2)可知∥1FC 平面ADE ,则
AED
B F
C AE
D C F AED C B C C B FC B FC C B B FC FC 平面∥平面平面∥平面∥平面平面1111111111111111⇒⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎬⎫
=⊂⊂
1.已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为2,F E ,分别是1BB 和1DD 的中点:求证:(1)AE FC ∥1(尝试上面总结的3种方法)
(2)∥1FC 平面ADE
(3)平面ADE ∥平面F
B C 11(1)解:法2(用“基底”)
法3(用“坐标”)
由于(2),(3)用基底不便于处理问题,
所以(2)(3)在此处采用“坐标法”(2)解:因为1111D C B A ABCD -是正方体,可以−→−DA ,−→−DC ,−→−1DD 分别为x 轴,y 轴,z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .
(3)