第27章 圆与正多边形 知识点整理
九年级上册数学《圆》正多边形和圆知识点整理
正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。
二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
24.3正多边形和圆一、填空题1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.2． 正n 边形的中心角的度数是_______.3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.二、选择题5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）41 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π（C ）44π- （D ）44π-a 21. 3；2. n o360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。
圆与多边形知识总结
一、圆的知识点总结确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2. 过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过n()4n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4. 三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.（一）圆的基本性质1、圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。
上海市九年级数学中考复习：正多边形与圆知识点复习
27.6正多边形与圆知识点1 正多边形的相关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
（3）正多边形是对称图形。
当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（4）与正多边形有关的概念：a正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；b正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；c正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。
正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.d正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。
正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一边所对的外接圆圆心角叫做正多边形的中心角．例题1圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 例题2正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3正n 边形是 对称图形，它的对称轴有 条 。
例题4正n 边形的每个内角是 ，每个中心角是 。
知识点2 正多边形的计算1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。
2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。
3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距。
初中数学知识点：正多边形和圆知识点
初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。
第27章 圆与正多边形 知识点整理
第27章圆与正多边形【考点清单】一、基本概念及性质1.不在同一直线上的三点确定一个圆；2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；3.圆是中心对称图形，对称中心是圆心；4.在平面上，经过给定两点的圆有无数个，这些圆的圆心联结这两点的线段的垂直平分线上；5.三角形的外心是这个三角形的外接圆的圆心；6.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，都等于这个外接圆的半径；7.直角三角形的外心在斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部；8.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心；9.三角形的内心到三角形的三边的距离相等；10.基本概念：弧、弦、圆心角、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等圆、同心圆、切线、割线、圆心距（线段）、连心线（直线）；正多边形的半径、边心距、中心角；11.等弧：能够重合的两条弧称为等弧。
（长度相等的弧不一定是等弧。
）12.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
13.正n边形（n≥3）：正n边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；当n为奇数时，正n边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，最小旋转角=360/n 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形；正n边形的内角和：180（n-2）一个内角180（n-2）/n 或者180-（360/n）外角和360°一个外角360°/n每一个正n边形都有一个外接圆和一个内切圆14.点与圆的位置关系（d——点和圆心的距离）15.直线与圆的位置关系（d——圆心到直线的距离）Ex R取何值，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？R=1，AO取何值时，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？16.圆与圆的位置关系（d——两圆心之间的距离）图形两圆的位置关系d、R1、R2之间的关系图形两圆的位置关系d、R1、R2之间的关系同心圆d=0二、尺规作图17.作一个圆的圆心：任取非平行的两条弦，作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即圆心；18.三角形的外心：作任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即三角形的外心；19.三角形的内心：作三角形的任意两个内角的平分线，这两条角平分线的交点即三角形的内心；20.作一个圆的内接正三边形、四边形、六边形、八边形；三、计算21.圆中的相关计算：第一步：常添的辅助线：半径，弦心距，公共弦；第二步：用好垂径定理、四等定理、等腰三角形三线合一性质进行说理；第三步：抓住半径，半弦和弦心距构成的直角三角形OAD，运用勾股定理或三角比进行计算；22.圆中计算的几种类型：（1）已知半径OA，∠AOB，求OD、AB；利用三角比求OD、AD、AB；（2）已知AB和CD，求半径；设半径为R，则OD=R-CD，利用OA²=OD²+AD²求出R；（3）已知半径R和AC，求AB;利用两个直角三角形AD²=AO²-OD²AD²=AC²-CD²得AO²-OD²=AC²-CD²，设OD为x，得R²-x²=AC²-(R-x)²吗，求出x，最后利用勾股定理求AD，从而利用垂径定理得出AB；（4）求三个两两外切的圆的半径设元，根据R1+R2=d 列出方程求解。
华东师大版数学九年级下册27.正多边形和圆的关系课件
知识点 1 正多边形与圆的关系的认识
知1－讲
1. 正多边形的定义： 各条边相等、各个角也相等的多边形叫做正多边形．
要点精析：“各条边相等、各个角相等”是正多边形的两个基本 特征，边数 n＞3的多边形必须同时满足，二者缺一不可，否 则多边形就不是正多边形．例如，菱形的各边相等，但各角不 一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以它们都 不是正多边形．
知1－讲
2. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个 圆是同心圆．
3. 圆内接正n边形：把圆分成n(n＞2)等份，依次连结各 分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形，而 这 个圆是正 n 边形的外接圆．
拓展：(1)把圆分成n(n＞2)等份，经过各分点作圆的切 线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外 切正n边形，而这个圆是这个正n边形的内切圆．
总结
知1－讲
解答本题运用了定义法，即各选项中提到的多边形是 否具备各边和各角相等，这两个条件缺一不可．
知1－讲
例2 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C ＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．
导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧 相等，得出 BDE CDA 利用等式 的性质，两边同时减去 CDE ，即 可得到 BC AE，根据等弧所对的 弦相等，得出BC＝AE.
知3－讲
作法二：(1)作半径为0.9 cm的⊙O； (2)作⊙O的任一直径AB； (3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交⊙O于
C，F和D，E； (4)连结AD，DE，EA.则△ADE为所
求作的正三角形，如图所示．
总结
知3－讲
圆与正多边形知识点
圆与正多边形知识点《圆与正多边形知识点：数学世界里的奇妙组合》嘿，大家可别小看了圆与正多边形这些知识点啊，它们就像是数学世界里的一对奇妙好搭档！先来说说圆吧，那家伙就像是个超级圆滑的“老油条”。
圆可是个很有特点的存在，无论从哪个角度看它，都是那副完美的模样，找不到一点儿瑕疵。
它的周长和面积公式就像是它的独门秘籍，只要你掌握了，就能轻松算出它的各种信息。
正多边形呢，就像是一群规规矩矩的“乖孩子”。
它们有着整齐的边和角，每一条边都像士兵站队一样整齐，每一个角都像时钟的指针那样精确。
和圆比起来，正多边形可就老实多了，没那么多弯弯绕绕。
每次学到圆和正多边形的知识点，我就感觉自己像是走进了一个神奇的几何世界。
记得有一次，老师在黑板上画了一个大大的圆，然后开始讲它的性质，我那时候就感觉这个圆就像是个会变魔术的家伙，一会儿能这样，一会儿能那样。
还有正多边形，老师让我们数它的边和角的时候，我就感觉自己像是在跟一群小娃娃打交道，特别有意思。
而且，圆和正多边形在生活中的应用那可多了去了。
比如说，轮子是圆的吧，这样车子才能跑得又稳又快。
正多边形呢，像蜂巢就是正六边形的，勤劳的小蜜蜂可真是天生的几何大师啊！学这些知识点的时候，有时候也会犯迷糊。
比如说，会把周长和面积的公式弄混啦，或者搞不清正多边形的内角和外角的关系啦。
不过没关系，这都是学习的过程嘛。
就像我们走路一样，偶尔也会摔个跤，但是爬起来拍拍屁股，继续往前走就好啦。
总之，圆与正多边形知识点就像是数学世界里的一道亮丽风景线。
它们既有趣又实用，让我们在探索数学奥秘的道路上增添了许多乐趣和挑战。
所以啊，大家可千万别小瞧了它们，好好去探索它们的奇妙之处吧！也许在这个过程中，你会发现自己对数学的热爱更深了呢！。
27.6(2)正多边形与圆
例二、 正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半径为 R，则该正六边形的周长和面积各是多少？
解 : 如图, 设AB切⊙O于M， 连结OA、 OB
OM ,则OM AB于M , AM BM.
在RtAOM中, AOM 1 AOB 30,
2
AMB R
OM R ，tan 30 AM , OM
F
回顾旧知
正多边形 各边相等，各角也相等的多边形.
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正多边形及外接圆中的有关概念
➢ 中心: 一个正多边形的外接圆的圆心.
➢ 正多边形的半径: 外接圆的半径.
E
D
➢ 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.
➢ 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
. F
中心角 中心 O
.
半径R 边 心
C
距
r
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如图，在正n边形中，分别经过各定点 的半径将这个正n边形分为n个 等腰
三角形，每个等腰三角形的腰是正n边 形的 半径 ，底边是正n边形的 边 ， 顶角是正n边形的 中心角 ，底边上
的高是正n边形的内切圆
的半径，
它的长是正n边形的边心距边心距
。
设正n边形的半径长为 R ，中心角为n ，
作法二： 1.作⊙O的直径 2.以A为圆心，AO为半径作弧，交⊙O于C、D两点 3.以B为圆心，BO为半径作弧，交⊙O于E、F两点 4.顺次联结AD、DF、FB、BE、EC、CA
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思考： 如何作圆的内接正三边形，正四边形？
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谢谢您的观看！
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边长为 an，边心距为 rn ，则利用等腰三
角形OAB，通过解直角三角形OAH，可由 其中两个量求出其余的两个量，进一步还 可求出这个正n边形的周长和面积
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
华师版九年级下册数学第27章 圆 正多边形的性质
第27章圆
第2课时正多边形的 性质
1 课堂讲解 正多边形的性质
正多边形的有关计算
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
什么是正多边形？如何画圆内接正多边形？
知识点 1 正多边形的性质
知1－导
分别画出图中各正多边形的对称轴. 看看能有什么结果？
知1－讲
1. 性质：(1)正多边形的各边相等，
S＝
1 2
Pr
α为中心角，n为边数
R为半径，r为边心距，a为边长
P为正n边形的周长，a为边长 S为正多边形的面积，P为正多边形的
周长，r为边心距
知2－讲
例2 已知：⊙O的半径R＝6cm. (1)如图①，求⊙O的内接正三角形ABC的边心距、 边长、周长、面积； (2)如图②，求⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心 距、边长、周长、面积．
知1－练
3 下列正多边形中，对称轴条数是6条的是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正五边形
知识点 2 正多边形的有关计算
知2－讲
S为正多边形的面积，P为正多
边形名称的周长，r为公式边心距
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
说明
中心角
边心距、 边长、半径 间的关系式
周长
面积
α＝
360 n
R2＝r2＋
1 4
a2
P＝na
4 (2015·随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， 这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则 下列关系式错误的是( ) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36° C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
1.正多边形的各边相等,各角相等; 2.正n边形有n条对称轴； 3.正n边形有一个外接圆,还有一个内切圆,它们是同 心圆. 4.n为奇数时,是轴对称图形,不是中心对称图形；n是 偶数时,既是轴对称,又是中心对称图形.
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。
华师版九年级数学下册作业课件 第27章 圆 正多边形和圆
解：(1) 3 ∶2
(2)
3 2
R2
13．已知⊙O和⊙O上的一点A(如图所示).
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； (2)在(1)的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O的内接正十二边形的 一边．
解：(1)作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC；③依次连结A，B，C，D四点， 四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；④分别以A，C为圆心，OA长为半径作弧， 交⊙O于E，H，F，G；⑤顺次连结A，E，F，C，G，H各点．六边形AEFCGH 即为⊙O的内接正六边形．作图略
A．4，π3
B．3 3 ，π
C．2 3 ，43π
D．3 3 ，2π
5．如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，点 P 为 DE 上一点(点 P 与点 D，E 不重合)，连结 PC，PD，DG⊥PC，垂足为点 G，则∠PDG 等于__5_4_度．
知识点❷：圆内接正多边形的作图 6．如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形 ABC，甲、乙两人 的作法分别是： 对于甲、乙两人的作法，可判断( A ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
A．30° B．36° C．45° D．60°
3．有一边长为 4 的正 n 边形，它的一个内角为 120°，则其外接圆的半径为( B )
A．3 B．4 C．3 3 D．4 2
4．(2022·内江)如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，半径为 6，则这个正六
边形的边心距 OM 和 BC 的长分别为( D )
解：(1)略 (2)半径为 6 cm，边心距为 3 3 cm， 面积为 54 3 cm2
8．(贵阳中考)如图，⊙O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 相切于 A，C 两 点，则∠AOC 的度数是( A ) A．144° B．130° C．129° D．108° 9．(凉山州中考)如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于⊙O，则 AD∶AB＝( B ) A．2 2 ∶ 3 B． 2 ∶ 3 C． 3 ∶ 2 D． 3 ∶2 2
正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习
正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习个性化辅导教案正多边形和圆知识梳理:1、正多边形：各边相等，各⾓也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：⼀个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把⼀个正多边形的外接圆的圆⼼叫做这个正多边形的中⼼，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每⼀边所对的圆⼼⾓叫做正多边形的中⼼⾓，中⼼到正多边形的⼀边的距离叫做正多边形的边⼼距。
正n 边形的⼀个中⼼⾓的度数为：型正多边形的中⼼⾓与外⾓的⼤⼩相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对⾓和相等，都是4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为⾃然数)：(1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中⼼对称图形。
接圆的圆⼼。
的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
(1)⽤量⾓器等分圆周。
8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份:⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正学⽣姓名: 授课教师: 所授科⽬:学⽣年级：上课时间：2016年⽉分⾄时分共⼩时教学重难点教学标题正n 边形每⼀个内⾓的度数为:n 2 180180 °。
⑵当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形⼜是中⼼对称图形,对称中⼼是正多边形的中⼼, 即外5、常见圆内接正多边形半径与边⼼距的关系: (1)圆内接正三⾓形：d1—r(2)圆内接正四边形:2(设圆内接正多边形的半径为d丘d ——rr ,边⼼距为d)(3)圆内接正六边形:43—r 26、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系:(1)圆内接正三⾓形：x(2)圆内接正四边形:(3)圆内接正六边形: x=r7、正多边形的画法：画正多边形⼀般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为 R(2)⽤尺规等分圆(适⽤于特殊的正n 边形)。
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形;n 边形。
27.4正多边形和圆(学生版)
27.4第7讲正多边形和圆目标导航1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.知识精讲知识点01 正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．【微点拨】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).【即学即练1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．90°知识点02 正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【微点拨】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.【即学即练2】如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°图1 图2知识点03 正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
九年级下册27章圆知识点
九年级下册27章圆知识点圆是几何学中的一个重要概念，广泛应用于数学和实际生活中的各个领域。
本文将对九年级下册第27章中关于圆的知识点进行全面的介绍和解析。
一、圆的定义和性质圆是由平面上距离圆心相等的点构成的集合。
下面是圆的一些重要性质：1. 圆心：圆的中心点称为圆心，用字母O表示。
2. 半径：圆心到圆上任一点的距离称为圆的半径，用字母r表示。
3. 直径：过圆心的一条线段，两端点分别在圆上，称为圆的直径，用字母d表示，直径是半径的两倍，即d=2r。
4. 弧长：圆上两点之间的弧所对应的弧长，可以用角度或长度来表示。
5. 弧度：以半径为单位长度的弧长所对应的角度，称为弧度制，用符号rad表示。
二、圆的周长和面积1. 周长：圆的周长，也称为圆周长，是圆上一圈的长度，用符号C表示。
周长可以通过直径或半径来计算，公式如下：C = 2πr 或C = πd其中，π取约等于3.14。
2. 面积：圆的面积就是圆内部的所有点构成的图形的总面积，用符号S表示。
面积可以通过半径来计算，公式如下：S = πr²三、圆与其他图形的关系1. 圆与正方形：正方形内切于一个圆，正方形的对角线长度等于圆的直径。
2. 圆与矩形：矩形内切于一个圆，矩形的长和宽之和等于圆的直径。
3. 圆与三角形：三角形内接于一个圆，三角形的外接圆的圆心为三角形的垂心。
4. 圆与正多边形：正多边形内切或外接于一个圆，正多边形的内接圆的圆心与外接圆的圆心重合。
四、圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，并且切线与半径的交点在圆的圆周上。
2. 弦切角定理：弦切角等于弦所对的圆心角的一半。
3. 弦弧定理：在同一个圆或等圆上，弦所对的圆心角是相等的。
4. 弧度定理：一个半径为1的圆的弧度度量等于这部分圆心角的弧长。
5. 弧的长度：在已知弧所对的圆心角的情况下，弧的长度可以通过弧度公式来计算。
经过以上的介绍和解析，我们对九年级下册第27章的圆知识点有了更深入的了解。
正多边形和圆
正多边形和圆介绍在几何学中，正多边形和圆是两个重要的概念。
正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的图形。
本文将介绍正多边形和圆的特征、性质和相关公式。
正多边形定义正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。
常见的正多边形有三角形、四边形（正方形）、五边形、六边形等。
正多边形的内角都可以通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。
性质1.边长相等：正多边形的所有边长都相等，即正多边形的每条边长度相等。
2.内角相等：正多边形的所有内角都相等，即正多边形每个内角的度数相等。
3.对称性：正多边形具有n个对称轴，其中n为边数。
每个对称轴将正多边形分为两个对称的部分。
4.外角和：正多边形的外角和等于360°，即正多边形的所有外角之和为一个圆的周角。
5.外接圆：正多边形的外接圆是指将正多边形每个顶点都切在圆上的圆。
外接圆的半径等于正多边形中心到任一顶点的距离。
公式1.正多边形的面积：正多边形的面积可以通过边长和高计算，公式如下：面积 = 边长 × 高 / 22.正多边形的周长：正多边形的周长等于所有边长之和，即边长 × 边数。
圆定义圆是平面上所有点到圆心距离都相等的图形。
圆由圆心、半径和弧组成，其中圆心为圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离，弧是圆上两点之间的弯曲部分。
性质1.圆心角：圆心角是指圆心所对的弧所对应的角。
圆心角的度数等于对应弧所占据的圆心角度的一部分，即圆心角 = 弧度 / 弧长 × 360°。
2.弧长：圆上的弧长可以通过圆心角的度数计算，公式如下：弧长 = 圆心角度数 / 360°× 圆周3.面积：圆的面积可以通过半径计算，公式如下：面积= π × 半径²其中，π（pi）是一个数学常数，约等于3.14159。
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。
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即∠ACB=90°
五、圆中的分类讨论
(1)两圆相切——考虑内切和外切两种情况
(2)两圆内切——考虑|R1-R2|=d即R1-R2=d或R1-R2=-d两种情况；
(3) 两圆没有公共点，则两圆可能内含，也可能外离；
两圆只有一个公共点，则两圆可能内切，也可能外切；
（6）AB是圆O的内接正六边形的边，BC是圆O的内接正八边形的边，求∠AOC的度数。
当A、C在点B的同侧时，∠AOC=∠AOB-∠AOC
当A、C在点B的异侧时，∠AOC=∠AOB+∠AOC
转化为解等腰三角形OAB和Rt△AOH。
四、圆的几何证明
（1）与圆相关的基本图形：等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线
（2）常用的定理：
四等定理：前提——在同圆或等圆中，
圆心角相等 劣弧（或优弧）相等 弦相等 弦心距相等。
垂径定理：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
6. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，都等于这个外接圆的半径；
7.直角三角形的外心在斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部；
8.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心；
9.三角形的内心到三角形的三边的距离相等；
10.基本概念：弧、弦、圆心角、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等圆、同心圆、切线、割线、圆心距（线段）、连心线（直线）；正多边形的半径、边心距、中心角；
正n边形的内角和：180（n-2）一个内角180（n-2）/n或者180-（360/n）
外角和360°一个外角360°/n
每一个正n边形都有一个外接圆和一个内切圆
14.点与圆的位置关系（d——点和圆心的距离）
15. 直线与圆的位置关系（d——圆心到直线的距离）
Ex R取何值，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？
18.三角形的外心：作任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即三角形的外心；
19.三角形的内心：作三角形的任意两个内角的平分线，这两条角平分线的交点即三角形的内心；
20.作一个圆的内接正三边形、四边形、六边形、八边形；
三、计算
21.圆中的相关计算：
第一步：常添的辅助线：半径，弦心距，公共弦；
第二步：用好垂径定理、四等定理、等腰三角形三线合一性质进行说理；
第三步：抓住半径，半弦和弦心距构成的直角三角形OAD，运用勾股定理或三角比进行计算；
22.圆中计算的几种类型：
（1）已知半径OA，∠AOB，求OD、AB；
利用三角比求OD、AD、AB；
（2）已知AB和CD，求半径；
设半径为R，则OD=R-CD，利用OA²=OD²+AD²求出R；
（3）已知半径R和AC，求AB;
线段垂直平分线的判定定理
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上（但不能说明直线MN垂直平分AB）
若还有一个点Q也在线段AB的垂直平分线上，那么直线PQ垂直平分线段AB
（3）补充证明
AB是圆O的直径，∠ACB=90°
联结OC，
∵OA=OC，OB=OC，∴∠A=∠OCA，∠B=∠OCB，
∴∠A+∠OCA+∠B+∠OCB=180°
11.等弧：能够重合的两条弧称为等弧。（长度相等的弧不一定是等弧。）
12.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
13.正n边形（n≥3）：
正n边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；
当n为奇数时，正n边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，最小旋转角=360/n
当n为偶数时，正n边形是中心对称图形；
利用两个直角三角形AD²=AO²-OD²AD²=AC²-CD²得AO²-OD²=AC²-CD²，设OD为x，得R²-x²=AC²-(R-x)²吗，求出x，最后利用勾股定理求AD，从而利用垂径定理得出AB；
（4）求三个两两外切的圆的半径
设元，根据R1+R2=d列出方程求解。
（5）正n边形中求中心角、边长、半径、边心距，
第27章圆与正多边形
【考点清单】
一、基本概念及性质
1.不在同一直线上的三点确定一个圆；
2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；
3.圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
4.在平面上，经过给定两点的圆有无数个，这些圆的圆心联结这两点的线段的垂直平分线上；
5.三角形的外心是这个三角形的外接圆的圆心；
(4)已知弦AB平行于弦CD，并已知这两条弦的长度，求两条弦之间的距离；
当弦AB与弦CD在圆心同侧时，HG=OG-OH
当弦AB与弦CD在圆心异侧时，H’G=OG+OH’
（5）圆O1与圆O2相交，AB是公共弦，已知两圆的半径及公共弦长，求圆心距；
当两圆的圆心在公共弦的异侧时，O1O2=O1E+O2E
当两圆的圆心在公共弦的同侧时，O1O2=O1E-O2E
R=1，AO取何值时，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？
16.圆与圆的位置关系（d——两圆心之间的距离）
图形
两圆的位置关系
d、R1、R2之间的关系
图形
两圆的位置关系
d、R1、R2之间的关系
同心圆
d=0
二、尺规作图
17.作一个圆的圆心：任取非平行的两条弦，作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即圆心；
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
相切两圆的连心线经过切点；
角平分线的性质定理
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB B∴PE=PF
角平分线的判定定理
∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF∴OP平分∠AOB
线段垂直平分线的性质定理
∵B