弹性力学精彩试题及问题详解

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）

一、填空题（每小题4分）

1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D

=⎰⎰

2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆

截面的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的量表示为：

0,=+i j ij X σ ，)(2

1,,i j j i ij u u +=ε。

二、简述题（每小题6分）

1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。

题二（2）图

（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩

⎨⎧=+++= )(),(),(3

3223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ∆。

题二（3）图

设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。由q E

)1(1με-=得，

)1(2

22

2

με-+=+=∆E

b a q b a l

设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：

l P S q ∆⋅=∆⋅

将l ∆代入得：

221b a P E

S +-=

∆μ

显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。

4．图示曲杆，在b r =边界上作用有均布拉应力q ，在自由端作用有水平集中力P 。试写出其边界条件（除固定端外）。

题二（4）图

（1）0 ,====b

r r b

r r q θτσ； （2）0 ,0====a

r r a r r θ

τσ

（3） sin cos θτθσθθP dr P dr b a

r b

a

=-=⎰⎰

2

cos b a P rdr b

a

+-=⎰θ

σθ

5．试简述拉甫（Love ）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性

Love 、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：

（1）变求多个位移函数),(),,(),,(y x w y x v y x u 或),(),,(θθθr u r u r 为求一些特殊函数，如调和函

数、重调和函数。

（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。

适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。

三、计算题

1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用围。（提示：取应力函数为

θθϕB A +=2sin ） （13分）

题三（1）图

解：d 很小，Pd M =∴，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。

将应力函数),(θϕr 代入，可求得应力分量：

θθϕϕσ2sin 4112222A r r r r r -=∂∂+∂∂=

； 022=∂∂=r ϕσθ； )2cos 2(1

12B A r

r r r +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=θθϕτθ

边界条件：

（1）0 ,00

00

0==≠=≠=r r r θθ

θθ

τσ； 0 ,00

==≠=≠=r r r πθθ

πθθ

τσ

代入应力分量式，有

0)2(12

=+B A r 或 02=+B A （1）

（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：θτσr r ,，和M = Pd

由该脱离体的平衡，得

022

2=+⎰

-M d r r ππ

θθτ

将θτr 代入并积分，有

0)2cos 2(122

22

=++⎰-

M d r B A r π

π

θθ 02sin 22

=++-M B

A π

πθ 得 0=+M B π （2）

联立式（1）、（2）求得：

ππPd M B -=-=，π

2Pd A =

代入应力分量式，得

2

2

sin 2r

Pd r θπσ-==； 0=θσ； 22

sin 2r Pd r θπτθ-=。 结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远

处可适用。 2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x σ由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出y xy στ,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。

（12分）

题三（2）图

解：（1）求横截面上正应力x σ

任意截面的弯矩为306x l q M -=，截面惯性矩为12

3h I =

，由材料力学计算公式有 y x lh

q I My

x 3302-==

σ （1） （2）由平衡微分方程求xy τ、y σ

平衡微分方程： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂(3) 0(2) 0Y y x X y

x y yx xy

x σττσ

其中，0,0==Y X 。将式（1）代入式（2），有

y x lh

q y xy 2

306=∂∂τ 积分上式，得

)(312

230x f y x lh

q xy +=

τ 利用边界条件：02

=±=h

y xy

τ，有

0)(4312230=+x f h x lh q 即 2

23

01

43)(h x lh q x f -=