72全同粒子体系的波函数

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量子力学简答题题库 (1)

处的几率密度；
d 3r (r, ) 2
2
表示电子自旋向下（s z
) 的几率。 2
19、何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？何谓斯塔克效应？在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。 20、何谓反常塞曼效应，有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？答：在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为（2j+1）条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。对简单的塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条。 21、简述定态微扰论的基本思想，对哈密顿量 H 有什么样的要求？答：微扰方法的基本物理思想：在简化系统的解的基础上，把真实系统的哈密顿算符中没有考虑的因素加进来，得到真实系统的近似解。
3
因此用算符表示力学量是适当的。力学量必须用线性厄米算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何
力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄米算符来表示。 10、简述量子力学的五个基本假设。（1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述；（2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程；（3）力学量由相应的线性算符表示；（4）力学量算符之间有想确定的対易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直角坐标系分量之间的対易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条件决定。（5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：波色子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 11、简并、简并度。答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。 12、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。答：某一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、力；位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。测不准关系有两种形式，一种是动量-坐标的关系，另一种是能量-时间的关系。

全同粒子波函数与泡利原理

§7-7-1 两个全同粒子波函数)()(222q V q V ++∇−∇h==)()()ˆ)()()ˆ22201110q q q H q q q H i i i φεφφεφ（（粒子1 在i 态，粒子2 在j 态，则体系能量和波函数为则体系能量和波函数为：：=Φ+=)()(),(2121q q q q E j i ji φφεε验证验证：：),(),(ˆ2121q q E q q HΦ=Φ),()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q HΦ+=)]()(ˆ)[()()]()(ˆ[22012110q q H q q q q Hj i j i φφφφ+=)()()()(2121q q q q j i j j i i φφεφφε+=)()()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q Hj i φφ+=左端)()()(21q q j i j i φφεε+=),(21q q E Φ=交换简并=Eε)],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（Φ())],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（ΦΦΦ设粒子间无互作用设粒子间无互作用，，单粒子H 0不显含时间不显含时间，∑N其对称化波函数是：：2 个Bose 子体系，其对称化波函数是2 个Bose 子体系，其对称化波函数是其对称化波函数是：：Nkφ∏归一化因子!n该体系对称化的波函数。

φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。

φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数元素可重复选取）（元素可重复选取个元素（从m 个不同元素中每次取n 个元素其反对称化波函数是：：体系，，其反对称化波函数是2 个Fermi 子体系每一项都是单粒子波函数乘积形式，行列式展开后，，每一项都是单粒子波函数乘积形式●行列式展开后2 个Fermi 子体系(,()(()(11i i q q q q φφ们分别可能处于单粒态、、，1φ2φ3φ1925年奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统由费密子组成若全同粒子系统由费密子组成，，由于费密子系统的波函数是反对称函数是反对称函数，，如果有两个粒子的状态相同如果有两个粒子的状态相同，，则系统的波函数为零为零，，即不能有两个或两个以上的费密子处在同一个状态——泡利不相容原理泡利不相容原理。

全同粒子的特性全同粒子体系波函数Pauli原理两电

C 2 [ （ *q 1 ,q 2 ) （ q 1 ,q 2 ) （ *q 2 ,q 1 ) （ q 1 ,q 2 )
（ *q 1 ,q 2 ) （ q 2 ,q 1 ) （ *q 2 ,q 1 ) （ q 2 ,q 1 )d ]1 d q 2q
C 2 [ 1 0 0 1 ] 2 C 2 C 1
将方程中（q i , q j ) 调换，得：
i t (q 1 ,q 2, q j q i q N ,t)
由于
H ˆ(q 1 ,q 2, q j q i q N ,t) (q 1 ,q 2, q j q i q N ,t)
Hamilton
量对于
（q i , q j ) 调换不变
H ˆ ( q 1 , q 2 , q i q j q N , t ) ( q 1 , q 2 , q j q i q N , t ) 表明：（q i , q j ) 调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。
2 ( q 1 ,q 2 , q函数
1 二粒子互换后变波，函即数不
(q1,q2, qi qj qN,t)(q1,q2, qj qi qN,t)
1 二粒子互换后号波，函即数反变对称波函数
(q1,q2, qi qj qN,t)(q1,q2, qj qi qN,t)
I 2 个全同粒子Hamilton 量
H ˆ 2 2 1 22 2 2 2V(q1)V(q2)
H ˆ0(q1)H ˆ0(q2)
II 单粒子波函数
Hˆ 0对全同粒子是一样的，
设其不显含时间，则
i (qn ) (n 1,2.)
Hˆ（0 q1 ) i (q1 ) i i (q1 )
Hˆ（0 q2
全确

高二物理竞赛课件：量子力学之全同粒子体系的波函数和泡利原理

为 Pˆ12(q1 , q 2 ) (q 2 , q1 ) j (q1 )i (q 2 ) ，但该函数对应的能量本征值仍为 E i j 。这表明 (q1, q 2 ) 和 Pˆ12(q1, q 2 ) 都是同一能量 E i j 的本征函数，因此能量E i j 是二度简并的，这种简并称为交换简并。
即 Pˆ12(q1, q 2 ) 和 (q1, q 2 ) 都是能量E 的本征函数，仍有交换简并，体系的波函数仍可以对称化。
(2)对称化波函数
S
1 2
[
E
(q1
,
q
2
)
E
(q
2
,
q1
)]
A
1 2
[
E
(q1
,
q
2
)
E
(q
2
,
q1
)]
同样可以写成：
S
1 2
P E (q1, q 2 )
P
A
1 2
(2)对称化的波函数
因为粒子不可区分，由全同性原理知要把波函数对称化
当i j 时，S i (q1)i (q2 )
(1)
当 i j 时，(q1, q 2 ) 和 Pˆ12(q1, q 2 ) ，既不对称也不反对称，因
而不满足全同性原理的要求，但可将这两个波函数构造成对称和
反对称化的波函数，即:
C' j (q1 ) j (q 2 ) ... j (q N ) (12)
...
... ... ...
k (q1 ) k (q 2 ) ... k (q N )
关于归一化常数C
N
n!
1
, C'
N!

全同粒子体系的波函数_泡利原

作业
7-6
其中 P 表示两个粒子在单态中的某种排列，代表对粒子不同排列的求和，规定一种排列为偶排列，交换一次则为奇排列。 Φ A 还可表示成行列式的形式
P
q ) 1 i( 1 ( q , q ) A 1 2 q ) 2 j( 1
q ) i( 2 q ) j( 2
j 中有两种排列相同或行列式中两行相同，则若 i，即 A

( qq ) ( ) ( q ) ( qqq ) ( ) ( ) ] 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1

021
120
102
（b）某一个状态上有2个粒子，另一粒子处于其它态。这种情况共6个态，对应的波函数分别为
210
201
012
波函数的项数
若交换两个粒子，则
ˆ ˆ ˆ HH Φ [ () q H () q ]()() ( ) j( q ) ( q )(i j )Φ 0 1 0 2 jq 1 iq 2 j i 1 i 2

能量本征值仍为
Ei j
交换两粒子后，能量本征值不变，这种简并称为交换简并。下面讨论体系的波函数。前面讲过，全同粒子体系的波函数必须有确定对称性。（1）当 i 时， j （2）当 i 时， j
于是得到泡利原理：
A 0
费米子组成的全同粒子体系中，两粒子不能处于相同的状态。 2．非单体近似
Wq ( 1,q 2) 0
( q , q ) ( q )( q ) 1 2 1 2
ˆ H ( q , q ) E ( q , q ) 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H ( q , q ) H P ( q , q ) PH ( q ,q (q P q ,q 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2) E 2,q 1) 1 2 ( 1 2) E

全同粒子体系

第六章全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。

首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。

1、全同粒子我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。

其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。

全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。

2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。

（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。

由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。

在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。

3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性粒子不可区分，单体算符形式一样。

在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。

但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有一个粒子。

全同粒子的波函数特点

全同粒子的波函数特点
全同粒子是指具有完全相同量子态的一组粒子。

全同粒子的波函数具有以下特点：
1. 交换相干性
全同粒子的波函数具有交换相干性，即任意两个粒子交换后，波函数的幅度和相位不会发生改变。

这种特性也称为“交换不变性”。

交换相干性是全同粒子波函数最基本的特性之一，也是量子力学中对称性的体现之一。

2. 占据相同空间
全同粒子的波函数具有占据相同空间的特性。

在量子力学中，波函数是一种概率幅，描述了粒子的概率分布。

对于全同粒子，它们的波函数会占据相同的空间位置，即它们的位置概率分布是相同的。

3. 反对称性
全同粒子的波函数具有反对称性。

如果我们将全同粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数将发生符号反转。

具体来说，如果我们将两个粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数的符号将会发生改变。

这种特性也称为“反对称性”。

4. 球对称性
全同粒子的波函数具有球对称性。

在量子力学中，粒子的自旋和轨道运动是相互耦合的。

对于全同粒子，它们的自旋和轨道运动是相互独立的，因此它们的波函数可以具有球对称性。

具体来说，全同粒子的波函数可以表示为球谐函数的形式。

5. 唯一性
全同粒子的波函数具有唯一性，即对于一组全同粒子，它们的波函数是唯一的，不会因为不同的测量或不同的初始条件而发生改变。

这种唯一性也是量子力学中不可观察量的一个重要特性之一。

总之，全同粒子的波函数具有交换相干性、占据相同空间、反对称性、球对称性和唯一性等特点。

这些特性是量子力学中对称性和不可观察量的体现之一。

全同粒子体系的波函数泡利原理

§ 7.1 电子的自旋
一、提出电子自旋的依据 1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为（2n+1）重，即奇数重。
2、原子光谱的精细结构。比如，对应于氢原子2p→1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等
4
S
2 x
S
2 y
S
2 z
2 4
.
(7.2 3)
所以，
Sˆ
2
Sˆx2
Sˆy2
Sˆz2
3 4
2
(7.2 4)
令 S 2 s(s 1)2 (7.2 5)
将上式与轨道角动量平方算符的本征值L2 l (l 1) 2
比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但
这里s只能取一个数值，即s=1/2.
nlm 也是Hˆ Hˆ 0 Hˆ B 的本征函数。在强磁场中，
因为外磁场很强，可以略去自旋轨道耦合。波函数中自旋和空间部分可以分离变量。哈密顿量H 的本征态可选为守恒量完全集（H, L2, Lz , Sz)的共同本征态。能量的本征值为：
当 Sz
时， 2
nlm 1 2
RnlYlm 1
二、泡利算符
为简便起见，引进一个算符ˆ
，它和
Sˆ
的关系是
Sˆ
ˆ
2
Sˆ
x
Sˆ y
Sˆ
z
2
ˆ
x
2
ˆ
y
2
ˆ
z
(7.2 6)
将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到ˆ 所满足的对易关系：
ˆ

全同粒子的特性

h2
2
2j
U (qj ,t)

ji
1 2
W
(q
j
,
qi
)

Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t) Hˆ (q1,..., qj ,..., qi,..., qN ,t)
二、全同性原理
全同性原理：全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子，体系的物理状态保持不变。
全同粒子的不可区分性导致了全同性原理。
例如：氦原子中有两个电子，一个处于基态，一个处于第一激发态，能量分别为
E1

Z 2es2 2a0
E2

Z 2es2 2a0 22
体系的能量为E E1 。E2
若交换两个电子的位置和自旋，体系的能量不变。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1．全同粒子体系的波函数与哈密顿用 qi (代rvi ,表Siz )第i个粒子的坐标和自旋。
全同粒子体系的波函数和哈密顿分别为
(q1, q2 ,..., qN ,t)
Hˆ (q1, q2 ,...,qN
当时，1有
1
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
则波函数是交换对称的，用表S 示；
当时，1 有
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
,t)

N i 1

2
2

2 i

全同粒子体系的波函数

7.2全同粒子体系的波函数
另外，如果粒子间存在相互作用，我们虽然不能把体系波函数写成单粒
子波函数形式或进行对称化或反对称化，但这并不等于不可以对称化或
反对称化。事实上，总可以找出
，然后互换波函数中的粒
子坐标来进行对称化或反对称化。
(q1,L qN )
当然，如果粒子只定域在空间的某一区域，描写粒子的波函数在空间是分开的不重叠。全同粒子的不可区分性就不重要了。
7.2全同粒子体系的波函数
更谈不上将第几个和第几个交换。粒子既然不能编号，就不能说第几个粒子处于那个量子态。二只能说某个量子态有几个粒子，或者说，有几个粒子占据了那个量子态。
还要强调指出，全同性原理只是说全同粒子不可区分，不可编号，但它没说量子态不可区分。量子态可以通过守恒量对应的量子数来表示，不同的量子数表征不同的量子态。
p
p 式中表示N个粒子在波函数中的某一种排列，
常数。
是归C一化
7.2全同粒子体系的波函数
显然 c ni，! 是处n在i第个单粒子态i 中
i
i
的粒子数。
N!
因此，
ni !
S
i
N!
p i (q1) j (q2 )L k (qN )
p
对于由N个全同费米子组成的体系，波函数是反对称的。需将其反对称化。为此，我们先将二粒子体系的反对称波函数式写成行列式
7.2全同粒子体系的波函数
体系的波函数是
(q1, q2 ) i (q1) j (q2 )
满足
Hˆ (q1,q2 ) Ei (q1) j (q2 )
若两粒子交换，则能量表达式不变，但波函数表达式变为
(q2,q1) i (q2 ) j (q1)

量子力学考研核心题库

一、填空题1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067（2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050【答案】（1）B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为（2）A【解析】取x为原点，则有波函数为所求概率即4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。

【答案】波粒二象性5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。

【答案】6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。

【答案】二、选择题7．__________。

【答案】8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。

【答案】9．（1）_____；（2）_____。

【答案】10．下面关于厄米算符的定义式中.正确的为（）.【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数.厄米算符定义式为11．量子谐振子的能量是（）.【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为而本征值为n，于是谐振子能量为第 4 页，共 47 页12．设粒子处于态为归一化的球谐函数，则的平均值为（）。

2010年量子力学复习题讲

量子力学复习一、选择1．能量为100ev 的自由电子的 De Broglie 波长是（ A ） A.1.2 Å. B. 1.5 Å. C. 2.1 Å. D. 2.5 ÅV25.12≈λ Å 2.设粒子的波函数为()z y x ,,ψ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为(C) A()dxdydzz y x 2,,ψB()dx z y x 2,,ψC()()dx dydz z y x ⎰⎰2,,ψD()⎰⎰⎰2,,z y x dz dy dx ψ3．设()x 1ψ和()x 2ψ分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们的线性迭加态()()x c x c 2211ψψ+ 的几率分布为（D ）4．粒子在一维无限深势阱()⎩⎨⎧≥≥∞<<=ax x ax x U ,000中运动，设粒子的状态由()axc x πψsin=描写，其归一化常数C 为（ B ）A.a1. B. a 2. C.a 21. D.a4. 5．两个粒子的薛定谔方程是（D ） A.()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i i ,,,,,,2,,212121212221ψψμψ∑=+∇=∂∂B. ()()()()t r r t r r U t r r t r rti i ,,,,,,2,,212121212221 ψψμψ∑=+∇=∂∂ C. ()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i ,,,,,,2,,212121212221ψψμψ∑=+∇-=∂∂ D. ()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i i ,,,,,,2,,212121212221 ψψμψ∑=+∇-=∂∂6. 几率流密度矢量的表达式为 (C) A ()**2ψψψψμ∇-∇=JB ()**2ψψψψμ∇-∇=i JC()ψψψψμ∇-∇=**2 i JD()ψψψψμ∇-∇=**2 J7．波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符Fˆ为厄密算符的定义是（ C ） A.⎰⎰=τϕφτφϕd F d F ˆˆ**B. ()⎰⎰=τϕφτφϕd F d F **ˆˆC.()⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ˆˆ**厄密算符的定义D.⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ***ˆˆ8 Fˆ和G ˆ是厄米算符，则 (D) A G Fˆˆ必为厄密算符. B F G G Fˆˆˆˆ-必为厄密算符. C ()F G G Fiˆˆˆˆ+必为厄密算符. D ()F G G Fi ˆˆˆˆ-必为厄密算符. [()⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ˆˆ**，将()F G G F i ˆˆˆˆ-作一个算符]9.设体系处于112110212321Y R Y R -=ψ状态, 则该体系的角动量的取值及相应几率分别为(A) A.2,1; B. ,1;C. 2,1;D 22 ,1N=2,l=1,m=0,110 设体系处于112110312321--=Y R Y R ψ 状态, 则该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为(A) A 43,41;,0 -B 43,41;,0 C 23,21;,0-- D 23,21;,0 - n=3,l=1,m=0 n=2,l=1,m=-111.设体系处于112110212321--=Y R Y R ψ 状态, 则该体系的角动量Z 分量的平均值为（D ）A 41B 41- C 43 D 43- 12.对易关系[]y xp Lˆ,ˆ等于（Ｃ）A zL i ˆ B z L i ˆ - C z p i ˆ D z p i ˆ -13．算符Fˆ 和G ˆ 的对易关系为[]k i G Fˆˆ,ˆ=,则Fˆ 、G ˆ的测不准关系是（C ） A.()()4ˆˆ222k GF ≥∆∆B. ()()4ˆˆ222k GF ≥∆⋅∆;C .()()4ˆˆ222k G F≥∆⋅∆; D.()()4ˆˆ222k GF≥∆∆14.已知[] i p xx =ˆ,ˆ，则xˆ 和p ˆ的测不准关系是 (D) A.()()222ˆˆ ≥∆∆p xB. ()()2224ˆˆ ≥∆⋅∆p x ;C.()()222ˆˆ ≥∆⋅∆p x;D.()()4ˆˆ222≥∆⋅∆p x15.算符x L ˆ和y L ˆ的对易关系[]zy x L i L L ˆˆ,ˆ =，则x L ˆ和yL ˆ的测不准关系（Ａ）（A 里面的那个平均号要分开）16.幺正变换（Ａ）A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.既改变算符的本征值,也改变其本征矢. 17动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是()⎪⎭⎫ ⎝⎛'='x p i x p exp 21πψ,它在动量表象中的表示是（A ） A()p p '-δ B.()p p '+δ;C.()p δ;D.()p 'δ18. 力学量算符xˆ对应于本征值为x ' 的本征函数在坐标表象中的表示是 (A) A()'x x -δ B ()'x x +δ C ()x δ D ()'x δ19．Stern-Gerlach 实验证实了（D ） A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.原子的能级是分立的. D.电子具有自旋.20.Sˆ为自旋角动量算符,则[]y xS S ˆ,ˆ等于（Ｄ）A. i 2.B. i .C. 0 .D.zS i ˆ - 21.σˆ为Pauli 算符，则[]z x σσˆ,ˆ等于 (D) Ay i σ - B y i σ C y i σ2 D y i σ2-22.一电子处于自旋态()()z z s b s a 2/12/1-+=χχχ中,则z s 的平均值为 (C)A 0 B()222b a - C ()()2222baba+-D二、填空题1．Compton 效应证实了光具有粒子性。

4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性

s k1k2
q1, q2 k q1 k q2
9
4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
量子力学教程(第二版)
对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的.归一化的波函数可如下构成

A k1k2
1 k1 q1 k2 q2 k1 q2 k2 q1 q1 , q2 2
7
4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
量子力学教程(第二版)
在上式中， k为单粒子能量, k q 为相应的归一化单粒子波函数, k 代表一组完备的量子数.
设两个粒子中有一个处于 k1 态,另一个处于 k2 态,则 k1 q1 k2 q2 与 k q2 k q1 对应的能量都是
Pij q1 , , qi , , q j , , qN q1 , , q j , , qi , , qN
பைடு நூலகம்1
P 由于所有粒子的内禀属性完全相同， ij 和这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们描述的是同一个量子态，因此它们最多可以相差一个常数因子C ,即
量子力学教程(第二版) 4.5.3 N个全同Fermi子组成的体系
先考虑三个无相互作用全同Fermi 子组成的体系. 设三个粒子处于三个不同的单粒子态 k1 , k2 , 和 k3 , 则反对称波函数可表示为

A k1k2 k2
1 q1 , q2 , q3 k2 q1 k2 q2 k2 q3 3! k3 q1 k3 q2 k3 q3

72全同粒子体系的波函数

7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
上式称为斯莱特行列式，因为任何两粒子的交换相当于行列式中两列之间的交换，行列式必然反号。因此，斯莱特行列式是反对称的。特别重要的是：如果两个或两个以上粒子的状态相同，则由于行列式中有两行以上相同，这个行列式必为零。
这表示不能有两个或两个以上的全同费米子处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理。
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
这一节我们先讨论由两个全同粒子组成的体系。在不考虑粒子间相互作用条件下，两粒子体系的哈密顿算 ˆ ˆ ˆ ˆ 符为 H = H0 (q1 ) + H0 (q2 ) ，H 0是每个粒子的哈密顿算符 ˆ 因为是全同粒子，所以两粒子的哈密顿算符相同。H 的本征方程为
i =0
N
H0 (q1)ψi (q1) = Eiψi (q1) 各粒子的薛定谔方程为 H0 (q1)ψ j (q1) = Ejψ j (q1) L
体系的薛定谔方程为
ˆ Hψ (q1,L qN ) = Eψ (q1,L qN )
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
体系的能级和波函数为
如果粒子是费米子，波函数对称，于是有两种情况 1. 2.
ϕ 对称，χ 反对称； ϕ 反对称，χ 对称。
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
如果粒子是玻色子，波函数反对称，也有两种情况 1. 2.
ϕ 对称，χ 也对称； ϕ反对称， χ 也反对称。
在前面的讨论中，实际上引入了一个不是很完美的假设：粒子仍然可以编号，仍然可以分为第一个、第二个、…….第N个，然后再考虑粒子之间的交换，要求它们具有交换对称性。严格的说，这种做法并不彻底，原因在于：既然粒子是全同的，他们之间不可区分，就根本谈不上将粒子编号。

曾量子力学题库（网用）（1）讲解

曾量⼦⼒学题库（⽹⽤）（1）讲解⼀、简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释⿊体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原⼦的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位）3. （1）试⽤Einstein 光量⼦假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量⼦理论5. （1）简述波尔-索末菲的量⼦化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）在给定的状态中测量某⼀⼒学量可得⼀测值概率分布。

问在此状态中能否测得其它⼒学量的概率分布？试举例说明。

9. （2）在给定状态下测量某⼀⼒学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满⾜的条件11.（2）假设⼀体系的基态波函数在全空间上都⼤于零，试解释是否存在某⼀激发态，该激发态在全空间范围内也都⼤于零。

12.（2）已知粒⼦波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒⼦在球壳),(dr r r +中被测到的⼏率以及在),(?θ⽅向的⽴体⾓元?θθΩd d d sin =中找到粒⼦的⼏率。

13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 15.（2）设ikre r1=ψ，试写成其⼏率密度和⼏率流密度 16.（2）试解释为何微观粒⼦的状态可以⽤归⼀化的波函数完全描述。

17.（3）简述和解释隧道效应18.（3）⼀维⽆限深势阱体系??><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(??><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikxe e ax --=ψ，其中a k π2=，请问该状态是否是定态？为什么？ 19.（3）说明⼀维⽅势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。

20.（3）某⼀维体系，粒⼦的势能为222x µγ，其中µ为粒⼦质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。

粒子的全同性

• 波函数要么对称，要么反对称 • 波函数不可能是对称和反对称的混合 • 由叠加原理，自然界中的双电子（双π介子等）系统的波函数只可能是反对称的（或对称的），由实验确定。否则叠加原理会给出非物理的状态。
3粒子的波函数（1）
全对称 ( r1 , r2 , r3 ) ( r2 , r1 , r3 ) ( r1 , r3 , r2 ) ( r3 , r2 , r1 ) ( r2 , r3 , r1 ) ( r3 , r1 , r2 )

S 1, M S 1,0,1, 1 1 11 0 0 , 1 1 0 0 1 10 , 2 0 1 1 0 0 0 1, 1 1 1 , 自旋波函数对称 1,1 , 1 1,0 , 2 1,1 .
k
自旋波函数
ˆj s
j
2
,
1/ 2 i / 2 0 0 ˆx ˆy s ,s , 1 / 2 0 0 i / 2 0 1 / 2 3 1 0 2 ˆ ˆz s s 0 1 / 2 0 1 4 ˆ2, s ˆz }本征值s ( s 1) 3 / 4, ms 1 / 2; 本征矢 {s 1 ms 1 / 2 : 0 , 0 ms 1 / 2 : 1 .

自旋状态的耦合表象
2 2 2 总自旋S s1 s2 , S s1 s2 2 s1 s2 s1 s2 1 / 2 S 0,1