自动控制原理习题与解答

第六章习题及解答
6-1 试求下列函数的z 变换 T
t a t e =)()1(
()()223e t t e t =-
21
)()
3(s
s s E +=
)
2)(1(3)()
4(+++=
s s s s s E 解 （1）∑∞
=---=-=
=
1
11)(n n n a z z
az
z a z E （2）[]3
22
)
1()
1(-+=z z z T t Z 由移位定理：
[
]
3
33323333232)()
()1()1(T T T T T T t
e z e z ze T ze ze ze T e t Z -----+=-+= （3）221
11)(s s s s s E +=+=
2)1(1)(-+-=z Tz
z z z E
（4）2
1)(210++++=s c
s c s c s E
21
)1(3lim 21
2
)2(3lim
2
3
)2)(1(3lim 221100=
++=-=-=++==
+++=-→-→→s s s c s s s c s s s c s s s 22112
23+++-=s s s )
(22)1(23)(2T T e z z
e z z z z z E ---+---=
6－2 试分别用部分分式法、幂级数法和反演积分法求下列函数的z 反变换。

()
()()()11012E z z
z z =
--
2
11
213)()2(---+-+-=z
z z z E 解 （1）)
2)(1(10)(--=z z z
z E
① 部分分式法
)
12(10210110)()
2(10)1(10)(2
10
110)2)(1(10)(-=⨯+⨯-=-+--=-+--=---=n n nT e z z
z z z E z z z z z z E
② 幂级数法：用长除法可得
Λ
Λ
+-+-+-=+++=+-=--=
---)3(70)2(30)(10)(7030102310)2)(1(10)(*3212T t T t T t t e z z z z z z
z z z z E δδδ
③ 反演积分法
[][])
()12(10)()
12(10210110)(210110lim )(Re 10
210lim )(Re 0
*
221
111
nT t t e nT e z z z z E s z z z z E s n n n n n
n z z n n
z z n --=-=⨯+⨯-=⨯=-=⋅-=-=⋅∑∞
=→→-→→-δ
（2） 2
221)
1()
13(12)13(213)(-+-=+-+-=+-+-=--z z z z z z z z z z z E ① 部分分式法
∑∑∞
=∞=---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⨯--=----=----=--=0
0*
2
22)
()32()(32)()
(132)(13)1(2)(1
3)1(2)1(31)(n n nT t n nT t nT T t e t t T t e z z
z z z E z z z z z z E δδ
② 幂级数法：用长除法可得
Λ
Λ--------=-----=+-+-=---)3(9)2(7)(5)(3)(97531
23)(*32122T t T t T t t t e z z z z z z
z z E δδδδ ③ 反演积分法
[][]
12
1
1
1)3(lim !11)(Re )(-→→-⋅+-=⋅=n s z n z z z
dz
d
z
z E s nT e
[]32)1(3lim 1
1--=++-=-→n nz z n n n s
∑∞
=---=
*
)()32()(n nT t n t e δ
6-3 试确定下列函数的终值 ()
()()
111
12E z Tz z =---
)
208.0416.0)(1(792.0)()
2(2
2
+--=z z z z z E 解 （1）∞=--=---→211
1
1)
1()1(lim z Tz z e z ss （2）
1208
.0416.01792
.0208.0416.0792.0lim )
()1(lim 2211
=+-=+-=-=→→z z z z E z e z z ss
6-4 已知差分方程为
c k c k c k ()()()-+++=4120
初始条件：c(0)=0,c(1)=1。

试用迭代法求输出序列c(k),k=0，1，2，3，4。

解 依题有
56
4154)4(15144)3(4014)2(1)1(,0)0()()1(4)2(=-⨯==-⨯==-⨯===-+=+c c c c c k c k c k c
6-5 试用z 变换法求解下列差分方程：
)
0(0)(,)(1)()
()(8)1(6)2()
1(≤===++-+k k c k k r k r k c k c k c
)
,2,1,0(,
)(0)()0()
()()1(2)2()
2(Λ=====++++n n n r T c c k r k c k c k c
()
()()()()()(),()336211160
01120
c k c k c k c k c c c ++++++====
)2/cos()(6)1(5)2()
4(πk k c k c k c =++++ 0)1()0(==c c
解
（1） 令T t -=，代入原方程可得：0)(=T c 。

对差分方程两端取z 变换，整理得
1)4)(2(1)(8
61)(2
-⋅--=+-=
z z
z z z R z z z C 4
1
6121211131)(-⋅
+-⋅--⋅=z z z z z C 461221131)(-⋅
+-⋅--⋅=z z
z z z z z C n n n nT c 461
221131)(⨯+⨯-⨯=
（2） 对差分方程两端取z 变换，整理得
[]
[]
[]
[]
[]
[]
∑∞
=-------→-→--→→------→→-→→--⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=
--=⋅---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅-=
⋅-=
⋅-=⋅+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅+=
⋅-+=
-⋅++=
01*
11
3211
211211
1
323211
211211
1
2
222)
()1(14
1)()1(141
)(4
1
)1()1(2)1(lim )1(lim )1(lim !11)(Re 4
1
222)1(2)1(lim )1(lim )1(lim !11)(Re )1()1()1(121)(n n n n n n z n z n z z n n n z n z n z z n nT t n t c n nT c n z z z nz z z dz d z z z dz d z z C s n n z z z nz z z dz d z z z dz d z z C s z z z
z z z z z C δ
(3) 对差分方程两端取z 变换得
[][][]0
)(6)0()(11)1()0()(6)2()1()0()(2
2
2
3
3
=+-+--+---z C zc z zC zc c z z C z zc c z c z z C z
代入初条件整理得
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⋅+⋅--=-+---=+⋅++⋅-+⋅=+++++=++=⋅+++n n n n n n n c z z z z C z z z z
z z z C z
z z z C z z z 32527211)1()3(25)2(7)1(211)(3
21
2521711211)(6
116177)(177)()6116(23
232323 （4） 由原方程可得
1
1
2
cos
2)
2cos ()()65(2
2
22
+=+--=
⋅++z z z z z z z C z z π
π
⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡
-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-⋅+-⋅-=
+-⋅++⋅++⋅-=+++=+++=+++=+++2sin 2cos 1013101251)1(2sin 2cos 101)3(103)2(52)(11
101311032152)1)(3)(2()()1)(3)(2()1)(65()(1112
2
22
2
22
ππππn n n n nT c z z z z z z z z z z C z z z z z z z z z C n n n n n
6-6 试由以下差分方程确定脉冲传递函数。

)1()1()()1()1()2(5.05.05.0+⋅-=++⋅+-+---n r e n c e n c e
n c T T T
解 对上式实行z 变换，并设所有初始条件为0得
)()1()()()1()(5.05.05.02z R z e z C e z zC e z C z T T T ⋅-=++----
根据定义有
T
T T e
z e z e z z R z C z G 5.05.02
5.0)1()
1()()()(---++--==
6-7 设开环离散系统如题6-7图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。

解 （a ）T e z z s Z 2222--=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡+ T e z z s Z 5555--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+ )
)((105522)(522T T e z e z z s Z s Z z G ----=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= （b ）)
)(()(3105131021
31055225252T T T T e z e z e e z s s Z s s Z -------⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+ ))(()(3105522
)(5252T T T T e z e z e e z s s Z z G -------⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+= （c ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅---)5)(2(1)1(10)5)(2(10)1(1s s s Z z s s s e Z s τ
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅++⋅-⋅-=5115121611101)1(10s s s Z z z )
)((3532)32351(1321351323511)(52752525252T T T
T
T T T T T
T T e z e z e e e z e e e z z e z z e z z e z z z z z z z G -------------++++-=
--+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=
6－8 试求下列闭环离散系统的脉冲传递函数)(z Φ或输出z 变换)(z C 。

题6-8图 离散系统结构图
解（a ）将原系统结构图等效变换为图解6-8(a)所示
图解6-8(a)
[]
[]
[][]
[][][])
()()(1)()()
()()
()()()()()(1)()()()()()(1)()()()
()()
()())()()()
())()()(1)
()()(1)(1)()
()
(1)
()()()()()(1)()()()()()()()(312111312
1
31213212133222
1121211212112112
1
121111z G z G z G G z G z R z C z z R z G z C z G z G z G
G z C z G z R z G z C z G G z C z G z R z G G z C z C z G z R z C z G z B z B z R z E z E z G G z G z E z G G z G G z G z E z G G z G G z B z E z G G z B z G
G z B z E z G G z B z B z E z G z G ++=
=Φ⋅=++⋅-⋅=+⋅-⋅⋅-=⋅=-=+=⋅⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=
∴=⋅+-=-=
（b ）由系统结构图
[])(1)
()()()()()()()()
()()()
()()()(43143421434214342z G G G z RG z G G G z G RG z C z C z RG z G G G z G RG z C z RG z E z G G G z E z G RG z C h h h h ++=
∴
-+=-=+=
（c ）由系统结构图
)()()()()()()()(2112122z G G G z D z E z G G G z D z R z NG z C h h ⋅⋅+⋅⋅+=
)()()(z C z R z E -=
[])()()()()()()()(2112122z C z R z G G G z D z G G G z D z R z NG h h -⋅⋅+⋅⋅+= )()(1)()()()()()()()(2112112122z G G G z D z R z G G G z D z G G G z D z R z NG z C h h h ⋅+⋅⋅+⋅⋅+=
[])
()(1)()()()()(21121212Z G G G z D Z R z G G G z D z D Z NG h h ⋅+⋅⋅++=
6－9 设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分传递函数 G s s s ()()
=
+1
52
输入)(1)(t t r =，采样周期s T 1=。

试求： （1）输出z 变换)(z C ；
（2）采样瞬时的输出响应)(*
t c ；
（3）输出响应的终值)(∞c 。

解 （1）依据题意画出系统结构图如图解6-9所示
[]1684
.02966.261747.46259596.09933.3)61()4()()1(25)61()4()(1)()()
()1(2561)4())(1(5)1()1(51)5(1
)(232525525255255
552
2
-+-+=
-+++---++=
+=Φ---++=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-----=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+=----------z z z z
z z
e z e e z z z
e z e z G z G z e z z z e z e e z z e z z z s s Z z G
图解6-9
Λ
++++=+-+-+=-Φ=Φ=----43212
34
2
235.1842.04585.01597.0006736.00586.1899.2847.2)03838.01597.0(1
)
()()()(z z z z z z z z z z z z z z R z z C ∴ （2）
Λ+-+-+-+-=)4(235.1)3(842.0)2(4585.0)(1597.0)(*T t T t T t T t t c δδδδ
（3）判断系统稳定性
6397.97)1(,09533.4)1()
(31684.02966.261747.4625)(23<-=->==-+-=D D n z z z z D 奇数
列朱利表
0z
1z
2z
3z
1 -0.1684 26.2966 -46.1747 25
2 25 -14.1747 26.2966 -0.1684
3
-624.97
1149.94
-649.64
)
(64
.64997.624251684.02030不稳定=<==<=b b a a
闭环系统不稳定，求终值无意义。

6-10 试判断下列系统的稳定性 （1）已知离散系统的特征方程为
D z z z z ()()(.)()=+++=10520 （2）已知闭环离散系统的特征方程为
D z z z z z ()...=++++=4
3
2
02036080
（注：要求用朱利判据）
（3）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期T=1(s)，开环传递函数
G s s s ().()
=
+2257
12
解 （1）系统特征根幅值
1225.05.011321>---＝＝，
＝＝，
＝＝λλλ
有特征根落在单位圆之外，系统不稳定。

（2） 08.036.02.0)(2
3
4
=++++=z z z z z D
用朱利稳定判据（4=n ）
0z
1z
2z
3z
4z
1 0.8 0.36 1 0.
2 1 2 1 0.2 1 0.36 0.8
3 -0.36 0.088 -0.2 -0.2
4 -0.2 -0.2 0.088 -0.36 5
0.0896
-0.07168
0.0896
0896
.0896.02.036.0,
18.0024.2)1(,036.3)(203040====<==<=>=-
>=c c b b a a D z D
所以，系统不稳定。

（3）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++
-=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=157.2257.2257.22)1(57.22)(22
s s s z s s z z G []
)1()1()
21(57.221)
1(57.221
21112-------+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=e z e z e z e z z z z z z [
]368
.09.79.5)
21(57.22)()1()(231112-++=-++--=---z z z e z e z e z z z D
用朱利稳定判据（3=n ）
0z 1z
2z
3z
1
-0.368 7.9 5.9 1 2 1 5.9 7.9 -0.368 3
-0.865
8.81
10.07
)
(07
.10865.01
368.00
368.3)1(,0432.14)1(2030系统不稳定=<==<=<-=->=b b a a D D
6-11 设离散系统如题6-11图所示，采样周期T=1(s)，G h (s)为零阶保持器，而 G s K
s s ()(.)
=+021
要求：
（1）当K=5时，分别在w 域和z 域中分析系统的稳定性；
（2）确定使系统稳定的K 值围。

解 （1）
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++-+=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-++++--=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅-=-----------------561)54(
)1(5154))(1()())(1(5154)(5111)1)(1(5)
1()1(1)12.0()1()(55552555555555555221
T T T T
T T T T
T
T T T T T T T h e K e z e K e z e e z e K e z z z D e z z e e z e K e z e z K e z e z z z z K s s K Z z z G G 当5=K 时
09663.03)(2=++=z z z D
解根得 )(367.0,
633.221系统不稳定-=-=λλ 以1
1-+=w w z 代入并整理得
208.001357.0)(2-+=w w w D
)(w D 中有系数小于零，不满足系统稳定的必要条件。

（2）当K 为变量时
)006738.01919.0()006738.180135.0()(2++-+=K z K z z D
以1
1
-+=
w w z 代入并整理得 )60945.00135.2()3838.09865.1(9933.0)(2K w K Kw w D -+-+=
由劳斯判据可得系统稳定的K 值围为：
304.30<<K
6-12 利用劳思判据分析题6-12图所示二阶离散系统在改变K 和采样周期T 的影响。

解 根据已知的)(s G 可以求出开环脉冲传递函数
)
)(1()
1()(T
T e z z e KZ z G -----= 闭环特征方程为：
0)
)(1()
1(1)(1=---+=+--T T e z z e Kz z G
题6-12图
即 0)]1()1([2=++--+---T T T
e z e e K z
令w
w
z -+=
11，进行w 变换，得 []
011)
1()1(112
=+-++--+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+---T T T e w w e e K w w 化简整理后得
0)1()1(2)]1()1(2[2=-+-+--+----T T T T e K w e w e K e
可得如下劳思表：
2w )1()1(2T T e K e ----+ )1(T e K --
1w )1(2T e -- 0w
)1(T e K --
得系统稳定的条件
⎪⎩
⎪⎨⎧>>->--+---00
)1(0)1()1(2K e K e K e T
T T 解得 T
T e e K ---+<<1)
1(20
6-13 题6-13图所示采样系统周期)(1s T =
)()1()(122k e k e k e +-=
试确定系统稳定时的K 值围。

解 由于
)
()()()
()1()(121
2122z E z E z z E k e k e k e +=+-=-
则 1
1211
)()()(--==z
z E z E z D 广义对象脉冲传递函数
368
.0632.0))(1()1()1()1()1()1()1()(1
1
11-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-----z K e z z Kz e z s s K Z z s s K e Z z G Ts 开环脉冲传递函数为
)368.0)(1(632.0368.0632.011)()(1
--=-⋅-=
-z z Kz
z K z
z G z D 闭环特征方程
0368.0)368.1632.0()()(12=+-+=+z K z z G z D
进行w 变换，令w
w
z -+=11，化简后得
0632.0264.1)0632736.2(2=++-K w w
列出劳斯表如下
2w K 632.0736.2- K 632.0 1w 264.1 0
0w K 632.0
若系统稳定，必须满足0,0632.0736.2>>-K K
即 329.40<<K
6-14 如题6-12图所示的采样控制系统，要求在t t r =)(作用下的稳态误差
T e ss 25.0=，试确定放大系数K 及系统稳定时T 的取值围。

解 ))(1()1(1111)1()(T T T e z z e Kz e z z z z K s s KZ s s K Z z G ------=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+= 因为 2
)
1()1())(1())(1()()(11)(-⋅-+----=+=---z Tz
e Kz e z z e z z z R z G z E T T T 所以 T z Tz
e Kz e z z e z z z e T T T z ss 25.0)
1()1())(1())(1()1(lim 21=-⋅-+----⋅-=---→ 由上式求得4=K 。

该系统的特征方程为
0)1(4))(1()(1=-+--=+--T T e z e z z z G
即
0)53(2=+-+--T T e z e z
令w
w
z -+=
11代入上式得 026)1(2)1(42=-+-+----T T T e w e w e
列出劳斯表如下
2w )1(4T e -- 26--T e
1w )1(2T e --
0w
26--T e
系统若要稳定，则劳斯表得第一列系数必须全部为正值，即有
3
ln ,
0260,01<>->>---T e
T e T
T
由此得出3ln 0<<T 时，该系统是稳定的。

6-15 设离散系统如题6-15
图所示，其中采样周期
,21)(,10,)(2.02t t t r K s T ++===试用终值定理计算系统的稳态误差)(∞e 。

解 系统开环脉冲传递函数为
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅-=---23
2
131
2)1(5)
1()1(5)1()5.01(10)1()5.01(101)(z Tz z z z T z s s Z z s s s e Z z G Ts
将2.0=T 代入并整理得
1.02.08.0)1()1(2)1(04.012.01lim )
()()1(lim )1(2)1(04.0)1(2.0121)(2.08.01
28.02.1)1()1()(11)()()()1(8
.02.1)(22
111
3222
22
22
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=Φ-=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++=+-+-=-+--=+==Φ--=
→-→z z z z z z z R z z e z z z z z z z t t Z z R z z z z z z z z G z R z E z z z z G z e z ss e
6-16 设离散系统如题6-16图所示，其中t t t K s T ===)(,1,)(1.0，试求静态误差
系数αK K K v p 、、，并求系统在t t r =)(作用下的稳态误差)(∞e 。

解 系统开环脉冲传递函数为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=----))(1()1()1()1()1(1)1()(2121
T T e z z z e z Tz z s s Z z z G 将1.0=T 代入并整理得
[]1
1)(1
.0)905.0)(1()
9.0(005.0)1(lim )()1(lim )905.0)(1()9.0(005.01lim )(1lim )
905.0)(1()9.0(005.0)(1111=+=∞=--+-=-=∞=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--++=+=--+=
→→→→v
p z z v z z p K T
K e z z z z z G z K z z z z G K z z z z G
6-17 已知离散系统如题6-17图所示，其中ZOH 为零阶保持器，)(25.0s T =.当
t t r +=2)(时，欲使稳态误差小于1.0，试求K 值。

解 首先验证系统的稳定性
2
25.0)1(1)(s
e e K s Ke s e s G Ts
Ts s Ts -----=⋅-= 1)1(11)(2
22
22-=-⋅-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=---z KTz z z KTz z z s Ke Z z z z G Ts
KT
z z D KT z z KT
KTz z KTz z +-=+-=
+-=Φ--232322)(1)(
Jurry ： 0011)1(>⇒>+-=K KT D ①
82
011)1(<<
⇒<+--=-T
K KT D ② 3w KT
0 -1 1
2w 1
-1 0
KT
1w 221T K - -1 KT 0w
KT
-1
221T K -
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>-=<⇒<KT T K T K KT 221411
③
0122<-+KT T K 解出 618.0618.1<<-K
④
综合①②③④，K 稳定的围为
618.00<<K
使稳态误差为0.1时的K 值：
[]2
)1(12)(12)(-+-=
+⋅=z Tz
z z t t Z z R 系统是Ⅰ型系统，阶跃输入下的稳态误差为零，斜坡输入下的稳态误差为常值
1
.01)()1(lim 1
<===-=→K
K T e KT
z G z K v ss z v
10>∴K
10>∴K 时不稳定，不能使1.0<ss e
6-18 试分别求出题6-15图和题6-16图所示系统的单位阶跃响应)(nT c 。

解（a ）
()
()
()⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-
+
+
+
-
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
-
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
-
=
Φ
-
-
)1
(
5.0
2
)1
(
1
1
2
5.0
1
1
1
1
)
(
2
2
2
2
2
z
T
z
T
K
z
z
K
T
s
s
K
s
e
Z
s
K
s
e
Z
z
Ts
Ts
将2.0
,
10=
=T
K代入得
2.0
8.0
)1
(2.0
)
(
2+
-
+
=
Φ
z
z
z
z
2.0
808
.0
8.1
)
(2.0
1
2.0
8.0
)1
(2.0
)
(
)
(
)
(
2
3
2
2-
+
-
+
=
-
⋅
+
-
+
=
⋅
Φ
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
R
z
z
C
Λ
+
+
+
+
+
+
=-
-
-
-
-
-6
5
4
3
2
1002
.1
986
.0
934
.0
808
.0
56
.0
2.0z
z
z
z
z
z
Λ
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
)
6
(
002
.1
)
5
(
986
.0
)
4
(
934
.0
)
3
(
808
.0
)
2
(
56
.0
)
(
2.0
)(*
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
t
c
δ
δ
δ
δ
δ
δ
(b)
)
905
.0
)(
1
(
)
9667
.0
(
00484
.0
1
1
)1
(
1
)
1(
)
(
1
1.0
2
1
+
-
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
-
=
=
=
-
-
-
z
z
z
e
z
e
z
T
K
s
s
Z
K
z
z
G
K
T
T
T
901
.0
9.1
)
9667
.0
(
00484
.0
)
(
1
)
(
)
(
2
1
1.0
+
-
+
=
+
=
Φ
=
=
z
z
z
z
G
z
G
z
K
T
901
.0
801
.2
9.2
)
9667
.0
(
00484
.0
1
901
.0
9.1
)
9667
.0
(
00484
.0
)
(
)
(
)
(
2
3
2
2-
+
-
+
=
-
⋅
+
-
+
=
⋅
Φ
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
R
z
z
C
Λ
+
+
+
+
+
+
=-
-
-
-
-
-6
5
4
3
2
1148
.0
106
.0
07
.0
0407
.0
0187
.0
00484
.0z
z
z
z
z
z
Λ
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
)
6
(
148
.0
)
5
(
106
.0
)
4
(
07
.0
)
3
(
0407
.0
)
2
(
0187
.0
)
(
00484
.0
)(*
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
t
c
δ
δ
δ
δ
δ
δ
6-19 已知离散系统如题6-19图所示
其中采样周期)
(1s
T=，连续部分传递函数
G s s s 01
1()()
=
+
试求当)(1)(t t r =时，系统无稳态误差，过渡过程在最少拍结束的数字控制器)(z D 。

解
[])37.01)(1(63.01111
)1(1)(1
1110------=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=z z z e z z z z s s Z s s Z s G Z )(1)(t t r =
查教材中表6-4有：
63.037.01)
37.01)(1(63.0)
1()
()1()(1
111
111
1
---------=---=-=z z z z
z z z G z z z D
6-20 设离散系统如题6-20图所示
其中采样周期)(1s T =，试求当t R t R t r 10)(1)(+=时，系统无稳态误差、过渡过程在最少拍结束的)(z D 。

解 系统开环脉冲传递函数为
1
)1()(21-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅-=-z K s K Z z z G
2
10)1(1)(-+-=z z
R z z R z R
令 0)(1)()1(lim 2101
1
=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-+-Φ-=-→z z R z z R z z e e z ss 可取得 2
1)1()(--=Φz z e
则 2
12)(1)(---=Φ-=Φz z z z e
)
1(2)1(11)2()()()()(1
1
211
11--------=-----=ΦΦ=z K z z z
Kz z z z z G z z D e
6-21 已知采样系统如题6-21图所示，其中采样周期)(1s T =，要求设计一个数字控制器)(z D ，使系统在斜坡输入下，调节时间为最短，并且在采样时刻没有稳态误差。

题6-21图 具有数字控制器的采样系统
题6-21表 最少拍无静差系统设计结果 输入信号)(t r 要求的)(z e Φ
要求的)(z Φ
消除偏差所需时间s t
)(1t 11--z 1-z T t 21)1(--z
212---z z T 2 22t
31)1(--z 32133---+-z z z
T 3
解 根据题6-21表，对于斜坡输入信号，最少拍系统闭环脉冲传递函数应该为
2
11121)
1()()2(2)(------=Φ-=-=Φz z z z z z z e
广义对象的脉冲传递函数为
)368.01)(1()
718.01(68.3)1()1(10)(1
1112-------+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=z z z z s s e Z z G Ts 根据)(z D 可实现性对)(z Φ及)(z e Φ的约束条件，)(z D 中1=z 的极点应包含在
)(z e Φ的零点之中，这一点)(z e Φ已满足，不必改变，)(z C 中包含的延迟因子1-z ，也已
包含在)(z Φ之中，且112=-=-m n ，所以按题6-21表设计的)(z D 是可以实现的。

即
)
718.01)(1()
368.01)(5.01(543.0)(1
111----+---=z z z z z D。