因式分解相关知识点整理【竞赛专用】

分圆多项式在有理数集内不可约的. 12.既约多项式相关知识 （1）艾森斯坦（Eisenstein，1823~1852）判别法 设 f ( x) = an x + an −1 x
n n −1
+ … + a1 x + a0 是整系数多项式
如果存在一个质数 p 满足以下条件： 1. p 不整除 an ； 2. p 整除其余的系数（ a0 , a1 , …, an −1 ） ；
如果整系数多项式 f ( x) 的系数为 1. q = 1 ，有理根都是整数根. 补充三个重要结论： （1）若多项式的系数和等于 0，那么 1 是它的根，即 ( x − 1) 是它的一次因式. （2）若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0，那么-1 是它的根，即 ( x + 1) 是它的一次因式. （3）若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系数的多项式的 积. 9.待定系数法 设待定系数，通过比较系数得出方程组，利用系数为整数的条件求解即可. 10.轮换式与对称式 两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）. 基本轮换式 一次齐次轮换式： l ( x + y + z ) 二次齐次轮换式： l ( x 2 + y 2 + z 2 ) + m( xy + yz + zx) 三次齐次轮换式： l ( x + y + z ) + m( x y + y z + z x) + m( xy + yz + zx ) + kxyz 这里， l、m、n、k 都是待定常数
1 (a + b + c)[(a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a ) 2 ) 2
3 3 3
（3）当 a + b + c = 0 时， a + b + c = 3abc 11.实数集与复数集内的分解 （1）利用二次方程求根公式来分解二次三项式. （2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式 f ( x) = an x + an −1 x 是正整数） ，一定有复数 c 使得 f (c) = 0 . （3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次 因式与二次因式的积.
2 3. p 不整除 a0 .
那么， f ( x) 在有理数集内不可约. （2）绝对不可约 有些多元多项式，即使在复数集内也不能分解，这样的多项式称为绝对不可约.
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6.双十字相乘法（应用于形如 ax 2 + bxy + cy 2 + dy + ey + f 的二元二次式 ，或者是形如
ax 2 + bxy + cy 2 + dxz + eyz + fz 2 的三元齐次式.）
把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解， 如果其中两组包含相同字母 的分解式所得到的数字一样.且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的 系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可. 7.换元法（略） 8.余数定理（ x、y 的齐次式也可以采用同样的方法）
应用公式时，按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施，值得注意。 3.常用分组方法（注意：每组项数须平均分配） ： （1）按不同字母分组 （2）b.按不同字母的幂分组（幂次相近的放在一起） （3）按不同项的系数分组 注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况 4.拆项与添项 （1）若整式按某一字母的升幂或降幂排列，那么以拆开中项为宜。 （2）可以配完全平方（配方法） 5.十字相乘法（二次齐次式 ax 2 + bxy + cy 2 也可用此法分解，令 y = 1 代入原式即可）
因式分解相关知识点整理【竞赛专用】
1.因式分解的思路：“一提、二代、三分组” 2.常用公式：
[1]a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) [2](a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 [3]a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab + b 2 ) [4](a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3 [5]若n为正奇数，则a n + b n = (a + b)(a n −1 − a n − 2b + a n −3b 2 − … − ab n − 2 + b n −1 ) [6]若n为正整数，则a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n− 2b + a n −3b 2 + … + ab n − 2 + b n −1 )
n n −1
+ … + a1 x + a0 （ n
（4）1 的立方虚根
ω=
− 1 − 3i 3 ，并且 ω = 1， 1 + ω = −ω 2， 1 + ω 2 = −ω （可将 x = ω 代入 2
多项式，求得因式） （5）单位根：一般地，在复数集内有 n 个 n 次单位根，它们是
2kπ 2kπ 2nπ 2nπ + i sin (k = 1,2, …, n) ，其中 cos + i sin =1 n n n n 2kπ 2kπ 如果 k 与 n 互质，则 cos + i sin 称为本原单位根. n n （6）分圆多项式：与 n 次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式. cos
ax
×
+ + +
c d
例子： ×
bx adx bcx
(ad + bc ) x
x x
3x 2x
5x
+ + +
2 3
6
cd
x2
+ +
abx abx
2
+ +
2
+
cd
x2
+
6
将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式：
a b ab + bc
补充一个结论：
cΒιβλιοθήκη Baidud
5
1 1
+2 +3
若二次三项式 ax + bx + c 的系数和 a + b + c = 0 ，则 ax + bx + c = ( x − 1)( ax − c )
3 3 3 2 2 2 2 2 2
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补充两个常用公式： （1） a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = ( a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca) （2） a + b + c − 3abc =
3 3 3
f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + … + a1 x + a0
如果 f (c) = 0 ，那么 ( x − c) 是 f ( x) 的因式，反过来，如果 ( x − c) 是 f ( x) 的因式，那么
f (c) = 0 .（证明过程略）
注：有理根 c =
p 的分子 p 是常数项 a0 的因数，分母 q 是首项系数 an 的因数. q