外弹道学第七章弹丸的旋转与摆动运动规律 PPT
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第七章 弹丸的旋转与摆动运动规律
1
§7-1 一般概念
质点弹道学：重力、空气阻力，计算质点的运动轨迹。 两种现象：弹丸翻转、弹道偏移
旋转理论 摆动理论 线性理论 非线性理论
2
一、攻角及影响因素 扰动：实际条件下各种因素与理想条件下各种因素的偏差。 影响攻角的因素： 1、弹丸本身的力学性质 所谓一个系统的某种运动是否稳定，指该系统受扰动作用 后的运动，当扰动不大时与未受扰动作用的运动（或理想运 动）之间的偏差是否也足够小。
设计注意：一般只要保证在炮口满足Sg>1即可，只 有对远程榴弹，可能出现在落点附近Sg<1的情况，需 要校核落点处的急螺稳定性。
极转动惯量 C m d 2 质量分布系数 4
2
Cm
A C
h d
H
( y0
) K mz0
上
膛线缠度上限
r0
&0
2 v0 d
膛线缠度上限决定了弹丸 出炮口的最低转速
10
§7-4 追随稳定性
稳定、渐近稳定 2、扰动因素的大小和变化规律 弹丸飞行稳定性条件只是减小弹丸散布的必要条件 瞬时扰动：起始扰动、阵风 长时间扰动：弹丸的质量偏心、动不平衡、外形不对称。
3
二、稳定性概念 非扰动弹道 扰动弹道 质心沿弹道运动的稳定性 绕质心运动的稳定性
4
§7-2 旋转弹丸绕质心运动方程的建立与分析 一、坐标系 铅直参考平面：O′-xy 阻力面： O′- ξζ 进动角：弹轴ξ所在的阻力面与含速度轴的铅直参考面的夹
p
源自文库
1p
Cr
A
&
2p
Cr
A
&1 p
13
考虑极阻尼力矩 M xz 的影响：
C
dr dt
M xz
r r0et
& &0et
表达式：
p
g
2
CmV0d h
H
(
cos
y)V 3Kmz
(M
)
et
d
14
三、影响动力平衡角的因素
（1）弹道参数：弹速、倾角。
弹道顶点附件最大
p
g
2
CmV0d h
H
(
1 y)Vs3Kmz
角ν 章动角：在阻力面内弹轴与速度轴的夹角δ 进动: 阻力面以速度轴为轴的转动称为进动 章动: 弹轴相对速度轴的摆动称为章动 自转角：弹丸绕弹轴旋转的角度γ 广义坐标 广义速度
5
引入基本假设： （1）弹丸是一个外形及质量分布均为轴对称的刚体； ξ、ζ、η为弹丸的惯性主轴 弹丸对任一赤道轴的转动惯量相等，为A 转动动能: T 1 [ A( p2 q2 ) Cr2 ]
追随稳定性研究的内容：当弹速V受重力影响不断下降 时，具有急螺稳定性的弹丸，为什么弹轴能追随速度矢量的 下降而下降。 一、动力平衡轴和动力平衡角
忽略起始扰动，零时刻弹轴方向与速度共线同向，由于V 在重力作用下方向不断低头，而弹丸的急螺稳定性使弹轴方 向保持不变，形成章动角δ，由此引起翻转力矩Mz，该矢量 垂直于阻力面向外，随着阻力面位置的不断变化，翻转力矩 的指向也不断变化，形成了弹轴的锥形进动。
2 （2）只考虑翻转力矩； （3）章动角很小。
6
二、拉氏方程及应用 广义坐标：γ、ν、δ 1、对γ的积分（gamma）-转动 2、对ν的积分（niu）-进动 3、对δ的积分（delta）-章动
7
8
§7-3 旋转弹丸的急螺稳定性
一、急螺稳定因子
1 2
Sg
2
1
急螺稳定因子
1 1
Sg
9
二、急螺稳定条件 稳定条件：Sg 1
以弹丸质心为球心，单位长度为半径作球面，球
面上弧长的弧度值就等于对应的圆心角。
理想弹道的切线方向与球面交点L，弹轴与球面交
点A，速度与球面交点T。A点的轨迹表示弹轴在空
间的运动过程，T点的轨迹表示速度方向变化的过程。
2 i1
2 i1
2 i1
19
二、作用在弹上的力和力矩 1、空气动力和力矩
by )]
1 v2
[d dt
(
g
cos
v
)
g
cos (i21
kzz
)]
d&
ds
&s
kxz&
22
2、动态稳定条件的建立 只研究弹丸的飞行齐次方程所对应的起始条件下的稳定问题。
&& & &&&& &&
&&
(kzz
by
i21)v& [(kz
21
&
v bz
)
i 21 (k y
by
)]v2
d dt
(
g
cos
v
)
g
cos (i21
kzz
)
21
四、运动稳定性分析 1、方程的变量变换
t
s 0 vdt
& sv
s (kzz
by
bx
g sin
v2
i21)s
[(kz
21
v&bz ) i21(ky
如果V的方向不再变化，则锥形进动一直进行。（b图）
11
由于重力的作用，弹道切线方向在不断下降，故弹轴在切
线上方停留的时间t上和章动角δ上大于停留的时间t下和章动 角δ下。 右旋弹丸：
M上 A上
指向右侧
M上 M下
弹轴右偏
M下 A下 指向左侧
结论：在弹速方向不断低头的情况下，右旋弹弹轴向右偏，
弹轴的平均位置称为动力平衡轴，与速度方向的夹角称为动
力平衡角（平均章动角）。
12
二、动力平衡角的表达式
动力矩定理： r
r dK r u dt M zP
r
u K 1 M zP A p
如果平均弹轴向下转动的角速度ω1，与V下降的角速度 & 不相等，则认为弹轴不满足追随运动，因为弹轴与速度之 间的夹角过大。
追随运动必须满足条件：1 &
侧向动力平衡角:
(
Ms)
e
ts
d
（2）弹丸外形及质量分布情况
气动外形、质量分布、极转动惯量、弹长、阻力臂等
（3）转速比
& 越大，动力平衡角越大。
V
15
四、追随稳定性
过大的动力平衡角不良后果： （1）射程减小，偏流增大； （2）使马格努斯力矩出现较严重的非线性，破坏弹丸的动 态稳定性，使章动角沿弹道发散； （3）增加各种散布因素的影响效果。
pmax [p ]
下
g
2
CmV0d
[
p
]
h d
1
et
H ( y)V 3Kmz (M )
16
§7-5 动态稳定性简介
一、坐标系及坐标变换 1、坐标系
17
2、坐标转换
（1）速度系与地面系
分别为弹道倾角和弹道偏角
（2）弹轴系与速度系
（3）弹轴系与弹体系 γ为弹丸的滚转角
18
弹轴坐标系与速度坐标系之间的关系
阻力、升力、马氏力、俯仰力矩、赤道阻尼力矩、 极阻尼力矩、马氏力矩 2、重力 3、陀螺效应力矩 4、尾翼导转力矩
20
三、弹丸一般运动微分方程组
1、质心运动方程
（1）速度大小变化方程： v& bxv2 g sin
（2）速度方向变化方程：
&
byv
ibz&
g
cos
v
2、围绕质心运动方程
（1）自转运动方程：&& kxz&v （2）摆动运动方程：A&& M z M zz M y Mt
1
§7-1 一般概念
质点弹道学：重力、空气阻力，计算质点的运动轨迹。 两种现象：弹丸翻转、弹道偏移
旋转理论 摆动理论 线性理论 非线性理论
2
一、攻角及影响因素 扰动：实际条件下各种因素与理想条件下各种因素的偏差。 影响攻角的因素： 1、弹丸本身的力学性质 所谓一个系统的某种运动是否稳定，指该系统受扰动作用 后的运动，当扰动不大时与未受扰动作用的运动（或理想运 动）之间的偏差是否也足够小。
设计注意：一般只要保证在炮口满足Sg>1即可，只 有对远程榴弹，可能出现在落点附近Sg<1的情况，需 要校核落点处的急螺稳定性。
极转动惯量 C m d 2 质量分布系数 4
2
Cm
A C
h d
H
( y0
) K mz0
上
膛线缠度上限
r0
&0
2 v0 d
膛线缠度上限决定了弹丸 出炮口的最低转速
10
§7-4 追随稳定性
稳定、渐近稳定 2、扰动因素的大小和变化规律 弹丸飞行稳定性条件只是减小弹丸散布的必要条件 瞬时扰动：起始扰动、阵风 长时间扰动：弹丸的质量偏心、动不平衡、外形不对称。
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二、稳定性概念 非扰动弹道 扰动弹道 质心沿弹道运动的稳定性 绕质心运动的稳定性
4
§7-2 旋转弹丸绕质心运动方程的建立与分析 一、坐标系 铅直参考平面：O′-xy 阻力面： O′- ξζ 进动角：弹轴ξ所在的阻力面与含速度轴的铅直参考面的夹
p
源自文库
1p
Cr
A
&
2p
Cr
A
&1 p
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考虑极阻尼力矩 M xz 的影响：
C
dr dt
M xz
r r0et
& &0et
表达式：
p
g
2
CmV0d h
H
(
cos
y)V 3Kmz
(M
)
et
d
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三、影响动力平衡角的因素
（1）弹道参数：弹速、倾角。
弹道顶点附件最大
p
g
2
CmV0d h
H
(
1 y)Vs3Kmz
角ν 章动角：在阻力面内弹轴与速度轴的夹角δ 进动: 阻力面以速度轴为轴的转动称为进动 章动: 弹轴相对速度轴的摆动称为章动 自转角：弹丸绕弹轴旋转的角度γ 广义坐标 广义速度
5
引入基本假设： （1）弹丸是一个外形及质量分布均为轴对称的刚体； ξ、ζ、η为弹丸的惯性主轴 弹丸对任一赤道轴的转动惯量相等，为A 转动动能: T 1 [ A( p2 q2 ) Cr2 ]
追随稳定性研究的内容：当弹速V受重力影响不断下降 时，具有急螺稳定性的弹丸，为什么弹轴能追随速度矢量的 下降而下降。 一、动力平衡轴和动力平衡角
忽略起始扰动，零时刻弹轴方向与速度共线同向，由于V 在重力作用下方向不断低头，而弹丸的急螺稳定性使弹轴方 向保持不变，形成章动角δ，由此引起翻转力矩Mz，该矢量 垂直于阻力面向外，随着阻力面位置的不断变化，翻转力矩 的指向也不断变化，形成了弹轴的锥形进动。
2 （2）只考虑翻转力矩； （3）章动角很小。
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二、拉氏方程及应用 广义坐标：γ、ν、δ 1、对γ的积分（gamma）-转动 2、对ν的积分（niu）-进动 3、对δ的积分（delta）-章动
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8
§7-3 旋转弹丸的急螺稳定性
一、急螺稳定因子
1 2
Sg
2
1
急螺稳定因子
1 1
Sg
9
二、急螺稳定条件 稳定条件：Sg 1
以弹丸质心为球心，单位长度为半径作球面，球
面上弧长的弧度值就等于对应的圆心角。
理想弹道的切线方向与球面交点L，弹轴与球面交
点A，速度与球面交点T。A点的轨迹表示弹轴在空
间的运动过程，T点的轨迹表示速度方向变化的过程。
2 i1
2 i1
2 i1
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二、作用在弹上的力和力矩 1、空气动力和力矩
by )]
1 v2
[d dt
(
g
cos
v
)
g
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kzz
)]
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2、动态稳定条件的建立 只研究弹丸的飞行齐次方程所对应的起始条件下的稳定问题。
&& & &&&& &&
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四、运动稳定性分析 1、方程的变量变换
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21
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如果V的方向不再变化，则锥形进动一直进行。（b图）
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由于重力的作用，弹道切线方向在不断下降，故弹轴在切
线上方停留的时间t上和章动角δ上大于停留的时间t下和章动 角δ下。 右旋弹丸：
M上 A上
指向右侧
M上 M下
弹轴右偏
M下 A下 指向左侧
结论：在弹速方向不断低头的情况下，右旋弹弹轴向右偏，
弹轴的平均位置称为动力平衡轴，与速度方向的夹角称为动
力平衡角（平均章动角）。
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二、动力平衡角的表达式
动力矩定理： r
r dK r u dt M zP
r
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如果平均弹轴向下转动的角速度ω1，与V下降的角速度 & 不相等，则认为弹轴不满足追随运动，因为弹轴与速度之 间的夹角过大。
追随运动必须满足条件：1 &
侧向动力平衡角:
(
Ms)
e
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d
（2）弹丸外形及质量分布情况
气动外形、质量分布、极转动惯量、弹长、阻力臂等
（3）转速比
& 越大，动力平衡角越大。
V
15
四、追随稳定性
过大的动力平衡角不良后果： （1）射程减小，偏流增大； （2）使马格努斯力矩出现较严重的非线性，破坏弹丸的动 态稳定性，使章动角沿弹道发散； （3）增加各种散布因素的影响效果。
pmax [p ]
下
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et
H ( y)V 3Kmz (M )
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§7-5 动态稳定性简介
一、坐标系及坐标变换 1、坐标系
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2、坐标转换
（1）速度系与地面系
分别为弹道倾角和弹道偏角
（2）弹轴系与速度系
（3）弹轴系与弹体系 γ为弹丸的滚转角
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弹轴坐标系与速度坐标系之间的关系
阻力、升力、马氏力、俯仰力矩、赤道阻尼力矩、 极阻尼力矩、马氏力矩 2、重力 3、陀螺效应力矩 4、尾翼导转力矩
20
三、弹丸一般运动微分方程组
1、质心运动方程
（1）速度大小变化方程： v& bxv2 g sin
（2）速度方向变化方程：
&
byv
ibz&
g
cos
v
2、围绕质心运动方程
（1）自转运动方程：&& kxz&v （2）摆动运动方程：A&& M z M zz M y Mt