动态平衡的图解分析法

图1-2 图1-4 G 1F图1-5动态平衡的图解分析法在力学中，经常遇到处于动态平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题。

这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面。

我们知道，当物体受三个共点力作用而处于平衡时，必有表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量（有向线段）依次恰好能首尾相接。

当物体所受三力有所变化而又维持着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变。

比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的关系将一目了然。

所以，作出物体动态平衡时所受三个共点力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形图角法的关键。

动态平衡的力三角形图解通常有三类情况。

类型一：三力中有一个力确定（大小、方向均不变），另一个力方向确定（方向不变）、大小待定，第三个力的大小、方向变化情况均待定例1：如图1-1所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将（ ） A 、逐渐变大 B 、逐渐变小 C 、先变大后变小 D 、先变小后变大分析与解：当绳AB 向上偏移时，使小球有一系列可能的准静态平衡，以小球为研究对象，如图1-2所示，它受绳AB 的拉力T ，小球的重力G ，斜面对小球的支持力N 作用下处于平衡，三力中，小球的重力不变，斜面的支持力方向不变，大小待定，而绳AB 的拉力大小、方向均待定。

用代表这三个力的有向线段作出一簇闭合三角形，如图1-2所示。

方法总结：按受力图1-3，⑴首先画出恒力（大小方向都不变的力），⑵然后在箭头处画出方向不变的力，⑶再次画出表示待定力的一条有向线段，并使它组成一个闭合三角形，⑷最后再补上几条有向线段，⑸并用曲箭头标明变化趋势。

由图可知，随着绳AB 趋于竖直，，其上的拉力先减小后增大，斜面的支持力减小，故正确答案为选项D练习：如图1-4所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角α缓慢地增大到900的过程中（ ） A 、小球对薄板的正压力增大B 、小球对墙壁的正压力减小F 2C 、小球对墙的压力先减小，后增大D 、小球对木板压力不可能小于球的重力 答案：如图1-5所示，正确答案为选项BD ① ① ②① ② ③ ① ②③ ③ ① ② 图1-3图1-1类型二：三力中有一个力确定（大小、方向均不变），另一个力大小确定，方向待定，第三个力的大小、方向变化情况均待定例2：如图2-1所示，质量为m 的小球，用一细线悬挂在点O 处．现用一大小恒定的外力F （F ＜mg ）慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线最大的偏角θ是多少？分析与解：力F 慢慢将小球拉起时，小球可在一系列不同位置处于准静态平衡，以小球为研究对象，如图2-2所示，小球受重力G ，外力F ，细线的拉力T ，三力中，重力恒定（大小、方向均不变），外力大小恒定，方向待定，细线上拉力大小、方向均待定，三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述，如图2-2所示。

方法总结：按受力图2-3 ① 首先画出恒力（大小方向都不变的力），② 然后以箭头端点为圆心，用代表大小恒定力的线段长为半径画出一个圆，并画出一条带箭头的半径，③ 再次画出表示待定力的一条有向线段，并使它组成一个闭合三角形。

④ 最后再画出几个同样的三角形。

由图可知，表示线拉力矢量与重力矢量的线段⑤与线段①间的夹角最大为θ＝arcsin(Ｆ/Ｇ)（线段⑤作为圆的切线时），细线拉力总沿着线，故小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的偏角最大为arcsin(Ｆ/Ｇ)。

练习：如图2-4所示，在“验证力的平行四边形定则”实验中，用两只弹簧秤A 、B 把像皮条上的结点拉到某一位置O ，这时两绳套AO 、BO 的夹角∠AOB 小于90°．现保持弹簧秤A 的示数不变而改变其拉力方向使α角减小，那么要使结点仍在位置O 处不动，就应调整弹簧秤B 的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是（）A 、增大弹簧秤B 的拉力、增大β角B 、增大弹簧秤B 的拉力、β角不变C 、增大弹簧秤B 的拉力、减小β角D 、弹簧秤B 的拉力大小不变、增大β角答案： 如图示-5所示，正确答案为选项ABC ①① ② ①②③ ① ③② ④ 图2-1 TG F 图2-3 图2-2 ⑤ ① 图2-4 β α 图2-5类型三：三力中有一个力确定（大小、方向均不变），另二力方向变化有依据，判断二力大小变化情况例4 如图3-1所示，两根细绳拉住一个小球，开始时AC 水平，现保持两细线间的夹角不变，而将整个装置顺时针缓慢转过090，则在转动过程中，AC 绳的拉力1T F 和BC 绳的拉力2T F 大小变化情况是： A 、2T F 先变大后变小，1T F 一直变小 B 、1T F 先变大后变小，2T F 一直变小C 、1T F 先变小后变大，2T F 一直变小D 、2T F 先变小后变大，1T F 一直变大 分析与解：整个装置顺时针缓慢转过090时，小球可在一系列不同位置处于准静态平衡，以小球为研究对象，如图3-5所示，小球受重力G ， AC 绳的拉力1T F ， BC 绳的拉力2T F ，三力中，重力恒定（大小、方向均不变），两绳拉力均变化，但方向总沿绳，随绳的方位而变化（即变化有依据），做出绳处于各可能位置时对应的力三角形图 由图可知，1T F 先逐渐增大（弦增大直径）后逐渐减小，2T F 一直减小，到转过90°时减为零。

正确答案为选项B方法总结：按受力图3-2，①首先画出恒力（大小方向都不变的力），②将另二力按方向依据来确定力矢量依次首尾相接，③力三角形与相应的几何三角形的性质比照，勾画出闭合的矢量三角形。

练习：如图3-8所示将一个物体用两根等长的轻绳OA 、OB 悬挂在半圆形的架子上，OA 、OB 与竖直方向夹角相同，现使结点O 不动，AB 以相同速率缓慢向顶点C 运动，这一过程中轻绳OA 、OB 弹力大小如何变化 答案：如图3-9所示，合力不变，夹角减小，故OA 、OB 弹力减小图3-1 图3-8 图3-9 ① G 图3-2应用：相似三角形法分析动态平衡问题。

（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

例4．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图4-1所示。

现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( )A ．F N 先减小，后增大B .F N 始终不变C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变解析：取BO 杆的B 端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F )、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N与G 合成，其合力与F 等值反向，如图2-2所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图4-2所示，设AO 高为H ，BO 长为L ，绳长l ,)lF L F HG N ==，式中G 、H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小。

正确答案为选项B练习：如图4-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( D )。

(A)N 变大，T 变小，(B)N 变小，T 变大(C)N 变小，T 先变小后变大(D)N 不变，T 变小图4-1 A图4-2 图4-3动态平衡训练题1．如图所示,硬杆一端铰链固定在墙上的B 点,另一端装有滑轮,重物用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A 点,若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计,将绳的固定端从A 点稍向下移,再使之平衡时,则( )A.杆与竖直墙壁的夹角减小B.绳的拉力减小,滑轮对绳的作用力增大C.绳的拉力不变,滑轮对绳的作用力增大D.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变解答：AC2．如图所示,AC 是上端带定滑轮的固定竖直杆,质量不计的轻杆BC 一端通过铰链接固定在C 点,另一端B 悬挂一重为G 的重物,且B 端系有一根轻绳并绕过定滑轮A,用力F 拉绳,开始时∠BCA>90°,现使∠BCA 缓慢变小,直到杆BC 接近竖直杆AC.此过程中,以下说法正确的是A.绳子越来越容易断B.绳子越来越不容易断C.作用在BC 杆上的压力增大D.作用在BC 杆上的压力大小不变解答：BD3．如图所示,是用来粉刷墙壁的涂料滚示意图.使用时,用撑竿推着涂料滚沿墙壁上下滚动,把涂料均匀地粉刷到墙壁上.若不考虑撑竿的重量和墙壁的摩擦,而且撑竿足够长.粉刷工人站在离墙壁某一距离处缓缓上推涂料滚,使撑轩与墙壁间的夹角越来越小.该过程中撑竿对涂料滚的推力为1F ,涂料滚对墙壁的压力为2F ,则下列说法正确的是A.1F 、2F 均减小B.1F 、2F 均增大C.1F 减小,2F 增大D.1F 增大,2F 减小解答：A4．手握轻杆,杆的另一端安放有一个小滑轮C,支持着悬挂重物的绳子,如图所示.现保持滑轮C 的位置不变,使杆向下转动一个角度,则杆对滑轮C 的作用力将A.变大B.不变C.变小D.无法确定解答：B5．(1)如图所示,一个倾角为θ的斜面上,放一个重G 的光滑小球,球被竖直的挡板挡住,则斜面对球的支持力的大小是 ，竖直的挡板对球的弹力是 。

(2)若将挡板从竖直位置沿逆时针缓慢旋转至水平位置的过程中,球对斜面的压力、球对挡板的压力如何变化 。

解答：解:(1)受力分析如图,将F N1与F N2合成,其合力与重力等大反向,利用直角三角形边角关系得:F N1sinθ=F N2F N1cosθ=G解得:F N1=G/cosθ；F N2=Gtanθ(2)挡板转动时,挡板给球的弹力F N2与斜面给球的弹力F N1合力大小方向不变,其中F N1的方向不变,做辅助图如右,挡板转动过程中,F N2的方向变化如图中a 、b 、c 的规律变化,为满足平行四边形定则,其大小变化规律为先变小后变大,其中挡板与斜面垂直时为最小.与此对应,F N1的大小为一直减小.综上所述,再根据牛顿第三定律得,在该过程中,球对斜面的压力方向垂直斜面指向斜面不变,大小始终减小.球对挡板的压力方向始终与挡板垂直指向挡板,大小先变小后变大.6．如图所示,A.B 是两个完全相同的光滑金属球,放在竖直挡板和倾角为θ的斜面之间,均处于静止状态.现缓慢逆时针转动挡板,在挡板由图示的实线位置转到虚线的过程中,下列说法正确的是A.A 球对挡板的压力一直变大,A.B 两球间的弹力保持不变B.A 球对挡板的压力一直变小,A.B 两球间的弹力保持不变C.A 球对斜面的压力一直变大,B 球对斜面的压力保持不变D.A 球对斜面的压力一直变小,B 球对斜面的压力保持不变解答：BD7．如图所示,重为G 的物体用两根绳子0A 、OB 悬挂,开始时绳OA 水平,现将两绳同时顺时针缓慢转过900,始终保持α角大小不变,且物体始终静止,绳OA 的拉力为T 1,绳OB 的拉力为T 2,则在此旋转过程中不可能发生的是A.T 1先减小后增大B.T 1先增大后减小C.T 2逐渐减小D.T 2最终变为零解答：A 8．用与竖直方向成θ角(θ＜45°)的倾斜轻绳a 和水平轻绳b 共同固定一个小球,这时绳b 的拉力为1F .现保持小球在原位置不动,使绳b 在原竖直平面内逆时转过θ角后固定,绳b 的拉力变为2F ；再转过θ角固定,绳b 的拉力为3F ,则 A B θθ θ θ aA.1F =3F >2FB.1F <2F <3FC.1F =3F <2FD.1F >2F >3F解答：:A9．如图所示,轻绳一端系在质量为m 的物块A 上,另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN 的圆环上.现用水平力F 拉住绳子上一点O,使物块A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置,但圆环仍保持在原来位置不动.在这一过程中,环对杆的摩擦力1F 和环对杆的压力2F 的变化情况是A.1F 保持不变,2F 逐渐增大B.1F 保持不变,2F 逐渐减小C.1F 逐渐增大,2F 保持不变D.1F 逐渐减小,2F 保持不变解答：:B10．如图所示，轻绳OA 的一端系在质量为m 的物体上，另一端系在一个套在粗糙水平横杆MN 的圆环上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体从图中实线位置缓慢上升到图中虚线位置，但圆环仍保持在原位置不动.在这一过程中，拉力F ，环与横杆间的静摩擦力f 和环对杆的压力N 的变化情况可能的是 ：A.F 逐渐增大，f 保持不变，Ｎ逐渐增大B.F 逐渐增大，f 逐渐增大，Ｎ保持不变C.F 逐渐减小，f 逐渐减小，Ｎ保持不变D.F 逐渐减小，f 逐渐增大，Ｎ逐渐减小解答：B11．如图所示，用绳OA 、OB 和OC 吊着重物P 而处于静止状态，其中绳OA 水平，绳OB 与水平方向成θ角.现用水平向右的力F 缓慢地将重物P 拉动，用A F 和B F 分别表示OA 绳和OB 绳的张力，则A.A F 、B F 、F 均增大B.A F 增大，B F 不变，F 增大C.A F 不变，B F 减小，F 增大D.A F 增大，B F 减小，F 减小解答：B 12．如图所示，支杆BC 的下端用铰链与墙相连，另一端装有小滑轮，系住重物的绳子跨过定滑轮固定在墙上A 点，整个系统处于平衡状态，杆BC 、滑轮和绳的质量、摩擦力都可以忽略不计，绳的拉力为F ，杆受的压力为N ，在把A 点稍稍向下移，使系统处于另一平衡状态的过程中A.F 和N 都增大B.F 减小，N 增大C.F 不变，N 增大D.F 和N 都减小解答：C13．我国国家大剧院外部呈椭球型。