自然数前n项p次方求和公式
最新自然数幂次方和公式
12 自然数幂次方和的另一组公式3摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给5 出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数6 至今仍是递推公式表达。
7 89 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出11 来。
12假设自然数幂次方和可以写成以下形式13∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）14那么同理可应有：15∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(11116 那么：17∑∑=+=++--=-=pk k n k pk k n k n n p C A C A S S n 111111 18[]∑∑==+++=-=pk k n k pk k nk n k pCA CCA n 111111920∑==pk kn k p C A n 121 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中：23)1).....(1(k n n n C kn -+-=24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
25分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有：2601111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k pt k ktk tk k tk pk ktk pC A C A C A C A t27∑==tk kt k pC A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
28 （2)29∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t。
30 （3）31这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
自然数平方和公式是如何推导的？
自然数平方和公式是如何推导的？大家都知道自然数前n项和公式：1 2 ... n=n(n 1)/2。
它的推导方法很简单，就是利用所谓的倒序相加法（据传德国大数学家高斯在其读小学的时候就已经独自想出这一方法）。
令Sn=1 2 3 ... (n-2) (n-1) n则Sn=n (n-2) (n-1) ... 3 2 1所以2Sn=(1 n) [2 (n-1)] [3 (n-2)] ... [(n-2) 3] [(n-1) 2] (n 1) (*) 注意到1 n=2 (n-1)=3 (n-2)=...=(n-2) 3=(n-1) 2=n 1也就是说（*）式右边每一项均等于n 1，一共有n项，因此有2Sn=n(n 1)，所以Sn=n(n 1)/2。
即：1 2 ... n=n(n 1)/2。
但是对于自然数前n项的平方和公式，恐怕很多朋友就不是很清楚了，现在推导如下。
首先回顾一个重要公式，两个数的和的立方展开式(a b)^3=a^3 3*(a^2)*b 3*a*(b^2) b^3 所以：(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 12^3=(1 1)^3=1^3 3*1^2 3*1 13^3=(2 1)^3=2^3 3*2^2 3*2 14^3=(3 1)^3=3^3 3*3^2 3*3 1......(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 1等式左右两边相加得，消掉相同的立方项得：(n 1)^3=1^3 3*(1^2 2^2 ... n^2) 3*(1 2 ... n) n令Sn=1^2 2^2 ... n^2，则(n 1)^3=1 3Sn 3n(n 1)/2 n化简后易得Sn=n(n 1)(2n 1)/6即：1^2 2^2 ... n^2=n(n 1)(2n 1)/6顺便说一句，利用同样的方法还可以得出1^3 2^3 ... n^3=n^2*(n 1)^2/4=[n(n 1)/2]^2=(1 2 ... n)^2这是一个非常有趣的结论，大家可以自己尝试去证明一下！。
自然数平方之和公式推导
自然数平方之和公式推导自然数平方之和公式是一个重要而又有趣的数学问题。
在研究这个问题时，我们可以通过生动的推导来深入理解这个公式的原理。
首先，我们要明确什么是自然数。
自然数是从1开始的整数，即1, 2, 3, 4, 5, …。
我们的目标是找到自然数平方之和的公式。
我们可以从最简单的情况开始推导。
假设我们要计算前n个自然数的平方和，即1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2。
我们先观察一下这个序列的模式。
当n为1时，我们只有一个项，即1^2，结果为1。
当n为2时，我们有两个项，即1^2 + 2^2，结果为1 + 4 = 5。
当n为3时，我们有三个项，即1^2 + 2^2 + 3^2，结果为1 + 4 + 9 = 14。
我们可以发现如下的规律：每增加一个数，我们就要多加上这个数的平方。
也就是说，前n个自然数的平方和可以用前n-1个自然数的平方和再加上n的平方来表示。
即 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (n-1)^2) + n^2 。
这样，我们就找到了自然数平方之和的递推关系。
我们可以通过逐步计算，不断应用这个递推关系，将问题规模逐渐缩小，直到计算出我们所需要的结果。
举个例子，我们来计算前4个自然数的平方和。
根据递推关系，我们可以将这个问题分解为计算前3个自然数的平方和再加上第4个数的平方。
即 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = (1^2 + 2^2 + 3^2) + 4^2 。
然后，我们继续计算前3个自然数的平方和。
根据递推关系，我们可以将这个问题分解为计算前2个自然数的平方和再加上第3个数的平方。
即 1^2 + 2^2 + 3^2 = (1^2 + 2^2) + 3^2 。
再继续计算前2个自然数的平方和。
根据递推关系，我们可以将这个问题分解为计算前1个自然数的平方和再加上第2个数的平方。
前n个自然数的平方和公式
前n个自然数的平方和公式咱们来聊聊前 n 个自然数的平方和公式，这可是数学里挺有趣的一个部分。
话说我以前教过一个学生，叫小李。
小李这孩子吧，聪明是聪明，但有时候就是有点急躁。
有一次上课，我讲到了前 n 个自然数的平方和公式，他一脸迷茫。
我就给他举了个例子，说咱们来算一算前 5 个自然数的平方和。
那就是 1 的平方加上 2 的平方加上 3 的平方加上 4 的平方再加上 5的平方。
1 的平方是 1 ， 2 的平方是 4 ， 3 的平方是 9 ， 4 的平方是16 ， 5 的平方是 25 ，把它们加起来，1 + 4 + 9 + 16 + 25 ，算出来是55 。
那要是一个一个这么算，数字多了可就麻烦啦。
所以就有了前 n 个自然数的平方和公式，它能让咱们轻松算出结果。
这个公式是：\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]咱们来验证一下这个公式哈。
比如说还是算前5 个自然数的平方和，把 n = 5 代入公式里，\[ \frac{5×(5 + 1)×(2×5 + 1)}{6} = \frac{5×6×11}{6} = 55 \]，你看，和咱们刚才一个一个加起来的结果一样，这就说明这个公式是对的。
那这个公式是怎么来的呢？这就得用到一些数学方法啦。
咱们可以用数学归纳法来证明它。
先看当 n = 1 的时候，左边是 1 的平方，就是 1 ，右边是\[ \frac{1×(1 + 1)×(2×1 + 1)}{6} = 1 \]，左边等于右边，公式成立。
假设当 n = k 的时候公式成立，也就是\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots +k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\]那当 n = k + 1 的时候，左边就是\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k + 1)^2\]，把前面的\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2\]用咱们假设的式子替换，就得到\[ \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2\]，经过一番化简，最后能得到\[ \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\]，这正好就是 n = k + 1 时公式右边的式子。
自然数平方之和公式推导
自然数平方之和公式推导摘要：1.引言2.自然数平方和公式的推导过程3.结论正文：【引言】在数学领域，自然数平方和公式是一个非常有趣的公式。
它可以帮助我们计算前n 个自然数平方的和，从而为我们解决一些实际问题提供便利。
那么，如何推导自然数平方和公式呢？接下来，我们将详细地介绍自然数平方和公式的推导过程。
【自然数平方和公式的推导过程】我们先从最简单的情况开始，即当n=1 时，自然数平方和公式为：1^2 = 1当n=2 时，自然数平方和公式为：1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5当n=3 时，自然数平方和公式为：1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14通过观察以上例子，我们可以猜测自然数平方和公式的一般形式为：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = (1 + 2 + 3 +...+ n)^2现在，我们需要证明这个猜测。
为了证明这一点，我们可以使用数学归纳法。
首先，当n=1 时，等式成立：1^2 = (1)^2假设当n=k 时等式成立，即：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k)^2我们需要证明当n=k+1 时等式仍然成立：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2 + (k+1)^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k +(k+1))^2将等式右侧展开：(1 + 2 + 3 +...+ k + (k+1))^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k)^2 + 2 * (1 + 2 + 3 +...+ k) * (k+1) + (k+1)^2由于我们已经假设当n=k 时等式成立，所以：(1 + 2 + 3 +...+ k)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2因此，我们只需要证明：2 * (1 + 2 +3 +...+ k) * (k+1) + (k+1)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+k^2 + (k+1)^2这可以通过数学归纳法证明。
自然数幂次方和公式
自然数幂次方和公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1自然数幂次方和的另一组公式摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用kn C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。
由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用kn C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用knC 表达出来。
假设自然数幂次方和可以写成以下形式∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）那么同理可应有：∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(111那么：∑∑=+=++--=-=pk k n k p k k n k n n p C A C A S S n 111111 []∑∑==+++=-=pk k nk pk k nk n k pCA CCA n 11111∑==pk kn k p C A n 1因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p 次多项式，其中：)1).....(1(k n n n C k n -+-=这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有： 01111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k pt k ktk tk k tk pk k tk pC A C A C A C A t∑==tk kt k pC A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
（2) ∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t。
（3）这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
自然数n次幂的求和公式及其因式分解的matlab求解
自然数n次幂的求和公式及其因式分解的matlab求解
一、求解自然数n次幂的求和公式
自然数n次幂的求和公式，又称为等比数列求和公式，是数学中一个重要的求和公式，它可以解决许多数学上的复杂问题。
自然数n次幂的求和公式可以表示为：
Sn = (a1(1-an+1))/(1-a)
其中，a1表示等比数列的首项，an+1表示等比数列的末项，a表示等比数列的公比。
二、自然数n次幂的求和公式的因式分解
自然数n次幂的求和公式可以分解为两个主要因式：
（1）等差数列求和因式：
Sn = n(a1+an)/2
（2）等比数列求和因式：
Sn = a1/(1-a)
其中，a1表示等比数列的首项，an+1表示等比数列的末项，a表示等比数列的公比。
三、matlab求解自然数n次幂的求和公式
在matlab中，可以使用等比数列求和因式来求解自然数n次幂的求和公式，具体的操作步骤如下：
（1）输入等比数列的首项a1以及公比a；
（2）确定等比数列的末项an+1：an+1=a1·a^n；
（3）计算自然数n次幂的求和公式：Sn = a1/(1-a)；
（4）输出结果：Sn。
下面我们通过matlab程序来求解一个等比数列的求和公式。
假设等比数列的首项a1=2，公比a=2，求n=4时的求和公式。
代码如下：
a1=2; %等比数列的首项
a=2; %等比数列的公比
n=4; %自然数的次幂
an=a1*a^(n-1); %等比数列的末项
Sn=a1/(1-a); %自然数n次幂的求和公式
fprintf('Sn = %d\n',Sn)
执行结果如下：
Sn = 8。
自然数的和的公式
自然数的和的公式自然数的和是一个数学中的基本概念，也是我们在日常生活中常常会遇到的问题。
对于自然数的和，有一个著名的公式可以用来求解，即高斯求和公式。
高斯求和公式是由数学家高斯提出的，它可以用来快速求解自然数的和。
根据高斯的思路，我们可以将自然数按照相邻的两个数进行配对，例如1和n，2和n-1，3和n-2，以此类推，直到配对到中间的两个数。
每一对数的和都是相同的，都等于n+1。
而根据自然数的个数，可以知道共有n/2对数。
因此，自然数的和可以表示为：S = (n/2) * (n+1)。
这个公式的推导并不复杂，可以通过数学归纳法来证明。
首先，当n=1时，显然1的和为1，公式成立。
然后，假设当n=k时，公式成立，即1+2+...+k = (k/2) * (k+1)。
接下来，我们来证明当n=k+1时，公式也成立。
将自然数的和从1到k+1进行拆分，可以得到：1+2+...+k+(k+1) = [(k/2) * (k+1)] + (k+1) = [(k+1)/2] * (k+1)。
因此，当n=k+1时，公式也成立。
根据数学归纳法，我们可以得出结论，对于任意正整数n，公式都成立。
这个公式的应用非常广泛。
在数学领域，它常常用于计算自然数的和，特别是对于大规模的求和问题，使用这个公式可以大大简化计算过程。
在计算机科学中，自然数的和也是一个常见的问题，使用高斯求和公式可以提高计算效率。
此外，这个公式还可以应用于统计学、物理学等领域，用于计算各种数列的和。
除了高斯求和公式，还有其他一些求和公式可以用来计算自然数的和。
例如等差数列求和公式和等比数列求和公式。
等差数列求和公式适用于公差为1的等差数列，可以通过将首项和末项相加，再乘以项数的一半来计算。
等比数列求和公式适用于公比不为1的等比数列，可以通过将首项乘以公比的幂次方减去1，再除以公比减1来计算。
自然数的和是一个重要的数学概念，它在数学、计算机科学和其他学科中都有广泛的应用。
自然数幂和公式伯努利数
自然数幂和公式伯努利数自然数幂和公式与伯努利数（Bernoulli numbers）之间有着紧密的联系。
伯努利数是一个在数学中经常出现的数列，其定义与自然数的幂和公式有关。
首先，我们来看自然数幂和的定义。
对于任意正整数(n) 和(k)，自然数幂和(S_k(n)) 定义为[ S_k(n) = \sum_{i=1}^{n} i^k ]即前(n) 个自然数的(k) 次幂的和。
伯努利数(B_n) 则是一个无穷数列，其定义与自然数幂和的生成函数有关。
伯努利数的生成函数(B(x)) 定义为[ B(x) = \frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n ]其中(e^x) 是自然对数的底数(e) 的指数函数。
伯努利数与自然数幂和之间的关系可以通过以下公式体现：[ \sum_{i=1}^{n-1} i^k = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k+1}{j} B_j n^{k+1-j} ]这个公式给出了自然数幂和的一个表达式，其中涉及到了伯努利数(B_j)。
这个公式在(k \geq 2) 时成立，对于(k = 1) 的情况需要特别处理，因为此时(B_1 = -\frac{1}{2}) 会导致分母为零。
伯努利数的前几项是：(B_0 = 1), (B_1 = -\frac{1}{2}), (B_2 = \frac{1}{6}), (B_3 = 0), (B_4 = -\frac{1}{30}), (B_5 = 0), (B_6 = \frac{1}{42}), (\ldots)。
可以看出，伯努利数的绝对值交替出现，且随着(n) 的增大而逐渐减小。
伯努利数在自然数幂和的计算中起到了关键的作用，它们提供了一种有效的方法来求解自然数幂和的问题。
同时，伯努利数也在其他数学领域，如数论、组合数学和微积分等中有着广泛的应用。
自然数幂和公式推导
]
(利用(12)式)
即当 = + 1时，原式也成立。
综合①、②知(16)式成立。
【自然数幂和的公式形式】
利用 可以把 写成
=∑
(−1)
(17)
在加之二项式定理( + ) = ∑
=
!
=
=∑
∑
!
[
∑
!
∑
( ≥ 1)，得
∑
(−1)
(−1)
∑
(−1)
546
4536
22449
67284
118124
9
45
870
9450
63273
269325
723680
10
55
1320
18150
157773
902055
3416930
11
66
1925
32670
357423
2637558
13339535
12
78
2717
55770
749463
6926634
44990231
(5)
= + +
(6)
【组合积和
】
设( + 1)( + 2)( + 3) ⋯ ( + ) = ∑
。其中 称为组合积和，可看作韦达定理的特例。
显然有
=
(7)
= !
(8)
=1
(9)
当 > 时，
=0
(10)
自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。
有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
数列自然数乘方和公式
数列自然数乘方和公式数列自然数乘方和公式在数学中是一个非常有用的工具，可以用来求解很多数学问题。
这篇文章将详细介绍数列自然数乘方和公式的概念、公式推导、应用以及一些常见问题的解答等。
概念数列是指按照一定规律排列形成的一列数字，自然数是指从1开始的整数。
数列自然数乘方和公式则是指把自然数的某个次方项按照一定规律相加的公式，它可以用来求解各种与数列有关的问题。
例如，当次方项为2时，数列自然数乘方和公式可以写成：1 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。
当次方项为3时，则可以把数列自然数乘方和公式写成：1 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = (n(n+1)/2)^2。
公式推导推导数列自然数乘方和公式的方法有多种，这里我们就以求解平方和的公式为例来详细介绍一下。
1 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6首先，我们可以利用数学归纳法来证明这个公式。
当n=1时，显然1的平方和就是1，即1=1(1+1)(2×1+1)/6成立。
假设n=k时这个公式成立，我们要证明n=k+1时这个公式也成立。
当n=k+1时，根据数列自然数平方和公式，有：1 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 + (k+1)^2= k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 // 利用假设假设k时该公式成立= (k+1)(k+2)(2k+3)/6可以看到，当n=k+1时，上述公式也是成立的。
因此，数列自然数平方和公式得证。
应用数列自然数乘方和公式可以应用于很多实际问题中，以下列举了一些常见的应用场景：1. 求自然数的平方和这是数列自然数乘方和公式最常用的应用场景之一。
平方和可以用来求解很多与数学有关的问题，比如证明勾股定理、求出圆的面积等等。
2. 求自然数的立方和自然数的立方和也是一个很有用的公式，它可以用来求解很多与物理、工程学有关的问题，比如求出质点转动惯量、计算钢管的截面积等等。
自然数N次方求和公式推导
试推导a a a ni a n i +++=∑= 211公式第一步：1121122111111)1()1()1()1(])1()1()1()1([)1(-----+-------+-++-+-+=-+-++-+-+-=--a a aa m a m ama aa aaa aa ma m ama aaaaa n Cn CnC nC n CnC n C n n n n第二步：Cn C n n n n n n n n n n n n n n n n m n m m n n n n n n m n m m n m n n n n n n m m n m n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a aa a -=---++-+-+=------++---+---+=----++--+++--+--+=+---++--+-++---+--=+--++--+-++---+--=++++1])1(23121[])1()[1(])1([)23(2)23()12(1)12(1)]1(][)1([)]()1[()2)(23()1)(12(1)1()1(2)()1()2(2)1(2)1(11)1)(12()]()1[(2)]2()1[(1)]1([21])1([)1(])1[()23(2)12(1a a a a a a a a n n n m m m C --⨯-++-+⨯++-⨯+-⨯= 上式中由第一步可得112112211112112211112112211)1()1()1()1()1()1(3)1(3)1(3)1(323)1(2)1(2)1(2)1(212-----+-------+-------+---+-++--+=---+-++--+=--+-++--+=-a a aa m a m ama aa aaaa a a a m a m a m a a a a a a a a a a m a m a m a a a a a a n C n CnC nC n n C C C C C C C C第三步：)]1(21[)1(])1(3221[)1(])1(3221[)1(])1(3221[)1(])1(3221[])1()1()1()1()[1(])1(3)1(3)1(3)1(3[2])1(2)1(2)1(2)1(2[1112111122221111112112211112112211112112211-+++-+-++⨯+⨯-++-++⨯+⨯-++-++⨯+⨯-+-++⨯+⨯=-+-++-++-+-+-+-++-++-+⨯+-+-++-++-+⨯=---------+-----------+-------+-------+--n C n n C n n C n n C n n C n C n C n C n C n C C C C C CC C C aaa a a a m a m a m a m a m a a a a a a a a a a a a m a m a m a a a a a a a a m a m a m a a a a a a aa m a m ama aa an i C i C iCiCiCi a ni i i C i i C i i C i i C n n n C n n C n n C n n C ani a a a ni a a a ni ma m a mni a a ni a a ni a a ni a n i n i a a a ni m a ni m a m a m ni a ni a a ni a ni a a a a a a m a m a m a m a m a m a m a m a a a a a a a a a a a a a a )1()1()1()1()1()1()1()1(][)1(][)1(][)1(][)]1(21[)1()]()22()11[()1()]()22()11[()1()]()22()11[()1()]()22()11[(11112112111123121121111112121111121121111122212111121212121111-+-+-++-++-+-+=-+-+--++--++--+-=-+++-+-++-+--++-++-+--++-++-+--+-++-+-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=+-=-+-=-++=-+=-+==-==--=--=-+=-=-=-=------------+---------第四步：将第三步C 值代入第二步得])1()1()1()1()1()1([11112112111123121121111n i CiCiCi C i C i a n i ani a a a ni a a a ni ma m a mni a a ni a a ni a a ni a -+-+-++-++-+-+-=∑∑∑∑∑∑∑=+-=-+-=-++=-+=-+=+=ni CiCiCi C i C n i a a ni a a a ni a a a ni m a m a mni a a ni a a a ni a 11121211311211231112111)1()1()1()1()1()1(-=+-=-+-=--++=-+=-++=-+-+-++-++-++=+∑∑∑∑∑∑1)1()1(1)1(2)1(3)1(211112122311112211111+-+-+--+++-++-+++=-=--=--=--+=-=-+=∑∑∑∑∑∑a n i a C i a C i m C iC i C a n i a n i a aa n i a a a n i m a m a m ni a ani a aa ni a利用此公式可得30105630)133)(12)(1(424)]1([6326)12)(1(3452142342132312n n n n n n n n n i n n n n n i n n n n n n i ni ni ni -++=-+++=++=+=++=++=∑∑∑===24271412324)2463()1(4272121642)1363)(12)(1(1256212)122()1(24678234221735673416245622215n n n n n n n n n n n i n n n n n n n n n n n i n n n n n n n n i ni ni ni +-++=+--++=+-++=+-+++=-++=-++=∑∑∑===利用公式可得：ni CiCiCi C i C i C n a n i a C i a C i m C i C i C i a n a ni a a ani a a a ni m a ma mni a a ni a a ni a a a a n i a aa n i a a a n i m a m a m n i a a n i a a ni a a 111121111111231311212111111112211111223111211)1()1()1()1()1()1()1(01)1()1(1)1()1(3)1(2)1()1(10+=+=-+-=+-+=-+=-+=+++=-=--=+--=-=-=+-+-+-++-++-+-+-+=+-+-+--++-++-+-+-++=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑令a+1=p ，则有ni CiCi C i C i C i C n p ni p pp ni p pp ni m p m pm ni p p ni p p ni p p p 111212231111332122111)1()1()1()1()1()1(-=--=--=--+=-=-=--+-+-++-++-+-+=∑∑∑∑∑∑ (1)另外p p n n ]1)1[(+-=)1(]12)2()1[(]12)2()1[(]12)2()1[(]12)2()1[(12)]2()1[(])2()1[(])2()1[(])2()1[()2(1)1()1()1()1()1()1(1222221111112221111222211-+++-+-++++-+-++++-+-+++-+-+=+-+-++-+-++-+-+-+-+-=+-+-++-++-+-+-=-------------------------n n n C n n C n n C n n C n n n C n n C n n C n n C n n n C n C n C n C n C n n p p m P m P m P m P m p P P P P p P P P P p p p p p m P m P m p P P p P P p p p p p p p m P m p P p P p p pn i CiCiCiCn n i p pn i mp m pn i p pn i p pp++++++=∑∑∑∑-=--=--=--=-1111111221111 (2)n i C i C i C i C n C n C n C n C n ni p p ni m p m p ni p p ni p p p p m p m p p p p p p ++++++=++++++∑∑∑∑=-=-=-=-----11112211112211由（2）式可得出计算)321(aa a a n ++++ 的另一递推式：]111132[1)1(11122112211111++++-++++++-++=∑∑∑∑∑∑=-=-=-=-=-+=a n i aC i a C i m C i C i C a n i ni a a ni a a ni ma m a ni a a ni a a a ni a（1）式加（2）式得到])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[()(211112111212321111111131323112122111111n n i i C i i C i i C i i C i i C i i C n p n i ni p p p n i ni p p p n i m p ni m p m m p n i p n i p pn i p n i p p n i p n i p p p +-++-++-+++-+++-++-++=--==---==---=--=--+-=-=--=-=--=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（1）当p 为奇数时，有pn n p C n i p C nkC nik C n Cn i Cn Cn i p n p p ni p p kp k p k p ni k p k p p p p ni p p p p p ni p p+--+--++-+--++-+-+-+-=--=-----+-=+------=-----=-∑∑∑∑)2(1)2(2)2(2)2(12)2(4)2(3)2(2)2(212123121211211222143131321211111（2）当p 为偶数时，有)2(1)2(2)2(2)2(12)2(4)2(3)2(2)2(12123121211211222143131321211111n i p C n p CnkCni k CnC n i C n C n i p n n i p p p p kp k p k p ni k p k p p p p ni p p p p p ni p p --+--++-+--++-+-+-+-=∑∑∑∑=-------+-=+------=-----=-令p-1=a ，由上面两式可得到下面两式： （1）当a 为偶数时，有1)1(2)1()2(1)1(222)1()2(12)1(24)1()2(3)1(2221112212231212221221233221221111+-+-+---+++-+-+-++-+--++++=---=----+-=----=--+=∑∑∑∑a n n a C n i a C n k C n i k C n C n i C n C n a n i a a aa ni a aa k a k a k k a n i k a k a k a aa ni a aa aaa ni a（2）当a 为奇数时，有)2()1(21)1(222)1()2(12)1(24)1()2(3)1(22211122231212221221233221221111ni a C na C n k C n i k C n C n i C n C n a n i ni a aa a aa k a k a k k a ni k a k a k a aa n i a a a a a a ni a --+--+++-+-+-++-+--++++=∑∑∑∑=------+-=----=--+=从上面两式可以看出：（1p+2p+…+n p）展开式中无n a-2、n a-4、n a-6……项。