垂直与圆的直径

填空 名称 线段
是否是轴对称图形
是 是
是 是
矩形
正方形 圆
探究 一 请拿出准备好的圆形纸片，沿着它 的直径翻折，重复做几次，你发现了 什么？由此你能得到什么结论？
结论：1、 圆是轴对称图形。 2、任何一条直径所在直线都是它的 对称轴。 3、它有无数条对称轴。
A
?
B
已知：CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O 上点C、D以外的任意一点. 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在的直线都是它的对称轴.
解： OE
AB
A E B
在Rt △ AOE 中
2 2
1 1 AE AB 8 4 2 2
2
AO OE AE
O
·
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
变式：如上图.若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 直击中考：（2014年广东中考14）在⊙O中，已知半径为5， 弦AB的长为8，那么圆心O 到AB的距离为 ；
30 M P A Q
分析：要证圆是轴对称图形， 只需要证明圆上任意一点关于 直径所在直线（对称轴）的对 称点也在圆上.
A
C
O E
B
D
证明：过点A作AB⊥CD交⊙O于点B，垂足为E ，连接OA、OB. C 在△OAB中 ∵OA=OB 等腰三角形 O ∴△OAB是 __________ A B 又∵AB⊥CD E ∴AE= _____ EB ( 三线合一 ) D ∴CD是AB的 _____________ . 垂直平分线 即对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD 的对称点B ∴⊙O关于直线CD对称 即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴.
O
C E D B
.
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
A
证明：作OE垂直于AB交AB于 点E ∵AO=BO
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
∴△ABO是等腰三角形 ,CE=DE
∴AE=BE ∴AE-CE=BE-DE 即AC=BD
O A
C
E
D
B
二、能力训练：
例：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的 历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径？你能利
用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?
解：如图，用表示主桥拱.设所在圆的圆心为O,半径为 R.过圆心O作AB⊥OC，D为垂足，OC与相交于点C， 连接OA. 垂径定理 ，D是AB的中点，C是的中点，CD就是 根据 ________ 拱高. 由题意得， AB=37m， CD=7.23m 1 1 18.5cm 37 = _____ ∴AD=___ AB=____ 2 2 ∴OD = OC- CD= R-7.23 在Rt△OAD中，由勾股定理，得: 2 2 2 OA AD OD ___________________ 2 即：( R )= 18.5+（R -7.2 3）. 27.3 （m）， 解得 R≈ _____ 答：赵州桥的主桥半径约为27.3 ___ m.
CE OC OE
2
2

5B ∴CD=2CE= 6
6.已知⊙O的直径是20cm, ⊙O的两条平 行弦AB=12cm.CD=16cm,则它们之间的 2cm 或14cm 距离 ______.
A
E
B
C
A
E F
O
B
.O
C
F
D
D
通过这节课的学习， 你有哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． 证明： ∵ OE AC OD AB AB AC OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
1 1 AE AC，AD AB 2 2
探究二 在圆形纸片上作直径CD,弦AB⊥CD 1、你发现了什么？ 2、由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？ 发现： 1、垂直于弦AB的直径CD所 在的直线 是⊙O的对称轴。 2、AE=BE AC= BC, AD= BD
猜想
C
O
A
E
B
D
已知：在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB。
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 证明： 连结OA,OB ∵ CD⊥AB ,OA=OB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AE=BE ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称 ∴当圆沿着直径CD折叠时, 点A和点B重合， AC、AD分别与BC、BD重合。
结合本节课的内容，我们要明确弦长a,弦心距 d,半径r及其弓形高h之间的关系
C
r d ( )2
2 2
a
2
r
O
d
技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路: （由）垂径定理—构造直角三角形 —（结合）勾股定理—建立方程
A
a
2
E
B
h
D
必做题： 1.教科书习题 24.1 2.练习册56-57 选做题：如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且 ∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖 拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉 机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音 影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ N 第 8，9 题．
3，如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD A C 证明：∵AO=BO CO=DO
∴AO-CO=BO-DO 即AC=BD
D O
B
变式1：如图，若将 AB 向下平移，结论 AC=BD还成立吗？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
B
推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧。
一、基础训练：
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
D O
B
O
O A D E B
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
注意：定理中的两个条件（过 圆心，垂直于弦）缺一不可！
2. 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
⌒ AD ⌒ = BD, ∴ AC = BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A
验证
垂直于弦 CD 所在的直线 ⌒ ⌒ AB的直径 ⌒ ⌒ 是⊙O的对称轴。 C
·
E D
O
B
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。
结论
几何语言
∵CD过圆心(CD为直径)，CD ⊥ AB， C AC= BC, AD= BD ∴AE=BE， 注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可 O 反之：∵ CD过圆心，且AE=BE A E ∴ CD⊥AB， AC= BC, AD= BD D
C
又
∵AC=AB
E
∴ AE=AD
·
D B
O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
三、拓展训练：
5.如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
于E，若AE=9， BE=1， 求CD的长。
解：连接OC ∵AE=9,BE=1 ∴AB=AE+BE=10 ∴OC=OB=5 ∴ OE=OB-BE=4
C O A
E
D
B
在Rt △ COE 中