初中数学《最短距离问题》教学设计

初中数学《最短距离问题》教学设计
课题分析
（1）最短距离问题是初中数学的重要内容之一，也是中考命题的重点之一。

学生已有两点之间线段最短的基本知识，故本课应对从直观认识的基础上，着重在不同背景的实际问题中应用，从而渗透化归的数学思想方法。

（2）通过本节的学习，类比、构造、化归转化等数学思想方法的渗透，使学生体会到数学中的美学意义，不断提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。

学情分析
（1）知识基础：学生了解两点之间线段最短等基本知识点，但此后的学习很少涉及此内容，所以学生对此内容的应用较为陌生，所以学生通过本课的学习，须掌握能在不同背景的实际问题中应用。

（2）能力基础：学生的作图能力还是读图能力，添加适当的辅助线、创造适合的条件去在不同背景的实际问题中应用的能力比较薄弱的，这些能力都必须得到加强。

（3）心理基础：因为陌生而害怕，学生在这部分的学习上存在心理的障碍，这不利于学习，故要在题目的设置上让学生更容易得到成就感，才会让学生敢于动手，达到学好的信心，要充分调动学生的积极性。

教学目标
知识目标：掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用。

技能目标：学习过平移、轴对称、旋转三种图形变换，利用图形变换能解决一些最短距离问题。

情感目标：引导学生对图形观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.体会数学的对称美，体验化归的思想方法，培养合作精神。

重点难点
重点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用
2.利用图形变换能解决一些最短距离问题
难点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用
2.体验化归的数学思想方法
教学手段
1.运用多媒体辅助教学
2.运用合作学习的方式，分组学习和讨论
3.调动学生动手操作，帮助理解
准备工作
1.几何画板课件，辅助难点突破
2.学生自带剪刀，圆规，直尺等工具
教学设计策略
依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。

教学步骤及说明
、创设情境1，引发兴趣：
【教师】：同学们，现在老师这儿有一问题，你能为我分忧吗？
问题1：（1）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶（如图1），居民区A、B在街道的两侧奶站应建在什么地方，才能使它到A、B距离之和最短？
【学生】齐读题目后，争先恐后地说出方法。

【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。

创设情境2，培养探索。

【教师】你们一定感到问题简单，下面的问题你会回答吗？
（2）如果居民区A、B在街道的同侧（如图2），奶站应建在什么地方，才能使它到A、B距离之和最短？
（注：找一名学生板演，其余学生在位上做）
【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。

【说明】这样设计，使学生亲身感知两点之间线段最短的简单应用，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。

启发引导，攻克难点：
【教师】请同学们再看第三个问题：（3）小聪根据实际情况，以街道旁为x 轴，建立了如图3所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，1），B点的坐标为（3，3），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是
你认为又该如何做呢？
【学生】自由讨论
【教师】点拨：最短距离问题“两点之间线段最短”
【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。

【说明】：这样设计（1）为了让学生明白对称所起的重要作用，从而很自然地应用两点之间线段最短去解。

（2）为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

引导学生，基础演练：
【教师】如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE=2，点P在BD上，则PE+PC的最小值为。

分析：运用图形的“对称性”找点P，再计算。

【学生】带着老师提出的问题，结合前面的知识会很认真地去解，寻找答案。

【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成应用数学的能力。

层层加深，注重转化：
【教师】问题2：要在两条街道a和b上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？
【说明】这样设计是为了培养学生学会如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对转化运用做好铺垫。

数形结合，基础演练：
在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D（n，0），当四边形ABCD的周长最短时，则m+n=。

挑战自我，能力提升：
要在一条河上修一座垂直于河岸的桥，河岸两旁有A、B两村，要使从A 到B的距离最短，桥应该修在那个位置。

能力提升：如图，当四边形PABN的周长最小时，a=？解题小结：“平移”转化的思想。

【说明】这样设计是为了培养学生学会如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对转化运用做好铺垫。

直击中考，综合应用：
例题：（2009年衢州市）如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线上.
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C （-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.
【点拨】第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。

答案见参考图。

①方法一，A′关于x轴对称点A〞使A′C+CB′最短，点C应在直线A〞B′上；
方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点C位置，求CQ=14/5，即抛物线左移14/5单位；
②设抛物线左移b个单位，则A’（-4-b，8）、B’（2-b，2）。

∵CD=2，∴B’左移2个单位得到B″（-b，2）位置，要使A′D+CB’最短，只要A′D+DB″最短。

则只有点D在直线A″B″上。

【说明】以上例题的设计，主要是为了培养学生分析问题，解决问题的能力，同时进行一题多解训练，以达到学以致用的目的。

【说明】这样设计主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力
归纳小结，回味课题：
1.在求最短路线时，我们采用的的方法是什么？
2.本课你有何收获与困惑？
【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，同时从同学间汲取方法与知识。

课后反思：
本课的教学是运用“探究性学习方式”的教学. “诱”是“思”的出发点，“思”是“诱”的归宿。

本课的主线应是诱导学生独立思考，并不断把“思”引向深入。

本节课首先通过问题1巩固知识点，设计由易到难，难度逐层加深的引题2与3，使学生学会用两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用能力。

其中以学生做、练为主，体现学生的主体地位。

而学生通过一题多解、多题一解等途径，加深对数学思想方法的理解，在问题条件的不断变换中拓宽思路；归纳升华例题的结论、类比推广同类数学问题的解题方法，把“思”引向更高的境界.以认知过程中的“三个层次要素”作为学生学习活动的主线，又灵活运用了“三个贯穿要素”：设置学习情境，诱导学生在行为上全身心投入认知过程，既满怀激情又实现了“互动”，不断引导学生由感性认识到理性认识，再到迁移应用的能力，体现了教学的规律性和艺术性。

较好完成任务，学生能基本掌握其方法，特别是例题1较好达到如期效果，而在例题中，学生对如何寻找点，这一难点能较好突破，但学生作图的基本功不够，虚线、实线的应用较混乱。

整节课上，学生的思维活跃，实现“思”是“诱”的归宿。

在教学媒体的设计上，本节课利用几何画板软件制作多媒体课件，并使用实物投影仪、三角板、若干直线型实物等辅助教学。

几何画板课件可以随时随地按学生的回答添加辅助线，色彩更鲜明、清晰，避免课堂完全成为老师思维过程的
再现，有利于发挥学生的能动性、创造性，培养学生良好的思维品质，同时对学生产生成功感、自豪感都极为有利。

不足之处：学生未能完成课堂练习，在总结所学的知识点时，没有给学生更多的讨论时间，还有部分学生不能准确提炼出方法。