一元二次不等式及其解法(实根分布)
高三数学一元二次方程、解不等式、根的分布知识精讲
一元二次方程、解不等式、根的分布例1：解下列方程： （1）26540x x --= （2）22460x x +-=（3）22(1)(2)0x k x k k -+++=（4）2(2)20ax a x -++=（注意：对参数a 要分类讨论） 例2：解不等式： （1）23140x x --> （2）(2)(23)3x x -+≤ （3）22|1|50x x ---≥ （4）2(1)0x x a a --->解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1例3：关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集． 解：由题设0<a 且25-=-a b ， 1=ac从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-acx a b x 即：01252<+-x x ∴221<<x 例4：关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。
解：当a >0时不合； 当a =0也不合∴必有：⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 310)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a例5：若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
解：显然k =0时满足 而k <0时不满足201364(8)0k k k k k >⎧⇒<≤⎨∆=-+≤⎩ ∴k 的取值范围是[0,1]例6：设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)例7：设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围。
第九讲一元二次不等式及其解法
第九讲 一元二次不等式及其解法基础梳理1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aR ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 双基自测1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为 ．2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是 ．3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是 ．4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝ ．5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．考向一 一元二次不等式的解法【例1】►已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．考向四 求解含参数不等式的恒成立问题 【例4】►设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数．本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．【试一试】 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．基础检测1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．2．若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是________．3．若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．5．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．第2讲一元二次不等式及其解法【2013年高考会这样考】1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．【复习指导】1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法．基础梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．双基自测1．(人教A版教材习题改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为()．解析∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.故原不等式的解集为(1,2)．2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． 解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． 解析 ∵9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，∴9x 2＋6x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13.4．(2012·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．解析 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝(－2)×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28.5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0.∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1.考向一 一元二次不等式的解法 【例1】►已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．[审题视点] 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0， 当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝⎛⎭⎫x －2a ＜0， 即0＜x ＜2a .当a ＜0时，2a＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a＜x ＜0. 考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． [审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2， 所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立， 只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【示例】►(本题满分14分)(2011·浙江)设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数．本题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验，因为f ′(x 0)＝0，x 0不一定是极值点；对于(2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多．[解答示范] (1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋(x －a )2x ＝(x －a )(2ln x ＋1－ax)．(2分)因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以f ′(e)＝(e －a )⎝⎛⎭⎫3－ae ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(4分)(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立．(5分)②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得3e －2e ln (3e )≤a ≤3e ＋2eln (3e )(6分)由(1)知f ′(x )＝x －a ⎝⎛⎭⎫2ln x ＋1－ax .(8分) 令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a3e ≥2 ln(3e)＋1－3e ＋2eln (3e )3e ＝2⎝⎛⎭⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.(9分)又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e,1＜x 0＜a .从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增． 所以要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要 ⎩⎪⎨⎪⎧f (x 0)＝(x 0－a )2ln x 0≤4e 2，(1)f (3e )＝(3e －a )2ln (3e )≤4e 2，(2)成立．(11分) 由h (x 0)＝2ln x 0＋1－ax 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0.(3)将(3)代入(1)得4x 20ln 3x 0≤4e 2.又x 0＞1，注意到函数x 2ln 3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x 0≤e. 再由(3)以及函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a ≤3e.由(2)解得，3e －2e ln (3e )≤a ≤3e ＋2eln (3e ).所以3e －2eln (3e )≤a ≤3e.(13分)综上，a 的取值范围为3e －2eln (3e )≤a ≤3e.(14分)．本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．【试一试】 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．[尝试解答] (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1＞0恒成立．(2)若x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，∴g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减．∴g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4. (3)若x ＜0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3.设h (x )＝3x 2－1x 3，则h ′(x )＝3(1－2x )x 4，∴h (x )在[－1,0)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (－1)＝4，从而a ≤4. 综上所述，实数a 的值为4.基础检测1．(2014·苏州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，1－x 2＞0，解得－1＜x ＜－1＋ 2.答案：()－1，－1＋22．(2014·南通期末)若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是________．解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b 2－12b ＞0即可，解得b ＜0或b ＞34.3．(2013·南京、淮安二模)若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x ＞1，则ln x ＞0，于是2ax －1≥0，即a ≥⎝⎛⎭⎫12x max ，所以a ≥12；若0＜x ＜1，则ln x ＜0，于是2ax －1≤0，即a ≤⎝⎛⎭⎫12x min ，所以a ≤12.综上所述，a ＝12.4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.5．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． ．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1. ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2， 即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6， x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·连云港模拟)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．4．(2014·泰州质检)设实数a ≥1，使得不等式x |x －a |＋32≥a 对任意的实数x ∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是________．1．解析：由题意可得：Δ＝a 2－8a >0， 得a <0或a >8.当a <0时，对称轴x 0＝a 2<0，且f (0)＝2a <0. 故A 中两个整数只能为－1,0.故f (－1)＝1＋3a <0，f (－2)＝4＋4a ≥0，得－1≤a <－13. 当a >8时，x 0＝a 2>4，设A ＝(m ，n )．由于集合A 中恰有两个整数n －m ≤3.即a 2－8a ≤3，即a 2－8a ≤9.得8<a ≤9故对称轴4<a 2<5， 又f (2)＝4>0，f (3)＝9－a ≥0故A 中的两个整数为4和5.故f (4)<0，f (5)<0，f (6)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 25－3a <016－2a <036－4a ≥0，解得253<a ≤9. 综上a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦⎤253，9. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦⎤253，9 4．解析：(1)当1≤a ≤32时，显然符合题意． (2)当a ≥2时，原不等式可化为x (a －x )≥a －32. 取x ＝1，成立．当x ∈(1,2]时，a ≥x 2－32x －1＝x ＋1－12(x －1). 而函数f (x )＝x ＋1－12(x －1)在(1,2]上单调递增，故a ≥f (2)＝52. (3)当32＜a ＜2时，原不等式可化为 ①⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤a ，x (a －x )≥a －32或 ②⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤x ≤2，x (x －a )≥a －32.参照(2)的过程解不等式组①得a ≥a ＋1－12(a －1)， 解得1＜a ≤32，矛盾，舍去； 由不等式组②得a ≤x 2＋32x ＋1＝x －1＋52(x ＋1). 同上可得－1≤a ≤32，矛盾，舍去． 综上所述，1≤a ≤32或a ≥52. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞。
【数学课件】一元二次不等式及其解法
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。
1.若函数 f ( x) kx 6kx (k 8) 的定义 域为R,求实数k的取值范围.
2
解:要使函数f(x)有意义,则必有
kx 6kx (k 8) 0
2
因为函数f(x)的定义域为R,所以 2 kx 6kx (k 8) 0 对一切 x R 恒成立. ①当k=0,不等式8>0对一切 x R 恒成立.
易错题
1.函数 f ( x) log 1 ( x2 kx 2) 的定义域为R,
2
求实数k的取值范围.
2
(2 2, 2 2)
2.函数 f ( x) log 1 ( x kx 2) 的值域为R,
2
求实数k的取值范围.
(, 2 2] [2 2, )
例题选讲
例2.当m取什么实数时,方程 4x2 (m 2) x (m 5) 0
C {x | x 4ax 3a 0}, 若 A
2 2
B C ,求实数a
的取值范围.
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法基础知识1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表二、常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一 一元二次不等式的解法 考法(一) 不含参数的一元二次不等式[典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4；[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为}342|{≤≤-x x .(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式[典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a )1(ax -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{ax x <<； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a ＞1时，不等式的解集为}11|{<<x ax . [题组训练]1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.}291|{≥-≤x x x 或 B.}291|{≤≤-x x C.}129|{≥-≤x x x 或D.}129|{≤≤-x x 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是}129|{≤≤-x x .故选D. 2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是]31,21[--，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.)21,31( D.)31,(-∞∪),21(+∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为)4,(a--∞∪),3(+∞a ； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为)3,(a --∞∪),4(+∞-a. 考点二 一元二次不等式恒成立问题 考法(一) 在R 上的恒成立问题[典例] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[)2,2(-C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [答案] C解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[典例] 若对任意的x ∈[)2,1(-，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，0] C ．),1[+∞[ D DD D ．]1,(-∞(解析] 法一：令f (x )＝x 2－2x ＋a ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3，故选A.法二：当x ∈[)2,1(-]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立，则由题意，得a ≤(－x 2＋2x )min (x ∈[)2,1(-])．而－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则当x ＝－1时，(－x 2＋2x )min ＝－3，所以a ≤－3，故选A. 答案] A [解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . 考法(三) 给定参数范围求x 范围的恒成立问题[典例] 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0(|a |≤1)恒成立的x 的取值范围． 解] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4，综上可知，使原不等式恒成立的x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． [解题技法]给定参数范围求x 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． [题组训练]1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3,0)D ．[－4，＋∞)解析：选A x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝x 2－4x ，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取到最小值，为－3，∴实数m 的取值范围是(－∞，－3]，故选A. 2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：)0,22(-3．不等式(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立，则x 的取值范围是________．解析：由题意知(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立等价于(x 2－4x )a －3x 2＋2x ＜0对a ∈(0,1)恒成立．令g (a )＝(x 2－4x )a －3x 2＋2x ，当x ＝0时，g (a )＝0，不满足题意．当x ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝－3x 2＋2x ≤0，g (1)＝(x 2－4x )－3x 2＋2x ≤0，得x ≤－1或x ≥23.答案：(－∞，－1]∪),32[+∞ [课时跟踪检测]1．(2019·石家庄模拟)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( )A ．[－1,0)B ．[－1,2)C ．(0,1]D ．[1,2)解析：选C 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C. 2．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.}231|{≤≤x x B.}312|{≤>x x x 或 C.}231|{<≤x x D ．{x |x <2} 解析：选C 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.3．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.}231021|{<≤≤<-x x x 或 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.}2321|{<<-x x D.}2321|{≥-≤x x x 或 解析：选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.4．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A.}3121|{-<<-x x B.}2131|{-<->x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 解析：选A 由题意得⎩⎨⎧5a＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x－1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为}3121|{-<<-x x ，故选A. 5．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,(-∞)B B ． (－∞，－6]]C ． ]2,6[-D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析：选D 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16， 所以每件销售价应为12元到16元之间．7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( )A ．1 B.14 C.12D ．－1解析：选C 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－m －3m <0，f (1)＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m ≤12，所以m的最大值为12.故选C.8．(2018·北京东城区期末)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆]3,1[，则a 的取值范围为( )A.]511,1(- B.)511,1( C.)511,2( D ．[)3,1( 解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[]3,1[]， 所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，f (1)≥0，f (3)≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为]511,1(-，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}． 答案：{x |0<x <2}10．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________． 解析：因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )． 答案：(a ，－a )11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．解析：关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤ a 5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80， 所以实数a 的取值范围是[45,80)． 答案：[45,80)12．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]13．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12， 所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为)23,21(-。
一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数 且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式 的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、 不等式的性质以及数轴等方法，逐步 化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平 面区域来表示，通过确定临界点和约 束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物 线的开口方向和顶点坐标来表示，一 元高次不等式的解集可以通过相应函 数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不 等式的解集，有助于解决复杂的不等 式问题。
THANKS FOR WATCHING
函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到 一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体 等问题时，可以通过一元二次不等式来描述 物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一 元二次不等式可以用来描述波的传播范围以 及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为 两个一次不等式的乘积形式，从而求解 。
人教版高中数学课件：1.5二次方程实根的分布法(一元二次不等式解)
的图象
x
0
x
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。 [解]：设x1,x2为方程的两根，则由题意可得：
x x 3 2 2 5m x1 x 2
1 2
9 40 m 0
1
m
9 40
2
x [错因分析]： 1 1 , x 2 1 x1 x 2 1 请同学们思考一下：这种解法错在哪里？
解该不等式组。
小结：
1、适用范围：含有参数的一元二次方程。 2、考虑要素：△、对称轴、a f ( k i ) 3、解题步骤： ①构造相应的二次函数。 ②分析题意，列出等价的不等式组。
③解此不等式组。
作业：
⒈关于x的方程x +ax+a-1=0有异号的两个实根，求a的
2
取值范围。
⒉已知方程 3 x 2 ( k 5 ) x k 0 的两根 x1 , x 2 满足
9 40 m 1
9 m 40 3 2 2 5m 3 1 0 2 2
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。 [另解]:用图象法,令 f ( x ) 2 x 对称轴为
x 3 4
0 b k1 k2 2a a f ( k1 ) 0 a f (k ) 0 2
y
0
x1
k1
k2
x2
x
y
x1
0
k1
k2
x2
x
⒌ 两个实根有且仅有一根在区间 ( k 1 , k 2 ) 内
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
一元二次不等式及其解法(二)
综上1≤m<19.
【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为a
0, 0.
（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为a00,.
返回
设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值 都成立，求x的取值范围. 解:
返回
如何研究根的分布问题？
0
x
2
-m 2
2
f(2) 0
(m - 2)2 - 4 (5 - m) 0, m -2
4 (m - 2) 2 5 - m 0
m 4或m -4
m -2
5 m -4.
m -5
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【评析】本题是一元二次方程的实根分布问题，充分反映 了一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不 等式的解集三者之间的密切关系，是一个应用数形结合思 想解题的典型实例.
【解析】①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1. 若m=-5,则函数化为y=24x+3.对任意实数x不可能恒大 于0. 若m=1,则y=3>0恒成立.
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②当m2+4m-5≠0时，据题意应有
m2 4m - 5 0
16(1-
m)2
-
12(m2
4m
-
5)
0.
∴1<m<19.
m -5或m 1 1 m 19
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高三数学一元二次不等式及其解法
(2)求方程ax bx c 0(a 0)的根,
2
并画出对应二次函数y=ax bx c图象的简图
2
(3)由图象得出不等式的解集
课堂小结
1. 从实际问题中建立一元二次不等式， 解一元二次不等式； 2. 能把一元二次不等式的解的类型归 纳出来.
课后作业
1. 阅读教材P.78-P. 79； 2. 作业.p80第1题
2
则ax bx c 0的解集可记忆为"大于在两边",
2
ax bx c 0的解集可记忆为"小于在中间"
2
思考:
1. 不等式x2－5x＜0、二次函数y＝x2－5x、 一元二次方程x2－5x＝0之间有什么关系？
2.二次函数，一元二次方程，一元二次不 等式之间有什么的关系 3. 如何解一元二次不等式？
湖例:
例2. 解不等式 4(2x2+2x＋1)＞x(4－x).
解:原不等式可化为:9x 4 x 4 0
2
128 0, 方程 9x 4 x 4 0无实数根
2
原不等式的解集为 R
讲解范例:
例3. 解不等式
1 2 x 2 5 x6 1 x2 x6 ( ) ( ) . 2 2
水是生命之源，人类在生活和生产活动中都离不开水，生活饮用水水质的优劣与人类健康密切相关。随着社会经济发展、科学进步和人 民生活水平的提高，人们对生活饮用水的水质要求不断提高，饮用水水质检测/jcxm/102013228.html 标准也相应地不断发展和完善。由于生活饮用水水质标准的制定与人们的生活习惯、文化、经济条件、科学技术发展水平、水资源及其 水质现状等多种因素有关，不仅各国之间，而且同一国家的不同地区之间，对饮用水水质检测的要求都存在着差异。 我见过最其貌不扬的女人啊。夸张这一词已经不能形容她脸上的装扮了，我能保证，现在要是随意地刮起一阵风，准能把她脸上的胭粉 吹出十厘米厚，搞不好直接弄出个大雾天气什么的；再说到她的身材，我不知道是长得变形了还是怎样了，这不正是一个超级标准的三 角棱边椎体吗？她的大肚腩应该比在场的所有男子都要大吧？看罢，我忍不住仔细地揉着自己的眼睛，丑的不可方物东西还是得赶紧从 我眼中抹掉才行。鼠头人见到这丑妇人，立刻换了一张嘴脸，笑嘻嘻地迎了上去，说到：“傅大少奶奶，你要小的办的事，小的已经办 妥了。”不会吧？如此其貌不扬的女人竟是傅家大少爷的老婆，这，这傅家大少爷是个瞎子吧？这是我第一时间想到的最为合理的解释 了。“嗯，那就好，我们必须给那小丫头来个下马威，让她好认清自己在我们傅家是处于一个怎样的地位，想来我们家过好日子，那可 是门都没有。”丑妇人说了一连串的话后，转身准备离开。“这个，傅大少奶奶，小的要有一事要禀告。”鼠头人那恭敬谦卑的语气实 在是让我很不习惯。“恩？还有什么事没办好吗？”丑妇人不耐烦地责问道。“倒不是什么大事，只是仁家那边的人全搬来我们傅家了， 那么他们家的下人我也弄了过来当自己家的仆人使唤，你说这”鼠头人试探性地说道。哇靠，心中不禁爆了一句脏话，原来之前鼠头人 理直气壮地说我已经是傅家的仆人这事是他擅自决定的，你这货当我是什么啊？也罢，其实我也算是自愿跟来的，不然自己没地方落脚， 那就更惨了。丑妇人听罢，往我这边看了过来，我依稀感到她在打量着我，但我实在不愿去瞧她一眼，因为那是一种折磨。不久，丑妇 人张口说道：“傅庶啊，这人是男还是女的啊？”我被这突如其来的问话吓着了，但仔细想想，这也不能怪她。因为我是穿越来的，头 发就这么丁点长，虽说已经穿上了这个时代的衣服，只是这奇怪的发型配上我这张有点萝莉的脸蛋，加之我的气场也让人觉得我像是个 女人罢了。只是我也在好奇，为什么仁家的人没对我的奇特造型而感到惊奇呢？也许是有吧，但是他们却没问起。也许这就是好人与二 货的区别吧。哎，说回来，这丑妇人也真刺到我的弱处了。“这”鼠头人被问得有点为难，一时半会不知如何答话。“小的见过傅大少 奶奶。”我急中生智，就开口先向丑妇人作了一礼。“哎呦，真是作孽啊，这一听声音才知道你这厮是个男的。”丑妇人带着蔑视地语 气嘲笑道。我忍了吧，这货我是真心惹不起，我猜这女人应该是有着掌管全府上下全部日常生活大小事的权利吧，得罪她的话，可能自 己是怎么死的我都不知道。“傅庶啊，这厮长得挺有意思的，就留下他做仆人吧，刚才见他挺会说话的，应该是个聪明的种，把他带下 去
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
一元二次不等式及其解法实根分布
（1）化正——把二次项系数化成正数；
（2）求根——解对应一元二次方程； （3）定范围——根据对应的二次函数的大
致图象及不等号的方向，写出解集.
第六页
若方根有“一根”或 “无根”，则用 “图象法”解不等式，应注意“三个二次”形 式上的统一.
第四页
求根 (△) ——画图 (a)——定范围
【例1】解不等式：（1）3x2-7x≤ 10
（2）3x+5x> x2
【注】①化为一般式ax2+bx+c>0(a≠0)； ②三个“二次”形式上的统一.
第五页
例2：解不等式 x2 2x 3 0 化正x2 2x 3 0
一元二次不等式及其解法实根 分布
第Байду номын сангаас页
求根 (△)——画图 (a—) —定范围
对于ax2+bx+c>0（a≠0）
①求对应方程ax2+bx+c=0的根； ②由a的正负定开口画出对应函数y=ax2+bx+c的图 象； ③由不等式ax2+bx+c>0的“不等号>”选择x轴上方 图象，写出对应的x的范围。
第二页
求根 (△) ——画图 (a)——定范围
判别式 =b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c
（a>0）
>0 y
x1
x2 x
0 y
x x1=x2
<0 y
x
一元二次方程 ax2+bx+c=0
有两个相异的
实根x1，x2 x1<x2
ax2+bx+c>0
一元二次不等式及其解法
第一课时
探究新知：
解不等式： x 5x 6
2
解：原不等式可变形为：x 5x 6 0
2
方程x 5x 6 0的两个根为：
2
x1＝2，x2＝3
∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.
探究新知： 二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式是一个有机的整体。通过函数把方程与不等 式联系起来，我们可以通过对方程的研究利用 函数来解一元二次不等式。 方程的解即对应函数图象与x轴交点的横坐 标;不等式的解集即对应函数图象在x轴下方或 上方图象所对应x的范围,且解集的端点值为对 应方程的根。
,
a a 16 x1 2 显然 x1 x 2
2
；
,
a a 2 16 x2 2
a a 2 16 a a 2 16 固：
1 1、若0 a 1, 则不等式（x a） ( x ) 0的解是（ A ） a 1 1 A．a＜x＜ C．x＞ 或x＜a a a 1 1 B． ＜x＜a D．x＜ 或x＞a a a
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
2
二、按判别式 的符号分类，即分 0, 0, 0 三种情况
三、按对应方程 ax bx c 0 的根 x1 , x 2 的大小分类，即分 x1 x2 , x1 x2 , x1 x 2 三种情况．
2
1 2a 2 1 3 a
一元二次方程实数根的分布
第一课时：一元二次方程实数根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。
教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→−转化图形问题−−→−转化代数表达式（不等式组）−−→−计算参数取值范围。
教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。
一、问题的提出若方程0)5()2(2=++++m x m x 的两根均为正数，求实数m 的取值范围.变式1：两根一正一负时情况怎样？变式2：两实根均大于5时情况又怎样？变式3：一根大于2，另一根小于-1时情况又怎样？问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根，如若从二次函数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数2()0(0)f x ax bx c a =++=≠ 的抛物线与x 轴交点的横坐标.一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较.二、一元二次方程实根分布仿上完成下表一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 实根分布图解三、练习1.m 为何实数时，方程02)1(2=+++m x m x 的两根都在-1与1之间.2、若方程0)3()1(2=-++-a x a x 的两根中，一根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围.四、小结基本类型与相应方法：设 )0()(2≠++=a c bx ax x f ，则方程0)(=x f 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：五作业：1．关于x 的一元二次方程222320ax x a ---=的一根大于1，另一根小于1.则a 的值是 （ ）（A ）0a >或4a <- （B ）4a <- （C ）0a > （D ）40a -<<2．方程227(13)20(x k x k k k -++--=为常数）有两实根,αβ，且01α<<，12β<<，那么k 的取值范围是 （ ）（A ）34k << （B ）21k -<<- （C ）21a -<<-或34k << （D ）无解3．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m = .4.若关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是m ＝5. 方程2(21)(6)0x m x m +-+-=的一根不大于－1，另一根不小于1.试求：（1）参数m 的取值范围；（2）方程两根的平方和的最大值和最小值. 第二课时 一元二次方程实数根分布的应用一复习二、例子例1 已知实数a 、b 、c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b +的取值范围.解 由已知得1a b c +=-且222222()()(1)(1)22a b a b c c ab c c +-+---===-.所以,a b 是一元二次方程22(1)()0x c x c c --+-=的两根. 由a b c>>问题可转化为方程22(1)()0x c x c c --+-=的二根都大于c .令()f x =22(1)()x c x c c --+-，有2212()0(1)4()0c cf c c c c -⎧>⎪⎪>⎨⎪∆=--->⎪⎩ 即22123203210c c c c c c ->⎧⎪->⎨⎪--<⎩， 求得103c -<<，因此4(1,)3a b +∈.例2已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x mx m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛)解： 显然直线AB 的方程为1(04)44x y x +=<<即4y x =-，代入抛物线方程并整理得2(1)(3)0x m x m +-+-=.设2()(1)(3)f x x m x m =+-+-，问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间有两个不同的交点，即方程2(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根. 所以2(1)4(3)0(0)30(4)164(1)30104.2m m f m f m m m ⎧∆=--->⎪=->⎪⎪⎨=--+->⎪-⎪<<⎪⎩ 解得m 的取值范围是1733m <<. 例3关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=的两个实数根为,αβ，证明：①如果||2,||2αβ<<，那么2||4a b <+且||4b <；②如果 2||4a b <+且||4b <，那么||2,||2αβ<<.(1993年全国高考题)证明 ①设2()f x x ax b =++，由已知，函数()y f x =的图象与x 轴在2-到2之间有两个不同的交点. 所以240,(1)22,(2)2(2)420,(3)(2)420.(4)a b a f a b f a b ⎧∆=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-+>⎪=++>⎪⎩由(3)、(4)得(4)24b a b -+<<+，所以2||4a b <+.由(2)，得||4a <，结合(1)得2416b a <<，所以4b <. 将(3)+(4)得4b >-，因此44b -<<，即||4b <.②由于2||4a b <+且||4b <，可得4,2||448b a <<+=，所以||4a <，222a -<-<. 即函数()f x 的图象的对称轴2a x =-位于两条直线2x =-，2x =之间.因为(2)(2)(42)(42)2(4)0f f a b a b b -+=+++-+=+>，22(2)(2)(42)(42)(4)40f f a b a b b a -⋅=++-+=+-> .所以(2)0,(2)0f f ->>. 因此函数()f x 的图象与x 轴的交点位于-2和2之间，即||2,||2αβ<<.作业1．已知抛物线2(4)2(6),y x m x m m =++-+为实数.m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点都位于点(1,0)的右侧？2．已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2()f x ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A 、B. 若A 、B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值.第三课时 应用提高例1若方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，求实数k 的取值范围. 解法一：方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，即方程0232=--k x x 在[]1,1-上有实根，设k x x x f --=23)(2，则根据函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标等价于方程0)(=x f 的根. （1）两个实根都在[]1,1-上，如图：可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≥≥-≥∆1210)1(0)1(0a b f f ，解得2169-≤≤-k ； （2）只有一个实根在[]1,1-上，如图：可得0)1()1(≤⋅-f f ，解得 2521≤≤-k ，综合（1）与（2）可得 实数k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,169 解法二：方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，即存在[]1,1-∈x ，使得等式x x k 232-=成立，要求k 的取值范围，也即要求函数[]1,1,232-∈-=x x x k 的值域. 设[]1,1,1694323)(22-∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==x x x x x f k 又因，则)1(169-≤≤-f k ， 可得25169≤≤-k . 解法三：令,232x x y -=则k y =，则方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=k y x x y 232在[]1,1-上有实数解，也即等价于抛物线,232x x y -=与直线k y =在[]1,1-上有公共点，如图所示直观可得：25169≤≤-k .解法四：根据解法三的转化思想，也可将原方 程k x x =-232化成k x x +=232，然后令 k x y x y +==23,2，从而将原问题等价转化为 抛物线2x y =与直线k x y +=23在[]1,1-点时，“数形结合法”下去求参数k 的取值范围.根据图形直观可得：当直线k x y +=23过点)1,1(-， 截距k 最大；当直线k x y +=23与抛物线k x y +=23相切时，截距k 最小. 且169,25-==最小最大k k .故参数的取值范围为25169≤≤-k . 2已知实数a 、b 、c 满足021a b c m m m++=++，其中m 为正数.对于2()f x ax bx c =++. (1)若0a ≠，求证：()01m af m <+； (2) 若0a ≠，证明方程()0f x =在(0,1)内有实根.证明 (1)由021a b c m m m ++=++，求得()21am bm c m m =-+++，所以 222222211()[()()][()][]11112(1)2m m m m m af a a b c a a m m m m m m m m m=++=-=-+++++++ 又由22(1)20m m m +>+>，因此22110(1)2m m m -<++，故()01m af m <+. (2)要证明方程()0f x =在(0,1)内有实根，只须证明(0)(1)0f f ⋅< 或 (0)0,(1)0,0,0 1.2af af b a >⎧⎪>⎪⎪∆≥⎨⎪⎪<-<⎪⎩但两者都不易证明. 由01(0)1m m m <<>+，结合第(1)题()01m af m <+，对a 进行讨论： 当0a >时，有()01m f m <+. 只要证明(0)f c =和(1)f a b c =++中有一个大于零即可. 若0c >，则(0)0f >成立，问题得证；若0c ≤，由021a b c m m m ++=++求得(1)(1)2a m c m b m m++=--+，所以 (1)(1)(1)22a m c m a c f a b c a c m m m m ++=++=--+=-++. 由0,0,0a m c >>≤，知(1)0f >，命题得证. 故当0a >时，方程()0f x =在(0,1)内有实根. 同理可证，当0a <时，方程()0f x =在(0,1)内也有根.。
2.2一元二次不等式的解法
8-0.62r
即3.1r2-41r+100≤0
=>100/31≤r≤10
因此，所求的r取值范围是[100/31，10]
练习1
某旅店有200张床位，若每床一晚上租金27元， 则可全部出租；若将出租收费标准每晚提高10 的整数倍，则出租的床位会将减少10的相应倍 数张。若要是该旅店某晚的收入超过10000元， 则每个床位的出租价格应定在什么范围内？
△
图
△＞0
x1=
不等式解集为 ｛x｜x＜x1 或x＞x2｝
不等式解集为 ｛x｜x1＜x＜ x2}
像
△=0 x 0=
b 2a
与
不等式解集 ｛x|x≠x0, x∈R｝
解集为
解
△＜0
方程无解
不等式解集为 R(一切实数)
解集为
a＜0的情况自己完成
二、典型习题——逆用解不等式
1. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 (-2,3)，求不等式cx2+ax-b<0的解集。 2. 求a,b满足的条件，使得ax2+2x+b>0 的解集为 （1）(-1，2) （2） (-∞,+∞)
不等式怎么解？ ax2＋bx＋c=0
三、解法
例1、解一元二次不等式：x² -x-2>0
(x-2)(x+1)>0
x 2 0 x 2 0 或 x 1 0 x 1 0
代数解法
x ， 1 2，
y=(x-2)(x+1)
几何解法
2
。
2.2一元二次不等式 的解法
(2)
解 不 等 式 x ( a 2) x 2 a 0
一元二次不等式及其解法2
,
试求 a , c 的值，并解不等式
答案
cx 2 x a 0。
a 12 , c 2 解集 x 2 x 3
1.
2.
3.
要求得不等式cx2-bx+a<0的解集，需要做三件事，(1) 确定c的正负情况；(2)求得与不等式相对应的方程cx2bx+a＝0的根；(3)比较方程cx2-bx+a＝0两根的大 小．而以上三件事的解决，可通过开发题设的内涵来 完成
2x 1 1
log 2 x 2 1
4 5
2 ( 2 log
2
x)
二次不等式ax² +bx+c>0的解集是全体实数的 条件是______. a>0时，⊿＝b² -4ac<0
例2 解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.
不等式 x x 0的解集为
3
____ .
x x 0
已知 ax 2 x c 0的解集为
2
1 3
2
x
1 2
作业
• P.89练习 第二题（1）（2）课后练习 第二题（3）（4）写在作业本 • 习题3.2第二题写在作业本
设a≠b,解关于x的不等式： x) ≥[ax-b(1-x)]² .
a² x+b² (1-
解下列不等式 ①2x-a<bx+3； ② 3x 1 ③ 4 5 分b>2；b<2； b=2三种情况
ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (a>0)的解集
{x|x≠
b
2a
}
高三数学一元二次不等式及其解法
(2)求方程ax bx c 0( a 0)的根,
2
并画出对应二次函数y=ax bx c图象的简图
2
(3)由图象得出不等式的解集
课堂小结
1. 从实际问题中建立一元二次不等式， 解一元二次不等式； 2. 能把一元二次不等式的解的类型归 纳出来.
课后作业
1. 阅读教材P.78-P. 79； 2. 作业.p80第1题
2.二次函数，一元二次方程，一元二次不 等式之间有什么的关系
二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系 将下表填充完整:
＝b2－4ac
＞ 0
y
y
＝ 0
＜ 0
y
y=ax2+bx+c (a＞0)的图象 x1 O x x 2 ax2+bx+c＝0 (a＞0)的根 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
；
/ 整木定制
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“马大嫂，你快坐，都是自家人，客气什么。”坐在床上的妻子一边招呼着马大嫂，一边对我说：“苏林，这些天多亏马大嫂照顾，又是接送 女儿上学，又是帮咱扒玉米„„” “马大嫂，谢谢你„„让你受累了。”我望着围在床边的小荷和荷花，歉意地说：“这次出发，来去匆匆，什么也没给孩子们买，真是不好意 思。” “六叔，我什么也不要，就要你家小弟弟。”荷花搂着我的腿，我蹲下身，把她抱起，紧紧地搂在怀里。 “六叔，把小弟弟给我家，好吗？” “不——！小弟弟是我家的，凭什么给你！想要„„让你妈去河边捞。”小荷像只老母鸡保护着小鸡一样守护着床上的弟弟。 “荷花真乖儿，明年让你妈„„一定给你„„捞个小弟弟。” 泪水不由自主的从我的眼里滚了出来„„ “六叔，你怎么哭了？我不要你家的小弟弟了„„六叔，你笑一个给我看„„” “六叔真好，六叔笑了„„” 为了荷花，我是流着泪笑的，其实我的心里比哭还难受。 人逢喜事精神爽，儿子的降临给我增加了人生的力量。这年的春天，我和妻子肖艳筹划着盖座新房。 在农村盖新房是一件人生大事，亲戚朋友都来帮忙。我的岳父和岳母更不例外，提前几天就来帮我出谋划策，照看孩子。劳累了一天的我送走 了前来帮忙的邻舍百居，便筹划起明天的开工计划来。 大哥和二哥陪着我的父亲和岳父在喝茶闲聊。 母亲和岳母在逗着宝根玩（我儿子的乳名叫宝根）。 “锄禾日当午，汗滴禾下土。谁知盘中餐，粒粒皆辛苦。”里屋内传来小荷的读书声，肖艳正在跟小荷背古诗。 “爹，我想明天开始动工。”我凑到茶几前，一边倒茶一边谈我的计划，“明天一早，我们搬家，把屋里的所有东西全都搬出去，八点开始扒 屋„„” “扒屋？扒什么屋？你不是说盖西边的两间空地吗？”听了父亲的话，我知道他又发起浑来。 “爹，我们不是说好了先搬到我家去住„„” 大哥的话还没说完，父亲就摆手拒绝，“你家我不去了，大虎也是二十多的人了，说不准哪一天就领个媳妇来，你往哪儿安排？再说，你家不 是镇上的领导来指导，就是村委的成员去开会，人来人往的，我一个老头子接受不了。” “那就到我家去住吧，我家的大牛二牛都在学校读书，家里可清净了，两间上房任您住。”二哥说得很对，我也很赞成。 父亲却说：“你没白没黑地跑运输，不是早走就是晚归，拖拉机的噪音还不把人烦死！” 我的妈呀，我父亲这是怎么了？我百思不得其解。 “爹，您究竟愿意到谁家住？只要我能办到的，我无条件服从。”我不得不向父亲投降，只要父亲同意扒屋。因为开弓没有回头箭，我想干的 事谁也别想拦住我。
一元二次函数函数的根的分布(有图)
判别式
当判别式Δ=b^24ac大于0时，一元二 次方程有两个不相等 பைடு நூலகம்实根。
当判别式Δ=b^24ac小于0时，一元二 次方程没有实根。
当判别式Δ=b^24ac等于0时，一元二 次方程有两个相等的 实根。
02 根的分布条件
两个实根的条件
总结词
当判别式大于0时，一元二次函数有 两个实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判 别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式 $Delta>0$时，一元二次函数有两个 不相等的实根。
一个实根的条件
总结词
当判别式等于0时，一元二次函数有一个实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式 $Delta=0$时，一元二次函数有一个实根。
无实根的条件
总结词
当判别式小于0时，一元二次函数无实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式$Delta<0$时，一元二次函 数无实根。
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03 根的分布与图像关系
两个实根在图像上的表现
总结词：两个交点
详细描述：当一元二次函数有两个实根时，其图像与x轴会有两个交点。这两个交点的横坐标即为函 数的两个实根。
一个实根在图像上的表现
总结词：一个交点
详细描述：当一元二次函数有一个实根时，其图像与x轴会有一个交点。这个交点的横坐标即为函数的实根。
一元二次函数函数的根的分布(有 图)
目录
• 一元二次函数的基本性质 • 根的分布条件 • 根的分布与图像关系 • 根的分布的实际应用 • 总结与展望
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求根 (△) ——画图 (a) ——定范围
【例1】解不等式：（1）3x2-7x≤ 10 （2）3x+5x> x2
【注】①化为一般式ax2+bx+c>0(a≠0)； ②三个“二次”形式上的统一.
例2：解不等式 x 2 x 3 0
2
化正x 2 x 3 0
2
解一元二次不等式的基本步骤
（1）化正——把二次项系数化成正数；
（2）求根——解对应一元二次方程； （3）定范围——根据对应的二次函数的 大致图象及不等号的方向，写出解集.
求根 (△) ——画图 (a) ——定范围 对于ax2+bx+c>0（a≠0）
①求对应方程ax2+bx+c=0的根； ②由a的正负定开口画出对应函数y=ax2+bx+c的 图象；
③由不等式ax2+bx+c>0的“不等号>”选择x轴 上方图象，写出对应的x的范围。
Hale Waihona Puke 求根 (△) ——画图 (a) ——定范围
判别式 =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c >0 y 0 y <0
y
（a>0）
一元二次方程 ax2+bx+c=0
x1
x2
x
x1=x2
x
x
有两个相异的 实根x1，x2 x1<x2
有两个相等实根 x1=x2
没有实根
ax2+bx+c>0 {x|x>x2或x<x1} 的解集 ax2+bx+c<0 的解集
{x|x1<x<x2}
b {x|x≠ } 2a
R
若ax2+bx+c=0（a>0）有两不等实根x1<x2
1、对于ax2+bx+c>0（a>0）,则取两边；
对于ax2+bx+c<0（a>0）,则取中间.
2、不等式ax2+bx+c>0解区间端点恰 好是对应方程的根； 若方根有“一根”或 “无根”，则用 “图象法”解不等式，应注意“三个二次” 形式上的统一.