大学物理下册 第八章习题课选讲例题

若导线如左图放置, 根据对 称性可知 Φ 0
b 2 b 2
得
M 0
例：如图在截面积为 A 单位长度匝数为 n 的 螺绕环上密绕一边长为 l 的方形线圈中通以交变 电流 I 0 sin t 求螺绕环两端的互感电动势。 已知： , n , l , I cd I 0 sin t A
c d
R
计算得
H
r 2π R
2
dQ dt
B
0r
2π R
2
dQ dt
5
代入数据计算得 I d 1 . 1 A
B 1 . 11 10
T
B O
A C
EOABO
OA
解：联结OA、OB，构成 闭合回路OABO（三角型）或 OACBO（扇型） B d EOABO E k d l dt E k dl E k dl E k dl
AB
E AB
E E OA BO O dB dB 同理 E S ΔABO S ACBOA ACB dt dt 由于SOABO < SACBOA故（D）正确.
（B） 1 2 0
x x x x x x x
x x x x x x
（C） 2 1
（D） 2 1
x . ox
a
b
x
a'
b'
例 如图，导体棒 AB 在均匀磁场中绕通过 C 点 的垂直于棒长且沿磁场方向的轴 O O ' 转动（角速度 与 B 同方向），BC 的长度为棒长的1/3，则 （A）A点比B点电势高
C M N
Ei总
d dt
x
E iMCN E iNM EiMN
B
0I
2 x
O’
I
B +
v
d Ei ( v B ) d l v B d l
ab
v
C
dl
b *'
EiMN
N

a b
v
0I
2 x
dx
M
o
a
o
x
B

例 若用条形磁铁竖直插入木质圆环，则环中 （A）产生感应电动势，也产生感应电流 （B）产生感应电动势，不产生感应电流 （C）不产生感应电动势，也不产生感应电流 （D）不产生感应电动势，产生感应电流
例：如图金属三角形框在均匀磁场中以角速度 绕 ab 边旋转，求回路感应电动势 E 和 a，c 两点间的
R
ln
I
I
r
l
由自感定义可求出
L Φ I
l
2π
ln
R2 R1
R2
P
S
dr
单位长度的自感为

2π
ln
R2 R1
例 在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中, 一无限长直导线与一宽长分别为 b 和 l 的矩形线圈共 面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为 d . 求二者 的互感系数. 问：求谁对谁的互感方便？




B
例 圆柱形空间内有一磁感强度为B的均匀磁场， B的大小以恒定速率变化.在磁场中有A、B两点,其间 可放直导线或弯曲的导线:
B O
（A） 电动势只在直导线中产 生. （B） 电动势只在曲线中产生. （C）电动势在直导线和曲线
A
B
中都产生，且两者大小相等. （D）直导线中的电动势小于 弯曲的导线.
'
0
4L
A
A
B B
例 无限长通电导线与一矩形线框共面（尺寸如 图），电流 I I 0 sin t ，求线框的感应电动势.
解
应用电磁感应定律
Ei dΦ dt
I I 0 sin t
先求出 Φ Φ (t ) 0I B 2 πx d Φ B d S Bb d x 0I bdx 2 πx
（A）顺时针

（B）逆时针
（C）无电流
B
（D）无法判定
例 一个圆形环，它的一半放在一分布在方形 区域的匀强磁场中，另一半位于磁场之外，如图所
示，磁场的方向垂直向纸内，欲使圆环中产生逆时
针方向的感应电流，应使 （A）圆环向右平移 （B）圆环向上平移 （C）圆环向左平移 （D）磁场强度变弱
解：视园环式螺线管为两 个半环式的螺线管串连而成
LI L 2 I L 2 I M 12 I M
21
I
例：如图在一轴上绕有两相同的线圈 AB 和 A’B’，每个线圈的自感均为 L ，求（1）A 和 A’ 相连；（2）A’和 B 相连时的总自感各为多少？
(1 )
(2)
L BB
L AB
'
I 0 sin t
求： Eiab
解：设螺绕环上电流为 I '
B 0 nI '
a b
Leabharlann Baidu
方形线框中磁通量
M 0 nA
Eiab 0 nA dI dt
0 nI ' A MI '
0 nAI 0 cos t
例 有一圆形平行平板电容器, R 3 . 0 cm .现对 其充电,使电路上的传导电流 I c d Q d t 2 . 5 A , 若略去边缘效应, 求（1）两极板间的位移电流;（2）两 极板间离开轴线的距离为 r 2 . 0 cm 的点 P 处的磁 感强度 . 解 如图作一半径 为 r 平行于极板的圆形 回路，通过此圆面积的 电位移通量为
b
I
解 设长直导线通电流 I I
B
d
o x
dx
l
x
2π x
dΦ B ds
I
Φ

d b
d
2π x I ld x 2π x
ld x
b
I
Φ

d b
I
2π x
ln(
ld x
d
d
o x
dx
l
x

Il
2π
b d d
)
M
Φ I

l
2π
ln(
b d d
)
I
l
0 Br d r
2
l
. . v
. d.l . D . . . . . . . . . . * . . O . . . . . . . C
. .
. .
.
Bl
同理
2
2
dl
.
.
.
.
.
v .
E iOD
2 Bl
E iCD E iOC E iOD
.
等效电路
C
E iCD
2 πr
如图在两圆筒间取一长 为 l 的面 PQRS , 并将其分 成许多小面元.
则 d Φ B d S Bl d r
Φ
R
I
I
r
l
d Φ R1
R2
I
2π r
P
ld r
S
R2
dr
Φ
d Φ R1
Φ
R2
I
2π r
R2 R1
ld r
R1
Q
即
Il
2π
W m1 : W m2 1 : 1 W m1 : W m2 1 : 1 W m1 : W m2 1 : 2 W m1 : W m2 2 : 1
例 已知园环式螺线管的自感系数为 L ,若将该 螺线管锯成两个半环式的螺线管，则两个半环式螺线 管的自感系数 （ ） (1) 都等于 L 2 (2) 有一个大于 L 2 ，另一个小于 L 2 (3) 都大于 L 2 (4) 都小于 L 2
0 Iv
2
ln
a b a b
0I
2 x
EiMCN
0 Iv
2
ln
a b a b
问：M、N 两端，何处电势高？
解法二：直接计算半圆弧导线的动生电动势. 0I B B I v + 2 ( a b cos ) C 0 I v d l cos dl (v B ) dl v B 2 ( a b cos ) b * M N o dl bd ,
a
2
a 令： b cos t
d t b sin d
Ei
π
0 Iv b
2
2
sin d ( a b cos )
ln ab ab
0
Ei
0 Iv
2
a b
a bd t
0 Iv
t
例 有两个同轴圆筒形导体 , 其半径分别为 R 1 和 R 2 , 通过它们的电流均为 I ,但电流的流向相反. 设在两圆筒间充满磁导率为 的均匀磁介质 , 求其 自感 L . I R1 解 两圆筒之间 B Q
dΦ dt

0 bI 0 cos t
2π
例 一长为 3 l 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场 中，以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕 O 点旋 转，已知 CO l , OD 2 l 求铜棒两端的感应电动势 .
. . . . . . . . . B
解 EiOC
d
a
B
b
dx
o x
d Φ Bb d x Φ
0I
2 πx bdx
bdx
I I 0 sin t

ad
0I
2 πx ln
d
a
B
d
0 Ib
2π
0
a d d ln a d d
b
0 bI
sin t
dx
o
ln a d d
2π
x
Ei
电势差 U U . a c
B b
l
c
( A)
E
0, U a U c B l
2 2
2 2
2

( B )E 0 , U a U c B l
2
a
( C )E B l , U a U c B l
2
2
2
(D ) E Bl , U a U c Bl
Q
R
Q
Ic
P *r
Ic
Ψ D (π r )
2
D
Ψ
r R
2 2
Q
Id
dΨ dt

r R
2 2
dQ dt
Q
Q
P
Ic
R
*r
Ic
Id
dΨ dt

r R
r
2 2
dQ dt
dQ dt


l
H dl I c I d I d
2 2
H (2 π r )
2
例：如图园盘在均匀磁场中以 角速度旋转， 求盘中心至盘边缘间的感应电动势的大小和方向.
B
R
解: 圆盘在磁场中转 动等效于长为 R 的棒绕过 其端点的轴的转动.
Ei

Ei
1 2
BR
2
方向从圆心向外
例 均匀磁场如图垂直纸面向里. 在垂直磁场的平 面内有一个边长为 l 的正方形金属细线框，在周长固 定的条件下，正方形变为一个圆，则图形回路中感应 电流方向为
A
Ek dl 0
BO
磁场，如图. B 的大小以速率 d B / d t 0 变化，有一长度 为 l 的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab）和2 （ a ' b ' ），则该棒放在这两个位置时棒内的感应电动势 满足
例 在圆柱形空间内有一磁感应强度为 B 的匀强
（A） 1 2 0
D

3 2
Bl
2
* O
C 点电势高于 D 点电势
例 已知半圆导线与长直电流共面（ 如 图），半圆 以匀速 v 沿直导线方向向上运动，求动生电动势 . 解：解法一 B v I + 连接 MN形成一半圆闭合回路
v
C
dl
b
*'
Ei 总 E
N
iMCN
E
0
iNM
M
o
a
o
B
A
O C

B
（B）A点与B点电势相等
（C）A点比B点电势低 （D）由稳恒电流从A点流向B点
o
例 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均 相同，半径分别为 r1 和 r2 ，管内充满均匀介质，其磁 导率分别为 1 和 2 ，设 r1 : r2 1 : 2, 1 : 2 2 : 1 ， 当将两只螺线管串联的电路中通电稳定后，其自感系 数之比 L1 : L 2 与磁能之比 W m 1 : W m 2 分别为 （A） L : L 1 : 1, 1 2 （B）L : L 1 : 2, 1 2 （C）L : L 1 : 2, 1 2 （D）L : L 2 : 1, 1 2