平面几何常用证明方法

平面几何常见证明方法
1,分析法
分析法是从命题的结论入手，先承认它是正确的，执果索因，寻求结论正确的条件，这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程。

分析法主要应用与的几何问题特点主要是：从证明推理的时候出现多个方向，不知道哪个方向能够成功推导到结论，也就是说从正向推导比较迷茫的时候，比较适合用分析法来解决这些问题。

例1 如图2.1.1，四边形ABCD 的一条对角线BD 平行于两对边之交点的连线EF ，求证：AC 平分BD 。

[1]
证明：设AC 交BD 于M ，交EF 于N 则
NF
MD EN BM =，欲证MD BM = 作方向猜测，只需证NF EN =或
1==NF EN MD BM 即可。

但我们意识到这不容易证明， （图2.1.1）
再作方向猜测，欲证MD BM =，只需证明
BM MD MD BM =即可。

而NF
EN MD BM =，从而只需证NF EN BM MD =即可，又只需证NF BM EN MD =即可。

而NF BM CN MC EN MD ==，故得证。

2 综合法
综合法则是由命题的题设条件入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论。

再从已知条件着手，根据已知的定义、公式、定理，逐步推导出结论。

综合法和分析法有些不同的是分析法的思路从结论开始，综合法的思路从题设开始。

例2如图2.2.1设D 是ABC ∆底边BC 上任一点，
则CD BD BC BD AC CD AB BC AD ⋅⋅-⋅+⋅=⋅2
22。

[1]
证明：在ADB ∆和ABC ∆中 BD
AD AB BD AD ADB ⋅-+=∠2cos 2
22 BD
AD AC CD AD ADC ⋅-+=∠2cos 2
22 由ADC ADB ∠-=∠cos cos ，所以 (图2.2.1)
BD
AD AC CD AD BD AD AB BD AD ⋅-+-=⋅-+222
22222
有)()(2
22CD BD CD BD BD AC CD AB CD BD AD +⋅-⋅+⋅=+
将BC CD BD =+代入上式则有
CD BD BC BD AC CD AB BC AD ⋅⋅-⋅+⋅=⋅222，证毕。

在具体证题时，这两种方法可单独运用，也可配合运用，在分析中有综合，在综合中有分析，以进行交叉使用。

由于篇幅有限在此仅归纳方法，并不做详细介绍。

但是有些命题往往不易甚至不能直接证明，这时，不妨证明它的等效命题，以间接地达到目标，这种证题思路就称为间接式思路。

我们常运用的反证法是一种典型的用间接式思路证题的方法。

3反证法
具体地说，在证明一个命题时，如正面不易入手，就要从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，如果由此假设进行严格推理，推导出的结果与已知条件、公式、定理、定义、假设等的其中一个相矛盾，或者推出两个相互矛盾的结果，就证明了“结论反面成立”的假设是错误的，从而得出结论的正面成立，这种证题方法就叫做反证法。

当结论的反面只有一个时，否定了这一个便完成证明，这种较单纯的反证法又叫做归谬法;而当结论的反面有若干个时，就必须驳倒其中的每一个，这种较繁琐的反证法又称为穷举法。

反证法证题通常有如下三个步骤:
(1)反设。

作出与结论相反的假设，通常称这种假设为反证假设。

(2)归谬。

利用反证假设和已知条件，进行符合逻辑的推理，推出与某个已知条件、公理、定义等相矛盾的结果。

根据矛盾律，在推理和论证的过程中，在同时间、同关系下，不能对同一对象作出两个相反的论断，可知反证假设不成立。

(3)得出结论。

根据排除率，即在同一论证过程中，命题C 与命题非C 有且仅有一个是正确的，可知原结论成立。

例3 如图2.3.1已知：在四边形ABCD 中，N M 、分别是CD AB 、的中点，
且)(2
1CD AB MN +=。

求证：BC AD ∥ 证明：假设AD 与BC 不平行，连结ABD ，并设P
是BD 的中点，再连结PN MP 、。

在ABD ∆中
由PD BP MA BM ==， （图2.3.1）
则MP AD 21，同理可证PN BC 2
1 从而 )(21CD AB PN MP +=
+ ① 这时，BD 的中点不在MN 上
若不然，则由AD MN ∥，BC MN ∥，得BC AD ∥与
假设AD 与BC 不平行矛盾，于是N P M 、、三点不共线。

从而
MN PN MP >+ ②
由①、②得)(21CD AB MN +<，这与已知条件)(2
1CD AB MN +=相矛盾， 故假设不成立，所以BC AD ∥，证毕。

在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。

例4 过平面α上的点A 的直线α⊥a ，求证：a 是唯一的。

证明：假设a 不是唯一的，则过A 至少还有一条直线b ，α⊥b
由a 、b 是相交直线，
则a 、b 可以确定一个平面β。

设α和β相交于过点A 的直线c 。

由 α⊥a ，α⊥b ，
有 c a ⊥，c b ⊥。

这样在平面β内，过点A 就有两条直线垂直于c ，这与定理产生矛盾。

所以，a 是唯一的，证毕。

关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。

这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。

即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。

另外，几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。

它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。

而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。

例5 求证：抛物线没有渐近线。

证明：设抛物线的方程是px y 22
=(0≠p )。

假设抛物有渐近线，渐近线的方程是b ax y +=，易知a 、b 都不为0。

因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组 ⎩⎨⎧+==b
ax y px y 22 )2()1( 的两组解的倒数都是0。

将（2）代入（1），得
0)(2222=+-+b x p ab x a )3(
设1x 、2x 是（3）的两个根，由韦达定理，可知
221)(2a
p ab x x --=+，2221a b x x =⋅ 则
0)(2112212121=--=+=+b
p ab x x x x x x )4(
01112
2
2121===⋅b a x x x x ， )5( 由（4）、（5），可推得0=p ，
这于假设0≠p 矛盾。

所以，抛物线没有渐近线，证毕。

关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。

由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。

在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。

由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。

如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。

例6 已知：四边形ABCD 中，对角线1==BD AC 。

求证：四边形中至少有一条边不小于2
2。

证明：假设四边形的边都小于2
2，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设090≤∠A ，
根据余弦定理，得
A A
B AD AB AD BD cos 2222⋅⋅-+=，
有
222AB AD BD +≤，
即
1)22()22(
2222=+<+≤AB AD BD 。

这与已知四边形1=BD 矛盾。

所以，四边形中至少有一条边不小于2
2，证毕。

在证题过程中，不论是直接思路还是间接思路，都要进行一系列正确的推理，需要解题者对扑朔迷离的表象进行由表及里、去伪存真地分析、加工和改造，并从不同方向探索，以在广阔的范围内选择思路，从而及时纠正尝试中的错误，最后获得命题的证明。