张伟高数基础班讲义

已知A为3阶矩阵 , 3E − A, A − E, A + 2E均不可逆 , 求 A .
证明 A = 0 (1) Ax = 0有非零解 (2) 反证法，利用 A−1找矛盾 (3) r( A) < n (4) 零是A的特征值 (5) A = − A
已知A为n阶矩阵，满足A2 = A，且A ≠ E 证明： A = 0
x sin( x − 2 ) 函数 f ( x ) =
x ( x − 1 )( x − 2 ) 2
在一下哪个区间内有界
( A )( − 1 , 0 ). ( B )( 0 ,1 ).
( C )( 1 , 2 ).
( D )( 2 , 3 ).
第二节 极 限
(1)极限的定义 (2)极限的性质 (3)极限的运算法则 (4)极限的存在准则 (5)无穷小量 (6)无穷大量
4x 4x − 3 5x − 7 4x − 3
则方程 f (x) = 0的根的个数为
抽象型行列式的计算
重要公式
1、A 是 n 阶矩阵，则 |kA| =kn | A| 2、若 A 、B 均为 n 阶矩阵，则 | AB︱=| A| | B |
4
3、若 A 是 n 阶矩阵，则 | A* | = | A |n-1 4、若 A 是 n 阶可逆矩阵, 则 | A-1 | = | A | -1 5、若λ1,λ2,……λn 是矩阵 A 的 n 个特征值，则 | A | = λ1λ2 ……λn. 6、若 A~B，则 | A | = | B |
以下四个命题中正确的是 (A)若f '(x)在(0,1)内连续,则f (x)在(0,1)内有界. (B)若f (x)在(0,1)内连续,则f (x)在(0,1)内有界. (C)若f '(x)在(0,1)内有界,则f (x)在(0,1)内有界. (D)若f (x)在(0,1)内有界,则f '(x)在(0,1)内有界
2
求极限 (1)有理运算法则求极限 ( 2 ) 罗比达法则就极限 (3)等价无穷小代换求极限 ( 4 ) 泰勒公式求极限 ( 5 ) 夹逼准则求极限 (6 )单调有界准则求极限 (7 )定积分定义求极限
设对任意x的总有f (x) ≤ g(x) ≤ h(x),
且lim[h(x) − f (x)] = 0,则lim g(x)
⎜ A = ⎜0
1
4
⎟ ⎟，求A
n
.
⎜ ⎝
0
0
1
⎟ ⎠
利用相似对角化计算 An
P −1 AP = ∧ ⇒ A = P ∧ P −1 ⇒ An = P ∧ n P −1
⎜⎛ 2 0 1⎟⎞
⎜⎛ 1 0
已知A = ⎜ 0 3 0⎟，B = ⎜ 0 −1
⎜⎝ 2 0 2⎟⎠
⎜⎝ 0 0
AX + 2B = BA + 2X，则 X 4 =
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设A为m × n矩阵，B为n × m矩阵，且m > n. 证明： AB = 0
第二讲 矩 阵 矩阵部分主要考查知识点
1、矩阵运算 4、初等矩阵
矩阵的运算
1、加法运算
矩阵的幂的运算
2、伴随矩阵 5、矩阵方程
2、数乘运算
1）r(A) = 1
⎜⎛0 a b⎟⎞ ⎜⎛ 0 0 0⎟⎞ 2）A = ⎜0 0 c ⎟或⎜ a 0 0⎟
学府考研培训学校
2014 年数学基础班讲义
主讲：张伟
学府考研培训学校 2013 年 3 月
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一、高等数学部分
高等数学八大类考点 (1)函数极限连续 (2)一元函数微分学 (3)一元函数积分学 (4)多元函数微分学 (5)多元函数积分学 (6)常微分方程 (7)无穷级数 (8)向量代数与空间解析几 何
行列式部分重要考查知识点
1、行列式的定义 2、行列式按行（列）展开 3、行列式的性质 4、行列式的计算 5、证明|A|＝0 6、行列式的应用
行列式的定义
1.二阶与三阶行列式 2.行列式定义
行列式按行（列）展开
行列式按行（列）展开定理
行列式的性质
1、经转置以后行列式的值不变。 2、某行有公因数 k，可把 k 提取到行列式之外。 3、两行互换，行列式变号。 4、某行的 k 倍加至另外一行，行列式的值不变。 6、某行的所有元素都可以写成两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和。
第一章 函数极限连续
第一节 函数
函数四大性态 （1）定义 （2）判断
设f (x), g(x)是恒大于零的可导函数 , 且f '(x)g(x) − f (x)g'(x) < 0, 则当a < x < b时, 有 ( A) f (x)g(b) > f (b)g(x). (B) f (x)g(a) > f (a)g(x). (C) f (x)g(x) > f (b)g(b). (D) f (x)g(x) > f (a)g(a).
0 ⎟⎞ 0 ⎟若X满足 0 ⎟⎠
伴随矩阵 A*
1、伴随矩阵的定义 2、伴随矩阵的求法 3、关于伴随矩阵的重要公式
设A
=
⎜⎜⎛ ⎝
a c
b d
⎟⎟⎞，求A*， ⎠
若ad − bc ≠ 0，求A−1.
⎛0 −1 0⎞
⎜ 已知A = ⎜1
0
⎟ 0 ⎟，B
=
P −1
AP，
⎜ ⎝
0
0
1
⎟ ⎠
则 B 2004 − 2 A2 =
⎜⎝0 0 0⎟⎠ ⎜⎝ b c 0⎟⎠
3）P −1 AP = ∧
4）A
=
⎛ ⎜⎜⎝
B 0
0⎞ C ⎟⎟⎠
3、可逆矩阵 6、矩阵的秩
3、乘法运算
5
⎛1 2 3⎞
⎜ A = ⎜2
4
6
⎟ ⎟，求A
n
⎜⎝ 3 6 9⎟⎠
⎛0 2 3⎞
⎜ A = ⎜0
0
4
⎟ ⎟，求A
2
,
A3
,
A
n
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
⎛1 2 3⎞
x→∞
x→∞
( A)存在且等于零( B)存在但不一定为零
(C)一定不存在 (D)不一定存在
1
求极限
:
lim
x→0
⎡ ⎢⎣
ln(
1+ x
x) ⎤ ⎥⎦
e x −1
.
求极限 : lim x . ( x x −1) x→ 0+
⎡
2
⎤
求极限
:
lxi→m0 ⎢⎢ln(1
+
e
x 1
)
−
sin x
x
⎥⎥.
⎢⎣ln(1 + e x )
x ( 2 ) f ( x ) = 1 sin 1 , x ∈ ( 0 , +∞ );
xx ( 3 ) f ( x ) = 1 sin x , x ∈ ( 0 , +∞ );
x x sin t
( 4 ) f ( x ) = ∫0 t dt , x ∈ ( 0 , 2014 );
在指定区间上有界的有 ( A )1个 .( B ) 2 个 .( C )3 个 .( D ) 4 个 .
6
⎛2 5 0⎞
⎜ 设A = ⎜1
3
0
⎟ ⎟，求A
-1
.
⎜⎝ 0 0 4⎟⎠
已知A为n阶矩阵，A * 为A的伴随矩阵，
⎧n r( A) = n 试证明：r( A*) = ⎪⎨1 r( A) = n −1
⎪⎩0 r( A) < n −1
可逆矩阵
1、可逆矩阵的定义 2、可逆矩阵的性质 3、可逆矩阵的求法
设函数 f ( x)连续 ,则下列函数中
一定为偶函数的是
∫ ∫ ( A) x f (t 2 )dt. (B) x f 2 (t)dt.
0
0
(C
)
x
∫0
t
[
f
(t) −
f
( − t ) ]dt .
(
D
)
x
∫0
t
[
f
(t) +
f
( −t ) ]dt .
1
下列四个函数 (1) f ( x ) = x sin 1 , x ∈ ( 0 , +∞ );
数值型行列式的重要公式与结论
1、上（下）三角行列式 2、拉普拉斯展开式 3、范德蒙行列式
12 3 4 1 22 32 42 1 23 33 43 = 98 7 6
x − 2 x −1 x − 2 x −3
2x − 2 2x −1 2x − 2 2x − 3
设f (x) =
,
3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5
⎥⎦
ex
求极限 : lim
.
x→ ∞ (1 + 1 ) x 2
x
求极限 : lim n n→∞
a1n
+ a2n
+ ... + am n
其中ai > 0, (i = 1,2,..., m)
二、线性代数部分
线性代数六大类考点
1、行列式 2、矩阵
3、向量
4、方程组 5、特征值和特征向量
3
6、二次型
第一讲 行列式
矩阵方程
1、矩阵方程常见形式 2、矩阵方程求解方法
⎛ 1 0 0 0⎞
⎜
⎟
若A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
-2 0 0
3 -4 0
0 5 -6
0 0 7
⎟⎟， ⎟⎟⎠
B = (E + A)−1 (E − A)，
求(E + B)−1.
设A、B、C均为n阶矩阵，若 B = E + AB，C = A + CA，则B − C = ( A) E (B) − E (C) A (D) − A