五年级奥数数的整除

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五年级奥数竞赛之数的整除性

五年级奥数竞赛之数的整除性数的整除性整除的基本性质:性质1 如果a、b都能被m整除，那么它们的和a，b与差a,b都能被m整除。

它可记为:若m/a，m/b，则m/(a?b)。

m能同时整除a、b，即m既是a的约数，又是b的约数，则称m是a、b的公约数。

如果两个数只有唯一的公约数1，则称这两个数互质。

例如1与12，4与5，5与9，3与25等。

性质2 如果a/m，b/m，且a和b互质，那么a和b的乘积也能整除m，即(a×b)/m。

例如:3/72，4/72，且3和4互质，那么3与4的乘积12/72。

性质2中，“两数互质”这一条件是必不可少的。

6/72，8/72，但6与8的乘积48不能整除72，这就是因为6与8不互质。

根据性质2，我们常常可有如下解题思路:要使m被a×b整除，而a与b互质，就可以分别考虑m被a整除与m被b整除。

性质3 (传递性)如果c/b，且b/a，那么c/a。

特别是若b/a，m为整数，则有b/(a×m)。

1、形如1993 1993…1993 520，且能被11整除的最小数是。

n个19932、所有数字都是2且能被66…6整除的最小自然数是多少,3、500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1，2，3，4，5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1，2，3，4，5，6(1至6)报数，既报1又报6的士兵有多少名,4、一个六位数的各位数字都不相同。

最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除。

这样的六位数中的最小的数是。

5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的六倍，求这个两位数是 ,6、已知a、b、c、d是各不相同的数字，a，b，c,18，b，c，d,23，四位数badc被5除余3，求四位数abcd是。

7、用1,6六个数字组成一个六位数abcdef其中不同字母代表1,6中的数字，要求ab是2的倍数，abc是3的倍数，abcd能被5整除，zbcdef是6的倍数，求这样的六位数有个，各是。

五年级奥数第二讲数的整除

第二讲数的整除知识点：﹤1﹥整除概念：表示：﹤2﹥整除的性质：﹤3﹥整除的特征：（1）解法：○1 ○2 我要上名校示例﹤1﹥有一个四位数b a 62，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？练一练：有一个四位数Ο2Ο2，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？示例﹤2﹥有一个六位数b a 4273,它能被72整除，则a 、b 分别为多少？练一练：若四位数b a 89能被15整除，则a 、b 分别为多少？示例﹤3﹥有一个十位数59911995xy 能被99整除，则χ、y 分别为多少？练一练：有一个六位数Ο2004Ο，能被99整除，则○中分别填多少？示例﹤4﹥六位数ΟΟ1992能被95整除，这个六位数是多少？练一练能被4、5、6整除的最大的三位数是多少？示例﹤5﹥1~200中，有多少个数能被2或5整除？练一练：1~300中，有多少个数不能被3或5整除？示例﹤6﹥一个整数乘17，积的末三位是999，这个数最小是多少？练一练：一个整数乘19，积的末三位是321，这样的整数中最小是多少？示例﹤7﹥五年级有72名学生，乘车春游，共交车费Ο7.52Ο元（○为污损数字，看不清）平均每个学生交了多少元钱？练一练：一本老账本上记着：老王买了72只桶，共用去Ο9.67Ο元，其中○处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。

示例﹤8﹥ 一个两位数能被2整除，且两个数位上的数字之和是8，这样的两位数有多少个？练一练：能被11整除，并且各个数位上数字之和等于43的五位数一共有多少个？示例﹤9﹥在28的前面连续写上若干个1993，得到一个多位数 1993199319931993若干个28如果这个多位数能被11整除，那么它最少是多少位？练一练：如果 2005200520052005个n 01能被11整除，那么n 的最小值是多少？示例﹤10﹥ 商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走其中的五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物有多重？练一练：五年级同学分成四个小组集邮，第一组集了127张，第二组集了149张，第三组集了238张，第四小组只集了95张。

小学五年级数学奥数数的整除(附练习及详解)

一、基本概念和知识1.整除例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

④能被5整除的数的特征：个位是0或5。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

练习及详解例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。

（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。

练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____。

奥数 (五年级下)

数的整除特征（一）（一）阅读思考1. 整除的意义：整数除以整数商是整数而没有余数，那么a就能被b整除。

记作b|a。

如果数a不能被数b整除，记作。

2. 数的整除特征：有时候，我们判断一个整数能不能被另一个整数整除，不需要通过除法演算来验证，而可以通过某些规律来判断，这些规律叫做“数的整除特征”。

下面就给同学们介绍一下：（1）个位是0，2，4，6，8的整数能被2整除。

例如：102，584，316976（2）个位是0或5的整数能被5整除。

例如：15，31560（3）各个数位上数字的和能被3或9整除的整数能被3或9整除。

例如：21能被3整除；36能被9整除。

能被9整除的数一定能被3整除。

（4）末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。

例如：912能被4整除。

3175能被25整除；500既能被4整除又能被25整除。

（5）末尾三位数是8或125的倍数的整数，能被8或125整除。

例如：1008能被8整除。

1125能被125整除。

41000既能被8整除，又能被125整除。

（如果一个数既能被8整除，又能被125整除，这个数一定是整千数。

）（6）如果一个数奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差是11的倍数，那么这个数一定能被11整除。

例如：189354，奇数位上数字的和是,偶数位上数字的和是,它们的差是,因为0能被11整除，所以189354能被11整除。

（7）把一个数的末尾数字割去，从留下的数中减去所割去数字的2倍，这样继续下去，如果最后的结果是7的倍数，那么这个数就能被7整除。

例如：判断4158能不能被7整除。

4158割去末尾数字8399割去末尾数字921是7的倍数，所以4158能被7整除。

（8）把一个数的末尾数字割去，在留下的数上加上末尾数字的4倍，照这样做下去，如果最后的结果是13的倍数，这个数就能被13整除。

例如：判断10686能不能被13整除。

10686割去末尾数字61092割去末尾数字2117割去末尾数字739是13的倍数，所以10686能被13整除。

小学五年级奥数数的整除问题例题

小学五年级奥数数的整除问题例题奥数注重学生分析、解决问题能力的培养，有它独特的解题思路和方法，快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是为大家收集到的五年级奥数数的整除问题例题，供大家参考。

试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除?如果回答：“可以”，则只要举出一种排法;如果回答：“不能”，则需给出说明.
点：数的整除特征.
分析：根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能.
解答：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，
其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.
从而一共会有不少于40个数是3的倍数.但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，
以上是查字典数学网为大家准备的五年级奥数数的整除问
题例题，希望对大家有所帮助。

小学五年级下期数学思维训练(奥数)《数的整除》教学设计及练习题

数的整除专题简析：数的整除是研究自然数之间关系的学问。

我们在课本中已经学习了能被2、3、5整除的数的特征，本讲让我们来探讨能被4或25,8或125,9,7,11,13整除的数的特征。

例1研究能被4或25整除的数的特征。

有四组数如下：（1）424 316 9840 628 880（2）7354 126 766 894 9343（3）925 575 850 1000 8075（4）835 355 360 1005 495把第（1）、（2）两组数分别除以4，第（3）、（4）两组数分别除以25，找出能被4或25整除的数的特征。

分析与解答：通过计算可以知道：第（1）组的数都能被4整除，而第（2）组的数都不能被4整除；同样，第（3）组的数都能被25整除，第（,4）组的数都不能被25整除.。

仔细观察这四组数的末两位数会发现：第（1）组中的每个数的末两位数都能被4整除，而第（2）组中的每个数的末两位数都不能被4整除；同样，第（3）组中的每个数的末两位数都能被25整除，而第（4）组中的每个数的末两位数都不能被25整除。

所以能被4或25整除的数的特征：一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。

随堂练习：1、判断312、142、280能否被4整除。

2、判断375、260、165能否被25整除。

例2研究能被8或125整除的数的特征。

有四组数如下：（1）4840 3160 7544 6112 2248（2）5551 9854 4886 1102 4540（3）3750 3500 3875 2625 5375（4）2005 1050 2795 7350 1985把第（1）、（2）两组数分别除以8，第（3）、（4）两组数分别除以125，找出能被8或125整除的数的特征。

分析与解答：通过计算可以知道：第（1）组的数都能被8整除，而第（2）组的数都不能被8整除；同样，第（3）组的数都能被125整除，第（4）组的数都不能被25整除.。

五年级奥数-②数的整除(2)

数的整除（2）(4.9)姓名_______________数的整除特征：①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。

因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。

因此13574是11的倍数。

例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。

因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。

因此1059282是7的倍数。

例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821。

再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数中。

能被2整除的数有________________________________________；是3的倍数的有_________________________________；5的倍数有____________________________。

五年级奥数第19讲——整除

学生课程讲义【基础知识】：同学们在课内已经学习过整除的概念和它的一些性质。

这里我们仅补充一个能被7，11,13整除的特征：一个整数的末三位数与末三位数之前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，那么，这个数就能被7（11或13）整除。

例如：数96928，因为928－96＝832，而832÷13＝64，说明832能被13整除，则96928能被13整除。

又例如：数690578，因为690－578＝112，而112÷7＝16，说明112能被7整除，则690578能被7整除。

另外，如果a能整除b,我们经常使用一个竖条“丨”来表示a、b整除的关系：也就是：a丨b＝b÷a【例1】六位数□2004□能被99整除，这个六位数是（）。

随堂练习1六位数2003□□能背99整除，它的最后两位数是（）【例2】有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数。

随堂练习2将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是（）【例3】若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是（）【例4】一个七位数20a0b9c是33的倍数，那么a＋b＋c＝（）随堂练习3如果一个九位数A1999311B能被72整除，试求A、B两数的差（大减小）。

【例5】在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1803.6.则原来的四位数是（）随堂练习4一个四位数，给它加上小数点后，比原数小2003.4，这个四位数是（）。

【例6】如图，在一个圆周上放了一枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子，若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩（）枚白子。

随堂练习5一个三位自然数正好等于它各位数字和的18倍，这个三位自然数是（）。

五年级奥数专题数的整除性

数的整除性训练目标：数的整除是数论中最初步的知识，是学习约分、通分和进行分数四则运算的基础。

我们在这一讲要学习掌握整除的数的特点，并能灵便的运用。

【能被3（或9）整除的数的特点】各位数字之和能被3（或9）整除。

【能被4（或25）整除的数的特点】尾端两位数能被4（或25）整除。

【能被8（或125）整除的数的特点】尾端三位数能被8（或125）整除。

【能被 7、 11、 13 整除的数的特点】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被 7、 11、13 整除时，这个数就能被 7、 11、13 整除。

【能被 11 整除的数的特点】，还能够这样表达：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被 11 整除时，则这个数便能被 11 整除。

典型例题：例 1：有一个四位数7A2B 能被 2,3,5 整除，这个四位数是多少？例 2：在一个五位数 25□4□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？例 3：有一个四位数7AA1 能被 9 整除， A 代表什么数字？这个四位数是几？例 4：在 568 后边补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被 3、4、5 整除。

在符合这些条件的六位数中，最小是多少？例 5：能被 11 整除，首位数字是 4，其他各位数字都不同样的最大及最小的六位数分别是多少？基础练习：1、从 0,1,2,4,5,7 中，选出 4 个数，排列成能被2,3,5 整除的四位数，其中最大的是多少？2.四位数 8A1B 能被 2,3,5 整除，这个四位数是多少？3.有一个四位数3AA1 ，它能被 9 整除，请问 A 代表几？4.已知五位数 A192B 能被 18 整除，其中 A 比大 3，求出这样的五位数。

5.一个五位数能被72 整除，首尾两个数字不知道，千、百、十位上的数字分别是 6、7、9，这个五位数是多少提高练习：1.有五筐苹果，质量分别为 12kg,15kg,10kg,8kg和 13kg,从中选出四张给小红和小张，小红的苹果的质量是小张的 2 倍，剩下的是哪一筐？2.已知整数 5a6b7c8d9e能被 11 整除，那么 a+b+c+d+e=?3.在 358 后边补上 3 个数字来组成一个六位数，使它能被4，5,9 整除，这个六位数最小是多少？5.从 1，2 ，3 ，4， 5 中选出 4 个数字组成一个四位数，使其能被3,5,7 整除，这个数是多少？6.两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，比方70和30，那么在 1,2,316，这 16 个整数中，有几对“好数”？7.商场里有六箱货物，分别重 16,19,20,18,15,31千克，两顾客买走其中 5 箱货物，其中一个顾客买的货物的重量是另一个顾客的两倍，商场里剩下的那箱货物是多少千克？一、填空题1.四位数“3AA1”是 9 的倍数，那么 A=_____.2.在“ 25□79 这个数的□内填上一个数字 ,使这个数能被 11 整除 ,方格内应填 _____.3.能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是 _____.4.能同时被 2、5、7 整除的最大五位数是 _____.5.1 至 100 以内所有不能够被 3 整除的数的和是 _____.6.所有能被 3 整除的两位数的和是 ______.7.已知一个五位数□ 691□能被 55 整除 ,所有符合题意的五位数是 _____.8.若是六位数 1992□□能被 105 整除 ,那么它的最后两位数是 _____.9.42□28□是 99 的倍数 ,这个数除以 99 所得的商是 _____.10.从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行 ,从左向右 1 至 11 报数 ,报数为11 的同学原地不动 ,其他同学出列 ;尔后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数 ,报数为 11 的留下 , 其他同学出列 ; 留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数 ,报到 11 的同学留下 ,其他同学出列 ,那么最后留下的同学中 ,从左边数第一个人的最初编号是 _____号 .二、解答题11. 173□是个四位数字 .数学老师说：“我在这个□中先后填入 3 个数字 ,所获取的 3 个四位数 ,依次可被 9、 11、6 整除 . ”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？12．在 1992 后边补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11 整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上 ,人们只要有意 ,总是能够把两张随意的食品票换成 3 张其他票券 , 也能够反过来互换 .试问 ,合作社成员瓦夏可否将 100 张黄油票换成 100 张腊肠票 ,而且在整个互换过程中恰好出手了 1991 张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被 11 整除 ,它的各位数字之和等于13.二数的整除性 (B)年级班姓名得分一、填空题1.一个六位数 23□ 56□是 88 的倍数 ,这个数除以 88 所得的商是 _____或 _____.2. 123456789 □□ ,这个十一位数能被36 整除 ,那么这个数的个位上的数最小是_____.3.下面一个 1983 位数33...3 44...4中间漏写了一个数字 (方框 ),已知这个多位数被 7 整除，那么中991个991 个间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,而且是 11 的倍数 .这三个数是 _____.5.有这样的两位数 ,它的两个数字之和能被 4 整除 ,而且比这个两位数大 1 的数 ,它的两个数字之和也能被 4整除 .所有这样的两位数的和是 ____.6. 一个小于 200 的自然数 ,它的每位数字都是奇数 ,而且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是 ___.7. 任取一个四位数乘 3456,用 A 表示其积的各位数字之和,用 B 表示 A 的各位数字之和 ,C 表示 B 的各位数字之和 ,那么 C 是 _____.8. 有 0、 1、 4、 7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同样的四位数，若是把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从 0、 1、 2、 4、 5、 7 中，选出四个数，排列成能被2、 3、 5 整除的四位数，其中最大的是 _____.10.所有数字都是 2 且能被66...6整除的最小自然数是 _____位数 .100个二、解答题11. 找出四个互不同样的自然数,使得关于其中任何两个数,它们的和总能够被它们的差整除,若是要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只改正21475 的某一位数字 ,即可知使改正后的数能被225 整除 ,怎样改正？13． 500 名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、 3、 4、 5（ 1 至 5）名报数；第二次反过来从右到左 1、 2、 3、 4、 5、 6（ 1 至 6）报数，既报 1 又报 6 的士兵有多少名？14．试问 ,可否将由 1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上,使得在任何 5 个相连的数中 ,都最罕有两个数可被 3 整除？若是回答：“能够”，则只要举出一种排法；若是回答：“不能够”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1.7已知四位数 3AA1 正好是 9 的倍数 ,则其各位数字之和3+A+A+1 必然是 9 的倍数 ,可能是 9 的 1 倍或 2 倍,可用试验法试之 .设 3+A+A+1=9,则 A=2.5,不合题意 .再设 3+A+A+1=18,则 A=7,符合题意 .事实上 ,37719=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0 或是 11 的倍数 ,那么这个数能被 11 整除.偶数位上数字和是 5+7=12,所以 ,奇数位上数字和 2+□+9应等于 12, □内应填 12-2-9=1.3. 990 要同时能被 2 和 5 整除 ,这个三位数的个位必然是 0.要能被 3 整除 ,又若是最大的三位数 ,这个数是 990.4.99960解法一 :能被2、5整除,个位数应为0,其他数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填 6.所以 ,能同时被 2、 5、 7 整除的最大五位数是 99960.解法二 :也许这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70 依旧是 70 的倍数 ,所以能被 2,5,7 整除的最大五位数是 100030-70=99960.5.3367 先求出 1~100 这 100 个数的和 ,再求 100 以内所有能被 3 整除的数的和 ,以上二和之差就是所有不能够被 3 整除的数的和 .(1+2+3+ +100)-（ 3+6+9+12+ +99）=(1+100) 2 100-(3+99) 233=5050-1683=33676.1665 能被 3 整除的二位数中最小的是 12,最大的是 99,所有能被 3 整除的二位数以下 :12,15,18,21, ，96，99 这一列数共 30 个数，其和为12+15+18+ +96+99=(12+99) 30 2=16657.96910 或 46915五位数 A691B 能被 55 整除 ,即此五位数既能被 5 整除 ,又能被 11 整除 .所以 B=0 或 5.当 B=0 时, A6910 能被 11 整除 ,所以 (A+9+0)-(6+1)=A+2 能被 11 整除 ,所以 A=9；当 B=5 时,同样可求出A=4.所以 ,所求的五位数是96910 或 46915.8.90由于 105=3 5 7,依照数的整除性质 ,可知这个六位数能同时被3、 5 和 7 整除。

五年级下册数学奥数讲义—第十三讲数的整除通用版

数的整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；1. 2和5例：把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？解：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．，，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55。

五年级奥数—数的整除性(一)

数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（5）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（7）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（9）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（10）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

五年级奥数数的整除

数的整除(3.26)姓名_______________一、知识要点1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解：30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

二、例题分析1、请写出50以内的质数。

2、某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？并将它们写出来。

3、把下列各数写成质因数乘积的形式：(1)84 (2)924 (3) 693 ※(4) 539※（5）323 ※（6）211124、自然数123456789是质数，还是合数？为什么5、两个质数的和是39，求这两个质数的积。

6、两个大于10的合数的和是31，求这两个数。

7、两个自然数的和为20，积为96，求这两个数。

8、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？9、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.10、四个自然数和乘积是308，求这四个自然数。

11、请写出100以内的平方数：_____________________________________________________________________。

(1)、20乘以一个自然数，乘积是一个平方数，这个自然数最小是多少？这个平方数又是多少？(2)、315乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方。

求最小的a和这个整数。

12、把下列各数写成质因数乘积的形式，并指出他们分别有多少个两位数的约数：（1）126 （2）435 （3）46213.在50到100之间找出两个整数，使其乘积等于6930。

五年级奥数-数的整除

数的整除如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。

如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。

数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。

（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要个个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

小学五年级奥数-数的整除特征课件

反过来，如果b︱a ， c︱a 那么bc︱a一定正确吗？
数的整除性质3
我们看下面的例子： 4能够整除36，6也能整除36，4与6的积能整除36吗？ 4能够整除80，5也能整除80，4与5的积能整除80吗？ 5能够整除80，8也能整除80，5与8的积能整除80吗？这说明这两个数需要满足一定的条件！
数的整除性质1
性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b）你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
我们再来看一组例子：
添加标题
01
3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84吗？
添加标题
03
上面的3个例子有什么共同点？
添加标题
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01
02
应用举例（二）根据规律填空
例2、⑴ 已知45︱求所有满足条件的六位数。
5
9
519930
李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问：每支钢笔多少元？
分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路类似，可以用数的整除性质和数的整除特征结合起来解答。
分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们
02
能被11整除, 方格内应填_____。
5、“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数
01
∣
∣
33333333468375能不能被125整除回忆：能被125整除的数的特征：末三位数字能被125整除。解：因为这个数的末三位数字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。

五年级(奥数) 数的整除

五年级数的整除
1、有三根铁丝，分别长12厘米、18厘米、54厘米。

要把它们都截成同样长的小段不许剩余，每段最长是多少厘米？一共能截多少段？
2、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育锻炼，要把它们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱。

最多每组多少人？每班各分多少组？
3、一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大小的正方形，使边长是
整厘米且不能有剩余，最少能剪多少个？
4、用长16厘米，宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板多
少块？
5、张妮有若干张画片，7张一数还余4张，5张一数又少3张，3张一数正好。

问：张妮
至少有多少张画片？
6、五年级两个班的学生一起排队去做操，如果9人排一队，多出一人；如果10人排一队，同样多出一个人。

这两个班最少共有多少人？
7、有一篮鸡蛋，每按4个一堆分多一个；按5个一堆分多1个；按每6个一堆分也多1个。

这篮鸡蛋至少有多少个？
8、一个四位数9□2□既有约数2，又是3的倍数，同时又能被5整除。

这个四位数最大是什么？
9、六位数“568□□□”能同时被2、3、5整除。

求这样的六位数中最小的一个是多少？。

小学五年级奥数-整除问题

五年级思维第二讲基础知识：1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除.性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a .性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a .性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除.2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾.3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除.4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5. 被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.6. 被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除.7. 整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题. 例题：例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为2012ab ，105=3×5×7，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85.例2、求所有的x ，y 满足32x5y 使得72∣32x5y .解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价.解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143∣a679b ，根据11∣a679b ，有a+b =8，再根据13∣a679b ，所以13∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60.例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.解：168=3⨯7⨯8，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数是768768.例6、要使六位数10abc6能够被63整除，那么商最小是多少？解：63=7⨯9. 考虑10abc6能被7整除，于是有7∣(100b+10c+6-100-a )，整理得 7∣(2b+3c-a +4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c =2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a =0. 此时，易验证b =0, b =1无解，而在b =2时，有解c =9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.例7、所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，180035252090000 =÷，24403252010000 =÷，所以共有36个.例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.例9、已知4ab4ab …4ab （重复99次）能够被91整除，求ab .解：根据7和13的整除判断方法7（13）∣4ab4ab …4ab （重复99次）有7（13）∣4ab4ab …4ab000（重复98次），因为（91,1000）=1，所以7（13）∣4ab4ab …4ab （重复98次），以此类推，就有7（13）∣4ab ，得到4ab =455，所以ab =55.例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？解：因为连续11个数是343的倍数，而33437=，但是11个数中之多有两个是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却是10000的倍数，所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5的倍数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.数学万花筒——趣题欣赏： 1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。

五年级奥数之数的整除

第二讲数的整除例1：在下面的数中，哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被25整除?哪些能被125整除?100，234，728，7756，6648，2781，1750，8125。

例2：学校为竖笛小组购买了75根竖笛，发票上的总价有两个数字模糊不清，只看到3□7．□元，你知道每根竖笛至少是多少元吗?例3：一个六位数165□□□能同时被4和9整除，这个六位数最大是多少?最小是多少?例4：abcabc这个六位数能否被7整除?能否被11整除?能否被13整除?如果能，请说明理由。

例5: 173□是四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？例6: 将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少?例7: 自然数中1～100内共有多少个不能被3或11整除的数？例8：用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？例9：小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13。

如果从这两个口袋各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。

那么，其中能够被6整除的乘积共有多少个？应用与拓展1. 在下面的□里填上适当的数字。

能被4整除：93□，□可以填( ) 能被8整除：48□2，□可以填( )能被9整除：20□308，□可以填( ) 能被25整除：71□□，□□可以填( )能被125整除：8□50，□可以填( )2. 在下面的数中，哪些能被4整除，哪些能被25整除?哪些能被8整除？哪些能被除125整除?①234②500③789④8865⑤3728⑥8064⑦5125⑧12000能被4整除的数是：能被8整除的数是能被25整除的数是能被125整除的数是：3. 用2，3，7，8四个数字组成没有重复数字的四位数，且它是11的倍数，并将这些数按从大到小排列出来。

五年级奥数-数的整除问题

五年级奥数-数的整除问题介绍本文档将涵盖五年级奥数中与数的整除问题相关的内容。

数的整除是数学中的一项基本概念，它在解决实际问题和数学推理中起着重要的作用。

数的整除定义两个整数a和b，若存在整数c，使得c * b = a，则称a能被b 整除，记作b|a。

其中a称为被除数，b称为除数，c称为商。

整除的特性1. 如果a能被b整除，那么a的所有倍数也能被b整除。

2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。

3. 如果a能被b整除，b能被a整除，那么a和b相等。

判断一个数能否被另一个数整除的方法1. 试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。

如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。

试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。

如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。

2. 质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。

如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。

质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。

如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。

数的整除问题的应用数的整除问题在实际生活和数学中都有广泛的应用，例如：1. 分配问题：将一定数量的物品平均分给每个人，需要确定每个人能够得到多少个物品，就需要解决数的整除问题。

2. 判断质数：质数是只能被1和自身整除的数，通过判断能否被其他数整除，可以检验一个数是否为质数。

3. 数论问题：在数论研究中，数的整除问题是一个重要的主题，涉及到数的性质和结构等方面。

总结数的整除是五年级奥数中的基本概念之一，通过研究整除的定义、特性和判断方法，可以解决实际问题和进行数学推理。

在实际生活和数学领域中，数的整除问题有着广泛的应用，我们应该加强对该概念的理解和掌握。

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