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2019全品高考复习方案教师手册第2单元-函数与导数-人教A版

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推荐2019高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第二章函数与导数学案

推荐2019高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第二章函数与导数学案

第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)9～11页)① 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.② 本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2019年高考的重要题型．① 理解函数的概念，了解构成函数的要素. ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③ 了解简单的分段函数，并能简单应用．1. (必修1P 26练习3改编)下列对应关系中________是函数．(填序号) ① A ＝R ＋，B ＝R ，对于任意的x∈A，x →x 的算术平方根；② A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{0，2，4，6，8}，对于任意的x∈A，x →2x ；③ x →－12x ，x ∈R ；④ x →y ，其中y ＝|x|，x ∈R ，y ∈R ；⑤ x →y ，其中y 为不大于x 的最大整数，x ∈R ，y ∈Z . 答案：①③④⑤解析：①③④⑤均符合函数的定义，②对于集合A 中的元素5，在集合B 中找不到元素与之对应．2. (必修1P 26练习4改编)下列各组函数中，表示同一函数的是__________．(填序号)① y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1；② y＝x 0和y ＝1；③ f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2；④ f(x)＝（x ）2x 和g(x)＝x （x ）2. 答案：④解析：只有④表示同一函数，①与②中定义域不同，③是对应法则不同．3. (必修1P 31习题1改编)设函数f(x)＝41－x.若f(a)＝2，则实数a ＝__________．答案：－1解析：由题意可知，f(a)＝41－a＝2，解得a ＝－1.4. (必修1P 31习题8改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__________．x 1 2 3 4 f(x) －3 －2 －4 －1答案：－4解析：由表中函数值得f(3)＝－4. 5. (必修1P 36习题3改编)已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为____________．答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12x ，0<x ≤2解析：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x≤0时，f(x)＝x ＋1；当0<x≤2时，f(x)＝－x2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12x ，0<x ≤2.1. 函数的概念(1) 函数的定义一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的一个元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ．(2) 函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的定义域；若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．(3) 函数的要素函数的构成要素：定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数为相同的函数或同一函数．这是判断两函数相等的依据．2. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、图象法． 3. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．4. 映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射．函数是映射，但映射不一定是函数．[备课札记], 1 函数的概念), 1) 下列集合A 到集合B 的对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射的有________．(填序号)① A ＝R ，B ＝{y|y>0}，f ：x→y＝|x|；② A ＝{x|x≥2，x ∈N *}，B ＝{y|y≥0，y ∈N }，f ：x→y＝x 2－2x ＋2； ③ A ＝{x|x>0}，B ＝{y|y∈R }，f ：x→y＝±x ；④ A ＝{α|α是三角形的内角}，B ＝{y|y∈R }，对应法则：y ＝tan α；⑤ A ＝{m|m∈Z }，B ＝{y|y ＝0或y ＝1}，对应法则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ＝2n ，n ∈Z ，1，m ＝2n ＋1，n ∈Z ；答案：②⑤解析：① 集合A 中的零元素，在集合B 中没有相应的对应元素． ② 按照对应法则，满足题设条件． ③ 一对多，不满足映射的概念．④ ∵ π2∈A ，但π2的正切值不存在，∴ 此对应不是从集合A 到集合B 的映射．⑤ ∵ 集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，∴ 此对应是从集合A 到集合B 的映射．点评：判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：① A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；② B 中元素可无原象，即B 中元素可以有剩余．备选变式（教师专享）已知映射f ：A→B，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x→y＝－x 2＋2x ，对于实数k∈B，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．答案：(1，＋∞)解析：由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴ Δ＝4(1－k)<0，∴ k>1时满足题意．, 2 函数的解析式), 2) 求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)；(2) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)； (3) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)．解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2(t≥2)，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2，∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c ＝1.由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝ax 2＋bx ＋1＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋a ＋b ＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴ f(x)＝x 2－x ＋1. 变式训练根据下列条件分别求出f(x)的解析式． (1) f(x ＋1)＝x ＋2x ；(2) 二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2.解：(1) 令t ＝x ＋1，∴ t ≥1，x ＝(t －1)2.则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f(x)＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2) 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，∴ f(x ＋2)＝a(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋c ， 则f(x ＋2)－f(x)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f(0)＝3，∴ c ＝3，∴ f(x)＝x 2－x ＋3., 3 分段函数), 3) 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f(x)．(1) 求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数解析式； (2) 作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值．解：(1) 这个函数的定义域为(0，12)，当0＜x≤4时，S ＝f(x)＝12·4·x ＝2x ；当4＜x≤8时，S ＝f(x)＝8；当8＜x ＜12时，S ＝f(x)＝12·4·(12－x)＝24－2x.∴ 函数解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈（0，4]，8，x ∈（4，8]，24－2x ，x ∈（8，12）.(2) 其图象如图所示，由图知f max (x)＝8.变式训练已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0，则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的取值范围是____________．答案：(－1，2－1)解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0的图象如图所示：f(1－x 2)>f(2x)⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，1－x 2>0，解得－1<x<2－1. 备选变式（教师专享）对于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1，设函数f(x)＝(x ＋2)*(3－x)，x ∈R .若方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值范围是________．答案：(－∞，2)解析：令x ＋2－(3－x)≤1，求得x≤1，则f(x)＝(x ＋2)*(3－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤1，3－x ，x>1，画出函数f(x)的图象，如图，方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，即是函数f(x)的图象与直线y ＝c 有2个交点，数形结合可得c<2.特别提醒：本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点以及新定义问题，属于难题．已知函数零点个数(方程根的个数)求参数取值范围的三种常用的方法：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y ＝g(x)，y ＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y ＝a ，y ＝g(x)的图象的交点个数问题．1. (2018·溧阳中学周练)若x∈R ，则f(x)与g(x)表示同一函数的是________．(填序号)① f(x)＝x ，g(x)＝x 2；② f(x)＝1，g(x)＝(x －1)0；③ f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x（x ）2； ④ f(x)＝x 2－9x ＋3，g(x)＝x －3.答案：③解析：①中，g(x)＝x 2＝|x|≠x；②中，g(x)＝(x －1)0＝1(x≠1)；③中，f(x)＝（x ）2x＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)；④中，f(x)＝x 2－9x ＋3＝x －3(x≠－3)．因此填③.2. 二次函数y ＝f(x)＝ax 2＋bx ＋c(x∈R )的部分对应值如下表：则关于x 答案：[－3，2] 解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．3. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．答案：44. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间的关系如图所示．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y 与x 之间的函数关系是____________________．答案：y ＝－3x ＋95⎝⎛⎭⎪⎫20≤x≤953 解析：设进水速度为a 1 L/min ，出水速度为a 2 L/min ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝20，5a 1＋15（a 1－a 2）＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95.当水放完，时间为x ＝953 min ，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95⎝⎛⎭⎪⎫20≤x≤953. 5. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0.若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是____________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a ＜0时，－a －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．6. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－|12＋x|，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞) 解析：如图，作出函数图象，y 2＝kx －k 过定点(1，0)，临界点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12和(1，0)连线的斜率为－13，又f ′(1)＝1，由图象知实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．, 3. 分段函数意义理解不清致误)典例 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为__________．易错分析：(1) 误以为1－a<1，1＋a>1，没有对a 进行讨论直接代入求解；(2) 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误．解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－34特别提醒：(1) 注意分类讨论思想在求函数值中的应用，对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解；(2) 检验所求自变量的值或范围是否符合题意，求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．1. 已知集合A ＝{a ，b ，c}，B ＝{1，2}，那么可建立从A 到B 的映射个数是______，从B 到A 的映射个数是______．答案：8 9解析：依题意，建立从A 到B 的映射，即集合A 中的每一个元素在集合B 中找到对应元素，从而从A 到B 的映射个数为23＝8，从B 到A 的映射个数是32＝9.所以填写答案依次为：8；9.2. 已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个． 答案：9解析：列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．3. 若函数f(x)＝xax ＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯一解，则f(x)＝________．答案：2x x ＋2解析：由f(2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f(x)＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，∵ 方程有唯一解，∴ 1－ba＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴ f(x)＝2xx ＋2.4. 如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经B ，C ，D 绕边界一周，当x表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值．解：当P 在AB 上运动时，y ＝x(0≤x≤1)；当P 在BC 上运动时，y ＝1＋（x －1）2(1<x≤2)；当P 在CD 上运动时，y ＝1＋（3－x ）2(2<x≤3)；当P 在DA 上运动时，y ＝4－x(3<x≤4). ∴ y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0≤x≤1），1＋（x －1）2（1<x≤2），1＋（3－x ）2（2<x≤3），4－x （3<x≤4），∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52.5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．答案：[－4，2]解析：f(x)≥－1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－（x －1）2≥－1， 解之得－4≤x≤0或0<x≤2，即原不等式的解集是[－4，2]．6. (2018·溧阳中学周测)设函数f(x)定义如下表，数列{x n }(n∈N *)满足x 1＝1，且对于任意的正整数n ，均有x n ＋1＝f(x n )，求x 2 018的值．解：因为x 1＝1，所以x 2＝f(x 1)＝f(1)＝2，x 3＝f(x 2)＝f(2)＝3，x 4＝f(x 3)＝f(3)＝4，x 5＝f(x 4)＝f(4)＝1，x 6＝f(x 5)＝f(1)＝2，…，不难看出数列{x n }是以4为周期的周期数列，所以x 2 018＝x 4×504＋2＝x 2＝2.点评：通过观察一些特殊的情形，来获得深刻的认识，是探索数学问题的一种重要方法，应注意学习，同时函数的表示也可以利用列表法来给出．1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数．从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法、换元法、待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．第2课时 函数的定义域和值域(对应学生用书(文)、(理)12～14页)① 函数的定义域是研究一切函数的源头，求各种类型函数的定义域是高考中每年必考的试题. ② 函数的值域和最值问题也是高考的必考内容，一般不会对值域和最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合考查，特别是应用题；再就是求变量的取值范围，主要是考查求值域和最值的基本方法．① 会求简单函数的定义域.② 掌握求函数值域与最值的常用方法. ③ 能运用求值域与最值的常用方法解决实际问题．1. (必修1P 25例2改编)函数f(x)＝x －2＋1x －3的定义域是____________________．答案：[2，3)∪(3，＋∞)解析：要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x≥2且x ≠3.2. (必修1P 26练习6(2)(4)改编)函数y ＝1x 2－1＋x ＋1的定义域为__________________．答案：(－1，1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≠0，x ＋1≥0，∴ x>－1且x≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．3. 函数y ＝1x 2＋2的值域为________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：∵ x 2＋2≥2，∴ 0<1x 2＋2≤12.∴ 0<y ≤12.4. 若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．答案：[－5，＋∞)解析：∵ x 有意义，∴ x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，函数y ＝x 2＋3x －5在[0，＋∞)上单调递增，∴ 当x ＝0时，y min ＝－5.∴ 函数y ＝x 2＋3x －5的值域是[－5，＋∞)．5. 函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是____________________．答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2解析：∵ x∈(－∞，1)∪[2，5)，∴ x －1∈(－∞，0)∪[1，4)．当x －1∈(－∞，0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1，4)时，2x －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.1. 函数的定义域(1) 函数的定义域就是使函数表达式有意义的所有的输入值x 组成的集合．在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观念．(2) 求定义域的步骤① 写出使函数有意义的不等式(组)． ② 解不等式(组)．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数中被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R ．⑤ y ＝tan x 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x 0的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与定义域中输入值x 对应的y 的值叫做输出值，所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域．(2) 基本初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 24a，＋∞)；当a<0时，值域为(－∞，4ac －b24a ]．③ y ＝kx (k≠0)的值域为{y|y≠0}．④ y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．⑥ y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tan x 的值域是R ． 3. 函数的最值一般地，设y ＝f(x)的定义域为A. (1) 如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x∈A，都有f (x)≤f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最大值，记为y max ＝f(x 0)．(2) 如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最小值，记为y min ＝f(x 0)．4. 值域与最值的关系若函数y ＝f(x)的最大值为b ，最小值为a ，那么y ＝f(x)的值域必定是数集[a ，b]的子集，若f(x)可以取到[a ，b]中的一切值，那么其值域就是[a ，b]．5. 复合函数如果函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)，则y ＝f(g(x))叫做由函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)合成的复合函数，u 叫做中间变量．y ＝f(u)(u∈A)，叫做该复合函数的外层函数，而u ＝g(x)(x∈B)叫做该复合函数的内层函数．注意：由u ＝g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即内层函数的值域是外层函数的定义域．6. 函数解析式的表示离不开函数的定义域．[备课札记], 1 求函数的定义域), 1) (1) 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域是__________． (2) 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为____________． 答案：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 (2) (－1，1) 解析：(1) 因为函数f(x)的定义域是[0，2]，所以函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12中的自变量x 需要满足：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x －12≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x≤32，12≤x ≤52.所以12≤x ≤32，所以函数g(x)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x<1.变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）|x|－x的定义域；(2) 函数f(x)的定义域是[－1，1]，求f(log 2x)的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0，∴ 函数定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)． (2) ∵ 函数f(x)的定义域是[－1，1]，∴ －1≤log 2x ≤1，∴ 12≤x ≤2.故f(log 2x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 备选变式（教师专享） 求下列函数的定义域：(1) y ＝lg （2－x ）12＋x －x2＋(x －1)0； (2) y ＝lg sin x ＋64－x 2. 解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，12＋x －x 2>0x －1≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x<2，－3<x<4x≠1，，∴ －3<x<2且x≠1，∴ 所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．(2) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，64－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<2k π＋π，k ∈Z ，－8≤x≤8. ∴ －2π<x<－π或0<x<π或2π<x ≤8.∴ 所求函数的定义域为(－2π，－π)∪(0，π)∪(2π，8]．, 2 求函数的值域), 2) 求下列函数的值域： (1) f(x)＝x －1－2x ；(2) y ＝1－x21＋x 2；(3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (解法1：换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是f(t)＝1－t22－t＝－12(t ＋1)2＋1.由于t≥0，所以f(t)≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(解法2：单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(2) y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x2－1.因为1＋x 2≥1，所以0<21＋x2≤2.所以－1<21＋x2－1≤1，即y∈(－1，1]．所以函数的值域为(－1，1]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y2－y.因为x∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t－2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域：(1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.∴ f(x)＝1－x ＋x ＋3的定义域是[－3，1]．令y ＝f(x)，则y≥0，∴ y 2＝4＋2（1－x ）（x ＋3），即y 2＝4＋2－（x ＋1）2＋4(－3≤x≤1)．令t(x)＝－(x ＋1)2＋4(－3≤x≤1)．∵ x ∈[－3，1]，由t(－3)＝0，t(－1)＝4，t(1)＝0，知0≤t(x)≤4，从而y 2∈[4，8]，即y∈[2，22]， ∴ 函数f(x)的值域是[2，22]．(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12＝（x ＋3）（x －3）（x －3）（x －4）＝x ＋3x －4＝1＋7x －4(x≠3且x≠4)．∵ x ≠3且x≠4，∴ g (x)≠1且g(x)≠－6.∴ 函数g(x)的值域是(－∞，－6)∪(－6，1)∪(1，＋∞)． (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}． 当x>1时，log 3x>0，log x 3>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1； 当0<x<1时，log 3x<0，log x 3<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]－1≤－2－1＝－3.∴ 函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)., 3 函数值和最值的应用)●典型示例, 3) 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．【思维导图】 函数恒成立→不等式恒成立→分类讨论→新函数的最值→a 的取值范围【规范解答】 解：(1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2.∵ f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴ f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2) (解法1)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，∴ x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)．∵ y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，∴ 当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.(解法2)f(x)＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，f(x)min ＝3＋a ， 当且仅当f(x)min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3. 【精要点评】 解法1运用转化思想把f(x)>0转化为关于x 的二次不等式；解法2运用了分类讨论思想．●总结归纳(1) 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．(2) 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求具备较高的数学思维能力、综合分析能力以及较强的运算能力．(3) 运用函数的值域解决实际问题此类问题的关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题目要求具有较强的分析能力和数学建模能力．●题组练透1. 函数y ＝x 2＋x ＋1的值域是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：∵ x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，∴ y ≥32，∴ 值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2. 函数y ＝x ＋1－2x 的值域是____________．答案：(－∞，1]解析：令1－2x ＝t(t≥0)，则x ＝1－t 22.∵ y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1≤1，∴ 值域为(－∞，1]．3. 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min ＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，∴ －1≤a≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a≤1时，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4；当1<a≤32时，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－(a －12)2＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2.∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4. 4. 已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R . (1) 求实数m 的取值范围；(2) 当m 变化时，若y 的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．解：(1) 当m ＝0时，x ∈R ；当m≠0时，m ＞0且Δ≤0，解得0＜m≤1.故实数m 的取值范围是0≤m≤1.(2) 当m ＝0时，f(0)＝22；当0＜m≤1时，因为y ＝m （x －3）2＋8－8m ，故f(m)＝8－8m(0＜m≤1)．所以f(m)＝8－8m (0≤m≤1)，其值域为[0，22]．1. 函数f(x)＝ln （2x －x 2）x －1的定义域为____________．答案：(0，1)∪(1，2)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2＞0，x －1≠0得0＜x ＜2且x≠1.2. 已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．答案：{1}解析： x 2－2x ＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a ＝0，则a ＝1.3. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为____________． 答案：(－∞，1]解析：可由函数的图象得到函数f(x)的值域为(－∞，1].4. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，2]解析：当x≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需当x ＞2时，f(x)＝3＋log a x 的值域在区间[4，＋∞)内即可，故a ＞1，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2]．5. 已知函数f(x)＝a x＋b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案：－32解析：当a>1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，该方程组无解；当0<a<1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，则a ＋b ＝12－2＝－32. 6. (2018·南阳一中二模)设g(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 若g(x)的定义域为R ，求m 的取值范围；(2) 若g(x)的值域为[0，＋∞)，求m 的取值范围．解：令f(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 由题意知f(x)≥0在R 上恒成立．① 当m ＝0时， f(x)＝x ＋1≥0在R 上不恒成立；② 当m≠0时，要满足题意必有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≤0，∴ m ≥14.综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2) 由题意知，f(x)＝mx 2＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数． ① 当m ＝0时，f(x)＝x ＋1可以取到一切大于或等于0的实数；② 当m≠0时，要满足题意必有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≥0，∴ 0<m ≤14.综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 点睛：本题主要考查函数的定义域与值域、分类讨论思想，属于中档题．分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数的问题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并能应用于解题当中．1. 函数f(x)＝|x －2|－1log 2（x －1）的定义域为__________．答案：[3，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1）≠0，x －1>0，|x －2|－1≥0，解得x≥3.2. (2018·溧阳中学周练)函数f(x)＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为____________．答案：[－4，0)∪(0，1)解析：函数的定义域必须满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得x∈[－4，0)∪(0，1)．3. 当x ＝__________________时，函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取得最小值．答案：a 1＋a 2＋…＋a nn解析：f(x)＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )，当x ＝a 1＋a 2＋…＋a nn时，f(x)取得最小值．4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x>2，x ＋a 2，x ≤2.若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________________．答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：f(x)的值域为R ，则22＋a≤2＋a 2，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞).5. 已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a ，b](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a ，b)共有______个．答案：5解析：由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2，解得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．6. 求函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2＋4的值域．解：函数y ＝f(x)的几何意义：平面内一点P(x ，0)到两点A(－3，4)和B(5，2)的距离之和就是y 的值．由平面几何知识，找出点B 关于x 轴的对称点B′(5，－2)．连结AB′，交x 轴于一点P ，点P 即为所求的最小值点，y min ＝AB′＝82＋62＝10.所以函数的值域为[10，＋∞)．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等．理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．[备课札记]第1课时 函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)15～17页)1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是________．(填序号)① y ＝1x 2；② y＝x 3；③ y＝x 0 ；④ y＝x 2.答案：④解析：∵ 函数y ＝x 2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴ 函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．2. (必修1P 44习题2改编)(1) 函数f(x)＝2x ＋1的单调增区间是__________；函数g(x)＝－3x ＋2在区间(－∞，＋∞)上为________函数．(2) 函数f(x)＝x 2－2x －1的单调增区间为________，单调减区间为________．(3) 函数f(x)＝－1x －1在区间(－∞，0)上是单调________函数．(4) 函数y ＝1x在区间[1，3]上是单调________函数．答案：(1) (－∞，＋∞) 单调减 (2) [1，＋∞) (－∞，1] (3) 增 (4) 减3. (必修1P 54本章测试6改编)若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m ＝__________．答案：10解析：函数y ＝5x 2＋mx ＋4的图象为开口向上，对称轴是x ＝－m 10的抛物线，要使函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m 10＝－1，∴ m ＝10.4. 已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：f(x)＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，由复合函数的增减性可知，g(x)＝1－2ax ＋2在(－2，＋∞)上为增函数，∴ 1－2a<0，∴ a>12.5. 设函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是____________．答案：f(－3)>f(－π)解析：由(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)．1. 增函数和减函数一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调增函数．(如图①所示)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调减函数．(如图②所示)2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间D 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说这个函数在这个区间D 上具有单调性(区间D 称为单调区间)．3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质如果f(x)，g(x)为增函数，则① f(x)＋g(x)为增函数；② 1f （x ）为减函数(f(x)>0)；③ f （x ）为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．(3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．4. 函数的单调性的证明方法 已知函数解析式，证明其在某区间上的单调性一般只能严格用定义(或导数)来证明．主要步骤：(1) 设元； (2) 作差(商)；(3) 变形(变形要彻底，一般通过因式分解、配方等方法，直到符号的判定非常明显)； (4) 判断符号； (5) 结论．[备课札记], 1 函数单调性的判断), 1) 判断函数f(x)＝axx 2－1(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性． 分析：此函数既不是常见函数，也不是由常见函数经过简单的复合而成，因此要判断其在区间(－1，1)上的单调性，只能用函数单调性的定义．解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a （x 1x 2＋1）（x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）. 由－1<x 1<x 2<1得（x 1x 2＋1）（x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）>0，∴ 当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(－1，1)上单调递减；同理，当a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增．备选变式（教师专享）证明函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上是减函数．证明：设任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2.f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1（1＋x 22）－x 2（1＋x 21）（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）. ∵ x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， ∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．∴ f(x)＝x1＋x2在[1，＋∞)上为减函数．点评：亦可证明函数f(x)＝x 1＋x 2在区间[－1，1]上是增函数．由于函数f(x)＝x1＋x2是定义在R 上的奇函数，故利用单调性与奇偶性可作出函数f(x)＝x1＋x2的图象．同时也可得到函数f(x)＝x 1＋x 2在[－1，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12., 2 求函数的单调区间), 2) 求下列函数的单调区间：(1) y ＝x 2－3|x|＋14；(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ； (3) y ＝log 2(6＋x －2x 2)．解：(1) ∵ y＝x 2－3|x|＋14＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －322－2（x≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－2（x<0）， ∴ 由图象可知，y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上为增函数．(2) 易得定义域为R ，令u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则u 在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．(3) 由题意得6＋x －2x 2>0，化简得2x 2－x －6<0，即(2x ＋3)(x －2)<0，解得－32<x<2，即定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.设u ＝6＋x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋498，易知其在⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2上为减函数，又y ＝log 2u 在定义域上为增函数，∴ y ＝log 2(6＋x －2x 2)的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14，单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2. 点评：已知函数的解析式，讨论或求函数的单调区间，应首先确定函数的定义域，然后再根据复合函数单调性的判断规则在函数的定义域内求内层函数相应的单调区间．变式训练函数y ＝－(x －3)|x|的单调递增区间是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －3）x ，x ≥0，（x －3）x ，x<0.画图象如图所示，可知单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.备选变式（教师专享）作出函数f(x)＝|x 2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．解：当x≥1或x≤－1时， y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54；当－1<x<1时， y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.函数图象如图，由函数图象可知函数单调减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1；单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞)．,。

2019年全品高考复习方案理科数学第2单元 集合与常用逻辑用语听课答案-第二单元-函数、导数及其应用

2019年全品高考复习方案理科数学第2单元 集合与常用逻辑用语听课答案-第二单元-函数、导数及其应用

全品高考复习方案数学(理科) RJA 第二单元函数、导数及其应用1.编写意图函数是高考内容的重要组成部分,是一轮复习的重点和难点.编写中注意到以下几个问题: (1)该部分内容是第一轮复习初始阶段的知识,因此在选题时注重以基础题为主,尽量避免选用综合性强、思维难度大的题目;(2)函数与方程、分类讨论、数形结合以及化归与转化等数学思想与方法在本单元中均有涉及;(3)突出了函数性质的综合应用;(4)有意识地将函数中的单调性、极值、最值问题与解析几何中的切线、最值问题和不等式的证明等进行交汇,特别是精选一些以导数为解题工具的典型函数问题、切线问题,充分体现导数的工具性.2.教学建议教学时,注意到如下几个问题:(1)重视教材的基础作用和示范作用.函数客观题一般直接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生长点也是教材,在函数的复习备考中,要重视教材中一些有典型意义又有创新意识的题目,将其作为函数复习过程中的范例与习题,贯彻“源于课本,高于课本”的原则.(2)阐明知识系统,掌握内在联系.知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志,函数的概念、图像和性质是环环相扣、紧密相连、互相制约的,并形成了一个有序的网络化的知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式以及例题,只有这样,学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、牢固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.(3)关注几类特殊函数.学生对抽象函数的理解较为困难,但抽象函数对培养学生的观察能力有十分重要的作用,应结合高考情况,予以适当关注,但选题不宜过难.分段函数是近几年高考命题的热点,在客观题和主观题中都有涉及,应给予重点关注.(4)在复习中要让学生明确导数作为一种工具在研究函数的变化率、单调性和极值等方面的作用,使学生掌握这种科学的工具,从而加深对函数的理解和直观认识.(5)重视渗透数学思想方法.函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和数形结合思想,数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法以及构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托的,在复习教学中,要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维过程,有意识地渗透思想方法,使学生从更高层次去领悟、把握、反思数学知识,增强数学意识,提高数学能力.3.课时安排本单元包括12讲、三个小题必刷卷、一个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,其中第14讲4课时,三个小题必刷卷、一个解答必刷卷建议学生独立完成,本单元大约共需15课时.第4讲函数概念及其表示考试说明1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).考情分析考点 考查方向考例考查热度 函数与映射的概念 判断给出的对应是否为函数、映射★☆☆函数的定义域和值域 求函数的定义域、值域,根据定义域、值域确定参数值或者取值范围等★☆☆ 函数的解析式 确定函数的解析式 2015全国卷Ⅱ13 ★☆☆分段函数 求分段函数的值、解方程和不等式等2017全国卷Ⅲ15,2015全国卷Ⅰ10,2015全国Ⅱ5,2014全国卷Ⅰ15★★★真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是 ( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x[解析] D y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f (x )={1+log 2(2-x),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A .3B .6C .9D .12[解析] C 因为f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2(log 212-1)=6,所以f (-2)+f (log 212)=9,故选C . 3.[2017·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . [答案] (-14,+∞)[解析] f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,f (x )+f (x -12)>1,即f (x -12)>1-f (x ),由图像变换可画出y=f (x -12)与y=1-f (x )的大致图像如图所示:易得两图像的交点为(-14,14),则由图可知,满足f(x-12)>1-f(x)的x的取值范围为(-14,+∞).■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设f(x)={√x,0<x<1,2(x-1),x≥1.若f(a)=f(a+1),则f(1a)=()A.2B.4C.6D.8[解析] C当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得√a=2(a+1-1)=2a,解得a=14,此时f(1a)=f(4)=2×(4-1)=6; 当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f(1a)=6,故选C.2.[2017·天津卷]已知函数f(x)={|x|+2,x<1,x+2x,x≥1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2√3,2]C.[-2,2√3]D.[-2√3,2√3][解析] A方法一:由题意可知,函数y=f(x)的图像恒不在函数y=x2+a的图像下方,画出函数y=f(x)和函数y=x2的图像,如图所示.当a=0时,显然f (x )>x2+a ;当a<0时,函数y=x2+a 的图像由函数y=x 2的图像向右平移|2a|个单位得到,由图可知,当函数y=x 2+a 在x<-2a 部分的图像经过点(0,2)时,a 取得最小值,此时a=-2;当a>0时,函数y=x2+a 的图像由函数y=x 2的图像向左平移2a 个单位得到,由图可知,当函数y=x 2+a 在x>-2a 部分的图像经过点(0,2)或与函数y=f (x )在x>1部分的图像相切时,a 取得最大值,而经过点(0,2)时,a=2,当函数y=x 2+a 在x>-2a 部分的图像与函数y=f (x )在x>1部分的图像相切时,设切点为P (x 0,y 0)(x 0>1),因为x>1时,f'(x )=1-2x 2,则1-2x 02=12,解得x 0=2,所以y 0=3,又点P (2,3)在函数y=x2+a 在x>-2a 部分的图像上,所以22+a =3,解得a=2,因此a 的最大值为2.综上所述,a 的取值范围是[-2,2].方法二:不等式f (x )≥x2+a 转化为-f (x )≤x 2+a ≤f (x ),当x<1时,有-|x|-2≤x 2+a ≤|x|+2,即-|x|-2-x2≤a ≤|x|+2-x2.又∵当x<0时,-|x|-2-x 2=x2-2<-2,|x|+2-x2=-3x2+2>2,当0≤x<1时,-|x|-2-x2=-3x2-2≤-2,|x|+2-x 2=x2+2≥2,∴-2≤a ≤2;当x ≥1时,有-x-2x ≤x2+a ≤x+2x ,即-32x-2x ≤a ≤12x+2x ,又∵-32x-2x ≤-2√3,12x+2x ≥2,∴-2√3≤a ≤2.综上,-2≤a ≤2.3.[2016·江苏卷] 函数y=√3-2x -x 2的定义域是 .[答案] [-3,1][解析] 令3-2x-x 2≥0可得x 2+2x-3≤0,解得-3≤x ≤1,故所求函数的定义域为[-3,1]. 【课前双基巩固】 知识聚焦1.非空数集 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 f :A →B f :A →B2.定义域 值域 定义域 值域3.解析法 图像法 列表法4.对应关系 对点演练1.④ [解析] ①②对于定义域内任给的一个数x ,可能有两个不同的y 值,不满足对应的唯一性,故①②错;③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错;只有④表示函数.2.-1 [解析] 因为f (e)=ln e -2=-1,所以f [f (e)]=f (-1)=-1+a=2a ,解得a=-1.3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数有意义,则8-x ≥0且x+3≠0,即x ≤8且x ≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7 [解析] 值域C 可能为:只含有一个元素时有{a },{b },{c };有两个元素时,有{a ,b },{a ,c },{b ,c };有三个元素时有{a ,b ,c }.所以共有7种.5.③ [解析] 对于③,因为当x=4时,y=23×4=83∉Q ,所以③不是函数. 6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f (x )是分段函数,∴f (x )≥1应分段求解.当x<1时,f (x )≥1⇒(x+1)2≥1⇒x ≤-2或x ≥0,∴x ≤-2或0≤x<1. 当x ≥1时,f (x )≥1⇒4-√x -1≥1,即√x -1≤3,∴1≤x ≤10. 综上所述,x ≤-2或0≤x ≤10,即x ∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x 2-1(x ≥0) [解析] 令t=√x ,则t ≥0,x=t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0).8.9 [解析] 设函数y=x 2的定义域为D ,其值域为{1,4},D 的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D 的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)求出函数y=e ln x 的定义域和值域,再求出选项中的函数的定义域和值域,比较可得结论;(2)根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.(1)C (2)C [解析] (1)函数y=e ln x 的定义域和值域均为(0,+∞).函数y=x 的定义域和值域都是R,不满足要求;函数y=ln x 的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=10x 的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=√x 的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选C .(2)由题意得{x +1≥0,6-3x >0,解得-1≤x<2,故函数的定义域是[-1,2).例2 [思路点拨] (1)依题意得出-1≤x 2-3<1,解之可得定义域;(2)由x ∈[-1,2],求得2x 的范围为12,4,再由12≤log 2x ≤4,即可求出函数的定义域.(1)(-2,-√2]∪[√2,2) (2)[√2,16] [解析] (1)由题意知{x 2-3≥-1,x 2-3<1,解得{x ≤-√2或x ≥√2,-2<x <2.所以函数的定义域为(-2,-√2]∪[√2,2). (2)由已知x ∈[-1,2],得2x ∈12,4,故f (x )的定义域为12,4,所以在函数y=f (log 2x )中,有12≤log 2x ≤4,解得√2≤x ≤16,故f (log 2x )的定义域为[√2,16].例3 [思路点拨] (1)根据函数有定义列出不等式组,求得定义域,再对a 分类讨论得a 的范围;(2)分m 等于0和不等于0两种情况分析.(1) B (2) [0,+∞) [解析] (1)函数f (x-a )+f (x+a )的定义域为 [a ,1+a ]∩[-a ,1-a ],当a ≥0时,应有a ≤1-a ,即0≤a ≤12;当a<0时,应有-a ≤1+a ,即-12≤a<0.所以a 的取值范围是-12,12.故选B .(2)当m=0时,y=√8,其定义域为R;当m ≠0时,由定义域为R 可知,mx 2-6mx+9m+8≥0对一切实数x 均成立,于是有{m >0,Δ=(-6m)2-4m(9m +8)≤0,解得m>0.综上可知,实数m 的取值范围为[0,+∞). 强化演练1.C [解析] 因为函数y=f (x )的定义域是[-2,3],所以-2≤2x-1≤3,可得-12≤x ≤2,即y=f (2x-1)的定义域是-12,2,故选C .2.A [解析] 函数y=f (x )的定义域是[0,2],要使函数g (x )有意义,可得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x<1,故选A .3.(0,1] [解析] 函数的定义域满足{1+1x >0,1-x 2≥0,解得{x >0或x <-1,-1≤x ≤1,∴0<x ≤1,故填(0,1].4.(-∞,-12)∪(12,+∞) [解析] 易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax 2+x+a>0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,所以a>12; 当a<0时,必有ax 2+x+a<0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,所以a<-12.所以实数a 的取值范围是-∞,-12∪12,+∞.5.(-∞,-2]∪[12,1) [解析] 由已知得A={x|x<-1或x ≥1},B={x|(x-a-1)(x-2a )<0},由a<1得a+1>2a ,∴B={x|2a<x<a+1}.∵B ⊆A ,∴a+1≤-1或2a ≥1,∴a ≤-2或12≤a<1.∴a 的取值范围为a ≤-2或12≤a<1.例4 [思路点拨] (1)用换元法,令s=3x -1(s>-1),求出f (s )即可;(2)用待定系数法;(3)用构造法,根据已知方程构造含有f (x )和f (1x )的方程组.(1)ln 3x+1(x>-1) (2)12x 2-32x+5 (3)-38√x -18 [解析] (1)令s=3x -1(s>-1),则x=3s+1,所以f (s )=ln3s+1(s>-1),即f (x )=ln3x+1(x>-1).(2)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),由f (0)=5,得c=5,又f (x+1)-f (x )=a (x+1)2+b (x+1)+5-(ax 2+bx+5)=x-1,则2ax+a+b=x-1,所以{2a =1,a +b =-1, 即{a =12,b =-32.所以f (x )=12x 2-32x+5. (3)在f (x )=3√x ·f (1x )+1中,将x 换成1x ,则1x 换成x ,得f (1x )=3√1x ·f (x )+1,将该方程代入已知方程消去f (1x ),得f (x )=-38√x -18.变式题 (1)x 2-1(x ≥1) (2)-12x (x+1) (3)23lg(x+1)+13lg(1-x )(-1<x<1) [解析] (1)令√x +1=t (t ≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f (t )=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,所以f (x )=x 2-1(x ≥1).(2)当-1≤x<0时,0≤x+1<1,由已知得f (x )=12f (x+1)=-12x (x+1).(3)当x ∈(-1,1)时,有2f (x )-f (-x )=lg(x+1)①.将x 换成-x ,则-x 换成x ,得2f (-x )-f (x )=lg(-x+1)②.由①②消去f (-x )得,f (x )=23lg(x+1)+13lg(1-x )(-1<x<1).例5 [思路点拨] (1)先求f (-1),再求f [f (-1)]的值;(2)根据自变量的不同取值选择不同的分段解析式求解.(1)√22 (2)4 [解析] (1)∵函数f (x )={1-2x ,x ≤0,x 12,x >0,∴f (-1)=1-2-1=12,f [f (-1)]=f (12)=(12)12=√22. (2)∵f (3)=f (9)=1+log 69,f (4)=1+log 64,∴f (3)+f (4)=2+log 636=4. 例6 [思路点拨] 分别就自变量在不同区间上分类求解.B [解析] 因为f (x )={2x -2,x ≥0,-x 2+3,x <0,所以若f (a )=2,则当a ≥0时,2a -2=2,解得a=2;当a<0时,-a 2+3=2,得a=-1.综上a 的取值为-1或2.例7 [思路点拨] (1)分a ≤0与a>0讨论求解不等式f (a )>12,得a 的范围;(2)利用分段函数化简,由里及外列出方程求解即可.(1)D (2)2 [解析] (1)当a ≤0时,2a >12,解得-1<a ≤0;当a>0时,lo g 13a>12,解得0<a<√33.∴a ∈(-1,0]∪0,√33,即a ∈-1,√33.(2)易知f (4)=0,则f [f (4)]=f (0)=1+13a 3=113,解得a=2.强化演练1.B [解析] ∵2+log 31<2+log 32<2+log 33,即2<2+log 32<3,∴f (2+log 32)=f (2+log 32+1)=f (3+log 32),又3<3+log 32<4,∴f (3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3-1)log 32=127×3-log 32=127×3log 312=127×12=154,∴f (2+log 32)=154.2.B [解析] 由f (0)=2,f (-1)=3可得1+b=2,a -1+b=3,可得a=12,b=1,所以f (x )={log 13x,x >0,(12)x+1,x ≤0,那么f [f (-3)]=f (12)-3+1=f (9)=lo g 139=-2.3.B [解析] 当2-a ≥2,即a ≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1;当2-a<2,即a>0时,-log 2[3-(2-a )]=1,解得a=-12,不符合,舍去.所以a=-1.4.D [解析] ∵函数f (x )={2-2x ,x ≤-1,2x +2,x >-1,且f (a )≥2,∴{a ≤-1,2-2a ≥2或{a >-1,2a +2≥2,即a ≤-1或a ≥0.5.C [解析] 由已知函数和f [f (a )]=2f (a ),得f (a )≥1.若a<1,则3a-1≥1,解得a ≥23,此时23≤a<1;若a≥1,则2a ≥1,解得a ≥0,此时a ≥1.综上可知a ≥23,即a 的取值范围是[23,+∞).【备选理由】例1考查抽象函数的定义域问题;例2利用值域求参数,考查分段函数的图像与性质以及数形结合思想;例3考查分段函数与不等式的问题,体会数形结合思想在解题中的应用.1 [配合例2使用] 已知函数f (3-2x )的定义域为[-1,2],则函数f (x )的定义域为 . [答案] [-1,5][解析] 因为函数f (3-2x )的定义域为[-1,2],所以-1≤x ≤2,所以-4≤-2x ≤2,所以-1≤3-2x ≤5,所以f (x )的定义域为[-1,5].2 [配合例3使用] [2017·重庆二诊] 设函数f (x )={log 2(-x2),x ≤-1,-13x 2+43x +23,x >-1,若f (x )在区间[m ,4]上的值域为[-1,2],则实数m 的取值范围为 . [答案] [-8,-1][解析] 由题意,可以考虑采用数形结合法,作出函数f (x )的图像(如图),当x ≤-1时,函数f (x )=log 2(-x 2)单调递减,且最小值为f (-1)=-1,则令log 2(-x2)=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f (x )=-13x 2+43x+23在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f (2)=2,且f (4)=23<2,f (-1)= -1.综上得所求实数m 的取值范围为[-8,-1].3 [配合例7使用] 设函数f (x )={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0,若f [f (a )]≤2,则实数a 的取值范围是 . [答案] (-∞,√2][解析] 函数f (x )={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0的图像如图所示,由f [f (a )]≤2,可得 f (a )≥-2.当a<0时,f (a )=a 2+a=a+122-14≥-2恒成立;当a ≥0时,f (a )=-a 2≥-2,即a 2≤2,得0≤a ≤√2.则实数a 的取值范围是a ≤√2.第5讲 函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.考情分析考点 考查方向 考例 考查热度 函数单调性 求函数单调区间、确定函数的单调性2017全国卷Ⅱ8★☆☆单调性 的应用 利用单调性比较大小、求最值,根据单调性确定参数的取值范围、求参数值,利用单调性求解不等式等 2017全国卷Ⅰ5, 2015全国卷Ⅱ12★★☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ] 函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A .(-∞,-2) B .(-∞,1) C .(1,+∞) D .(4,+∞)[解析] D 函数y=x 2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x 2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x 2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).2.[2017·全国卷Ⅰ] 函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3][解析] D 因为f (x )为奇函数,所以f (-1)=1,不等式-1≤f (x-2)≤1,即f (1)≤f (x-2)≤f (-1),因为f (x )单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3,故x 的取值范围为[1,3]. ■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷] 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (-log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为 ( ) A .a<b<c B .c<b<a C .b<a<c D .b<c<a[解析] C 由函数f (x )为奇函数且在R 上单调递增,可知当x>0时,f (x )>0,∴g (x )=xf (x )为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴c=g (3)>a=g (-log 25.1)=g (log 25.1)>g (2),b=g (20.8)<g (2),∴b<a<c. 2.[2017·北京卷] 已知函数f (x )=3x -(13)x ,则f (x ) ( )A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数 [解析] A因为f (-x )=3-x -(13)-x =(13)x -3x =-3x -(13)x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为y=3x 为增函数,y=(13)x为减函数,所以f (x )=3x -(13)x为增函数.故选A .3.[2017·山东卷] 若函数e x f (x )(e =2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 ( ) A .f (x )=2-x B .f (x )=x 2 C .f (x )=3-x D .f (x )=cos x [解析] A 令g (x )=e x f (x ).对于A,f (x )的定义域为R,g (x )=e x 2-x =(e 2)x 在R 上单调递增,所以f (x )具有M 性质;对于B,f (x )的定义域为R,g (x )=e x x 2,g'(x )=e x x 2+2e x x=e x (x 2+2x )≥0在R 上不恒成立,所以g (x )在R 上不单调递增,所以f (x )不具有M 性质;对于C,f (x )的定义域为R,g (x )=e x 3-x =(e 3)x 在R 上单调递减,所以f (x )不具有M 性质;对于D,f (x )的定义域为R,g (x )=e x cos x ,g'(x )=e x cos x-e x sin x=e x (cos x-sin x )≥0在R 上不恒成立,所以g (x )在R 上不单调递增,所以f (x )不具有M 性质.故选A . 4.[2016·北京卷] 已知x ,y ∈R,且x>y>0,则 ( ) A .1x -1y >0 B .sin x-sin y>0 C .12x -12y<0 D .ln x+ln y>0[解析] C 选项A 中,因为x>y>0,所以1x <1y ,即1x -1y <0,故结论不成立;选项B 中,当x=5π6,y=π3时,sinx-sin y<0,故结论不成立;选项C 中,函数y=12x是定义在R 上的减函数,因为x>y>0,所以12x <12y ,所以12x -12y<0;选项D 中,当x=e -1,y=e -2时,结论不成立.5.[2017·江苏卷] 已知函数f (x )=x 3-2x+e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数.若f (a-1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是 . [答案] [-1,12][解析] 因为f (-x )=-x 3+2x+e -x -e x =-f (x ),f (0)=0,所以f (x )是奇函数,则f (a-1)+f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤f (1-a ).又f'(x )=3x 2-2+e x +e -x ≥3x 2-2+2√e x ·e -x =3x 2≥0,所以f (x )在R 上单调递增,则2a 2≤1-a ,即-1≤a ≤12.【课前双基巩固】 知识聚焦1.f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的2.增函数或减函数 区间D3.f (x )≥M f (x 0)=M 对点演练1.a<12[解析] 当2a-1<0,即a<12时,f (x )是R 上的减函数.2.(2,3] [-3,2] [解析] 由函数f (x )=(x-2)2+5(x ∈[-3,3])的图像即可得到单调区间.3.32 [解析] 函数f (x )=3x+1在[2,5]上是减函数,所以最大值为f (2)=1,最小值为f (5)=12.所以最大值与最小值之和为1+12=32.4.a ≤2 [解析] 因为函数f (x )=|x-a|+1的单调递增区间是[a ,+∞),当f (x )在[2,+∞)上单调递增时,满足[2,+∞)⊆[a ,+∞),所以a ≤2.5.[32,4) [解析]函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x+4=-(x -32)2+254,x ∈(-1,4)的单调递减区间为[32,4),∴函数f (x )的单调递减区间为[32,4).6.(-∞,138] [解析] 由题知函数f (x )是R 上的减函数,于是有{a -2<0,(a -2)×2≤(12)2-1,由此解得a ≤138,即实数a 的取值范围是(-∞,138] . 7.[-1,1) [解析] 由条件知{-2≤a +1≤2,-2≤2a ≤2,a +1>2a,解得-1≤a<1.8.(1)a ≤-3 (2) -3 [解析] (1)函数图像的对称轴为直线x=1-a ,由1-a ≥4,得a ≤-3. (2)函数图像的对称轴为直线x=1-a ,由1-a=4,得a=-3. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 直接判断单调性即可,按照单调性的定义证明单调性. 解:该函数在(-1,1)上单调递减.证明如下: 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 12-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 12+ax 2(x 12-1)(x 22-1)=a(x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 12-1)(x 22-1).∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 12-1)(x 22-1)>0.又a>0,∴f (x 1)-f (x 2)>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减.变式题 C [解析] 对于A,在(0,+∞)上单调递减,故A 错;对于B,在(0,+∞)上先减后增,故B 错;对于C,在(0,+∞)上单调递增,故C 对;对于D,在(0,+∞)上单调递减,故D 错.选C .例2 [思路点拨] (1)先求出函数y=x 2-2x-8在y>0时的单调递增区间,再根据复合函数的单调性的性质判断f (x )的单调性;(2)作出函数g (x )的图像,由图像可得单调区间.(1)D (2)[0,1) [解析] (1)函数y=x 2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x 2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x 2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)由题意知g (x )={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,该函数图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).变式题 (1)B (2)(-∞,2] [解析] (1)令t=2x 2-3x+2,则y=(14)t,由复合函数的单调性易知在(-∞,34]上单调递增,故选B .(2)因为f (x )在R 上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因此g (x )的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].例3 [思路点拨] (1)转化为同底的指数函数、对数函数,依据它们的单调性比较大小;(2)由已知可知f (x )-ln x 为定值,设为t ,则f (x )=ln x+t ,求出t ,再结合函数的单调性分析可得答案. (1)C (2)c>a>b [解析] (1)因为a=log 52<log 5√5=12,b=(32)57>(32)0=1,c=log 73∈(log 7√7,log 77)即c ∈12,1,故b>c>a.故选C .(2)根据题意,对任意的x ∈(0,+∞),都有f [f (x )-ln x ]=e +1,又由f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数,则f (x )-ln x 为定值,设t=f (x )-ln x ,则f (x )=ln x+t.又由f (t )=e +1,即ln t+t=e +1,解得t=e,则f (x )=lnx+e(x>0),则f (x )为增函数.又由(12)13=√123=√146,(13)12=√13=√1276,log 2π>1,则有(13)12<(12)13<log 2π,则有c>a>b.例4 [思路点拨] (1)构造函数,利用单调性把求解的不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式;(2)可判断出f (x )为增函数,于是可将函数不等式转化为常规不等式. (1)D (2)(1,2) [解析] (1)由已知条件知,f (x 1)-x 1<f (x 2)-x 2对任意x 1<x 2恒成立,故函数g (x )=f (x )-x 为R 上的增函数,且g (-3)=f (-3)-(-3)=-1.不等式f (log 12|3x -1|)>lo g 12|3x -1|-1,即f (log 12|3x -1|)-lo g 12|3x -1|>-1,即g (lo g 12|3x -1|)>g (-3),所以lo g 12|3x -1|>-3,得0<|3x -1|<8,解得x<2且x ≠0,故所求不等式的解集为(-∞,0)∪(0,2).(2)因为y=e x ,y=x 3在R 上均为增函数,所以函数f (x )为增函数,所以不等式f (x 2)<f (3x-2)等价于x 2<3x-2,即x 2-3x+2<0⇔1<x<2,故x ∈(1,2).例5 [思路点拨] 变换函数解析式,利用常见函数的单调性确定f (x )的单调性,从而得到函数的最大值和最小值. 4033 [解析] f (x )=2017x+1+20162017x +1+2016sin x=2017x+1+2017-12017x +1+2016sin x=2017-12017x +1+2016sin x.显然该函数在区间-π2,π2上单调递增,故最大值为f π2,最小值为f -π2,所以M+N=fπ2+f -π2=2017-12017π2+1+2016+2017-12017-π2+1-2016=4034-12017π2+1-2017π21+2017π2=4034-1=4033.例6 [思路点拨] 根据一次函数以及指数函数的单调性得到不等式组,解出即可. D [解析] 由题意得{3-a >0,a >1,3-a ≤a,解得32≤a<3,故选D .强化演练1.B [解析] 根据题意可知,函数f (x )在(0,+∞)上单调递减.而1<log 47<log 49=log 23,0<0.20.6<0.20=1,所以log 23>log 47>0.20.6,所以b<a<c.2.(-√5,-2)∪(2,√5) [解析] 因为函数f (x )=ln x+2x 在定义域上单调递增,且f (1)=ln 1+2=2,所以由f (x 2-4)<2得f (x 2-4)<f (1),所以0<x 2-4<1,解得-√5<x<-2或2<x<√5.3.1 [解析] 当x>1时,y=lo g 13x 是减函数,得y<0;当x ≤1时,y=-x 2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,得y ≤1.综上得f (x )的最大值是1.4.1 [解析] ∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称,∵函数f (x )=2|x-a|(a ∈R)的图像以直线x=a 为对称轴,∴a=1,∴f (x )在[1,+∞)上单调递增.∵f (x )在[m ,+∞)上单调递增,∴m ≥1,则m 的最小值为1.5.a ≥-12 [解析] 若函数f (x )=ln(ax 2+x )在区间(0,1)上单调递增,则函数g (x )=ax 2+x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立.当a=0时,g (x )=x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0,符合题意;当a>0时,g (x )图像的对称轴为x=-12a <0,且有g (x )>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g (x )图像的对称轴x=-12a ≥1,且有g (x )>0,解得a ≥-12,则-12≤a<0.综上,a ≥-12.【备选理由】例1为抽象函数单调性的判断与证明问题,目的是让学生掌握抽象函数单调性的解决方法;例2为利用指数函数、对数函数的单调性比较大小问题;例3为利用分段函数的单调性解决不等式恒成立问题,需要对所给函数的单调性进行判断,进而将所要求解的不等式转化为常规不等式.1 [配合例1使用] [2018·南阳一中月考] 已知x ≠0时,函数f (x )>0,对任意实数x ,y 都有f (xy )=f (x )f (y ),且f (27)=9,当0≤x<1时,f (x )∈[0,1).(1)判断f (x )在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (2)若a ≥0且f (a+1)≤√93,求a 的取值范围. 解:(1)f (x )在[0,+∞)上单调递增.证明如下: 设0≤x 1<x 2,∴0≤x 1x 2<1,f (x 1)=f (x 1x 2·x 2)=f (x1x 2)·f (x 2).∵当0≤x<1时,f (x )∈[0,1),∴f (x1x 2)<1,∴f (x 1)<f (x 2),故f (x )在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f (27)=9,又f (3×9)=f (3)·f (9)= f (3)·f (3)·f (3)=[f (3)]3,∴9=[f (3)]3,即f (3)=√93.∵f (a+1)≤√93,∴f (a+1)≤f (3). ∵a ≥0,∴a+1∈[1,+∞),∴a+1≤3, 即a ≤2,又a ≥0,故0≤a ≤2.2 [配合例3使用] [2017·重庆第二外国语学校月考] 设a=(53)16,b=(35)-15,c=ln 23,则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a>b>c B .b>a>cC .b>c>aD .a>c>b[解析] B ∵0<a=(53)16<b=(35)-15=(53)15,c=ln 23<ln 1=0,∴b>a>c.3 [配合例4使用] [2017·长安一中质检] 已知f (x )={x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,不等式f (x+a )>f (2a-x )在[a ,a+1]上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)B .(-∞,0)C .(0,2)D .(-2,0)[解析] A 二次函数y=x 2-4x+3图像的对称轴是直线x=2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x 2-4x+3≥3,同样可知函数y=-x 2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,∴-x 2-2x+3<3,∴f (x )在R 上单调递减.∴由f (x+a )>f (2a-x )得到x+a<2a-x ,即2x<a ,∴2x<a 在[a ,a+1]上恒成立,∴2(a+1)<a ,∴a<-2,∴实数a 的取值范围是(-∞,-2).故选A .第6讲 函数的奇偶性与周期性考试说明 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.考情分析考点 考查方向考例考查热度 函数奇偶性的判断 判断给出的函数的奇偶性 2014全国卷Ⅰ3 ★★☆ 函数奇偶性的应用 已知奇偶性求参数值、函数值等2017全国卷Ⅱ14,2017全国卷Ⅰ5,2015全国卷Ⅰ13 ★★☆ 函数周期性及其应用 判断函数的周期、利用周期性求函数值等★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ] 函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3][解析] D 因为f (x )为奇函数,所以f (-1)=1,不等式-1≤f (x-2)≤1,即f (1)≤f (x-2)≤f (-1),因为f (x )单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3,故x 的取值范围为[1,3].2.[2014·全国卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .f (x )g (x )是偶函数 B .|f (x )|g (x )是奇函数 C .f (x )|g (x )|是奇函数 D .|f (x )g (x )|是奇函数[解析] C 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C .3.[2017·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=2x 3+x 2,则f (2)= . [答案] 12[解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12. 4.[2015·全国卷Ⅰ] 若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . [答案] 1[解析] 由f (-x )=f (x )得-x ln(-x+√a +x 2)=x ln(x+√a +x 2),即x [ln(x+√a +x 2)+ln(-x+√a +x 2)]=x ln a=0对定义域内的任意x 恒成立,因为x 不恒为0,所以ln a=0,所以a=1.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题 1.[2017·北京卷] 已知函数f (x )=3x -(13)x ,则f (x ) ()A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数[解析] A 因为f (-x )=3-x -(13)-x=(13)x-3x =-3x -(13)x=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为y=3x 为增函数,y=(13)x为减函数,所以f (x )=3x -(13)x 为增函数.故选A .2.[2016·山东卷] 已知函数f (x )的定义域为R .当x<0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x>12时,f x+12=f x-12.则f (6)= ( )A .-2B .-1C .0D .2[解析] D ∵当x>12时,f x+12=f x-12,∴f (x )的周期为1,则f (6)=f (1).又∵当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ),∴f (1)=-f (-1).又∵当x<0时,f (x )=x 3-1,∴f (-1)=(-1)3-1=-2,∴f (6)=-f (-1)=2.3.[2017·山东卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x ∈[-3,0] 时,f (x )=6-x ,则f (919)= . [答案] 6[解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.4.[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f (x )={x +a,-1≤x <0,|25-x|,0≤x <1,其中a ∈R .若f -52=f 92,则f (5a )的值是 .[答案] -25[解析] 因为f (x )的周期为2,所以f -52=f -12=-12+a ,f92=f12=110,即-12+a=110,所以a=35,故f (5a )=f (3)=f (-1)=-25.5.[2016·四川卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=4x ,则f-52+f (1)= .[答案] -2[解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ), 所以f (1)=f (-1),f (1)=-f (-1),即f (1)=0. 又f (-52)=f (-12)=-f (12),f12=412=2,所以f (-52)=-2,从而f (-52)+f (1)=-2.【课前双基巩固】 知识聚焦1.f (-x )=f (x ) f (-x )=-f (x ) y 轴 原点2.f (x+T )=f (x ) 最小的正数 最小正数 对点演练1.2 [解析] f (x )=x 2-1和f (x )=x 2+cos x 为偶函数.2.减 减 [解析] 根据奇偶函数图像的对称性可得.3.1-√2 [解析] f (-2)=-f (2)=-(√2-1)=1-√2.4.1 [解析] 因为f (x+3)=f (x ),所以f (x )是以3为周期的周期函数,所以f (2017)=f (672×3+1)=f (1)=log 4(12+3)=1.5.奇 [解析] 由{1-x 2>0,|x +3|-3≠0,得-1<x<1且x ≠0,∴函数f (x )的定义域为(-1,0)∪(0,1).∴f (x )=lg(1-x 2)|x+3|-3=lg(1-x 2)x,∴f (-x )=lg(1-x 2)-x =-f (x ),∴f (x )是奇函数.6.①③ [解析] 对于①,f (1x )=1x -x=-f (x ),满足题意;对于②,f (1x )=1x +11x=f (x )≠-f (x ),不满足题意;对于③,f (1x )={ 1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x,1x>1,即f (1x )={1x ,x >1,0,x =1,-x,0<x <1,故f (1x)=-f (x ),满足题意.7.2 [解析] ∵f (x )=-f (x +32),∴f (x+3)=f [(x +32)+32]=-f (x +32)=f (x ),∴f (2017)=f (3×672+1)=f (1)=2.8.{x 2+4x -3,x >0,0,x =0,-x 2+4x +3,x <0 [解析] 设x<0,则-x>0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2+4(-x )-3]=-x 2+4x+3,由奇函数的定义可知f (0)=0,所以f (x )= {x 2+4x -3,x >0,0,x =0,-x 2+4x +3,x <0.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用函数奇偶性的性质直接判断;(2)对于①②两个函数,先求定义域,再等价化简函数解析式,然后用奇偶性的性质判断,对于③可用图像法判断.(1)C (2)C [解析] (1)因为f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),于是f (-x )·g (-x )=-f (x )g (x ),即f (x )g (x )为奇函数,A 错误;|f (-x )|g (-x )=|f (x )|g (x ),即|f (x )|g (x )为偶函数,B 错误;f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,即f (x )|g (x )|为奇函数,C 正确;|f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,即|f (x )g (x )|为偶函数,所以D 错误.故选C .(2)①中,易知函数的定义域为{-√2,√2},所以f (x )=0,所以f (-x )=-f (x )且f (-x )=f (x ),所以①既是奇函数又是偶函数;②中,由{1-x 2>0,|x -3|-3≠0得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,所以x-3<0,所以f (x )=ln(1-x 2)-x,验证知f (-x )=-f (x )成立,所以②是奇函数;作出图像(图略),知③是奇函数.故选C .变式题 (1)A (2)D [解析] (1)易知h (x )=f (x )+g (x )的定义域为{x|x ≠0}.因为f (-x )+g (-x )=-x 2-x -1+-x2=-x ·2x 1-2x -x 2=x(1-2x )-x 1-2x-x2=x 2x -1+x2=f (x )+g (x ),所以h (x )=f (x )+g (x )是偶函数.故选A .(2)对于选项A,函数的定义域为R,f (-x )=-x+sin 2(-x )=-(x+sin 2x )=-f (x ),所以f (x )=x+sin 2x 为奇函数;对于选项B,函数的定义域为R,f (-x )=(-x )2-cos(-x )=x 2-cos x=f (x ),所以f (x )=x 2-cos x 为偶函数;对于选项C,函数的定义域为R,f (-x )=3-x -13-x =-3x -13x=-f (x ),所以f (x )=3x -13x 为奇函数;只有f (x )=x 2+tan x 既不是奇函数也不是偶函数.故选D . 例2 [思路点拨] (1)先确定函数f (x )在0,32上的零点情况,再据周期性确定在区间(0,6]上的零点个数;(2)由条件f (x+2)=1-f(x)可得出函数的周期为4,再求f (2018).(1)B (2)A [解析] (1)由f x-34=f x+34得f x+32=f (x ),即函数是周期为32的周期函数.∵当x∈0,32时,f (x )=ln(x 2-x+1),令f (x )=0,得x 2-x+1=1,解得x=1(x=0舍去),又∵函数f (x )的周期为32,∴方程f (x )=0在区间(0,6]上的解有1,52,4,112,共4个.(2) 由f (x+2)=1-f(x),得f (x+4)=1-f(x+2)=f (x ),所以函数f (x )的周期为4,所以f (2018)=f (2).因为f (2+2)=1-f(2),所以f (2)=-1f(4)=-2-√3=-2-√3.故f (2018)=-2-√3.变式题 803 [解析] 依题意,f (1)=f (1+3)=f (4)=3×4-1=11,f (2)=3×2-1=5,f (3)=3×3-1=8,所以f (1)+f (2)+f (3)=24,所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (100)=33[f (1)+f (2)+f (3)]+f (100)=33×24+f (1)=792+11=803.例3 [思路点拨] (1)利用偶函数将求f (-√2)转化为求f (√2);(2)观察函数的结构可整理成含有一个奇函数与一个常函数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值和为零求值.(1)B (2)C [解析] (1)∵f (x )为偶函数,∴f (-√2)=f (√2),又当x>0时,f (x )=log 2x ,∴f (√2)=log 2√2=12,即f (-√2)=12.(2)f (x )=2·(2|x|+1)+x 32|x|+1=2+x 32|x|+1,设g (x )=x 32|x|+1,∵g (-x )=-g (x ),∴g (x )为奇函数,∴g (x )max +g (x )min =0.∵M=f (x )max =2+g (x )max ,m=f (x )min =2+g (x )min ,∴M+m=2+g (x )max +2+g (x )min =4.例4 [思路点拨] (1)函数只有一个零点,所以f (2x 2+1)+f (λ-x )=0有唯一解,即f (2x 2+1)=f (x-λ)有唯一解,再求解;(2)函数为偶函数,所以不等式f (a-2)>0等价为f (|a-2|)>f (2),再据单调性求解.(1)C (2)D [解析] (1)令y=f (2x 2+1)+f (λ-x )=0,因为f (x )是奇函数,所以f (2x 2+1)=-f (λ-x )=f (x-λ).又因为f (x )是R 上的单调函数,所以2x 2+1=x-λ只有一个根,即2x 2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78.(2)∵偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),∴函数f (x )在[0,+∞)上为增函数,f (2)=0,∴不等式f (a-2)>0等价为f (|a-2|)>f (2),即|a-2|>2,即a-2>2或a-2<-2,解得a>4或a<0.例5 [思路点拨] (1)由f (x )是奇函数且f (x+1)为偶函数,可得出函数是周期为4的周期函数;(2)由题意可得偶函数y=f (x )是周期为4的函数,f (x )=sin |x|是偶函数,作出函数的图像,两函数图像交点的个数即为所求根的个数.(1)B (2)10 [解析] (1)∵f (x )为R 上的奇函数,∴f (0)=0,且有f (x )=-f (-x ),即有f (x+1)=-f (-x-1),又∵f (x+1)为偶函数,∴f (x+1)=f (-x+1),∴f (-x+1)=-f (-x-1),即f (x+1)=-f (x-1),∴f (x+2)=f (x+1+1)=-f (x ),∴f (x+4)=f (x ),∴f (x )是周期为4的周期函数,∴f (2016)+f (2017)=f (504×4)+f (1+504×4)=f (0)+f (1)=0+1=1.(2)∵函数y=f (x )为偶函数,且满足f (x+2)=-f (x ),∴f (x+4)=f (x+2+2)=-f (x+2)=f (x ),∴偶函数y=f (x )是周期为4的函数.由x ∈[0,2]时,f (x )=2-x 2可作出函数f (x )在[-10,10]上的图像,同时作出函数y=sin |x|在[-10,10]上的图像,交点个数即为所求根的个数.数形结合可得交点个数为10.例6 [思路点拨] (1)由函数f (x )是偶函数和周期函数,得出函数在[3,6]上的单调性,再进行判断;(2)由已知得出函数在x ∈0,12时单调递增,且f (x )>0,进而根据奇函数得出x ∈-12,0时的单调情况,再据周期性得出在区间1,32上的情况.(1)B (2)D [解析] (1)依题意知,f (x )是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x ∈[0,3]时,f (x )单调递增,所以f (x )在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f (x )在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f (x )在[4,5]上单调递减.(2)当x ∈0,12时,由f (x )=lo g 12(1-x )可知f (x )单调递增且f (x )>0,又函数为奇函数,所以在区间-12,0上函数也单调递增,且f (x )<0.由f x+32=f (x )知,函数的周期为32,所以在区间1,32上,函数单调递增且f (x )<0.故选D . 强化演练1.B [解析] 由y=f (-x )和y=f (x+2)是偶函数知f (-x )=f (x ),f (x+2)=f (-x+2)=f (x-2),故f (x )=f (x+4),则F (3)=f (3)+f (-3)=2f (3)=2f (-1)=2f (1)=2π3,故选B .2.D [解析] 根据题意,f (x )为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,则f (ln x )<f (2)⇔|ln x|<2,即-2<ln x<2,解得e -2<x<e 2,即x 的取值范围是(e -2,e 2).3.D [解析] 因为f (x )满足f (x-4)=-f (x ),所以f (x-8)=f (x ),所以函数f (x )是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (x-4)=-f (x ),得。

新人教版通用2019高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第7节函数的图象教师用书文新人教A版

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第七节 函数的图象————————————————————————————————[考纲传真] 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变y＝af(x)的图象．―――――――――――――――――――――→0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a，横坐标不变(4)翻转变换x轴下方部分翻折到上方y＝|f(x)|的图象；①y＝f(x)的图象―――――――――――→x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧y＝f(|x|)的图象．②y＝f(x)的图象―――――――――――――→原y轴左侧部分去掉，右侧不变1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( )(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )①②③④图2­7­1A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④B [设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B.]跑，依题意3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e－x －1.] 4．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )D [∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，故选D.]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：31222055】(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．](1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.3分①②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.6分(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.9分③④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.12分[规律方法] 画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．[变式训练1] 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.[解] (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.6分(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.12分( )(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图2­7­2，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2­7­2A B C D(1)D (2)B [(1)∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时， 在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.] [规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．[变式训练2] (1)已知函数f (x )的图象如图2­7­3所示，则f (x )的解析式可以是( )图2­7­3A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1 D ．f (x )＝x －1x(2)(2016·河南平顶山二模)函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图2­7­4所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )图2­7­4(1)A (2)C [(1)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A. (2)由题图可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.]☞角度1已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]☞角度2 确定函数零点的个数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．5 [方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.]☞角度3 求参数的值或取值范围(2016·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ kx －1，x ＞0，－－x ，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)B [根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x， 即km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1， 可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.]☞角度4 求不等式的解集函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图2­7­5所示，那么不等式f xcos x ＜0的解集为________．图2­7­5⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f x cos x 为偶函数， 所以f x cos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.] [规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[思想与方法]1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．[易错与防范]1．图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错． 2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．课时分层训练(十) 函数的图象A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度B [因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象，故B正确．]2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【导学号：31222056】A B C DC [出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.]3．(2016·广西桂林高考一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )A B C DB [由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x>1时，y>0，故选B.]4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(0,1]D [作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：由图可知k∈(0,1]，故选D.]5．(2017·洛阳模拟)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图象(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图象如图2­7­6所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________. 【导学号：31222057】图2­7­6(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．如图2­7­7，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图2­7­7f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0.]8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5].(1)在如图2­7­8所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图2­7­8(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图象如图所示．4分(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5].8分 (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12分 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：4分(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.8分(3)由f (x )的图象知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．已知函数f (x )＝若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________．【导学号：31222058】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ [对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.]3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，3分∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.5分(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2].7分 ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.9分令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞).12分。

新人教版通用2019高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用教师用书文新人教A版

新人教版通用2019高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用教师用书文新人教A版

第九节 函数模型及其应用———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝k x＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)． (6)幂函数模型：y ＝a ·x n＋b (a ≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x 0，使ax 0＜x n0＜log a x 0.( )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )＜f (x )＜g (x )．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )A ．100只B ．200只C ．300只D ．400只B [由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 3 9＝200.]3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y 2C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos xB [由表格知当x ＝3时，y ＝1.59，而A 中y ＝23＝8，不合要求，B 中y ＝log 23∈(1,2)，C 中y ＝12(32－1)＝4，不合要求，D 中y ＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B.]4．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( ) 【导学号：31222069】B [由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．＋p＋q－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝＋p＋q－1.](1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )A B C D(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )【导学号：31222070】A B C D(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.][规律方法]判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．[变式训练1] 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )D [y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A ，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B ，故选D.]其关系如图2­9­1①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2­9­1②.(注：利润和投资单位：万元)①② 图2­9­1(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0).3分 (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， 所以总利润y ＝8.25万元.5分②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.7分令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，9分此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点： (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．[变式训练2] (2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋Bx －A ，x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12x －，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.]公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.(1)B (2)9 [(1)设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．(2)设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋x －＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.][规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋a x(a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．2 500 [L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．][思想与方法]1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．[易错与防范]1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．课时分层训练(十二) 函数模型及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：【导学号：31222071】则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD [根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A．118元B．105元C．106元D．108元D [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2­9­2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. 【导学号：31222072】图2­9­2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A ．85元B ．90元C ．95元D ．100元C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．]5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]二、填空题6．在如图2­9­3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.【导学号：31222073】图2­9­320 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48192＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋ln192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [解] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，2分 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).5分(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2x ＋8003x ＋5－10＝70(万元)，7分 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立，10分所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元.12分 10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N *)，2分 飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－x －，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.5分(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x －10x －15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－x －2＋21 000，30＜x ≤75.8分因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数， 故当x ＝30时，S 取最大值12 000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x ＝60时，取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( ) A.12B.14C ．2 D.18A [由题目可知加密密钥y ＝kx 3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k ×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，则1256＝132x 3，即x 3＝18，解得x ＝12.] 2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个. 【导学号：31222074】y ＝4x 1 024 [设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过60x 30个30分钟有22x ＝4x 个病毒， ∴病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为y ＝4x ，∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]3．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围．[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，2分 令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52， 即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，∴2t＝2，即t ＝1，∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃.5分(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，即m ·2t ＋22t ≥2恒成立， 亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立.7分 令12t ＝x ，则0<x ≤1， ∴m ≥2(x －x 2).10分∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，∴m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.12分。

2019年全品一轮复习文科数学第2单元 函数、导数及其应用 作业答案

2019年全品一轮复习文科数学第2单元 函数、导数及其应用 作业答案

课时作业(四)1. B [解析] 由题意,得-x 2+2x+3≥0,解得-1≤x ≤3,所以函数f (x )的定义域为[-1,3],故选B .2. B [解析] f (1e 2)=ln 1e 2+3=ln e -2+3=-2+3=1,f (-1)=2-1=12,所以f (1e 2)+f (-1)=32.故选B . 3. A [解析] f (2x+3)=12(2x+3)+72,所以f (x )=12x+72.由f (t )=6,得12t+72=6,解得t=5.故选A . 4. 2 [解析] f (3)=f (2)=f (1)=21=2,所以f [f (3)]=f (2)=f (1)=21=2.5. -4 [解析] 由f (a )=a+1a -1=2,得a+1a =3,所以f (-a )=-a-1a -1=-(a +1a)-1=-3-1=-4.6. B [解析] 设g (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),因为g (1)=1,g (-1)=5,且图像过原点,所以{a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得{a =3,b =-2,c =0,所以g (x )=3x 2-2x. 7. A [解析] 令x=1,得2f (1)-f (-1)=4①,令x=-1,得2f (-1)-f (1)=-2②,联立①②得f (1)=2.8. A [解析] f (23)=83+a.若83+a<1,即a<-53,则f [f (23)]=4(83+a)+a=4,解得a=-43>-53,不合题意;若83+a ≥1,即a ≥-53,则f [f (23)]=283+a =4,得83+a=2,所以a=-23,符合题意.故选A . 9. -13[解析] 令t=1-x1+x(t ≠-1),则x=1-t 1+t ,所以f (t )=1-t 1+t ,即f (x )=1-x 1+x ,所以f (2)=1-21+2=-13.10. [-1,2] [解析] 因为y=f (x 2-1)的定义域为[-√3,√3],所以x 2-1∈[-1,2],所以y=f (x )的定义域为[-1,2]. 11. 解:(1)由已知,g (2)=1,f (2)=3,因此f [g (2)]=f (1)=0,g [f (2)]=g (3)=2. (2)当x ≥0时,g (x )=x-1,故f [g (x )]=(x-1)2-1=x 2-2x ; 当x<0时,g (x )=2-x ,故f [g (x )]=(2-x )2-1=x 2-4x+3. 所以f [g (x )]={x 2-2x,x ≥0,x 2-4x +3,x <0.当x ≥1或x ≤-1时,f (x )≥0,故g [f (x )]=(x 2-1)-1=x 2-2; 当-1<x<1时,f (x )<0,故g [f (x )]=2-(x 2-1)=3-x 2. 所以g [f (x )]={x 2-2,x ≥1或x ≤-1,3-x 2,-1<x <1.12. 解:(1)令t=log 2x ,则x=2t ,所以g (t )=2t +1, 所以f (x )=log 2(2x +1)+(k-1)x ,因为函数f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ), 所以log 2(2x +1)+(k-1)x=log 2(2-x +1)-(k-1)x , 即log 22x +12-x +1=-2(k-1)x ,即log 22x =-2(k-1)x ,所以x=-2(k-1)x 对一切x ∈R 恒成立,所以2(k-1)=-1,得k=12. (2)当k=1时,f (x )=log 2[ax 2+(a+1)x+a ], 当a=0时,f (x )=log 2x ,则f (x )的值域为R . 当a ≠0时,要使函数的值域为R ,则{a >0,Δ≥0,即{a >0,(a +1)2-4a 2≥0,解得0<a ≤1.所以a 的取值范围是[0,1].13. (-∞,-12)∪(12,+∞) [解析] 易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax 2+x+a>0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,解得a>12; 当a<0时,必有ax 2+x+a<0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,解得a<-12. 所以实数a 的取值范围是(-∞,-12)∪(12,+∞).14. [log 373,1] [解析] 因为t ∈(0,1],所以f (t )=3t ∈(1,3],所以f [f (t )]=92-32·3t . 因为f [f (t )]∈[0,1],所以0≤92-32·3t ≤1, 解得log 373≤t ≤1,又t ∈(0,1], 所以实数t 的取值范围为[log 373,1].课时作业(五)1. B [解析] 选项A 中,函数在(1,+∞)上为减函数;选项C 中,函数在(1,+∞)上为减函数;选项D 中,函数在(1,+∞)上为减函数.故选B .2. C [解析] 要使y=log 2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则a>0且a-1≥0,即a ≥1.3. A [解析] f (x )=|x-2|x={x 2-2x,x ≥2,-x 2+2x,x <2,结合图像可知函数f (x )的单调递减区间是[1,2].4. (-∞,2) [解析] 当x ≥1时,f (x )=lo g 12x 是单调递减的,此时,函数的值域为(-∞,0];当x<1时,f (x )=2x 是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).综上,f (x )的值域是(-∞,2).5. 4 [解析] 由于y=(15)x 在[-1,1]上单调递减,y=log 5(x+6)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=4.6. B [解析] 由y=ax 在(0,+∞)上是减函数,知a<0;由y=-b x在(0,+∞)上是减函数,知b<0.所以抛物线y=ax 2+bx 的对称轴的方程为x=-b2a <0,又因为抛物线y=ax 2+bx 的开口向下,所以y=ax 2+bx 在(0,+∞)上是减函数.故选B .7. B [解析] 由已知可得{a >1,4-a 2>0,a ≥(4-a2)+2,解得4≤a<8.故选B .8. D [解析] 当a=0时,f (x )=-12x+5在(-∞,3)上是减函数;当a ≠0时,有{a >0,-4(a -3)4a≥3,得0<a ≤34.综上,a 的取值范围是0≤a ≤34.9. D [解析] 因为函数f (x )在区间(-2,+∞)上是增函数,所以{1-2a 2<0,-2+2a ≥0,即{2a 2-1>0,a ≥1,得a ≥1.因此g (x )=(a+1)x 在R 上是增函数.由g (1x )<g (x ),得1x <x ,解得x>1或-1<x<0.所以实数x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).10. C [解析] 根据新运算“”的定义,得f (x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,又y=x-2,y=x 3-2在其定义域内均为增函数,当-2≤x ≤1时,f (x )≤f (1)=1-2=-1,当1<x ≤2时,f (x )≤f (2)=23-2=6.因此函数f (x )的最大值为6.故选C .11. -2 [解析] 因为f (x )=x 2-2x+m=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为增函数,且f (x )在[3,+∞)上的最小值为1,所以f (3)=1,即22+m-1=1,故m=-2. 12. (-9,0)∪(0,3) [解析] f (x )={3x 2-2ax +a 2,x ≥a,x 2+2ax -a 2,x <a.当a>0时,-a>-3,所以0<a<3;当a=0时,f (x )={3x 2,x ≥0,x 2,x <0,f (x )在[-3,0]上显然单调;当a<0时,a 3>-3,所以-9<a<0.综上,-9<a<0或0<a<3. 13. 解:(1)证明:任设x 1<x 2<-2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增. (2)任设1<x 3<x 4,则f (x 3)-f (x 4)=x 3x 3-a -x 4x 4-a =a(x 4-x 3)(x 3-a)(x 4-a),因为a>0,x 4-x 3>0,所以要使f (x 3)-f (x 4)>0, 只需(x 3-a )(x 4-a )>0在(1,+∞)上恒成立,所以a ≤1. 综上所述,实数a 的取值范围是(0,1]. 14. 解:(1)证明:设x 1,x 2∈[-1,1],且x 1<x 2, 在f(a)+f(b)a+b>0 中,令a=x 1,b=-x 2,有f(x 1)+f(-x 2)x 1-x 2>0.因为f (x )是奇函数,所以f (-x 2)=-f (x 2), 所以f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,因为x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在[-1,1]上为增函数. (2)因为f (x )在[-1,1]上为增函数,所以{-1≤x +12≤1,-1≤1x -1≤1,x +12<1x -1,由此解得{x|-32≤x <-1}.15. B [解析] 由条件③,令x=0,可得f (1)=1.由条件②,令x=1,可得f (13)=12f (1)=12.令x=13,可得f (19)=12f (13)=14.由条件③结合f (13)=12,可知f (23)=12.令x=23,可得f (29)=12f (23)=14.因为19<18<29,且函数f (x )在[0,1]上为非减函数,所以f (18)=14,所以f (13)+f (18)=34.16. (-∞,-2) [解析] 二次函数y=x 2-4x+3的图像的对称轴是直线x=2,所以该函数在(-∞,0]上单调递减,所以当x ≤0时,x 2-4x+3≥3.同理可知,函数y=-x 2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,所以当x>0时,-x 2-2x+3<3,所以f (x )在R 上单调递减.由f (x+a )>f (2a-x ),得x+a<2a-x ,即2x<a ,所以2x<a 在[a ,a+1]上恒成立,所以2(a+1)<a ,所以a<-2,所以实数a 的取值范围是(-∞,-2).课时作业(六)1. C [解析] f (-x )=(-x )3-cos (-x )=-x 3-cos x ,所以f (-x )≠-f (x ),f (-x )≠f (x ),所以f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.故选C .2. D [解析] f (-14)+f (-2)+f (-3)=-f (14)+f (1)+f (0)=-log 214+log 21+0=2.故选D .3. C [解析] 函数y=tan x 在区间(-1,1)上单调递增;y=x -1在x=0处无意义;对于选项C ,y=ln 2-x2+x的定义域为(-2,2),且为奇函数,令g (x )=2-x2+x,则g (x )=-1+4x+2在区间(-2,2)上单调递减,所以函数y=ln 2-x2+x 在区间(-1,1)上单调递减,符合题意;对于选项D ,y=13(3x -3-x )是奇函数,在定义域内单调递增.故选C .4. D [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-1)=-f (1)=-(21-1)=-1,所以f [f (-1)]=f (-1)=-1.5. 32[解析] 依题意得b-1=0,解得b=1,又3a=-(a-2),所以a=12,所以a+b=32.6. B [解析] 由f (x )-x 2=g (x ),得f (x )=g (x )+x 2,当g (x )=cos x 时,f (x )=cos x+x 2,f (-x )=cos (-x )+(-x )2=f (x ),且定义域为R ,故f (x )为偶函数,故选B .7. B [解析] 当y=f (x )的图像关于原点对称时,y=f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),所以|f (-x )|=|f (x )|,所以y=|f (x )|是偶函数;反过来,当y=|f (x )|是偶函数时,不能推出y=f (x )的图像关于原点对称,如y=|cos x|,则y=cos x 是偶函数,图像不关于原点对称.故选B . 8. A [解析] 因为f (x )=a 2-32x +1是R 上的奇函数,所以f (0)=0,即a 2-320+1=0,解得a=3,所以f (a )=32-323+1=76.故选A .9. B [解析] 由已知可知函数f (x )是周期为2的周期函数,当x ∈(0,1)时,有x+2∈(2,3),故f (x )=f (x+2)=x+2.同理,当x ∈[-2,-1]时,有f (x )=f (x+4)=x+4.又f (x )是偶函数,当x ∈(-1,0)时,有-x ∈(0,1),所以f (x )=f (-x )=2-x.故当x ∈(-2,0)时,f (x )=3-|x+1|.故选B .10. B [解析] 由于函数f (x )是奇函数,因此原不等式可化为f (x )(2x -1)<0,即{f(x)<0,2x -1>0或{f(x)>0,2x -1<0.因为f (1)=0,所以{f(x)<f(1),x >0或{f(x)>f(-1),x <0,故x<-1或x>1.故选B .11. D [解析] 易知f (x )是R 上的增函数且为奇函数,因为当0≤θ≤π2时,f (m sin θ)+f (1-m )>0恒成立,即f (m sin θ)>-f (1-m )=f (m-1)恒成立,所以当0≤θ≤π2时,m sin θ>m -1恒成立.当sin θ=1时,m ∈R ;当0≤sin θ<1时,m<11-sinθ,因为0≤sin θ<1,所以11-sinθ的最小值为1,故m 的取值范围是m<1.故选D .12.516[解析] 由题易知f (294)+f (416)=f (-34)+f (-76)=-f (34)-f (76)=-316+12=516.13. 1 [解析] 因为f (x )为偶函数,所以f (-x )-f (x )=0恒成立,所以-x lg (√a +x 2+x )-x lg (√a +x 2-x )=0恒成立,所以x lg a=0恒成立,所以lg a=0,故a=1. 14. 43[解析] f (x )=x 2+x+1x 2+1=1+xx 2+1,令g (x )=xx 2+1,则g (x )是奇函数,故f (-a )=1+g (-a )=1-g (a )=2-[1+g (a )]=2-f (a )=2-23=43. 15. A [解析] f (x )=2x1+|x|(x ∈R )是奇函数且在R 上单调递增,所以f (x )在区间[a ,b ]上的值域是N=[2a 1+|a|,2b1+|b|].令M=N ,则有{f(a)=a,f(b)=b,得{2a1+|a|=a,2b 1+|b|=b,知a ,b 是方程2x 1+|x|=x 的两根,得{a =0,b =1或{a =-1,b =0或{a =-1,b =1.故选A . 16. (-∞,15]∪[1,+∞) [解析] 当a ≥13时,3a-1≥0,a ≥0,f (x )在[0,+∞)上为增函数,由f (3a-1)≥8f (a )得(3a-1)3≥(2a )3,得a ≥1;当0≤a<13时,3a-1<0,a ≥0,因为f (x )为R 上的偶函数,所以由f (3a-1)≥8f (a ),得(1-3a )3≥(2a )3,解得0≤a ≤15;当a<0时,3a-1<0,由-(3a-1)3≥-(2a )3,解得a<1,但a<0,所以a<0.综上知,实数a 的取值范围为(-∞,15]∪[1,+∞).加练一课(一) 函数性质的综合应用1. A [解析] 因为f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)=0,即f (0)=20+m=0,解得m=-1,则f (-2)=-f (2)=-(22-1)=-3.故选A .2. A [解析] 函数f (x )=e x -e -x3满足f (-x )=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,且f (x )为增函数.验证可知y=ln (x+√1+x 2)是奇函数,且为增函数,y=x 2是偶函数,y=tan x 在R 上不单调,y=e x 是非奇非偶函数,故选A .3. C [解析] 当x<0时,-x>0,f (-x )=(-x )3+ln (1-x ),因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3+ln (1-x )],所以当x<0时,f (x )=x 3-ln (1-x ).故选C .4. B [解析] 由题设知f (x )=-f (x-2)=f (2-x ).因为函数f (x )是奇函数,所以f (x )的图像关于坐标原点对称,由于函数f (x )在[0,1]上是增函数,故f (x )在[-1,0)上也是增函数,所以函数f (x )在[-1,1]上是增函数.又f (32)=f (2-32)=f (12),所以f (-14)<f (14)<f (12)=f (32).故选B .5. C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以y=|f (x )|是偶函数,于是y=|f (x )|和g (x )都是偶函数,它们的图像都关于y 轴对称,所以y=|f (x-1)|和y=g (x-1)的图像都关于直线x=1对称,即h (x )=|f (x-1)|+g (x-1)的图像关于直线x=1对称.故选C .6. B [解析] 因为f (x )是R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,所以f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以f (log 2x )>2=f (1),即f (|log 2x|)>f (1),所以log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.故选B .7. A [解析] 当a=0时,f (x )=lg 1=0,定义域为R ,g (x )=ln (x 2-x-1),值域为R ,符合题意.当a ≠0时,依题意,有{a >0,a 2-4a(1-a)<0,且(a-1)2-4(a 2-1)≥0,解得0<a<45.故选A . 8. D [解析] 由已知,得f (x )是周期为2的函数,由f (x+1)是奇函数,得f (-x+1)=-f (x+1),即f (x )=-f (2-x ),故f (-32)=f (12)=-f (32)=-f (-12).当-1≤x ≤0时,f (x )=-2x (x+1),所以f (-12)=-2×(-12)×(-12+1)=12,所以f (-32)=-12.故选D .9. B [解析] 因为f (x )是偶函数,f (2x )=f (x+1x+4),所以f (|2x|)=f (|x+1x+4|).又因为f (x )在(0,+∞)上为单调函数,所以|2x|=|x+1x+4|,即2x=x+1x+4或2x=-x+1x+4,整理得2x 2+7x-1=0或2x 2+9x+1=0.设方程2x 2+7x-1=0的两根为x 1,x 2,方程2x 2+9x+1=0的两根为x 3,x 4,则(x 1+x 2)+(x 3+x 4)=-72+(-92)=-8. 10. B [解析] f (x )是以6为周期的周期函数,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-6+3)=f (-3)=-(-3+2)2=-1,f (4)=f (-6+4)=f (-2)=-(-2+2)2=0,f (5)=f (-6+5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)=1,所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2012)=335[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)]+f (2011)+f (2012)=335×1+f (1)+f (2)=335+1+2=338.故选B .11. 4 [解析] 令t=√x ,则t ≥0,所以y=4t-t 2=-(t-2)2+4,所以当t=2,即x=4时,函数取得最大值4. 12. [√10,+∞) [解析] 令t=lg x ,则y=t2-t=(t -12)2-14的单调递增区间为[12,+∞),由lg x ≥12,得lg x ≥lg √10,所以函数的单调递增区间为[√10,+∞).13. (-3,-1)∪(3,+∞) [解析] 由已知可得{a 2-a >0,a +3>0,a 2-a >a +3,解得-3<a<-1或a>3.所以实数a 的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).14. 7 [解析] 由f (12+x)+f (12-x)=2,得f (18)+f (78)=2,f (28)+f (68)=2,f (38)+f (58)=2,又f (48)=12[f (48)+f (48)]=12×2=1,所以f (18)+f (28)+…+f (78)=7.15. 14[解析] 函数g (x )在[0,+∞)上为增函数,则1-4m>0,即m<14.若a>1,则函数f (x )在[-1,2]上的最小值为1a=m ,最大值为a 2=4,解得a=2,12=m ,与m<14矛盾;当0<a<1时,函数f (x )在[-1,2]上的最小值为a 2=m ,最大值为a -1=4,解得a=14,m=116.所以a=14.16. [94,+∞) [解析] 易知f (x )是[0,1]上的增函数,其最大值f (x )max =12.若x ∈[1,2],则当a ≤32时,g (x )max =g (2)=8-4a ,当a>32时,g (x )max =g (1)=5-2a.若对于任意x 1∈[0,1],存在x 2∈[1,2],使f (x 1)≥g (x 2),则g (x )max ≤f (x )max ,所以,当a ≤32时,有8-4a ≤12,得a ≥158,不满足a ≤32,舍去;当a>32时,有5-2a ≤12,得a ≥94.所以实数a 的取值范围是[94,+∞).课时作业(七)1. B [解析] 由题意知函数f (x )图像的对称轴方程为x=m 4=-2,所以m=-8,所以f (1)=2+8+3=13,故选B . 2. B [解析] 因为f (x )=(m 2-m-1)x m 是幂函数,所以m 2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以m=2.故选B .3. C [解析] 因为f (x )图像的对称轴为直线x=-12,f (0)=a>0,所以f (x )的大致图像如图所示.由f (m )<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f (m+1)>f (0)>0.4. 12[解析] 设f (x )=x α(α∈R ),因为f (12)=(12)α=√22,所以α=12,所以f (2)=√2,所以log 2f (2)=12.5. 10 [解析] x 1+x 2=-ba,所以f (x 1+x 2)=f (-b a)=a (-b a)2+b (-b a)+10=10.6. A [解析] 因为f (0)=f (4)>f (1),所以函数f (x )的图像是开口向上的抛物线,即a>0,且其对称轴为直线x=2,即-b2a =2,所以4a+b=0.故选A .7. C [解析] 若a>0,则一次函数y=ax+b 为增函数,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像开口向上,故可排除A .若a<0,同理可排除D .对于选项B ,由直线可知a>0,b>0,从而-b 2a<0,而二次函数的图像的对称轴在y 轴的右侧,故应排除B .故选C .8. A [解析] 不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x 2-4x-2)max ,x ∈(1,4).令f (x )=x 2-4x-2,x ∈(1,4),所以f (x )<f (4)=-2,所以a<-2.故选A . 9. A [解析] 由题意知{Δ=16m 2-4(m +3)(2m -1)>0,x 1+x 2=4mm+3<0,x 1x 2=2m -1m+3<0,得-3<m<0,故选A .10. D [解析] 据题意只需转化为当x ≤0时,ax 2-(3-a )x+1>0恒成立即可.结合f (x )=ax 2-(3-a )x+1的图像,当a=0时,验证知符合条件.当a ≠0时,必有a>0,当x=3-a 2a≥0时,函数f (x )在(-∞,0)上单调递减,故要使原不等式恒成立,只需f (0)>0即可,可得0<a ≤3;当x=3-a 2a <0时,只需f (3-a 2a)>0即可,可得3<a<9.综上所述,可得实数a 的取值范围是0≤a<9.11. a>c>b [解析] a=2-32=(√22)3,根据函数y=x3是R 上的增函数,且√22>12>25,得(√22)3>(12)3>(25)3,即a>c>b.12. [2,+∞) [解析] 令√x -1=t (t ≥0),则f (t )=2(t 2+1)+t=2(t +14)2+158,因为t ≥0,所以当t=0,即x=1时,f (x )取得最小值2,所以函数f (x )的值域为[2,+∞).13. 解:(1)当a=-2时,f (x )=x 2-4x+3=(x-2)2-1,x ∈[-4,6], 所以f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 所以f (x )的最小值是f (2)=-1, 又f (-4)=35,f (6)=15, 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上,对称轴是直线x=-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4,故a 的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(3)f (|x|)=x 2-2|x|+3={x 2+2x +3,-4≤x ≤0,x 2-2x +3,0<x ≤6,即f (|x|)={(x +1)2+2,-4≤x ≤0,(x -1)2+2,0<x ≤6,所以f (|x|)的单调减区间为[-4,-1)和[0,1),单调增区间为[-1,0)和[1,6]. 14. 解:(1)由Δ=16-4(a+3)≥0,得a ≤1.(2)f (x )=x 2-4x+a+3=(x-2)2+a-1.当a+1<2,即a<1时,f (x )max =f (a )=a 2-4a+a+3=3,得a=0. 当a ≤2≤a+1,即1≤a ≤2时,f (a )=a 2-3a+3,f (a+1)=a 2-a ,当f (a )=3时,无解; 当f (a+1)=3时,无解.当a>2时,f (x )max =f (a+1)=a 2-a=3,得a=1+√132. 综上,a=1+√132或a=0.15. D [解析] f (x )={3-x -1=(13)x-1(x ≤0),x 12=√x(x >0),作出函数f (x )的图像,如图所示,因为函数f (x )在[-1,m ]上的最大值为2,又f (-1)=f (4)=2,所以-1<m ≤4,即m ∈(-1,4].16. (-12,4) [解析] 因为f (x )=x 2+2(a-2)x+4的图像的对称轴为直线x=-(a-2),当x ∈[-3,1]时,f (x )>0恒成立,所以{-(a -2)<-3,f(-3)>0或{-3≤-(a -2)≤1,f(2-a)>0或{-(a -2)>1,f(1)>0,解得a ∈⌀或1≤a<4或-12<a<1,所以a 的取值范围为(-12,4).课时作业(八)1. A [解析] 45x =9x ×5x =(3x )2×5x =a 2b ,故选A .2. D [解析] 因为f (x )=(12)|x -1|={(12)x -1,x ≥1,2x -1,x <1,结合图像可知选项D 正确.3. D [解析] 由指数函数y=(35)x 的性质及-13<-14,可得a=(35)-13>b=(35)-14>1.由指数函数y=(32)x的性质及-34<0,可得c=(32)-34<1,所以c<b<a.故选D .4. a 2-1a 2+1[解析] 原式=(a -a -1)2(a+a -1)(a -a -1)=a -a -1a+a -1=a 2-1a 2+1.5. {x|-1<x<4} [解析] 不等式3-x 2+2x>(13)x+4化为(13)x 2-2x >(13)x+4,因为y=(13)x是减函数,所以x 2-2x<x+4,即x 2-3x-4<0,解得-1<x<4.6. D [解析] 验证可知,指数函数f (x )=4x ,f (x )=(12)x 满足f (x-y )=f (x )÷f (y ),因为f (x )=4x 是增函数,f (x )=(12)x 是减函数,所以选D .7. B [解析] 当a<1时,41-a =21,所以a=12;当a>1时,4a-1=22a-1,无解.故选B .8. A [解析] 因为以P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上,所以x 1+x 2=0.又因为f (x )=a x ,所以f (x 1)·f (x 2)=a x 1·a x 2=a x 1+x 2=a 0=1. 9. D [解析] 函数y=2-x2+ax+1是由函数y=2t 和t=-x 2+ax+1复合而成的.因为函数t=-x 2+ax+1在区间(-∞,a2]上单调递增,在区间[a 2,+∞)上单调递减,且函数y=2t 在R 上单调递增,所以函数y=2-x2+ax+1在区间(-∞,a 2]上单调递增,在区间[a 2,+∞)上单调递减.又因为函数y=2-x 2+ax+1在区间(-∞,3)上单调递增,所以3≤a 2,即a ≥6.故选D .10. A [解析] 原不等式变形为m 2-m<(12)x,因为函数y=(12)x 在(-∞,-1]上是减函数,所以(12)x ≥(12)-1=2,当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m<(12)x 恒成立等价于m 2-m<2,解得-1<m<2.故选A . 11. D[解析] f (2x )=e 2x +e -2x 2,2[g (x )]2+1=2×(e x -e -x2)2+1=e 2x +e -2x2,即f (2x )=2[g (x )]2+1,A 中等式正确;[f (x )]2-[g (x )]2=1,B 中等式正确;[f (x )]2+[g (x )]2=e 2x +e -2x2=f (2x ),C 中等式正确;f (x )f (y )-g (x )g (y )=e x +e -x 2×e y +e -y 2-e x -e -x 2×e y -e -y 2=e x e -y +e -x e y 2=e x -y +e y -x 2,f (x+y )=e x+y +e -x -y2,显然不相等,所以D 中等式不正确.故选D .12. 3 [解析] 当2x-4=0,即x=2时,y=1+n ,即函数图像恒过点(2,1+n ),又函数图像恒过定点P (m ,2),所以m=2,1+n=2,即m=2,n=1,所以m+n=3.13. e [解析] f (x )={e x ,x ≥1,e |x -2|,x <1,当x ≥1时,f (x )=e x ≥e (当x=1时,取等号);当x<1时,f (x )=e |x-2|=e 2-x >e .因此f (x )的最小值为f (1)=e . 14. 2√2+2016 [解析] f (-20152)=f (-20132)+2=f (-20112)+4=…=f (12)+2016=232+2016=2√2+2016.15. B [解析] 因为y=2x ,y=2-x 在R 上分别为增函数、减函数,所以f (x )=2x -2-x 为增函数.因为f (-x )=2-x -2x =-f (x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为f (x 2-ax+a )+f (3)>0,所以f (x 2-ax+a )>-f (3)=f (-3),得x 2-ax+a>-3,所以x 2-ax+a+3>0恒成立,所以(-a )2-4×1×(a+3)<0,所以a 2-4a-12<0,解得-2<a<6. 16. (1,√2] [解析] 当x ≤2时,f (x )≥(12)2-3=2,此时函数的值域为[2,+∞);当x>2且a>1时,f (x )>log a 2,此时函数值域为(log a 2,+∞),由(log a 2,+∞)⊆[2,+∞),得log a 2≥2,解得1<a ≤√2;当x>2且0<a<1时,f (x )<log a 2,不合题意.所以实数a 的取值范围是(1,√2].课时作业(九)1. D [解析] 由f (x )=lg(2x -1)√3x -2求得其定义域为M={x|x >23},而N={x|0<x<1},所以M ∩N=x23<x<1.故选D .2. A [解析] 因为3x +1>1,所以f (x )=log 2(3x +1)>0,所以函数f (x )的值域为(0,+∞),故选A .3. A [解析] 因为a=log 0.34<log 0.31=0,0<b=log 43<log 44=1,c=0.3-2=(310)-2=(103)2>1,所以a<b<c.故选A .4. -20 [解析] (lg 14-lg25)÷100-12=lg1100÷10-1=-20.5. 5 [解析] 由题意可知f (1)=log 21=0,所以f [f (1)]=f (0)=30+1=2,又f (log 312)=3-log 312+1=3log 32+1=2+1=3,所以f [f (1)]+f (log 312)=5.6. A [解析] 因为y=lg |x-1|={lg(x -1),x >1,lg(1-x),x <1,当x=1时,函数无意义,故排除B ,D .又当x=0时,y=0,所以排除C .故选A .7. C [解析] 由题意得0<a<1,故必有a 2+1>2a ,且2a>1,所以1>a>12.故选C .8. A [解析] 令M=x 2+32x ,当x ∈(12,+∞)时,M ∈(1,+∞),f (x )>0,所以a>1,所以函数y=log a x 为增函数,又M=(x +34)2-916,所以M 的单调递增区间为(-34,+∞),又x 2+32x>0,所以x>0或x<-32,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).故选A .9. B [解析] 函数y=a x 与y=log a x 在[1,2]上的单调性相同,因此函数f (x )=a x +log a x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选B .10. C [解析] 设2+log 2a=3+log 3b=log 6(a+b )=k ,可得a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k ,所以1a +1b=a+bab=6k 2k -23k -3=108.所以选C .11. C [解析] 由题意可知A (m ,log a m ),B (m ,log b m ),C (m ,0),因为|AB|=2|BC|,所以log a m=3log b m 或log a m=-log b m ,所以log m b=3log m a 或log m a=-log m b ,所以b=a 3或a=b -1.故选C . 12. (-1,0) [解析] 由f (x )是奇函数可得a=-1,所以f (x )=lg 1+x1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1+x1-x <1,所以-1<x<0.13. 32[解析] 由已知得f (12)=1-f (12)·log 22,则f (12)=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32. 14. (1,2] [解析] 当x ≤2时,f (x )≥4.又函数f (x )的值域为[4,+∞),所以{a >1,3+log a 2≥4,解得1<a ≤2,所以实数a 的取值范围为(1,2].15. C [解析] 由已知得2x =5-2x ,2log 2(x-1)=5-2x ,即2x-1=52-x ,log 2(x-1)=52-x ,作出y=2x-1,y=52-x ,y=log 2(x-1)的图像(图略),由图可知y=2x-1与y=log 2(x-1)的图像关于直线y=x-1对称,它们分别与直线y=52-x 的交点A ,B 的中点就是直线y=52-x 与直线y=x-1的交点C ,x C =x 1+x 22=74,所以x 1+x 2=72,故选C .16. (-∞,4] [解析] 令t (x )=x 2-ax+a ,则由函数f (x )在区间(2,+∞)上是减函数,可得函数t (x )在区间(2,+∞)上是增函数,且t (2)≥0,所以{a2≤2,t(2)=4-a ≥0,解得a ≤4,所以实数a 的取值范围是(-∞,4].课时作业(十)1. C [解析] g (x )=log 22x=log 22+log 2x=1+log 2x ,所以,只需将函数f (x )=log 2x 的图像向上平移1个单位.故选C .2. A [解析] 由函数图像可知,函数f (x )为奇函数,应排除B ,C .若函数为f (x )=x-1x,则x →+∞时,f (x )→+∞,排除D ,故选A .3. D [解析] 因为f (14)>f (3)>f (2),所以函数f (x )不单调,不选A ,B .又选项C 中,f (14)<f (0)=1,f (3)>f (0),即f (14)<f (3),所以不选C ,故选D .4. (4,4) [解析] 函数y=f (x )的图像是由y=f (x+3)的图像向右平移3个单位长度而得到的.故y=f (x )的图像经过点(4,4).5. (-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] 在同一直角坐标系中,作出函数y=f (x )的图像和直线y=1,如图所示,它们相交于(-1,1)和(1,1)两点,由f (x 0)>1,得x 0<-1或x 0>1.6. C [解析] 图②中的图像是在图①的基础上,去掉函数y=f (x )的图像在y 轴右侧的部分,然后将y 轴左侧图像翻折到y 轴右侧,y 轴左侧图像不变得来的,所以图②中的图像对应的函数可能是y=f (-|x|).故选C .7. C [解析] 因为f (2x+1)是偶函数,所以其图像关于y 轴对称,即关于直线x=0对称,而f (2x+1)=f [2(x +12)],所以f (2x )的图像可由f (2x+1)的图像向右平移12个单位得到,即f (2x )的图像的对称轴方程是x=12.8. C [解析] (特殊值法)因为f (e )=ln e 1+e =11+e ,f (-e )=ln[-(-e)]1-(-e)=11+e,所以f (e )=f (-e ),所以排除选项B ,D ,又当x ∈(0,1)时,ln x<0,1+x>0,所以f (x )<0.故选C .9. B [解析] 由于函数y=(x 3-x )2|x|为奇函数,因此它的图像关于原点对称.当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0,故选B .10. A [解析] 在同一坐标系内作出y=log 2(-x ),y=x+1的图像,易知满足条件的x ∈(-1,0),故选A .11. D [解析] 作出函数y=f (x )与y=k 的图像,如图所示.由图可知k ∈(0,1],故选D .12. (2,8] [解析] 当f (x )>0时,函数g (x )=lo g √2f (x )有意义,由函数f (x )的图像知满足f (x )>0的x ∈(2,8]. 13. f (x )={x +1,-1≤x ≤0,14(x -2)2-1,x >0 [解析] 当-1≤x ≤0时,设解析式为y=kx+b (k ≠0),则{-k +b =0,b =1,解得{k =1,b =1,所以y=x+1.当x>0时,设解析式为y=a (x-2)2-1(a ≠0).因为图像过点(4,0),所以0=a (4-2)2-1,得a=14,所以y=14(x-2)2-1.14. 1b[解析] 易知b>0,函数y=log a (x+b )的图像是由y=log a x 的图像向左平移b 个单位得到的,由图知0<b<1,而h (x )=x 2-2x 在[0,3]上的最小值为h (1)=-1,所以g (x )的最大值为b -1=1b.15. C [解析] 要使方程f (x )-log a (x+1)=0(a>0且a ≠1)在区间[0,5]上恰有5个不同的根,只需y=f (x )与y=log a (x+1)的图像在区间[0,5]上恰有5个不同的交点,在同一坐标系内作出它们的图像如图所示,由图可知,y=f (x )与y=log a (x+1)的图像在区间[0,5]上恰有5个不同的交点,只需{log a 3<2,log a 5<4,解得a>√3.故选C .16. D [解析] 函数y=11-x =-1x -1和y=2sin πx 的图像有公共的对称中心点(1,0),画出二者图像如图所示,易知y=11-x与y=2sin πx (-2≤x ≤4)的图像共有8个交点,不妨设其横坐标为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8,由对称性得x 1+x 8=x 2+x 7=x 3+x 6=x 4+x 5=2,所以x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8=8,故选D .加练一课(二)函数图像的应用1. B[解析]作出函数y=ln|x|和y=-x2的图像(图略),可知,两图像有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.故选B.2. D[解析]与曲线y=e x关于y轴对称的曲线为y=e-x,函数y=e-x的图像向左平移1个单位长度即可得到函数f(x)的图像,即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.故选D.3. C[解析]作出g(x)=(12)x的图像与h(x)=cos x的图像如图所示,可以看到它们在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.4. B[解析]当a>1时,如图①所示,使得两个函数图像有交点,需满足12×22≥a2,即1<a≤√2.①②当0<a<1时,如图②所示,需满足12×12≤a1,即12≤a<1.综上可知,a∈[12,1)∪(1,√2].5. B[解析]因为图像与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,所以①中结论正确;图像对称轴方程为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,所以②中结论错误;结合图像知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,所以③中结论错误;由图像对称轴为直线x=-1知,b=2a,又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,所以④中结论正确.故选B.6. C[解析]由当x<2 时,f(x)=|2x-1|,得递减区间为(-∞,0),递增区间为(0,2).因为y=f(x+2)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,所以y=f(x)的图像关于直线x=2对称,又因为y=f(x)在x<2时的递增区间为(0,2),所以,当x>2时,y=f(x)的递减区间为(2,4).故选C.7. D[解析]设函数f(x)=2x sin(π2+6x)4x-1=2x cos6x4x-1,所以f(-x)=2-x cos(-6x)4-x-1=-2x cos6x4x-1=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以其图像关于原点对称,故排除选项A.因为当x从右趋向于0时,f(x)趋向于+∞,当x趋向于+∞时,f(x)趋向于0,故排除选项B,C,故选D.8. C [解析] 注意到f (12)=ln √e2-ln (1-12)=12,计算知f (12+x)+f (12-x)=1,所以函数f (x )的图像关于点(12,12)对称,所以m=12.故选C .9. C [解析] 函数f (x )={2x -1,x ≥0,f(x +1),x <0的图像如图所示,作出直线l :y=a-x ,观察可得,若函数y=f (x )的图像与直线l :y=-x+a 的图像有两个交点,即方程f (x )=-x+a 有且只有两个不相等的实数根,则有a<1,故选C . 10. C [解析] 令f (x )=sin 2πx ,g (x )=22x -1,x ∈[-2,3],则方程sin 2πx-22x -1=0,x ∈[-2,3]的所有根之和转化为函数f (x )的图像与g (x )的图像的交点的横坐标之和.因为f (54)=sin (2π×54)=1,f (94)=sin (2π×94)=1,g (54)=22×54-1=43>f (54),g (94)=22×94-1=47<f (94),所以在(12,3]时,两函数图像有两个交点,如图所示.因为函数f (x )和g (x )的图像都关于点(12,0)成中心对称,所以在x ∈[-2,3]时,共有四个交点,设这四个交点的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,根据中心对称可得x 1+x 4=2×12=1,x 3+x 2=2×12=1,所以x 1+x 2+x 3+x 4=2,即方程的所有根之和为2.故选C .11. -1<m<0 [解析] 作出偶函数f (x )的图像及直线y=m ,如图所示,若函数g (x )恰有4个零点,则-1<m<0.12. 2 [解析] 由于f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,所以f (2015)+f (2016)=f (672×3-1)+f (672×3+0)=f (-1)+f (0),由图可知f (-1)=2,f (0)=0,所以f (2015)+f (2016)=2. 13. 2x +sin x [解析] 由图像可知,F (x )图像过定点(0,1),当x>0时,F (x )>1,为增函数;当x<0时,F (x )≤0和F (x )>0交替出现.y=2x 的图像经过点(0,1),且当x<0时,0<y<1,当x>0时,y>1,验证知F (x )=2x +sin x 的图像满足条件.14. (0,12] [解析] 分别作出函数y=f (x ),y=g (x )+1的图像,由-log 2x=1,得x=12,因此,正实数a 的取值范围为(0,12].15. ①②④ [解析] 因为f (x )是R 上的偶函数,所以f (-x )=f (x ),得f (-2)=f (2),在f (x+4)=f (x )+f (2)中,令x=-2,得f (2)=f (-2)+f (2),所以f (-2)=f (2)=0,所以f (x+4)=f (x ),于是函数f (x )是以4为周期的周期函数,又当x ∈[0,2]时,y=f (x )单调递减,结合函数f (x )的性质作出函数f (x )的简图(示意图),由图可知,②直线x=-4为函数y=f (x )图像的一条对称轴;③y=f (x )在[8,10]上单调递减;④若方程f (x )=m 在[-6,-2]上的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-8.所以,真命题的序号为①②④.16. (2,174] [解析] 作出函数f (x )的简图,如图所示,由图可知,当f (x )在(0,4]上任取一个值时,都有4个不同的x 与f (x )的值对应,因为[f (x )]2-bf (x )+1=0有8个不同的根,所以令t=f (x ),则方程t 2-bt+1=0在(0,4]上有2个不同的实数根,所以{0<b2<4,Δ=b 2-4>0,16-4b +1≥0,1>0,解得2<b ≤174.课时作业(十一)1. B [解析] 易知选项B 正确.2. B [解析] 令f (x )=(13)x -x 12,则f (x )的图像在[0,+∞)上是连续不断的,因为f (0)=1>0,f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,所以函数f (x )的零点所在区间是(13,12).故选B .3. C [解析] 因为f (1)=6-log 21=6>0,f (2)=3-log 22=2>0,f (4)=32-log 24=-12<0,所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4),故选C .4. (-∞,1) [解析] 设函数f (x )=x 2+mx-6,则根据条件有f (2)<0,即4+2m-6<0,解得m<1.5. 1 [解析] 作出f (x ),g (x )的大致图像,如图所示,可知有1个交点.6. B[解析]在同一坐标系中分别画出函数f(x),g(x)的图像如图所示,方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图像有两个不同的交点,结合图像可知,当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故12<k<1.故选B.7. C[解析]由已知可得f(x0)=-e x0,则e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点.故选C.8. C[解析]因为函数f(x)=2x-2x -a在区间(1,2)上单调递增,函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.故选C.9. C[解析]由奇函数的性质可知f(0)=0,又当x>0时,f(x)为增函数,当x从右侧趋向于0时,函数值趋向于-∞,而f(1)=2019>0,则x>0时,函数f(x)的图像与x轴有唯一交点.由函数图像的对称性得方程f(x)=0的实根的个数为3,故选C.10. A[解析]g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当g(x)≥0时,得x≤0或x≥2;当g(x)<0时,得0<x<2.所以当x≤0或x ≥2时,f[g(x)]=2x2-2x-2-2=0,即x2-2x-2=1,解得x=-1或x=3;当0<x<2时,f[g(x)]=x2-2x+2=0,此方程无解.所以函数f[g(x)]的所有零点之和是-1+3=2,故选A.11. C[解析]因为函数f(x)有两个零点,所以当x>1时,f(x)=-x+a必有一个零点,则a>1.当a>1,x≤1时,若f(x)=2x-a有一个零点,则1<a≤2,所以“函数f(x)有两个零点”成立的充要条件是a∈(1,2],所以“函数f(x)有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈(1,2).故选C.12. 2[解析]令f(x)=0,得①{x≤0,x2-1=0,解得x=-1.②{x>0,x-2+lnx=0,在同一个直角坐标系中画出y=2-x,x>0和y=ln x,x>0的图像,如图所示.函数y=2-x,x>0和y=ln x,x>0的图像在同一个直角坐标系中交点个数是1,所以f(x)的零点个数为2.13.[5,10)[解析]令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.当f(1)=0时,k=5.所以k∈[5,10).14. (log 32,1) [解析] 由题意知方程log 3x+2x=a 在区间(1,2)上有解,由1<x<2得2<x+2x<3,所以log 32<log 3x+2x<1,所以a ∈(log 32,1).15. B [解析] 当b=0时,不满足题意,所以x=1不是函数的零点,问题转化为:对任意的实数a ,方程a=lnx+b x -1有两个不同的解,即y 1=a 的图像与y 2=ln x+bx -1的图像有两个不同交点.当b<0时,y 2在(0,1)和(1,+∞)上单调递增,且x →0+时,y 2→-∞,x →1-时,y 2→+∞,x →1+时,y 2→-∞,x →+∞时,y 2→+∞,所以b<0.故选B .16. {2} [解析] 依题意知,函数f (x )是偶函数,在x=0处存在唯一零点,所以唯一零点是0,于是02-m cos 0+m 2+3m-8=0,解得m=-4或m=2.若m=-4,则f (x )=x 2+4cos x-4,令f (x )=0,得x 2+4cos x-4=0,即4cosx=4-x 2,由y=4cos x 和y=4-x 2的图像知,两图像的交点不只有一个,所以m=-4不合题意.而m=2时,符合题意.所以m=2,即满足条件的实数m 组成的集合为{2}.课时作业(十二)1. A [解析] 设这个广场的长为x 米,则宽为40 000x米,所以其周长l=2(x +40 000x)≥800,当且仅当x=40 000x,即x=200时取等号.故选A .2. D [解析] 由图可知,张大爷离家后的一段时间匀速直线行走,中间一段时间离家距离不变,说明这段时间张大爷在以家为圆心的圆周上运动,最后匀速回家,故选D .3. B [解析] 因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间的总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故该车每行驶100千米的平均耗油量为48÷6=8(升).4. 4.24 [解析] 因为m=6.5,所以[m ]=6,则f (6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.5. 180 [解析] 依题意知20-x 20=y -824-8,即x=54(24-y ),所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y )·y=54(-y 2+24y )=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,S 有最大值180.6. B [解析] 单位时间的运输量逐步提高时,运输量的增长速度越来越快,即图像在某点的切线的斜率随着自变量的变大会越来越大,故函数图像应一直是下凹的.故选B .7. C [解析] 设每年人口的平均增长率为x ,则(1+x )40=2,两边取以10为底的对数,则40lg (1+x )=lg 2,所以lg (1+x )=lg240≈0.007 5,所以100.007 5≈1+x ,得1+x ≈1.017,所以x ≈1.7%.8. B [解析] 因为103100-1=0.03,(51.450-1)×2=0.056,10097-1≈0.031,所以三种债券的收益为甲<丙<乙,故选B .9. B [解析] 设经销乙商品投入资金x 万元,由题意得20-x 4+a 2√x ≥5(0≤x ≤20),整理得-x 4+a2√x ≥0.显然,当x=0时,不等式恒成立;当0<x ≤20时,由-x 4+a2√x ≥0,得a ≥√x2恒成立,因为0<x ≤20,所以0<√x2≤√5,所以a ≥√5,即a 的最小值为√5.故选B .10. D [解析] 设该公司的年收入为x 万元,纳税额为y 万元,则由题意得y={x ×p%,x ≤280,280×p%+(x -280)×(p +2)%,x >280,依题意有280×p%+(x -280)×(p+2)%x=(p+0.25)%,解得x=320.故选D .11. C [解析] 设原污染物的数量为a ,则P 0=a.由题意有10%a=a e -5k ,所以5k=ln 10.设从过滤开始经过t h 后污染物的含量不超过1%,则有1%a ≥a e -tk ,所以tk ≥2ln 10,所以t ≥10.因此至少还需过滤10-5=5(h )才可以排放.故选C .12. 2500 m 2 [解析] 设矩形的长为x m ,则宽为200-x4m ,则S=x ·200-x 4=14(-x 2+200x ),则当x=100时,S max =2500 m 2. 13.1909[解析] 由题意知前10天y 与x 之间满足一次函数关系,设函数解析式为y=kx+b ,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得{10=k +b,30=10k +b,解得k=209,b=709,所以y=209x+709,则当x=6时,y=1909.14. 11.5 [解析] 设每桶水在进价的基础上上涨x 元时,利润为y 元,由表格中的数据可以得到,日销售的桶数为480-40(x-1)=520-40x ,由520-40x>0及x>0,得0<x<13,则利润y=(520-40x )x-200=-40x 2+520x-200=-40(x-6.5)2+1490,其中0<x<13,所以当x=6.5时,利润最大,即当每桶水的价格为11.5元时,利润取得最大值,为1490元.15. 16 [解析] 当0<x ≤20时,y=(33x-x 2)-x-100=-x 2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x. 故y={-x 2+32x -100,0<x ≤20,160-x,x >20(x ∈N *),当0<x ≤20时,y=-x 2+32x-100=-(x-16)2+156,所以当x=16时,y max =156. 而当x>20时,160-x<140.故当x=16时能获得最大年利润.课时作业(十三)1. B [解析] 因为f'(x )=1-e x x -e x x 2=1-e x (x -1)x 2,所以f'(1)=1,又f (1)=1-e ,所以f'(1)-f (1)=e .2. C [解析] 因为f'(x )=1-lnxx 2,所以f'(1)=1,故该切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.3. A [解析] 由题意知,汽车行驶的速度v 关于时间t 的函数为v (t )=s'(t )=6t 2-gt ,则v'(t )=12t-g ,故当t=2 s 时,汽车的加速度是v'(2)=12×2-10=14(m/s 2).4. 2 [解析] 因为f'(x )=(2x+2)e x -(x 2+2x)e x (e x )2=2-x 2e x ,所以f'(0)=2.5. 2 [解析] 因为f'(x )=a ln x+ax ·1x=a (ln x+1),所以f'(1)=a (ln 1+1)=2,即a=2. 6. A [解析] 设x+1=t ,则x=t-1,所以f (t )=2t -1t =2-1t,故f (x )=2-1x ,又f'(x )=1x 2,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率k=f'(1)=1.7. B [解析] 设直线y=ax 与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x 0,则对于y=2ln x+1,有y'|x=x 0=2x 0,于是有{a =2x 0,ax 0=2ln x 0+1,解得x 0=√e ,则a=2x 0=2e -12.。

2019版高中全程复习方略数学：第二章 函数、导数及其应用 2.1

2019版高中全程复习方略数学：第二章 函数、导数及其应用 2.1
解析：由映射的定义，A 中任取一个元素 x，B 中都有唯一确 定的 f(x)对应知①②错．
答案：C
2．函数 y＝lgxx－＋11的定义域是(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．[－1,1)∪(1，＋∞)
解析：由题意得xx＋－11>≠00，， 所以xx>≠－1，1， 选 C. 答案：C
悟·技法 1.分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代 入该段的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求 值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 2.分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.
[知识重温]
一、必记 3●个知识点
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 A，B A，B 是两个非空数集
A，B 是两个①非空集合
按照某种确定的对应关系 f， 按某一个确定的对应关系 f，
对应关系 f： 对于集合 A 中的②任意一个 对于集合 A 中的④任意一个
A→B 数 x，在集合 B 中有③唯一确 元素 x，在集合 B 中都有⑤唯
将 f(1x)＝2fxx－1 代入 f(x)＝2f(1x) x－1 中， 可求得 f(x)＝23 x＋13.
悟·技法 求函数解析式常用的方法
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式．
解析：法一：∵f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1， 又 x＋1≥1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：设 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝t－1，x＝(t－1)2， ∵f( x＋1)＝x＋2 x， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 即 f(x)＝x2－1(x≥1)．

新人教版通用2019高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数函数教师用书文新人教A版

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第六节 对数函数———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)．(2)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ，③log a M n＝n log a M (n ∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知a ＝2，b ＝log 213，c ＝log 13，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log ＞log 12＝1，∴c ＞a ＞b .]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图2­6­1，则下列结论成立的是( )【导学号：31222050】图2­6­1A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．(2017·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.2 3 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log23＝ 3.](1)设2a ＝5b＝m ，且a ＋b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(1)A (2)－20 [(1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 122·52×10＝(lg10－2)×10＝－2×10＝－20.] [规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 3 3 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24，故选A.(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.(1)(2016·河南焦作一模)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )A B C D(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [变式训练2] (2017·西城区二模)如图2­6­2，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( )【导学号：31222051】图2­6­2A ．2B ．3C.2D. 3D [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2m ＋3＋2＝n ＋1，解得m ＝3，故选D.]☞角度1(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c＜b cD ．c a＞c bB [∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a ＞b ＞0，∴a c＞b c，C 项错误；∵0＜c ＜1，∴y ＝c x在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a ＞b ＞0，∴c a＜c b，D 项错误．] ☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0D [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数.3分 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数， ∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，7分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，10分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1.12分[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，log a b＞0；当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，log a b＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．课时分层训练(九) 对数函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝log23x －的定义域是( )【导学号：31222052】A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D [由log 23(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]2．(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞cB [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]3．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图2­6­3所示，则下列函数图象正确的是( )图2­6­3A B C DB [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72A [由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.]5．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )【导学号：31222053】A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞)C [因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.]二、填空题6．(2015·安徽高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]7．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________． (－∞，－1) (－1，＋∞) [作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．]8．(2016·浙江高考)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.4 2 [∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝b b 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.] 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.3分由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3).5分 (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，7分 ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12分10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，2分 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12－x，x ＜0.5分(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4).8分 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市一联)已知点(n ，a n )(n ∈N *)在y ＝e x的图象上，若满足当T n ＝ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a n ＞k 时，n 的最小值为5，则k 的取值范围是( )【导学号：31222054】A ．k ＜15B ．k ＜10C ．10≤k ＜15D ．10＜k ＜15C [因为点(n ，a n )在y ＝e x的图象上，所以a n ＝e n，所以T n ＝ln(e 1e 2…e n)＝n n ＋2，由n n ＋2＞k 时n 的最小值为5，即⎩⎪⎨⎪⎧＋2＞k ，＋2≤k ，解得10≤k ＜15，故选C.]2．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)， ∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1， ∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意． 故a ∈(1,2]．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.3分故所求函数f (x )的定义域为(－1,1).4分 (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数.8分(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1，所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1).12分。

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用重点强化课1函数的图象与性质教师用书文新人教A版

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【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用重点强化课1函数的图象与性质教师用书文新人教A 版[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．重点1 函数图象的应用已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x －1)≤的解集为( ) 【导学号：31222064】A.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 C.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 A [画出函数f(x)的图象，如图，当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；当x ＞时，令f(x)＝2x －1≤，解得＜x≤，故有≤x≤.因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为∪，故f(x －1)≤的解集为∪.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围．[解] 由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.12分[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．[解] 函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.12分[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．[对点训练1] 已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．图1(－1,0)∪(1，] [由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．]重点2 函数性质的综合应用☞角度1 单调性与奇偶性结合(1)(2017·石家庄质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝B ．y ＝lg xC ．y ＝|x|－1D ．y ＝|x|(2)(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f(2|a －1|)>f(－)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ (1)C (2)C [(1)函数y ＝是奇函数，排除A ；函数y ＝lg x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除B ；当x∈(0，＋∞)时，函数y ＝|x|＝x 单调递减，排除D ；函数y ＝|x|－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.(2)因为f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a －1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a －1|＜，即|a －1|＜，所以＜a ＜.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·贵阳适应性考试(二))若函数f(x)＝asin 2x ＋btan x ＋1，且f(－3)＝5，则f(π＋3)＝________.－3 [令g(x)＝asin 2x ＋btan x ，则g(x)是奇函数，且最小正周期是π，由f(－3)＝g(－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，则g(3)＝－g(－3)＝－4，则f(π＋3)＝g(π＋3)＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)D [因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．][规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．重点3 函数图象与性质的综合应用(1)(2017·郑州二检)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞) (1)D (2)C [(1)由题意知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ＞a ，x2＋3x ＋2，x≤a.因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2.由x2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2，由x≤a，得a≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．(2)函数f(x)＝的图象如图所示，当a<1时，函数y ＝f(x)的图象与函数f(x)＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] (2017·云南二次统一检测)已知f(x)的定义域为实数集R ，∀x∈R，f(3＋2x)＝f(7－2x)，若f(x)＝0恰有n 个不同实数根，且这n 个不同实数根之和等于75，则n ＝________.15 [由f(3＋2x)＝f(7－2x)得函数f(x)的图象关于直线x ＝5对称，则f(x)＝0的n个实根的和为5n＝75，解得n＝15.]重点强化训练(一) 函数的图象与性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )【导学号：31222065】A．－ B.12C．2 D．－2B [因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝.]2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )A．－3 B．－1C．1 D．3C [用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]3．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)C [因为函数f(x)在定义域上单调递增，又f(－2)＝3－2－1－2＝－＜0，f(－1)＝3－1－－2＝－＜0，f(0)＝30＋0－2＝－1＜0，f(1)＝3＋－2＝＞0，所以f(0)f(1)＜0，所以函数f(x)的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a 的取值范围是( )【导学号：31222066】A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C. D ．(0,2]C [∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则( )A ．f(3)＜f(1)＜f(－2)B ．f(1)＜f(－2)＜f(3)C ．f(－2)＜f(1)＜f(3)D ．f(3)＜f(－2)＜f(1)D [由对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，＜0得函数f(x)为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(3)＜f(2)＝f(－2)＜f(1)，故选D.]二、填空题6．函数y ＝f(x)在x∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x∈[－2,2]时，f(x)＋f(－x)＝________.【导学号：31222067】图20 [由题图可知，函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0.]7．若函数y＝log2(ax2＋2x＋1)的值域为R，则a的取值范围为________．[0,1] [设f(x)＝ax2＋2x＋1，由题意知，f(x)取遍所有的正实数．当a＝0时，f(x)＝2x＋1符合条件；当a≠0时，则解得0＜a≤1，所以0≤a≤1.]8．(2017·银川质检)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝0，则满足f(x－1)＜0的x的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3)[依题意当x∈(1，＋∞)时，f(x－1)＜0＝f(2)的解集为x＜3，即1＜x＜3；当x∈(－∞，1)时，f(x－1)＜0＝f(－2)的解集为x＜－1，即x＜－1.综上所述，满足f(x－1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f(x)＝2x，当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解，两个解？[解] 令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示.3分由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；9分当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解.12分10．函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．[解] (1)由得3分解得m＝－1，a＝2，故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.5分(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]＝log2－1(x＞1).7分∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4.9分当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，则log2－1≥log24－1＝1，故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式＜f(1)的解集为( )A. B．(0，e)C. D．(e，＋∞)C [f(x)为R上的奇函数，则f＝f(－ln x)＝－f(ln x)，所以＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化为|f(ln x)|＜f(1)，所以－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上单调递增，所以－1＜ln x＜1，解得＜x＜e，故选C.]2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 019)的值为________．【导学号：31222068】0 [g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分别是偶函数与奇函数，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，则f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.]3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．[解] (1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.3分(2)f(x)为偶函数.4分证明如下：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.7分(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，2019年由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).9分又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，11分∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.12分。

高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第7节 函数的图象教师用书 文 新人教A版

高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第7节 函数的图象教师用书 文 新人教A版

第七节 函数的图象———————————————————————————————— [考纲传真] 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变y＝af(x)的图象．―――――――――――――――――――――→0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a，横坐标不变(4)翻转变换x轴下方部分翻折到上方y＝|f(x)|的图象；①y＝f(x)的图象―――――――――――→x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧y＝f(|x|)的图象．②y＝f(x)的图象―――――――――――――→原y轴左侧部分去掉，右侧不变1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( )(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )①②③④图2­7­1A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④B [设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B.]跑，依题意3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.]4．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )D [∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，故选D.]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：31222055】(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．](1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.3分① ②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.6分(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.9分③ ④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.12分[规律方法] 画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． [变式训练1] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.[解] (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.6分(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.12分( )(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图2­7­2，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2­7­2A B C D(1)D (2)B [(1)∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ， 在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.] [规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．[变式训练2] (1)已知函数f (x )的图象如图2­7­3所示，则f (x )的解析式可以是( )图2­7­3A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x(2)(2016·河南平顶山二模)函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图2­7­4所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )图2­7­4(1)A (2)C [(1)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(2)由题图可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.]☞角度1已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]☞角度2 确定函数零点的个数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．5 [方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.] ☞角度3 求参数的值或取值范围(2016·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x ＞0，－－x ，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)B [根据题意可知，“伙伴点组”的点满足： 都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，即km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.] ☞角度4 求不等式的解集函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图2­7­5所示，那么不等式f xcos x＜0的解集为________．图2­7­5⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f xcos x为偶函数，所以f xcos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.][规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法 (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[思想与方法]1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．[易错与防范]1．图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错． 2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．课时分层训练(十) 函数的图象A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度B [因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象，故B正确．]2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【导学号：31222056】A B C DC [出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.]3．(2016·广西桂林高考一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )A B C DB [由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x>1时，y>0，故选B.]4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(0,1]D [作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：由图可知k∈(0,1]，故选D.]5．(2017·洛阳模拟)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图象(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图象如图2­7­6所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________. 【导学号：31222057】图2­7­6(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．如图2­7­7，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图2­7­7f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0.]8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5].(1)在如图2­7­8所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图2­7­8(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图象如图所示．4分(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5].8分 (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12分 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：4分(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.8分(3)由f (x )的图象知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．已知函数f (x )＝若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________．【导学号：31222058】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ [对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.]3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，3分∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.5分(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2].7分 ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.9分令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞).12分。

2019届高考数学一轮复习 第2单元 函数、导数及其应用听课学案 理

2019届高考数学一轮复习 第2单元 函数、导数及其应用听课学案 理

学习资料专题第二单元函数、导数及其应用第4讲函数概念及其表示课前双击巩固1.函数与映射的概念2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.3.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为.(6)函数f(x)=xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为;当a<0时,值域为.(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±;②y2=x-1;③y=+;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编]已知函数f(x)=若f[f(e)]=2a,则实数a= .3.[教材改编]函数f(x)=的定义域是.4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题◆索引:对函数概念理解不透彻;对分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻.5.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是.(填序号)①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=.6.设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.7.已知f()=x-1,则f(x)= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.课堂考点探究探究点一函数的定义域考向1求给定函数解析式的定义域1 (1)[2017·洛阳调研]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=e ln x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=ln xC.y=D.y=10x(2)[2017·揭阳二模]函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2][总结反思] 已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.考向2求抽象函数的定义域2 (1)若函数y=f(x)的定义域为[-1,1),则函数y=f(x2-3)的定义域为. (2)已知f(2x)的定义域是[-1,2],则f(log2x)的定义域为.[总结反思] (1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域;(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.考向3已知定义域求参数范围3 (1)设f(x)的定义域为[0,1],要使函数f(x-a)+f(x+a)有定义,则a的取值范围为()A.B.C.D.∪(2)已知函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是.[总结反思] 根据函数的定义域,将问题转化为含参数的不等式(组),进而求解参数范围.强化演练1.【考向2】已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是()A.B.[-1,4]C. D.[-5,5]2.【考向2】若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,1)B.[0,1]C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)3.【考向1】[2017·江西重点中学盟校联考]函数y=ln1++的定义域为.4.【考向3】函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是.5.【考向3】记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.若B⊆A,则实数a的取值范围为.探究点二函数的解析式4 (1)已知f=ln x,则f(x)= .(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=5,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)= .(3)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=3·f+1,则f(x)= .[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)构造法:已知关于f(x)与f(或f(-x))的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).(4)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.式题 (1)已知f(+1)=x+2,则f(x)= .(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x<0时,f(x)= .(3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)= .探究点三分段函数考向1分段函数的函数求值问题5 (1)[2017·河南新乡二模]已知函数f(x)=则f[f(-1)]= .(2)[2017·抚州七校联考]设函数f(x)=则f(3)+f(4)= .[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系,对于复合函数的求值问题,应由里到外地依次求值.考向2分段函数的自变量求值问题6 [2017·湘潭一中、长沙一中等六校联考]已知f(x)=若f(a)=2,则a的取值为()A.2B.-1或2C.±1或2D.1或2[总结反思] 与分段函数有关的自变量的求值问题,求解关键是分类讨论思想的应用.考向3分段函数与方程、不等式问题7 (1)已知函数f(x)=若f(a)>,则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(,+∞)B.(-1,)C.(-1,0)∪D.(2)[2017·渭南二模]设f(x)=若f[f(4)]=,则a= .[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式与方程问题,主要表现为解不等式(或方程).若自变量取值不确定,则要分类讨论求解;若自变量取值确定,则只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.强化演练1.【考向1】[2017·桂林中学三模]已知函数f(x)=则f(2+log32)的值为()A.-B.C. D.-542.【考向1】已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足f(0)=2,f(-1)=3,则f[f(-3)]=()A.-3B.-2C.3D.23.【考向2】[2017·石家庄二中三模]已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则a=()A.-2B.-1C.-1或-D.24.【考向3】已知函数f(x)=则满足f(a)≥2的实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(0,+∞)B.(-1,0)C.(-2,0)D.(-∞,-1]∪[0,+∞)5.【考向3】设函数f(x)=则满足f[f(a)]=2f(a)的a的取值范围是()A .B.[0,1]C .D.[1,+∞)第5讲函数的单调性与最值课前双击巩固1.单调函数的定义自左向右看图像是2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫作函数y=f(x)的单调区间.3.函数的最值常用结论1.复合函数的单调性函数y=f (u ),u=φ(x ),在函数y=f [φ(x )]的定义域上,如果y=f (u ),u=φ(x )的单调性相同,则y=f [φ(x )]单调递增;如果y=f (u ),u=φ(x )的单调性相反,则y=f [φ(x )]单调递减. 2.单调性定义的等价形式 设任意x 1,x 2∈[a ,b ],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0或>0,则f (x )在闭区间[a ,b ]上是增函数.(2)若有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0或<0,则f (x )在闭区间[a ,b ]上是减函数.3.函数单调性的常用结论(1)若f (x ),g (x )均为区间A 上的增(减)函数,则f (x )+g (x )也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf (x )与f (x )单调性相同,若k<0,则kf (x )与f (x )单调性相反.(3)函数y=f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y=-f (x ),y=的单调性相反.(4)函数y=f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.题组一 常识题1.[教材改编] 函数f (x )=(2a-1)x-3是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .2.[教材改编] 函数f (x )=(x-2)2+5(x ∈[-3,3])的单调递增区间是 ;单调递减区间是 .3.[教材改编]函数f(x)=(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.4.函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.题组二常错题◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.6.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围为.7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是.8.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是.(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为.课堂考点探究探究点一函数单调性的判断与证明1 判断函数f(x)=(a>0),x∈(-1,1)的单调性,并加以证明.[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(2)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.式题 [2017·南阳一中月考]下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=-x2+1B.y=|x-1|C.y=x3D.y=2-x探究点二求函数的单调区间2 (1)[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.[总结反思] 求函数单调区间的常见方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)导数法.求复合函数单调区间的一般解题步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.式题 (1) 函数y=的单调递增区间为()A.(1,+∞)B.C.D.(2)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是. 探究点三函数单调性的应用考向1利用函数的单调性比较大小3 (1)[2017·吉林实验中学二模]设a=log52,b=,c=log73,则a,b,c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.a>b>c(2)[2017·达州二诊]已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意x∈(0,+∞),f[f(x)-ln x]=e+1,设a=f,b=f,c=f(log2π),则a,b,c的大小关系是.(用“>”号连接表示)[总结反思] 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.考向2利用函数的单调性解决不等式问题4 (1)已知函数f的定义域为R,对任意x1<x2,都有f-f<x1-x2,且f=-4,则不等式f>lo|3x-1|-1的解集为()A.B.C.∪D.∪(2)[2017·云南师大附中月考]已知函数f(x)=e x+x3,若f(x2)<f(3x-2),则实数x的取值范围是.[总结反思] 解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.考向3利用函数的单调性求最值问题5 设函数f(x)=+2016sin x,x∈-,的最大值为M,最小值为N,那么M+N= .[总结反思] 若函数在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.考向4利用函数的单调性求参数6 [2017·南充三模]已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(1,+∞)D.[总结反思] (1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0成立.若a=f(log47),b=f(log23),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c2.【考向2】已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是.3.【考向3】[2017·青岛一模]已知函数f(x)=则函数f(x)的最大值是.4.【考向4】若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.5.【考向4】[2017·武汉调研]若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则实数a 的取值范围为.第6讲函数的奇偶性与周期性课前双击巩固1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫作f(x)的最小正周期.常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1⇔f(x)为奇函数.2.对f(x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期为T(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(2)若f(x+a)=,则T=2|a|;(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.3.函数图像的对称关系(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=对称;(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点对称.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=+|x|中,偶函数的个数是.2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是函数.3.[教材改编]已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=-1,则f(-2)= .4.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=log4(x2+3),则f(2017)= .题组二常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;性质应用不熟练,找不到解题方法;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.5.函数f(x)=是(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数.6.具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.有下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=其中满足“倒负”变换的函数是.(填序号)7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f,且f(1)=2,则f(2017)= .8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+4x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=.课堂考点探究探究点一函数奇偶性的判断1 (1)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数(2)下列函数奇偶性的判断,正确的是()①f(x)=+;②f(x)=;③f(x)=A.①是奇函数,②是奇函数,③是偶函数B.①是偶函数,②是奇函数,③是偶函数C.①既是奇函数又是偶函数,②是奇函数,③是奇函数D.①既是奇函数又是偶函数,②是偶函数,③是偶函数[总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0 (偶函数)是否成立.式题 (1)[2017·衡水中学三调]已知函数f(x)=,g(x)=,则下列结论正确的是()A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数(2)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是()A.f(x)=x+sin 2xB.f(x)=x2-cos xC.f(x)=3x-D.f(x)=x2+tan x探究点二函数的周期性2 (1)已知函数f(x)满足f x-=f x+,当x∈0,时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间(0,6]上的零点个数是()A.3B.4C.5D.6(2) [2017·芜湖二模]已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=2-,且对任意的x都有f(x+2)=,则f(2018)=()A.-2-B.-2+C.2-D.2+[总结反思] (1)只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合考查.(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.式题已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,当x∈(1,4]时,f(x)=3x-1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)= .探究点三函数性质的综合应用考向1奇偶性的应用3 (1)[2017·福建四地六校联考]设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)=()A.-B.C.2D.-2(2)[2017·许昌二模]已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()A.0B.2C.4D.8[总结反思] 利用函数的奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得出方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值和为零可求一些特殊结构的函数值.考向2奇偶性与单调性4 (1)已知f(x)是奇函数,并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是()A. B.C.-D.-(2)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则满足f(a-2)>0的实数a的取值范围为()A.(2,+∞)B.(4,+∞)C.(0,4)D.(-∞,0)∪(4,+∞)[总结反思] (1)利用偶函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相同,可以把函数不等式化为一般的不等式;(2)注意偶函数性质f(x)=f(|x|)的应用.考向3奇偶性与周期性5 (1)[2017·广州花都区二模]已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=1,则f(2016)+f(2017)=()A.-2B.1C.0D.-1(2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin |x|在[-10,10]内的根的个数为.[总结反思] 利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.考向4奇偶性﹑周期性与单调性6 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A.[3,7]B.[4,5]C.[5,8]D.[6,10](2)[2017·哈尔滨六中二模]定义在R上的奇函数f(x)满足f x+=f(x),当x∈0,时,f(x)=lo(1-x),则f(x)在区间1,内是()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.强化演练1.【考向1】[2018·济南外国语学校月考]已知函数y=f(x),满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=()A. B.C.πD.2.【考向2】[2017·大连二模]已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(ln x)<f(2),则x的取值范围是()A.(0,e2)B.(e-2,+∞)C.(e2,+∞)D.(e-2,e2)3.【考向4】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)4.【考向3】设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f= .5.【考向3】[2017·武汉模拟]设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1.则f+f(1)+f+f(2)+f= .第7讲二次函数与幂函数课前双击巩固1.二次函数的图像和性质上单调递增上单调递减2.幂函数(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较常用结论1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.题组一常识题1.[教材改编]若函数f(x)=4x2-kx-8在上是单调函数,则实数k的取值范围是.2.[教材改编]已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),则函数f(x)= .3.[教材改编]已知f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是.4.[教材改编]若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b= .题组二常错题◆索引:图像特征把握不准出错;二次函数的单调性理解不到位;幂函数的图像掌握不到位.5.如图2-7-1,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图像是(填序号).图2-7-16.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)(填“>”“<”或“=”)0.7.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是.8.已知当x∈时,函数y=x p的图像在直线y=x的上方,则p的取值范围是.课堂考点探究探究点一幂函数的图像和性质1 (1)若幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像大致是()图2-7-2(2)[2017·南阳一中月考]已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.若a,b∈R且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断[总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.式题幂函数的图像经过点2,,则它的单调递增区间是()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)探究点二二次函数的解析式2 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= .(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)= .[总结反思] 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图像与x轴两交点的坐标,宜选用零点式.式题 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)= .(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为f(x)= .探究点三二次函数的图像与性质考向1二次函数的单调性问题3 (1)[2017·安徽江淮十校三模]函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定(2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是()A.(-∞,0]B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2][总结反思] (1)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解;(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.考向2二次函数的最值问题4 已知函数f(x)=ax2-2x(a>0),求函数f(x)在区间[0,2]上的最小值.[总结反思] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分类讨论求解.考向3二次函数中的恒成立问题5 (1)[2017·仙桃中学月考]已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为.(2)函数f(x)=a2x+3a x-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为.[总结反思] 二次函数中恒成立问题的解题关键是根据二次函数的对称性、单调性等得出关于参数的不等式,进而求得参数范围.强化演练1.【考向1】函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为()A.-3B.13C.7D.52.【考向2】若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为()A. [-3,3]B.[-1,3]C.{-3,3}D.{-1,-3,3}3.【考向2】[2017·皖北联考]若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a 的值为.4.【考向3】已知函数y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x ∈-2,-时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为.5.【考向3】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为.第8讲指数与指数函数课前双击巩固1.根式x=±,记作=叫作,2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*且n>1).②正数的负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质①a r a s= (a>0,r,s∈Q);② (a r)s= (a>0,r,s∈Q);③ (ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图像与性质常用结论1.指数函数y=a x+b(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1+b).2.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图像以x轴为渐近线.题组一常识题1.[教材改编]若x+x-1=3,则x2-x-2= .2.[教材改编]已知2x-1<23-x,则x的取值范围是.3.[教材改编]函数y=a x-1+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点.4.[教材改编]下列所给函数中值域为(0,+∞)的是.(填序号)①y=-5x,②y=,③y=,④y=.题组二常错题◆索引:忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况.5.计算+= .6.若函数f(x)=(a2-3)·a x为指数函数,则a= .7.若函数f(x)=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= .8.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)满足f(1-x)=f(1+x),则f(2x)与f(3x)的大小关系是.课堂考点探究探究点一指数幂的化简与求值1 (1)[2017·兰州铁一中月考]已知a-=3(a>0),则a2+a+a-2+a-1的值为()A.13-B.11-C.13+D.11+(2)计算0.02+2560.75--72= .[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.式题 (1)计算:×2+3π0= .(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则= .探究点二指数函数的图像及应用2 (1)函数y=1-e|x|的图像大致是()图2-8-1(2)[2017·天津河西区二模]已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2cD.1<2a+2c<2[总结反思] (1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.式题 (1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a x(a>0且a≠1)与y=(1-a)x的图像可能是()图2-8-2(2)已知函数y=的图像与指数函数y=a x的图像关于y轴对称,则实数a的值为()A.1B.2C.4D.8探究点三指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小3 (1)[2017·遂宁三诊]已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若-1<a<0,则3a,,a3的大小关系是(用“>”连接).[总结反思] 指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小.考向2解简单的指数方程或不等式4 (1)已知函数f(x)=则不等式f(x)<f的解集是.(2)方程4x+|1-2x|=11的解为.[总结反思] (1)a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x).(2)a f(x)>a g(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).考向3指数函数性质的综合问题5 (1)函数f(x)=a+(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点ln 3,,则函数f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈时恒成立,则实数a的取值范围是.[总结反思] 指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化.强化演练1.【考向1】[2017·南昌一模]已知a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a2.【考向2】若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)3.【考向2】已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为.4.【考向2】若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为.5.【考向3】已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数m的取值范围为.第9讲对数与对数函数课前双击巩固。

新人教版通用2019高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教师用书文新人教A版

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第八节函数与方程————————————————————————————————[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是( )A．0 B．1C ．2D ．3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【导学号：31222059】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. 【导学号：31222060】(1)B (2)存在 [(1)函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．] [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C [∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，故选C.]0.5A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f (x )＝{ ln x －x 2＋2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．](2017·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．[思路点拨] 先作出函数f (x )的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件． [解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，3分所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f＜2，f＞2，8分如图，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10).12分[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a－3)＜0，∴0＜a ＜3.(2)作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法． [易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) 【导学号：31222061】A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，故f (0)·f (1)＜0，故选C.]3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [由指数函数、幂函数的性质可知，f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (2)＝10＞0，所以f (0)·f (2)＜0，即函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．【导学号：31222062】(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]8．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .2分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.7分 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.12分10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根.3分因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.5分(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，7分即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.10分故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1,0)D ．(0,1]D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．【导学号：31222063】⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值．解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14，解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f [f (x )]＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.]3．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． [解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.3分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－a ＋，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；6分②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；9分③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a 2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22].12分法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，3分 设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，9分 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.12分。

近年届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第4节指数与指数函数练习新人教A版(2021年整理)

近年届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第4节指数与指数函数练习新人教A版(2021年整理)

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第二章第4节指数与指数函数[基础训练组]1．已知f（x)＝2x＋2－x,若f（a）＝3，则f（2a)等于( )A．5 B．7C．9 D．11解析：B ［由f（a)＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7,故f（2a)＝7.]2．函数y＝2x－2－x是（）A．奇函数，在（0,＋∞）上单调递增B．奇函数,在（0,＋∞）上单调递减C．偶函数,在(－∞，0)上单调递增D．偶函数，在(－∞，0)上单调递减解析：A ［根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f(x)＝2x－2－x,则f（－x）＝2－x－2x＝－f（x），所以函数是奇函数，排除C、D.又函数y＝2x，y＝－2－x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f（x）＝2x－2－x是R上的增函数,故选择A.］3．(理科）（2018·宜宾市诊断）已知函数f(x)＝x－4＋9x＋1,x∈(0,4)，当x＝a时,f(x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x＋b｜的图象为（）解析：A [∵x∈（0,4），∴x＋1〉1,∴f（x)＝x＋1＋错误!－5≥2错误!－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，取等号．∴a＝2，b＝1。

2019年全品高考复习方案理科数学第2单元 集合与常用逻辑用语测评正文-第二单元 函数、导数及其应用

2019年全品高考复习方案理科数学第2单元 集合与常用逻辑用语测评正文-第二单元 函数、导数及其应用

全品高考复习方案数学(理科) RJA小题必刷卷(二)函数概念与函数的性质题组一真题集训1.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=()A.1B.2C.3D.-1若f(a)=f(a+1),则f=()2.[2017·山东卷]设f(x)=-A.2B.4C.6D.83.[2016·天津卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是()A.-∞,B.-∞,∪,+∞C.,D.,+∞4.[2016·全国卷Ⅱ]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=5.[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则6.[2015·湖北卷]已知符号函数sgn x=-()A.sgn[g(x)]=sgn xB.sgn[g(x)]=-sgn xC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]7.[2016·江苏卷]函数y=--的定义域是.8.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0] 时,f(x)=6-x,则f(919)= .9.[2016·四川卷]已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f -+f(1)= .10.[2015·全国卷Ⅰ]若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a= .题组二模拟强化11.[2017·豫北名校联盟联考]函数y=--的定义域为()A.(-1,0)∪(0,1]B.(-1,1]C.(-4,-1]D.(-4,0)∪(0,1]12.[2017·肇庆三模]下列函数中,既是偶函数,又在(1,+∞)上单调递增的为()A.y=ln(x2+1)B.y=cos xC.y=x-ln xD.y=13.[2018·运城模拟]已知函数f(x)=-若f(m)=3,则m的值为()A.0或3B.-1或3C.0或-1D.0或-1或314.[2017·成都二诊]已知函数f(x)的定义域为R,当x∈[-2,2]时,f(x)单调递减,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是()A.f(π)<f(3)<f()B.f(π)<f()<f(3)C.f()<f(3)<f(π)D.f()<f(π)<f(3)15.[2017·四川师大附中二模]设函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D(a<b),使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称为“优美函数”.若函数f(x)=log2(4x+t)为“优美函数”,则t 的取值范围是()A.B.(0,1)C.D.16.[2017·南充一中月考]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,若对于任意x∈R,f(log2a)≤f(x2-2x+2)恒成立,则a的取值范围是()A.(0,1]B.C.(0,2]D.[2,+∞)17.[2017·银川二模]若函数f(x)=3+-+sin 2x在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n 等于()A.0B.2C.4D.618.已知奇函数f(x)=-则f(-2)的值为.19.[2017·广州二模]已知函数f(x)=-若f(3a-1)≥8f(a),则实数a的取值范围为.20.[2018·河北武邑中学调研]奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2+x)+f(2-x)=0,且f(1)=9,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.小题必刷卷(三)函数题组一真题集训1.[2013·全国卷Ⅱ]设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c2.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x) ()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.[2014·北京卷]加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),图X3-1记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()图X3-1A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟4.[2016·全国卷Ⅰ]函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为()图X3-25.[2017·山东卷]已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2+∞)D.(0,∪[3,+∞)6.[2016·天津卷]已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.0,B.,C.,∪D.,∪7.[2017·浙江卷]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关8.[2015·浙江卷]若a=log43,则2a+2-a= .9.[2015·湖南卷]已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a 的取值范围是.10.[2017·全国卷Ⅲ]设函数f(x)=则满足f(x)+f->1的x的取值范围是.题组二模拟强化11.[2018·河北武邑中学调研]已知函数f(x)=x2+(2a-1)x+b是偶函数,那么函数g(x)=-的定义域为()A.-B.C.(0,2]D.[2,+∞)12.[2017·汕头潮南区模拟]已知函数f(x)=ln x--的零点为x0,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)13.[2017·衡阳二模]函数f(x)=+ln|x|的图像大致为()图X3-314.[2017·江西八校联考]已知定义在R上的函数f(x)=e-|x|,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a,b,c的大小关系为 ()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a15.衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发,从而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt,若新丸经过50天后体积变为a,则一个新丸体积变为a需经过的天数为()A.125B.100C.75D.5016.已知函数f(x)=-若函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点,则k的取值范围是()A.B.(-∞,0)∪C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪17.已知函数f(x)=-若关于x的方程[f(x)]2+f(x)+t=0有三个不同的实根,则t的取值范围为()A.(-∞,2]B.[1,+∞)C.[-2,1]D.(-∞,-2]∪[1,+∞)18.[2018·茂名联考]已知幂函数f(x)=x a的图像过点3,,则函数g(x)=(2x-1)f(x)在区间,2上的最小值是()A.-1B.0C.-2D.19.函数f(x)=2ln x的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像的交点个数为.20.设函数f的定义域为R, 且f-=f,f=f-,当x∈时,f=x3,则函数g=-f在区间-上的所有零点的和为.小题必刷卷(四)导数及其应用题组一真题集训1.[2014·全国卷Ⅱ]设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.32.[2016·山东卷]若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x33.[2014·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)4.[2012·全国卷]设点P在曲线y=e x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln 2B.(1-ln 2)C.1+ln 2D.+ln 2)5.[2016·四川卷]设直线l1,l2分别是函数f(x)=-图像上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)6.[2017·浙江卷]函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图X4-1所示,则函数y=f(x)的图像可能是()图X4-1图X4-27.[2017·全国卷Ⅱ]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.18.[2017·全国卷Ⅰ]曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.9.[2015·陕西卷]如图X4-3,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.图X4-310.[2016·全国卷Ⅱ]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .题组二模拟强化11.[2017·兰州诊断]若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)12.函数y=ln x-x在(0,e]上的最大值为()A.eB.1C.-1D.-e13.[2017·安徽百校论坛联考]已知函数f=的图像在点(1,f(1))处切线的斜率为1,则实数a的值为()A.-B.C.D.-14.[2017·韶关二模]函数f(x)=(x2-2x)e x的图像大致是()图X4-415.若一个四棱锥的底面为正方形,顶点在底面上的正投影为正方形的中心,且该四棱锥的体积为9,当其外接球的体积最小时,它的高为()A. 3B.2C. 2D. 316.[2017·成都七中月考]若函数f(x)=e3x+m e2x+(2m+1)e x+1有两个极值点,则实数m的取值范围是()A.--B.--C.(-∞,1-)D.(-∞,1-)∪(1+,+∞)17.[2017·武汉调研]若函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是()A.-B.C.(-∞,0)D.(0,+∞)18.[2017·肇庆三模]已知直线y=-x+m是曲线y=x2-3ln x的一条切线,则m的值为.19.[2017·佛山二模]曲线y=ln(x+2)-3x在点(-1,3)处的切线方程为.(-+sin x)d x= .20.[2017·太原三模]-解答必刷卷 (一)函数与导数题组一真题集训1.[2017·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,…<m,求m的最小值.2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.3.[2016·全国卷Ⅱ] (1)讨论函数f(x)=-e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0.(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=--(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.题组二模拟强化4.[2017·衡阳八中、长郡中学等十三校二模]已知函数f(x)=ln x,g(x)=(x-1)f'(x),其中f'(x)是f(x)的导函数.(1)求曲线y=f(x)在点(e,1)处的切线方程;(2)若f(x)≥ag(x)在[3,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.5.[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x(a∈R).(1)设函数g(x)=f(x)+x,若曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线过点(0,2),求函数g(x)的单调递减区间;(2)若函数f(x)在0,上无零点,求a的最小值.6.[2017·海口一中月考]已知函数f(x)=a ln x-ax(a≠0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+(a+1)x+1-e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围;(3)求证:ln n!<-(n≥2,n∈N*).。

高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第11节 导数与函数的单调性教师用书 文 新人教A版

高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第11节 导数与函数的单调性教师用书 文 新人教A版

第十一节导数与函数的单调性————————————————————————————————[考纲传真] 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( )(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．( )(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．( )[答案](1)×(2)√(3)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)A [f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图2­11­1所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是( )图2­11­1A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(3,4)上是增函数A [当x ∈(－3,0)时，f ′(x )＜0，则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 4．(2015·陕西高考)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数B [因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数为增函数，排除选项A 和C.又因为f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D ，故选B.]5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)D [由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)．]【导学号：31222081】[解] f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－2a3.2分当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x ) 在(－∞，＋∞)上单调递增；4分当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；7分 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0，10分所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减.12分 [规律方法] 用导数证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 (1)一求．求f ′(x )；(2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[变式训练1] (2016·四川高考节选)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e ex ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0.[解] (1)由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).2分当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；5分当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.7分(2)证明：令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.9分当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.12分a ，b ∈R.求f (x )的单调区间．[解] 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立， 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞).5分 ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞.12分 [规律方法] 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间．[变式训练2] 已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x，x ∈R ，e 为自然对数的底数，则函数f (x )的单调递增区间为________．(－2，2) [因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x， 所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x.令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x＞0，因为e x＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．]【导学号：31222082】若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围． [解] 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.5分 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0].12分[迁移探究1] (变换条件)函数f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．[解] 因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，7分所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3].12分 [迁移探究2] (变换条件)函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．[解] 由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立.5分 因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1,1)上为减函数.12分[迁移探究3] (变换条件)函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．[解] ∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0).5分∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a ＜3，即a 的取值范围为(0,3).12分[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．易错警示：(1)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了3a3∈(0,1)来求解．[变式训练3] (2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 C [取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A ，B ，D.故选C.][思想与方法]1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )＞0，f ′(x )＜0的解区间，并注意函数f (x )的定义域．2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性． 3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．[易错与防范]1．求单调区间应遵循定义域优先的原则．2．注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．3．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．4．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．课时分层训练(十四) 导数与函数的单调性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)A [函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1，所以单调递减区间是(0,1)．]2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图2­11­2所示，则下列叙述正确的是( )【导学号：31222083】图2­11­2A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )C [依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．因此C 正确．]3．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．]4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )【导学号：31222084】A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，52D [∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x ＞2时，g ′(x )＞0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52，故选D.]5．(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)B [由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1，故选B.]二、填空题6．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________.【导学号：31222085】单调递增 [在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．] 7．函数f (x )＝ln x x的单调递增区间是________．(0，e) [由f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝1－ln x x 2＞0(x ＞0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ＞0，x ＞0，解得x ∈(0，e)．]8．若函数y ＝ax ＋sin x 在R 上单调递增，则a 的最小值为________．1 [函数y ＝ax ＋sin x 在R 上单调递增等价于y ′＝a ＋cos x ≥0在R 上恒成立，即a ≥－cos x 在R 上恒成立，因为－1≤－cos x ≤1，所以a ≥1，即a 的最小值为1.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．[解] (1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －kex， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.5分(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x －1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数.8分由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞).12分10．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，2分 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.5分(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.8分 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( ) 【导学号：31222086】A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aC [依题意得，当x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1＜0＜12＜1，因此有f (－1)＜f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即有f (3)＜f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＜a ＜b .] 2．(2017·石家庄质检(二))设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．(－2,0)∪(2，＋∞) [令g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′ x －f xx 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f －x －x ＝－f x －x ＝f xx＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)，则f (x )＝xg (x )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，g x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，g x ＜0，解得x ＞2或－2＜x ＜0，故不等式f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]3．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．[解] (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.5分(2)∵φ(x )＝m x －1 x ＋1－f (x )＝m x －1 x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴φ′(x )＝－x 2＋ 2m －2 x －1x x ＋1 2≤0在[1，＋∞)上恒成立， 即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞).9分 ∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值范围是(－∞，2].12分。

2019版高中全程复习方略数学：第二章 函数、导数及其应用 2.8

2019版高中全程复习方略数学：第二章 函数、导数及其应用 2.8

3．已知实数 a>1,0<b<1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所在的
区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)C． Nhomakorabea0,1)
D．(1,2)
解析：∵a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0) ＝1－b>0，由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取 值范围是(_3_，__＋__∞__)；
(2)(2018·长春市高三质检)已知函数 f(x)为偶函数且 f(x)＝f(x－
4)，又在区间[0,2]上 f(x)＝－x2－32x＋5，0≤x≤1 2x＋2－x，1<x≤2
[知识重温]
一、必记 4●个知识点 1．函数的零点的概念 对于函数 y＝f(x)，x∈D，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y ＝f(x)，x∈D 的零点． 2．方程的根与函数的零点的关系 由函数的零点的概念可知，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．所以 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y ＝f(x)有零点．
[小题热身]
1．若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2－
ax 的零点是( )
A．0,2
B．0，12 C．0，－12 D．2，－12
解析：∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为 0 和－12. 答案：C
2．已知函数 y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：

2019版高中全程复习方略数学：第二章 函数、导数及其应用 2.11.1

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2．若幂函数

f(x)的图象过点

22，21，则函数
g(x)＝exf(x)的单
调递减区间为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
解析：设幂函数
f(x)＝xα，因为图象过点

22，21，所以12＝
2
2

α，α＝2，所以 f(x)＝x2，故 g(x)＝exx2，令 g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2
(3)若 a<0，则由 f′(x)＝0 得 x＝ln－a2. 当 x∈(－∞，ln－a2)时，f′(x)<0； 当 x∈(ln－a2，＋∞)时，f′(x)>0. 故 f(x)在(－∞，ln(－a2))上单调递减， 在(ln－a2，＋∞)上单调递增．
悟·技法 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)确定函数 y＝f(x)的定义域． (2)求导数 f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内 的一切实根． (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各 实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定 义区间分成若干个小区间． (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定的数在每个 相应区间内的单调性.
解析：设 f′(x)的图象与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x1， x2，x3，x4，当 x<x1 时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x1<x<x2 时，f′(x)<0， f(x)为减函数，则 x＝x1 为极大值点，经过类似分析可知，x＝x3 为 极大值点，x＝x2，x＝x4 为极小值点．
[变式练]——(着眼于举一反三)

2019高三数学人教A版理一轮教师用书：第2章 第11节 第

2019高三数学人教A版理一轮教师用书：第2章 第11节 第

第十一节导数的应用[考纲传真](教师用书独具)1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题．(对应学生用书第34页)[基础知识填充]1．函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[知识拓展]1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(6)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)√(6)×2．(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)＜0，得0＜x＜4，∴单调递减区间为(0,4)．]3．如图2-11-1所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()图2-11-1A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(1,3)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(3,4)上是增函数A [当x ∈(－3,0)时，f ′(x )＜0，则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]4．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0， 得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，∴最大值为8.]5．函数f (x )＝x －a ln x (a ＞0)的极小值为________． a －a ln a [f (x )的定义域为(0，＋∞)， 易知f ′(x )＝1－ax .由f ′(x )＝0，解得x ＝a (a ＞0)． 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ．]第1课时 导数与函数的单调性(对应学生用书第35页)(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x .讨论f (x )的单调性．[解] 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增． [规律方法] 用导数证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 一求：求f ′(x )；二定：确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；三结论：作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数.易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论，②根的有无讨论，③根的大小讨论，④根在不在定义域内讨论.(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分点. (3)讨论完必须写综述.[跟踪训练] (2016·四川高考节选)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0.[解] (1)由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，又s (1)＝0，有s (x )＞0， 所以e x －1>x ， 从而g (x )＝1x －1e x －1>0.设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；【导学号：97190076】(2)求f (x )的单调区间． [解] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎨⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． [规律方法] 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域. (2)求f ′(x ).(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间. (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间. 易错警示：解不等式f ′(x )＞0(＜0)时不加“＝”号.[跟踪训练] (2018·合肥第二次质检节选)已知f (x )＝ln(x ＋m )－mx .求f (x )的单调区间．[解] 由已知可得函数定义域为(－m ，＋∞)． ∵f (x )＝ln(x ＋m )－mx ，∴f ′(x )＝1x ＋m－m . 当m ≤0时，f ′(x )＝1x ＋m－m ＞0，即f (x )的单调递增区间为(－m ，＋∞)，无单调递减区间； 当m ＞0时，f ′(x )＝1x ＋m －m ＝－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m －1m x ＋m ，由f ′(x )＝0，得x ＝1m －m ∈(－m ，＋∞)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，－m ＋1m 时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋1m ，＋∞时，f ′(x )＜0，∴当m ＞0时，易知f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，－m ＋1m ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋1m ，＋∞.已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a ＞G (x )min 即可． 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1，即a 的取值范围为(－1，＋∞)． (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． [解] 由h (x )在[1,4]上单调递增得， 当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， ∴当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，∴a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． [解] h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )＜0在[1,4]上有解， ∴当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x 有解， 又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1，∴a ＞－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)． [规律方法] 根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解.易错警示：f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.[跟踪训练] (1)(2017·四川乐山一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ＜2D ．a ≤2(2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是( )【导学号：97190077】A ．(－∞，－3]B ．(－3,1)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)(1)D (2)B (1)由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －ax ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2＞2，∴a ≤2.故选D ． (2)因为f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5， 所以f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎨⎧f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，解得a ≥1或a ≤－3，于是满足条件的a ∈(－3,1)．f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1在(2,3)上不单调，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3，∵f (x )在(2,3)上不单调． ∴3x 2－6ax ＋3＝0在(2,3)上有解． ∴a ＝x 2＋12x ，当2＜x ＜3时，54＜a ＜53.[规律方法] f (x )在(a ，b )上不单调⇔f (x )在(a ，b )上有极值⇔f ′(x )＝0在(a ，b )上有解且无重根.[跟踪训练]f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝(3x＋a＋2)(x－a)，∵f(x)在(－1,1)上不单调，∴f′(x)＝0在(－1,1)上有解．∴a＝－3x－2或a＝x，有－1＜x＜1得－5＜a＜1，又Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＝(2a＋1)2＞0，∴a≠－1 2，∴a的取值范围为－5＜a＜－12或－12＜a＜1.。

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第二单元 │ 命题趋势
命题趋势
纵观近几年新课标各省市的高考试卷，函数的主干知识、函 数的综合应用函数与导数以及函数与方程的重要思想方法的考查， 一直是高考的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中都有 函数试题，其特点是：稳中求变，变中求新、新中求活，试题设 计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题，也有挖掘本质， 活用性质，出现了不少创新情境、新定义的信息试题，以及与实 际密切联系的应用题，和其他知识尤其是数列、不等式、几何等 知识交汇的热点试题．
第二单元 │ 考纲要求
2．导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．
(2)导数的运算
①能根据导数定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝x2，
y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数． ②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的
四则运算法则求简单函数的导数．
4．在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何 ；
5．在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应 用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考 查学生的分类讨论，转化化归等思想．
第二单元 │ 命题趋势
函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密 地联系在一起，是中学数学全部内容的主线，预测2019年高考在 选择题、填空题中主要考查函数的概念、性质和图象、导数的概 念及运算，解答题主要以函数为背景，与导数、不等式、数列、 甚至解析几何等知识相整合设计试题，考查函数知识的综合应． 预测2019年高考试题对本部分内容的考查将以小题和大题的形式 出现，小题主要考查导数的概念、几何意义、导数的运算，大题 主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单 调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络 交汇点命题．
2019全品高考复习方案教师手册第2单元-函数与导数人教A版
第二单元 │ 知识框架 知识框架
第二单元 │ 知识框架
第二单元 │ 考纲要求
考纲要求
1．函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函 数)
(1)函数 ①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值
域；了解映射的概念． ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图
象法、列表法、解析法)表示函数． ③了解简单的分段函数，并能简单应用． ④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结
合具体函数，了解函数奇偶性的含义． ⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质．
第二单元 │ 考纲要求
(2)指数函数 ①了解指数函数模型的实际背景． ②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． ③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握 指数函数图象通过的特殊点． ④知道指数函数是一类重要的函数模型．
第二单元 │ 使用建议
1.编写意图 “函数”是高中数学中起连接和支撑作用的主干知识，
另外还具有以下特点：
第二单元 │ 命题趋势
1．以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的 概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数；
2．把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合，重点 考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力；
3．突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待 定系数法、配方法、构造法等数学思想方法；
第二单元 │ 考纲要求
常见基本初等函数的导数公式： C′＝0(C 为常数)；(xn)′＝nxn－1，n∈N＋；(sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex；(ax)′＝axln a(a＞0，且 a≠1)；(ln x)′＝1x； (logax)′＝1xlogae(a＞0，且 a≠1)． 常用的导数运算法则： 法则 1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． 法则 2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． 法则 3：uvxx′＝u′xvxv－2xuxv′x(v(x)≠0)．
第二单元 │ 考纲要求
(4)幂函数
①了解幂函数的概念．
②结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x
1
，y＝x2的图象，了解它们
的变化情况．
(5)函数与方程
①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断
一元二次方程根的存在性及根的个数．
②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
第二单元 │ 考纲要求
(5)函数与方程 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似 解． (6)函数模型及其应用 ①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道 直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
第二单元 │ 考纲要求
(3)导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单 调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)； 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过 三次)． (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题． (5)定积分与微积分基本定理 ①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定 积分的概念； ②了解微积分定理的含义．
第二单元 │ 考纲要求
(3)对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质，知道
用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
②理解对数函数的概念，理解对数函数 的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
③知道对数函数是一类重要的函数模 型．
④了解指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝ log ax 互为反函数(a＞0 且 a≠1)．
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