山西省晋中市高考数学一轮专题：第4讲 函数及其表示
高考数学一轮复习专题04函数及其表示(含解析)
专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．).3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段基础知识融会贯通1．函数与映射2.(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.重点难点突破【题型一】函数的概念 【典型例题】若函数y ＝f （x ）的定义域为M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B ．【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．B ．y ＝arcsin （sin x ）和y ＝sin （arcsin x ）C．y＝x和y＝arccos（cos x）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，y x，函数的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsin x）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sin x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cos x）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D．思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（）A．（﹣1，2] B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B．【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2）B．（1，4）C．R D．（，﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D．命题点2 已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：函数的定义域为R，∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，k＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．【题型三】求函数解析式【典型例题】已知函数f（2）＝x+45，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2+1 B．f（x）＝x2+1（x≥2）C．f（x）＝x2D．f（x）＝x2（x≥2）【解答】解：；∴f（x）＝x2+1（x≥2）．故选：B．【再练一题】若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（）A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3【解答】解：函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．则：，解方程组得：f（x）＝x+1．故选：A．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 【题型四】分段函数命题点1 求分段函数的函数值 【典型例题】已知函数，则的值是（ ）A ．﹣1B ．3C ．D ．【解答】解：由题意可得，f （） 1∴f （f （））＝f （﹣1）＝3﹣1故选：C ．【再练一题】 设f （x ）则使得f （m ）＝1成立的m 值是（ ） A ．10B ．0，10C ．0，﹣2，10D ．1，﹣1，11【解答】解：当m ＜1时，f （m ）＝（m +1）2＝1 ∴m ＝﹣2或m ＝0 当m ≥1时，f （m ）＝4 1∴m ＝10综上：m 的取值为：﹣2，0，10 故选：C ．命题点2 分段函数与方程、不等式问题 【典型例题】 已知f （x ）则不等式x +（x +2）•f （x +2）≤5的解集是（ ）A ．[﹣2，1]B ．（﹣∞，﹣2]C ．D ．【解答】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【再练一题】函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．基础知识训练1．下列图象中可作为函数图象的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x＝c（c∈P）只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线x＝c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选：C．2．下列四个图象中，不能作为函数图象的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x＝a至多有一个交点，图C中，当﹣2＜a＜2时，x＝a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故C不是函数的图象.故选：C．3．函数的定义域为A． B．C． D．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则：；解得，且；该函数的定义域为：．故选：D．4．已知函数,则的定义域为A． B．C． D．【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．故选：B．5．函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选：C．6．已知函数，则( )A．1 B． C． D．【答案】D【解析】依题意，故，解得.故，所以.故选D.7．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，将x换为，代入上式得：f（x），故选：D．8．设f（x）=，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A， =f（x），A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D， =f（x），D正确；故选：A．9．已知函数，则满足的t的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，可得时，递增；时，递增，且，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．10．已知函数，则函数的零点个数为A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到，故方程的解：，则原问题转化为求方程时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.12．设函数，若，则实数a的取值范围是( )A． B．C． D．【答案】C【解析】解：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．13．若函数的值域是，则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，即，故选：D．14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C． D．【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。
高考数学第一轮复习：《函数及其表示》
高考数学第一轮复习：《函数及其表示》最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．【教材导读】1．函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗？提示：是．函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键．2．分段函数是一个函数还是几个函数？提示：是一个函数．只不过是在自变量不同的取值范围上，对应关系不同而已．3．函数与映射之间有什么关系？提示：函数是特殊的映射，映射是函数的推广，只有集合A，B为非空数集的映射才是函数．1．函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f(x)的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的值域，显然，值域是集合B的子集，函数的定义域、值域和对应关系构成了函数的三要素．2．函数的表示法(1)基本表示方法：解析法、图象法、列表法．(2)分段函数：在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式，这类函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3．映射设A ，B 都是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．【重要结论】1．定义域与对应关系完全一致的两个函数是相等函数． 2．与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个公共点．1．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )D 解析：根据函数的定义，对定义域内的任意一个x 必有唯一的y 值和它对应． 2．函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( )(A)[－2,0]∪(0,2] (B)(－1,0)∪(0,2] (C)[－2,2] (D)(－1,2]B 解析：法一：要使函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠0，－2≤x ≤2，即－1＜x ＜0或0＜x ≤2.法二：特值法，当x ＝－2时，f (x )＝ln(x ＋1)无意义，排除A ，C ；当x ＝0时，ln(x ＋1)＝ln(0＋1)＝ln1＝0，不能充当分母，所以排除D ，故选B.3．下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 (B)f (x )＝2－x ，g (x )＝x －2(C)f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1(D)f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1A 解析：对于A ，g (x )＝x 2＝|x |(x ∈R )与f (x )＝|x |(x ∈R )的解析式和定义域均相同，故是同一函数；对于B ，f (x )＝2－x (x ∈R )，而g (x )＝x －2(x ≠0)，故不是同一函数；对于C ，f (x )的定义域为{x |x ≠1}，而g (x )的定义域为R ，故不是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为{x |x ≥1}，而g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，故不是同一函数．故选A.4．下列对应关系中能构成实数集R 到集合{1，－1}的函数的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3B 解析：第一个表中将自变量分为两类：一类是奇数，另一类是偶数．而实数集中除奇数、偶数外，还有另外的数，如无理数，无理数在集合{1，－1}中无对应元素；第三个表中实数集除整数、分数外，还有无理数，无理数在集合{1，－1}中无对应元素；第二个表符合题干要求．5．给出下列命题：①函数是其定义域到值域的映射．②若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数． ③f (x )＝x －1＋1－x 是函数． ④函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线．⑤若f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2－1≤x ≤1，x ＋1x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2－1≤x ≤1，－x ＋1x >1或x <－1.其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)解析：①正确，但映射不一定是函数，②不正确，如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相等函数，③正确，f (x )是定义域为{1}，值域为{0}的函数，④不正确，函数y ＝2x (x ∈N )的图象是分布在射线y ＝2x (x ≥0)上的无数个孤立的点．⑤正确，当－1≤x ≤1时，－1≤－x ≤1，f (－x )＝1－－x2＝1－x 2；当x >1或x <－1时，－x >1或－x <－1，f (－x )＝－x ＋1. 答案：①③⑤考点一 函数的定义域(1)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )(A)(2,3) (B)(2,4] (C)(2,3)∪(3,4](D)(－1,3)∪(3,6](2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2018]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )(A)[－1,2017] (B)[－1,1)∪(1,2017] (C)[0,2018] (D)[－1,1)∪(1,2018](3)(2017佛山模拟)已知f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.(2)令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]可知f (t )中0≤t ≤2 018，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2017]．(3)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，∴－1≤x 2－1≤8，∴函数y ＝f (x )的定义域是[－1,8]．答案：(1)C (2)B (3)[－1,8]【反思归纳】 已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解，即依据解析式中所包含的每一类运算(除法、平方等)对自变量的制约要求列不等式组．一般准则是①分式中分母不为0.②偶次根式中，被开方数非负．③对于y ＝x 0，要求x ≠0；负指数的底数不为0. ④对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1. ⑤指数函数中，底数大于0且不等于1. ⑥正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )． 提醒：所求定义域须用集合或区间表示．【即时训练】 (1)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域是( ) (A)(－∞，－4]∪[2，＋∞) (B)(－4,0)∪(0,1) (C)[－4,0)∪(0,1)(D)[－4,0)∪(0,1](2)若函数f (x ＋1)的定义域为[0,1]，则f (2x －2)的定义域是( ) (A)[0,1] (B)[log 23,2] (C)[1，log 23] (D)[1,2](3)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．(1)C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2＞0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x ＜0或0＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)，选C.(2)B 解析：因为f (x ＋1)的定义域为[0,1]，即0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2.因为f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应法则f ，所以2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2.所以函数的定义域为[log 23,2]．故选B.(3)解析：根据函数解析式，确定使函数有意义的条件，将问题转化为解一元二次不等式．要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．答案：[－3,1]考点二 求函数的解析式(1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )．(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．解析：(1)解法一 (换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12， 所以f (t )＝4(t －12)2－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法二 (配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法三 (待定系数法)因为f (x )是二次函数， 所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．(2)因为f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，所以3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17. 即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7. (3)因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①所以将x 用1x 替换，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，②由①②解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)， 即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0)． 【反思归纳】【即时训练】 (1)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 3＋1x 3，求f (x )；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x .(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 3＋1x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，所以f (x )＝x 3－3x (x ≥2或x ≤－2)．(3)令2x ＋1＝t (t ＞1)，则x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，所以f (x )＝lg2x －1(x ＞1)． 考点三 分段函数及应用(高频考点)考查角度1：已知分段函数解析式，求函数值．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.，若f (f (a ))＝2，则a ＝________.解析：求分段函数的函数值，注意分类讨论思想的应用． 若a ＞0，则f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2. 若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0， f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解． 答案： 2【反思归纳】 解决分段函数与不等式相交汇的题关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解不等式，注意取值范围的大前提，然后把两个不等式解集并起来即可．考查角度2：已知分段函数解析式与方程(或不等式)，求参数的值(或范围)．(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )(A)－74 (B)－54 (C)－34(D)－14(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．解析：(1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x ＞1，f (a )＝－3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，－log 2a ＋1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74，故选A.(2)当x ＞0时，f (x )＝2x ＞1恒成立，当x －12＞0，即x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x －12＞1，当x －12≤0，即0＜x ≤12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋12＞12，则不等式f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1恒成立，当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32＞1，所以－14＜x ≤0.综上所述，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：(1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞【反思归纳】 (1)与分段函数有关的不等式问题，充分考虑分段函数的单调性，通过分类讨论化为不等式组求解；(2)已知分段函数的函数值求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线交点的横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围.忽视分段函数所给出的自变量的取值范围致错已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )(A)－32 (B)－34 (C)－32或－34(D)32或－34易错提醒：(1)缺少分类讨论的意识，未对a 进行讨论，误认为1－a <1,1＋a >1，只对一种情况求解．(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合讨论时的范围． 解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32， 由于－32<0，所以不合题意，舍去． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ， 解得a ＝－34，－34<0，符合题意，解得a ＝－34.故选B.课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．下列所给图象是函数图象的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4B 解析：依函数概念和已知条件，③④为函数图象．故选B.2．函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg(x －1)的定义域是( )(A)[－1,4](B)(－1,4] (C)[1,4] (D)(1,4]D 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1＞0，解得1＜x ≤4. 3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝( )(A)15 (B)3 (C)23 (D)139D 解析：∵f (3)＝23＜1，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝49＋1＝139. 4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) (A)(x ＋1)2 (B)(x －1)2(C)x 2－x ＋1 (D)x 2＋x ＋1C 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1ln x ，x ＞1，则f (f (e ))( ) (A)0(B)1 (C)2 (D)ln(e 2＋1) C 解析：f (e)＝ln e ＝1，所以f (f (e))＝f (1)＝12＋1＝2.故选C.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋a ，x <12，4x －3，x ≥12的最小值为－1，则实数a 的取值范围是( ) (A)[－2，＋∞) (B)(－2，＋∞)(C)－14，＋∞ (D)－14，＋∞ C 解析：当x ≥12时，f (x )＝4x －3≥2－3＝－1，当x ＝12时，取得最小值－1；当x <12时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，即有f (x )在－∞，12上递减，则有f (x )>f 12＝a －34，由题意可得a －34≥－1，解得a ≥－14.7．函数f (x )＝ln(1－2sin x )＋2π－xx 的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2sinx ＞02π－xx ≥0得⎩⎨⎧ sin x ＜120＜x ≤2π即0＜x ＜π6或5π6＜x ≤2π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，2π8．函数f (x )＝1log 2x －2的定义域为________．解析：根据对数函数及分式有意义的条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x －2≠0x －2＞0，解得x >2且x ≠3.答案：{x |x >2且x ≠3}9．已知函数f (x )＝ax －b (a ＞0)，f (f (x ))＝4x －3，则f (2)＝________.解析：由题意，得f (f (x ))＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ＝4x －3，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4－ab －b ＝－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1，即f (x )＝2x －1，f (2)＝3. 答案：310．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________.解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1，所以y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ，即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x能力提升练(时间：15分钟)11．函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )(A)(0,1)(B)(0,1) (C)(－∞，0)∪(1，＋∞) (D)(－∞，0)∪[1，＋∞) C 解析：将求函数的定义域问题转化为解不等式问题．要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x ＞0，解得x ＞1或x ＜0.∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选C.12．若f (x )＝⎩⎨⎧ x －5，x ≥6，f x ＋2，x <6，则f (3)等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5A 解析：f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.13．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0－1，x ＜0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是__________．解析：对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0的定义域为R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝|0－1|－|0|＝1. 综上，正确的判断是②③.答案：②③14．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝__________. 解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12log 2x ，故f (2)＝1＋12log 22＝32.答案：3215．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________． 答案：[－1－3，－1＋3]16.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎨⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎨⎧ k 2＝110，b 2＝－2，即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].。
高三数学一轮复习学案4：函数及其表示
第二章 函数概念与基本初等函数第一节 函数及其表示1．函数与映射的概念问题探究1：映射与函数有什么区别？ 2．函数的相关概念(1)函数的三要素是(2)相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数相等．问题探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？ 3．函数的表示法表示函数的常用方法有：4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 函数．考点一 函数的表示方法(1)(2016·河南洛阳期中)下列图形可以表示函数y ＝f (x )图象的是( )(2)已知函数f (x )＝x －1，若f (a )＝3，则实数a ＝ .对点训练1．下列函数中与函数y＝－2x3相同的是()A．y＝x－2x B．y＝－x－2xC．y＝－2x3D．y＝x2－2 x2．设函数f：x→－x2＋2x是实数集R到实数集R的映射，若对于实数t∈R，t不存在原象，则t的取值范围是() A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．1，＋∞)3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则fg(1)]＝.考点二求函数的定义域(1)(2015·郑州第二次模拟)函数f(x)＝1(log2x)2－1的定义域为()A.⎝⎛⎭⎫0，12B．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D．⎝⎛⎦⎤0，12∪2，＋∞)(2)(2015·银川模拟)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则f(x)的定义域是．拓展探究](1)本例(2)改为f(x)的定义域为(0,1)，求f(2x＋1)的定义域，又如何求呢？(2)本例(2)的条件不变，求f(1－x)的定义域，如何求？考点三分段函数(1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log2(2－x)，x<1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A．3 B．6C．9 D．12(2)(2016·银川一中月考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x，x<0，－x2，x≥0.若ff(a)]≤2，求实数a的取值范围。
高考数学 考点一遍过 专题04 函数及其表示(含解析)文
考点04函数及其表示（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2．必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有mn个．二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tan x的定义域为π{|π,}2x x k k≠+∈Z.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数kyx=(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为24[,)4ac ba-+∞；当a<0时，二次函数的值域为24(,]4ac ba--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2 224()24b ac by ax bx c a xa a-=++=++.(4)y＝sin x的值域为．三、分段函数1．分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．必记结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．考向一求函数的定义域在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为，则f(x)的定义域为g(x)在x∈时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.典例1函数f (x )＝()1ln 1x + A ． B ．(－1，0)∪(0，2] C ．D ．(－1，2]【答案】B【易错点拨】容易忽视ln(x ＋1)≠0的限制条件．1．已知集合M ＝{x |y ，N ＝{x |y ＝ln x }，则M ∩N ＝ A ．{x |x ≤1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |0≤x ≤1}典例2若函数f (x 2＋1)的定义域为，则f (lg x )的定义域为 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为f (x 2＋1)的定义域为，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lgx )是同一个对应法则，所以1≤l g x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为．故选C.2．若函数y ＝f (x )的定义域为，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是________． 考向二求函数的值域求函数值域的基本方法 1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R .3．分离常数法： 将形如cx dy ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为： ()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()0)f x ax b ac =++≠，可以令0)t t =≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax =0)b ac ++≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制． 5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．8．基本不等式法：利用基本不等式a b +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a ＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥=a ＋b 有最小值，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．9．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y ＝f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，由于x ，y 为实数，故必须有Δ＝b 2(y )－4a (y )·c (y )≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 10．有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域. 11．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.典例3求下列函数的值域：（1）243,[1,1]y x x x =-+∈-；（2）y x =-（3）2(1)1x y x x =>-.【答案】（1）；（2）1(,]2-∞；（3）[4,)+∞.令21(0)2t t x t -==≥，得21122y t t =--+，故1(,]2y ∈-∞.（3）22(1)2(1)11124111x x x y x x x x -+-+===-++≥---.当且仅当x ＝2时“＝”成立.故2(1)1x y x x =>-的值域为[4,)+∞.3．函数2211x y x -=+的值域为 .考向三求函数的解析式求函数解析式常用的方法 1．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式； 3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法：已知关于f (x )与1()f x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).典例4 已知1)f x =+，则()f x = A ．21(1)x x -≥B ．21x -C ．21(1)x x +≥D ．21x +【答案】A【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.4．已知2(1)f x x -=，则()f x 的表达式为 A ．2()21f x x x =++ B ．2()21f x x x =-+ C ．2()21f x x x =+-D ．2()21f x x x =--考向四分段函数分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 5．求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.典例5已知()()5,62,6x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()3f =A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】()()()357752f f f ===-=．故选A ．【解题技巧】对于分段函数的求值可以根据函数的解析式逐步求解或分段求解即可．5．已知函数f (x )＝10xx x a x -≤⎧⎨>⎩,,，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4典例6（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭写成分段函数的形式：()())132,021112,0222122,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且)01111,201,22142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，可知x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.6．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为 B ．C ．D ．8．函数y x =+__________． 9．已知函数()3log 020xx x f x x ⎧⎨≤⎩,＞＝,，则1((()))3f f f =__________． 10．若函数)12(-x f 的定义域为[]3,3-，则()f x 的定义域为__________．1．（2017年高考山东卷）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．82．（2017年高考天津卷）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则的取值范围是 A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,-D．[-3．（2016年高考新课标Ⅱ卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是 A ．y =xB ．y =lg xC ．y =2xD．y =4．（2017年高考江苏卷）记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数，则x D ∈的概率是．5．（2017年高考江苏卷）函数y__________．1．【答案】B【解析】解决本题的关键是求出两个函数的定义域．集合M ＝{x |x ≤1}，集合N ＝{x |x ＞0}，故M ∩N ＝{x |0＜x ≤1}．故选B ． 2．【答案】0,1)【解析】∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，∴0≤x <1，即函数g (x )的定义域是0,1)． 3．【答案】－1,1)4．【答案】A【解析】∵2(1)f x x -=，∴22()[(1)1](1)21f x f x x x x =+-=+=++.故选A ． 5．【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选B ． 6．【答案】D【解析】方法一：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ； 函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x >0时，f (x )>1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为－1，＋∞)．方法二：也可画出函数f (x )的图象，由函数图象可排除A 、B 、C ，同时能求出函数f (x )的值域．1．【答案】C对于D ，24()2(2)2x f x x x x -==+≠-与()2()g x x x =+∈R ，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．故选C ．【名师点睛】因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的. 2．【答案】C【解析】由已知得22(log )10x ->，即2log 1x >或2log 1x <-，解得2x >或102x <<，故选C ． 3．【答案】C【解析】令()12g x =，即，则14x =，代入)0(1)]([22≠-=x x x x g f 中，可得故选C ．4．【答案】A【解析】函数()23f x ax ax =+-的定义域为R ，只需分母不为即可，所以0a =或()2430a a a ∆≠=-⨯-<⎧⎨⎩，解得120a -<≤，故选A ． 5．【答案】C【解析】对x 进行讨论，将函数()xf x x x=+转化为所熟知的基本初等函数即可作图． 当x ＞0时，()1f x x =+，故图象为直线1y x =+上0x >的部分；当x ＜0时，()1f x x =-，故图象为直线1y x =-上0x <的部分； 当x =0时，()f x 无意义. 综上，1,0()1,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩的图象为直线1y x =+上0x >的部分，1y x =-上0x <的部分，即两条射线.故选C.【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象.作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标. 6．【答案】D【解析】把()12()3f x f x x +=①中的换成1x ，得()132()f f x x x+= ②，2⨯-①②得()()31362f x x f x x x x=-⇒=-．故选D ． 7．【答案】D8．【答案】(,5]-∞【解析】令t =，则21(0)x t t =-≥，故y ＝－t 2＋4t ＋1(t ≥0)，由二次函数的性质易知y ≤5.9．【答案】31log 2 【解析】311((()))log 32f f f =．故填31log 2． 10．【答案】[]7,5-【解析】由题意可知当[]3,3x ∈-时，[]26,6x ∈-，则[]217,5x -∈-，所以函数()f x 的定义域为[]7,5-.1．【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 2．【答案】A【解析】当a =±，且0x =时，()||2xf x a ≥+即2|≥±，即2≥，显然上式不成立，由此可排除选项B 、C 、D ，故选A ．【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解． 3．【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解. 4．【答案】595．【答案】[3,1]-【解析】要使函数有意义，则2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故填[3,1]-．。
【名师导学】(新课标)高考数学一轮巩固 第4讲 函数的概念、解析式与定义域配套课件 文
x→2x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中为 2x， 则 a ＋ b＝ ( C ) A．－2 B．0 C．2 D．± 2 b 【解析】由于 M 中元素a只能对应 0，1 只能对应 2b a.所以 a ＝0，a＝2，即 b＝0，a＝2，因此 a＋b＝2，故 选 C.
2．下列各组函数是同一函数的是( C ) ①f(x)＝ －2x3与 g(x)＝x －2x； ②f(x)＝|x|与 g(x)＝ x2； ③f(x)＝x0 与 g(x)＝1； ④f(x)＝x2－2x－1 与 g(t)＝t2－2t－1. A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同， 可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫
分段函数 ．注意：不要把分段函数误认为是 多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后 写成一个函数表达式．分段函数的定义域等于 各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段 函数的值域的 并集 ．分段函数虽由几个部 一 个函数． 分组成，但它表示的是____
【解析】∵y＝－x2＋2x， ∴y∈(－∞，1]． 由二次函数图象可知： 当 k<1 时， 直线 y＝k 与 y＝－x2＋2x 有两个不同的 交点； 当 k＝1 时，直线 y＝1 与 y＝－x2＋2x 有且仅有一 个交点； 当 k>1 时，直线 y＝k 与 y＝－x2＋2x 无交点． 故应填 k∈(－∞，1)．
【解析】①两函数的定义域相同，对应关系不同， ①不符合；②两函数的定义域和对应关系均相同，②符 合；③两函数的定义域不同，③不符合；④两函数定义 域和对应关系均相同，④符合．故选 C.
3． 若 f(x)＝
1 A.－2，0 1 C.－2，＋∞
， 则 f(x)的定义域为( A ) 1 log （2x＋1） 2 1 B.－2，0 D．(0，＋∞)
备考2019年高考数学一轮专题：第4讲 函数及其表示
备考2019年高考数学一轮专题：第4讲函数及其表示一、单1.下列四个说法：①若定义域和对应关系确定，则值域也就确定了；②若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；③若f（x）＝5（x∈R），则f（π）＝5一定成立；④函数就是两个集合之间的对应关系．其中正确说法的个数为（）A、1B、2C、3D、4+2.已知函数f（x）=x2﹣2x，则下列各点中不在函数图象上的是（??）A、（1，﹣1）B、（﹣1，3）C、（2，0）D、（﹣2，6）+3.设集合A＝，B＝，从A到B的对应关系f不是映射的是（）A、f：x→y＝B、f：x→y＝C、f：x→y＝D、f：x→y＝+4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间 t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A、甲比乙先出发B、乙比甲跑的路程多C、甲、乙两人的速度相同D、甲比乙先到达终点+5.设f：x→ax﹣1为从集合A到集合B的映射，若f（2）=3，则f（3）=（）A、5B、4C、3D、2+6.观察下表：x －3 －2 －1 1 23 3 5f（x）g（x）5114－1 －32 3 －2 －4则f[g（3）－f（－1）]＝（）A、3B、4C、－3D、5+7.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A、D、B、C、+8.若函数A、的定义域为，则实数的取值范围为（）D、B、C、+9.已知函数，则的值域是( )A、B、C、D、+10.下列图象中可作为函数y=f（x）图象的是（）A、B、C、D、+11.下列各组函数表示同一函数的是（）与y＝x－1 C、y＝x0（x≠0）与y＝1（x≠0）A、与y＝x＋3B、D、y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z+12.函数（x∈R）的值域是（）A、（0,1）B、（0,1]C、[0,1）D、[0,1]+二、填空题13.设A=B=R，已知映射f：x→x2，与B中的元素4相对应的A中的元素是．+14.函数的值域为．+15.某公司生产某种产品的成本为1000元，并以1100元的价格批发出去，公司收入随生产产品数量的增加而（填“增加”或“减少”），它们之间（填“是”或“不是”）函数关系．+16.已知函数f（x）=|x|，则下列与函数y=f（x）相等的函数是；）2；①g（x）=（②h（x）= ；③s（x）=x；④y= ．+17.若函数f（x）=x2的定义域为D，其值域为{0，1，2，3，4，5}，则这样的函数f（x）有个．（用数字作答）+18.函数，则.+三、解答题19.设f：A→B是A到B的一个映射，其中，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，求与A中的元素(－1,2)相对应的B中的元素和与B中的元素(－1,2)相对应的A中的元素．+20.已知函数f(x)= + .(1)、求函数f(x)的定义域;(2)、求的值;(3)、当a>0时,求f(a),f(a-1)的值. +。
[高三数学第一轮复习]函数的概念及其表示PPT课件
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诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
•规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要 求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内 到外依次求值．
•(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求 的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出 相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的 自变量的值是否满足相应段自 诊断·基础知识变量的取 突破·高频考点 值范围 培养·解题能力
不同而分别用几个不同的式子来并表集示，这种函
并集
数称为分段函数．
•分 段 函 数 的 定 义 域 等 于 各 段 函 数 的 定 义 域 的
，其值域等于各段函数的值域的
，分段
函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函
数．
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• 2．函数定义域的求法
类型
x 满足的条件
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•三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下 方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合 题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
•所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
(2)函数 y＝xx－ ＋31的值域为________．
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解析 (1)由题意x1＋－32＞x≥00，， 解得－3＜x≤0. (2)y＝xx－＋31＝x＋x＋1－1 4＝1－x＋4 1，因为x＋4 1≠0， 所以 1－x＋4 1≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．
(√)
(8)已知 f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2.
2018年高考数学一轮复习 专题04 函数及其表示教学案 文
专题04 函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、【解析】法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：【解析】法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B 的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．高频考点一 函数的概念 例1、有以下判断：①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －表示同一函数；②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 【答案】②③综上可知，正确的判断是②③.【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．【变式探究】(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝－B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx2D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 (1)D (2)B高频考点二 函数的定义域 例2、(1)函数f (x )＝lnxx －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________．【解析】 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 017]，∴g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}． 【答案】 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 【方法规律】求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【变式探究】(1)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．【解析】 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4]．(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立．因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 【答案】 (1)C (2)[－1，0] 高频考点三、已知定义域求参数范围例3、若函数f(x)的定义域为R ，则a 的取值范围为________．【答案】 [－1,0]【解析】 因为函数f(x)的定义域为R ，所以222＋－x ax a－1≥0对x∈R 恒成立，即222＋－x ax a≥20，x2＋2ax －a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 【感悟提升】简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围． 【变式探究】(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x ＋12)＋f(x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝＋－x2－3x ＋4的定义域为___________________________．【答案】 (1)[12，32] (2)(－1,1)高频考点四 求函数【解析】式例4、(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________．(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________．【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.【答案】 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【方法规律】求函数【解析】式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的【解析】式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )．(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．【变式探究】(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________．由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1)．【答案】 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 高频考点五、分段函数(多维探究)例5、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 【答案】 C【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．综上可知x 的取值范围是(－∞，8]． 【答案】 (1)D (2)(－∞，8]【方法规律】(1)根据分段函数【解析】式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的【解析】式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的【解析】式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 【特别提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【训练3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________． 【解析】 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 【答案】 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2016高考江苏卷】函数y 的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故【答案】应填：[]3,1-，【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D. 【解析】（2014·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【答案】A【解析】由已知可得，f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 5π6＝12.（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的【解析】式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． （2014·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】C【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0. （2014·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C（2013·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．【解析】(1)证明：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝a(1－2|x|)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝a(1－2|x|)， 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ， 所以函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称．(2)当0<a<12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ，x≤12，4a 2（1－x ），x>12.所以f(f(x))＝x 只有一个解x ＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶周期点． 当a ＝12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≤12，1－x ，x>12.所以中的所有点都不是二阶周期点． 当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x≤14a，2a －4a 2x ，14a <x≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.当x 3＝14a 时，S(a)＝2a －14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－22（1＋4a 2）2. 所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋22时，S(a)单调递增，当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞时S(a)单调递减；当x 3＝4a －14a 时，S(a)＝8a 2－6a ＋14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2；因a>12，从而有S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2>0，所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时S(a)单调递增．（2013·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f′(1)＝________． 【答案】2【解析】f(e x )＝x ＋e x，利用换元法可得f(x)＝ln x ＋x ，f′(x)＝1x ＋1，所以f′(1)＝2.（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4 【答案】D（2013·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 【答案】B【解析】x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B.（2013·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．16 B ．－16 C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －16 【答案】B【解析】由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8， 整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，所以H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≤a－2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≥a＋2），故选B.（2013·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】B【解析】对于f(2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. （2013·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 【答案】A【解析】由已知表达式可得：f[f(x)]＝1x－x 6，展开式的通项为T r ＋1＝C r61x6－r(－x)r＝C r6·(－1)r·xr －3，令r －3＝0，可得r ＝3，所以常数项为T 4＝－C 36＝－20.（2013·四川卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )图1－5 【答案】C（2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．图1－4估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.1．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1]B ．(－3，1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】 使函数f (x )有意义需满足x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3， 所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 【答案】 D2．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2【解析】 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2.【答案】 D3．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x－1【答案】 A4． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x（x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.【答案】 C5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【解析】 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 【答案】 B6．设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的【解析】式可以是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x－1C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x【解析】 对于A 项，当x ＝1，f (1)＝0，此时02≥12不成立．对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立．在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立．∴A，B ，D 均不正确．选C.事实上，在C 项中，对∀x 0∈R ， y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0，有y 20≥x 20成立． 【答案】 C7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)【答案】 C8．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．【解析】 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1]． 【答案】 (0，1]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1. ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 【答案】 －210．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的【解析】式是________．【答案】 f (x )＝－log 2 x11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．【解析】 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.。
2018年高考数学一轮复习 专题04 函数及其表示教学案 理
专题04 函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．高频考点一 函数的概念 例1、有以下判断：①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －表示同一函数；②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 答案 ②③综上可知，正确的判断是②③.【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．【变式探究】(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝－B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx2D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应关系不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x>0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.高频考点二 函数的定义域 例2、(1)函数f (x )＝lnxx －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________．解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 017]，∴g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}． 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 【方法规律】求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【变式探究】(1)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪ (3，6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4]．(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立．因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案 (1)C (2)[－1，0]高频考点三、已知定义域求参数范围例3、若函数f(x)2221＋－－x ax aR ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f(x)的定义域为R ，所以222＋－x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即222＋－x ax a≥20，x2＋2ax －a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.【感悟提升】简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围． 【变式探究】(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x ＋12)＋f(x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝＋－x2－3x ＋4的定义域为___________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f(x ＋12)＋f(x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得：12≤x≤32，所以函数g(x)的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x2－3x ＋4>0，得－1<x<1.高频考点四 求函数解析式例4、(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________． (2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________．(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________． 解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中， 将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )．(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．【变式探究】(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________． 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1)．答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 高频考点五、分段函数(多维探究)例5、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解之得b ＝78，不合题意舍去．若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12. (2)当x <1时，ex －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8.综上可知x 的取值范围是(－∞，8]． 答案 (1)D (2)(－∞，8]【方法规律】(1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【特别提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【训练3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________． 解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2016高考江苏卷】函数y 的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D.（2014·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【答案】A【解析】由已知可得，f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 5π6＝12.（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． （2014·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】C【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0. （2014·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2013·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．【解析】(1)证明：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝a(1－2|x|)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝a(1－2|x|)， 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ， 所以函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称．(2)当0<a<12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ，x≤12，4a 2（1－x ），x>12.所以f(f(x))＝x 只有一个解x ＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶周期点． 当a ＝12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≤12，1－x ，x>12.所以中的所有点都不是二阶周期点． 当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x≤14a，2a －4a 2x ，14a <x≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.所以f(f(x))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f(0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f(x)的二阶周期点． 综上所述，所求a 的取值范围为a>12.(3)由(2)得x 1＝2a 1＋4a 2，x 2＝4a21＋4a2，因为x 3为函数f(f(x))的最大值点，所以x 3＝14a ，或x 3＝4a －14a.当x 3＝14a 时，S(a)＝2a －14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－22（1＋4a 2）2. 所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋22时，S(a)单调递增，当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞时S(a)单调递减；当x 3＝4a －14a 时，S(a)＝8a 2－6a ＋14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2；因a>12，从而有S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2>0，所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时S(a)单调递增．（2013·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f′(1)＝________． 【答案】2【解析】f(e x )＝x ＋e x，利用换元法可得f(x)＝ln x ＋x ，f′(x)＝1x ＋1，所以f′(1)＝2.（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4 【答案】D【解析】设l ，l 2距离为t ，cos x ＝2t 2－1，得t ＝cos x ＋12.△ABC 的边长为23，BE23＝1－t 1，得BE ＝23(1－t)，则y ＝2BE ＋BC ＝2×23(1－t)＋23＝23－433cos x ＋12，当x∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A ，B ，求证x ＝π2的情况可知选D.（2013·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 【答案】B【解析】x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B.（2013·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16 【答案】B【解析】由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8， 整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，所以H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≤a－2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≥a＋2），H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≤a－2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（a －2<x<a ＋2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≥a＋2）.由图形(图形略)可知，A ＝H 1(x)min ＝－4a －4，B ＝H 2(x)max ＝12－4a ，则A －B ＝－16. 故选B.（2013·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】B【解析】对于f(2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. （2013·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 【答案】A（2013·四川卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )图1－5 【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B ；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C 中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．图1－4【解析】(1)当X∈[100，130)时， T ＝500X －300(130－X)＝800X －39 000. 当X∈[130，150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X<130，65 000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.1．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1]B ．(－3，1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 使函数f (x )有意义需满足x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3， 所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 答案 D2．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)等于( ) A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2.答案 D3．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1 D ．x ＋1或－x－1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 A4． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x（x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案 C5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案 B6．设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x－1C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x解析 对于A 项，当x ＝1，f (1)＝0，此时02≥12不成立．对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立．在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立．∴A ，B ，D 均不正确．选C.事实上，在C 项中，对∀x 0∈R ， y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0，有y 20≥x 20成立．答案 C7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)8．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1]．答案 (0，1]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1. ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －210．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________． 解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2 x11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22。
【人教版】2020届高考数学一轮复习 第4讲 函数及其表示学案(无答案)文
C．4D．5
〖概括小结〗映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余．
常用结论记心中，快速解题特轻松：
1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！
2．函数问题定义域优先！
3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！
4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．
本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素，分段函数，函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)，一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面，也要教给学生把握复习的尺度，教学大纲是高考命题的依据，而教材是贯彻大纲的载体，研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．
(3)函数f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．
(4)y＝2x(x∈{1，2})的值域是2，4.
(5)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．
(6)f(x)＝ 则f(－x)＝
2．已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)＝________．
3.函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中 只与x的一个值对应的y值的范围是________．
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
高考数学一轮复习第2单元函数导数及其应用第4讲函数概念及其表示课件理
2
2
2
|2a|个单位得到,由图可知,当函数 y= ���2���+a 在 x<-2a 部分的图像经过点(0,2)时,a 取得最
小值,此时
a=-2;当
a>0
时,函数
y=
���2���+a
的图像由函数
y=
������ 2
的图像向左平移
2a
个单位
得到,由图可知,当函数 y= ���2���+a 在 x>-2a 部分的图像经过点(0,2)或与函数 y=f(x)在 x>1
1 2
与
y=1-f(x)的大致图像如图所示:易得
两图像的交点为
-
1 4
,
1 4
,则由图可知,满足 f
������-
1 2
>1-f
������
的
x 的取值范围为
-
1 4ห้องสมุดไป่ตู้
,
+
∞
.
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·山东卷] 设
f(x)= ������,0 < ������ < 1,若 f(a)=f(a+1),则 2(������-1),������ ≥ 1.
名称
函数
的一个映射
记法 y=f(x),x∈A
对应 f:A→B
课前双基巩固
2.函数的三要素
函数由 定义域 、 值域 和对应关系三个要素构成.在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫作 自变量,x 的取值范围 A 叫作函数的 定义域 .与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值,函数 值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的 值域 .
2021届高考数学一轮总复习导学案：第二章函数第4讲函数及其表示
第二章函数[知识体系]第4讲函数及其表示【课程要求】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( )(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )[答案] (1)×(2)×(3)√(4)×(5)×教材改编2．[必修1p74T7(2)]函数f(x)＝x＋3＋log2(6－x)的定义域是____________．[答案] [－3，6)3．[必修1p25B组T1]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是____________；值域是____________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是____________．[答案] [－3，0]∪[2，3]；[1，5]；[1，2)∪(4，5]易错提醒4．已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为( )A ．{x|0＜x≤4}B ．{x|0≤x≤4}C ．{x|0≤x＜1}D ．{x|0≤x≤1}[解析]因为函数f(x)的定义域为[0，2]， 所以0≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以函数f(2x)的定义域为{x|0≤x≤1}． [答案]D5．已知f ()2x ＋1＝x 2＋x ，则f ()x ＝________．[解析]设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12， ∴f ()t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋t －12＝t 2－14，即f ()x ＝x 2－14.[答案]x 2－146．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x≥0，－x 2＋3，x<0，若f(a)＝2，则a 的值为____________． [解析]当a≥0时，2a －2＝2，解得a ＝2；当a<0时，－a 2＋3＝2，解得a ＝－1.综上，a 的值为－1或2.[答案]－1或2 【知识要点】 1．函数与映射函数映射两个集合 A ，B 设A ，B 是两个__非空数集__设A ，B 是两个非空__集合__对应关系如果按照某种确定的对应关系f ，如果按某一个确定的对应关系f ，(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__；与x的值相对应的y值叫做__函数值__，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__．(2)函数的三要素：__定义域__、__对应关系__和__值域__．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有__解析法__、__图象法__和__列表法__．(4)求函数解析式若函数在其定义域的不同子集上，因__对应关系__不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__并集__，其值域等于各段函数的值域的__并集__，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考点1函数与映射的概念例1 (1)下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象是( )[解析]对于选项A ，函数定义域为M ，值域不是N ； 对于选项B ，函数定义域不是M ，值域为N ； 对于选项C ，函数定义域是M ，值域为N ，符合题意； 对于选项D ，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应， 不构成映射关系，故也不构成函数关系． [答案]C(2)(多选)下列各组函数中，f ()x 与g ()x 相等的是( ) A ．f ()x ＝x －1，g ()x ＝x2x－1B ．f ()x ＝log 22x ，g ()x ＝xC ．f ()x ＝||x ，g ()x ＝x 2D ．f ()x ＝ln x 2，g ()x ＝2ln x[解析]A ．f ()x ＝x －1定义域为R ，g ()x ＝x 2x－1定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，故f ()x ≠g ()x ，A 错误； B ．f ()x ＝log 22x＝x ，g ()x ＝x ，故f ()x ＝g ()x ，B 正确； C ．f ()x ＝||x ，g ()x ＝x 2，∵||x ＝x 2，且f ()x 与g ()x 定义域相同，∴f ()x ＝g ()x ，C 正确；D ．f ()x ＝ln x 2定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，g ()x ＝2ln x 定义域为()0，＋∞，故f ()x ≠g ()x ，D 错误． [答案]BC[小结](1)两个函数是否为同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一个函数．判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．(2)函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定．巩固训练1．下列集合A 到集合B 的对应f 不是函数的有( ) ①A＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数的平方； ②A＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数的平方根； ③A＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值．A ．①②③④B．①③④ C ．①②D．②③④[解析]判断一个对应是否为函数，主要看对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中能否找到唯一确定的数与之对应．根据函数的概念，可知①是函数；②中，对于A 中的元素1，按照对应f ，在集合B 中有两个数1，－1与之对应，不唯一，故不是函数；③中，对于集合A 中的元素0，在集合B 中没有与之对应的元素，故③不是函数；④中，对于集合A 中的元素0，在集合B 中没有与之对应的元素，故④不是函数．[答案]D2．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x 2＋1[解析]对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x2x ＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B .[答案]B考点2函数的定义域2 (1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域是( )A ．(－1，1)B ．[－1，1]C ．[－1，1)D ．(－1，1][解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1＜x ＜1，所以函数y ＝f （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为(－1，1)．[答案]A(2)若函数f(x)＝log 2(mx 2－mx ＋1)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．[0，4) C ．(0，4] D ．[0，4] [解析]∵函数f (x )＝log 2(mx 2－mx ＋1)的定义域为R ， ∴mx 2－mx ＋1>0在R 上恒成立，①当m ＝0时，有1>0在R 上恒成立，故符合条件； ②当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0，解得0<m <4，综上，实数m 的取值范围是[0，4)． [答案]B[小结](1)对于给出解析式的函数f (x )，其定义域可能有如下几种情况：①若f (x )是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；②若f (x )是偶次根式，则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合；③如果f (x )是由一些函数通过四则运算组合而成的，那么它的定义域是各函数定义域的交集．(2)函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．(3)抽象函数的定义域：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合；②对应法则f 下的范围一致．(4)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．巩固训练3．函数y ＝x ln (2－x)的定义域为( )A ．(0，2)B ．[0，2)C ．(0，1]D ．[0，2][解析]由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0，2)． [答案]B4．已知函数y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f(x)的定义域为________． [解析]因为函数y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以－3≤x≤3， 所以－1≤x 2－1≤2，所以函数y ＝f(x)的定义域为[－1，2]． [答案] [－1，2]考点3函数的解析式例3 (1)已知f ()2x ＋1＝4x 2＋6x ＋5，则f ()x ＝________．[解析]法一：f ()2x ＋1＝()2x ＋12＋()2x ＋1＋3， ∴f ()x ＝x 2＋x ＋3，即函数的解析式为f ()x ＝x 2＋x ＋3.法二：令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12. ∴f ()t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋6×t －12＋5＝t 2＋t ＋3，∴f ()x ＝x 2＋x ＋3，即为所求的解析式．[答案]x 2＋x ＋3(2)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－x B ．y ＝12x 3＋12x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋12x 2－2x[解析]设所求函数解析式为f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c(a≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝d ＝0，f （2）＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f′（0）＝c ＝－1，f′（2）＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f(x)＝12x 3－12x 2－x.[答案]A[小结]求函数解析式的几种常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便可得f(x)的解析式；(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)时，往往可设h(x)＝t ，从中解出x ，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t 替换为x 即可．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f(－x))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x)．配凑法和换元法中要注意根据g(x)或t 的范围确定函数的定义域．巩固训练5．已知函数f(x)＝x 2＋2x －1，函数y ＝g(x)为一次函数，若g(f(x))＝2x 2＋4x ＋3，则g(x)＝________．[解析]由题意，函数y ＝g(x)为一次函数，由待定系数法，设g(x)＝kx ＋b (k≠0)，g(f(x))＝k(x 2＋2x －1)＋b ＝kx 2＋2kx ＋b －k ＝2x 2＋4x ＋3，由对应系数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，2k ＝4，b －k ＝3，所以k ＝2，b ＝5.故g(x)＝2x ＋5. [答案]2x ＋56．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f(x)＝____________．[解析]在f(x)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f(x)·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f(x)＝23x ＋13.[答案]23x ＋13(x ＞0)考点4分段函数4 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[解析]根据题意，由于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，而f(1)＝2，f(a)＝－2，则可知a ＋1＝－2，a ＝－3.[答案]D(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x∈[0，1]，92－32x ，x∈（1，3]，当t∈[0，1]时，f(f(t))∈[0，1]，则实数t 的取值范围是________．[解析]当t ＝0时，f(t)＝1，f(f(t))＝f(1)＝3∉[0，1]，所以t∈(0，1]，所以f(t)＝3t ∈(1，3]，所以f(f(t))＝f(3t )＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3.所以log 373≤t≤1.故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1.[答案]⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1[小结](1)分段函数问题一般分段求解，其定义域和值域是各段的并集；(2)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解； (3)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围；(4)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．巩固训练7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x≤1，－log 2（x ＋1），x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)等于( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[解析]函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x≤1，－log 2（x ＋1），x>1，且f(a)＝－3，若a≤1，则2a －1－2＝－3，即有2a －1＝－1<0，方程无解；若a>1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7， 则f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.[答案]A8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x<0，－x 2，x≥0，g(x)为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5，若f (g (a ))≤2，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[0，22－1]B ．[－1，22－1]C ．(－∞，－1]∪(0，3]D ．[－1，3][解析]∵g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0， 若x >0，则－x <0，g (－x )＝x 2＋2x －5，∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )＝－x 2－2x ＋5，x >0，由题意，知f (－2)＝2，∴f (g (a ))≤2即为f (g (a ))≤f (－2)．又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， ∴a ≤－1或0≤a ≤22－1.故选A. [答案]A(2017·全国卷Ⅲ理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是__________．[解析]当x ＞12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12＞2x＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x＞1；当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14， 即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. [答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第4讲 函数及其表示精选教案 理
第4讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有__唯一确定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__.2．函数的表示方法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__解析法__．(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__图象法__.(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__列表法__.3．函数的三要素(1)函数的三要素：__定义域__，对应关系，值域．(2)两个函数相等：如果两个函数的__定义域__相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的__对应关系__不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．分段函数的定义域等于各段函数自变量取值的并集，分段函数的值域等于各段函数值的并集．5．映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有__唯一确定__的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．6．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( √ )(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一函数．( √ ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( × ) 解析 (1)正确．函数是特殊的映射．(2)错误．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1的定义域和值域都是R ，但它们的对应关系不同，不是相等函数．(3)正确．函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 的定义域和对应关系相同． (4)错误．因为定义域为空集. 2．给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1； ②A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12a ∈N*，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b ⎪⎪⎪b ＝1n ，n ∈N*，对应关系f ：a →b ，b ＝1a ；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ，x ∈A ，y ∈B ；④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为( B ) A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．③④解析 对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 是两个集合，分别用列举法表述为A ＝{2,4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B 中两个元素±1；④是从A 到B 的映射．3．下列四组函数中，表示同一函数的是( A ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1解析 A 项中，g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B项中的两个函数的定义域不同，故不是同一函数；C 项中，f (x )＝x 2－1x －1＝x ＋1(x ≠1)与g (x )＝x ＋1两个函数的定义域不同，故不是同一函数；D 项中，f (x )的定义域为[1，＋∞)，g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数，故选A ．4．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝__10__. 解析 因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为__(－∞，2]__.解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]．一 求函数定义域的方法(1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始．函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变量后，就要从使解析式有意义的角度入手了．一般来说，在高中范围内涉及的有：①开偶次方时被开方数为非负数；②分式的分母不为零；③零次幂的底数不为零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题还需要考虑使题目本身有意义；⑦若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．(2)求复合函数的定义域一般有两种情况：①已知y ＝f (x )的定义域是A ，求y ＝f (g (x ))的定义域，可由g (x )∈A 求出x 的范围，即为y ＝f (g (x ))的定义域；②已知y ＝f (g (x ))的定义域是A ，求y ＝f (x )的定义域，可由x ∈A 求出g (x )的范围，即为y ＝f (x )的定义域．【例1】 (1)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为__(0,2]__．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为__[0,1)__. 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x <1，即定义域是[0,1)．二 求函数解析式的方法函数解析式的常见求法(1)配凑法．已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．(2)待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法．已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(4)方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f (－x ))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【例2】 (1)(2018·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝__x 2－x ＋1(x ≠1)__.(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋3，则f (x )＝！！！ 12x 2＋52x ＋2 ###.(3)(2018·江西宜丰中学月考)若函数f (x )满足方程af (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ax ，x ∈R 且x ≠0，a 为常数，且a ≠0，a ≠±1，则f (x )＝！！！ a (ax 2－1)(a －1)x###. 解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ≠1，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝c ＝2，得f (x )＝ax 2＋bx ＋2.则f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x ＋3，所以2a ＝1，且a ＋b ＝3，解得a ＝12，b ＝52，故f (x )＝12x 2＋52x ＋2.(3)因为af (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ax ，所以af ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝a x ，两方程联立解得f (x )＝a (ax 2－1)(a 2－1)x .三 分段函数分段函数两种题型的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值．首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)．应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．注意：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【例3】 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝__1__. (2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ ###. 解析 (1)∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1． (2)由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x >－14.1．函数f (x )＝lg (－x 2＋x ＋2)x的定义域为( A )A ．(－1,0)∪(0,2)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋2>0，x ≠0⇒x ∈(－1,0)∪(0,2)，故A 正确．2．对于任意x ∈R ，下列式子都存在函数f (x )的是( D ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析 对于A 项，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 项错．在B 项中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 项错．在C 项中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 项错．在D 项中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域(－1，＋∞)上是成立的，故选D ．3．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是__[－3,1]__.解析 若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(15－x )，x ≤0，f (x －2)，x >0，则f (3)＝__4__.解析 f (3)＝f (1)＝f (－1)＝log 216＝4.易错点1 不会求抽象函数的定义域错因分析：①定义域是自变量x 的取值范围；②对应法则f 下括号内式子的取值范围与f (x )中x 的取值范围一样．【例1】 (1)若函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________； (2)若函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，则函数f (3x －2)的定义域为________. 解析 (1)由已知得－1<2x ＋1<0，即－1<x <－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. (2)由－1<x <0，得－1<2x ＋1<1，于是－1<3x －2<1，13<x <1，函数f (3x －2)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 【跟踪训练1】 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__[－1,2]__.解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．易错点2 不理解定义域，值域为R 的含义错因分析：不能透彻理解定义域是使函数有意义的所有x 的取值集合；值域是所有函数值的集合．因而解决问题时易出错．【例2】 已知函数f (x )＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14的值域为R ，求实数a 的取值范围．解析 f (x )的值域为R ，即t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14能取得所有大于0的实数．①a ＝0时，t ＝－x ＋14能取得所有大于0的实数，满足题意；②a ≠0时必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2－a ≥0，解得a ≥3＋52或0<a ≤3－52.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋52，＋∞.【跟踪训练2】 已知函数f (x )＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 f (x )的定义域为R ，即对一切实数x ，t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14的值恒大于0.①a ＝0时，t ＝－x ＋14的值不恒大于0；②a ≠0时，必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2－a <0，解得3－52<a <3＋52.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52.课时达标 第4讲[解密考纲]本考点考查函数的概念、函数的三要素以及分段函数求值等．一般以选择题、填空题的形式呈现，排在考卷靠前位置，题目难度不大．一、选择题1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( D ) A ．f ：x →y ＝23xB ．f ：x →y ＝x 2－x2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2D ．f ：x →y ＝x ＋5－1解析 对于A ，当x ＝4时，y ＝83∉M ；对于B ，当x ＝1时，x 2－x2x －2无意义；对于C ，当x＝0时，y ＝3∉M ；D 符合映射定义，故选D ．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( D )A ．12 B ．－12C ．－1D ．1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝ cos π3＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝12＋1－12＝1．3．函数y ＝ln(x 2－x )＋4－2x的定义域为( B ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1,2] C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x >0，4－2x≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >1，x ≤2.即x ∈(－∞，0)∪(1,2]，故选B ． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 3x ，x >0，设a ＝log 123，则f (f (a ))＝( A )A ．12 B ．2 C ．3D ．－2解析 ∵a ＝log 123<0，∴f (a )＝3，∴f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝12.5．下列四组函数中，表示同一函数的是( C ) A ．y ＝x 2与y ＝3x 3 B ．y ＝1与y ＝x 0C ．y ＝2x ＋1与y ＝2t ＋1D ．y ＝x 与y ＝(x )2解析 A 项中两函数值域不同，B 项、D 项中两函数定义域不同，故选C ．6．(2018·福建福州调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( D )A ．0B ．1C ．2 017D ．2 018解析 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018，故选D ．二、填空题7．(2018·安徽合肥模拟)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为__[－1,0]__.解析 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a ≥1，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，所以Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8．(2018·江苏张家港模拟)已知f (x )＝3x －2，则f (x )＝__3x 2－2(x ≥0)__． 解析 令t ＝x ，则x ＝t 2(t ≥0)，所以f (t )＝3t 2－2(t ≥0)，所以f (x )＝3x 2－2(x ≥0)．9．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤0，x ，x >0，若f (a )>3，则a 的取值范围是__(9，＋∞)__．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a－1>3或⎩⎨⎧a >0，a >3，解得a >9.三、解答题10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解析 (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图象如图．11．(2018·湖南怀化月考)已知f (x )＝2x，g (x )是一次函数，并且点(2,2)在函数f (g (x ))的图象上，点(2,5)在函数g (f (x ))的图象上，求g (x )的解析式．解析 设g (x )＝ax ＋b ，a ≠0，则f (g (x ))＝2ax ＋b，g (f (x ))＝a ·2x＋b ，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧22a ＋b＝2，4a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以g (x )＝2x －3.12．(2018·重庆月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域． 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，且f (0)＝f (1)， ∴n ＝1＋m ＋n ，∴m ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋n . ∵方程x ＝f (x )，即方程x 2－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4n ＝0， 得n ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1． (2)由(1)知f (x )＝x 2－x ＋1．此函数的图象是开口向上，对称轴为x ＝12的抛物线，∴当x ＝12时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12＋1＝34， f (0)＝1，f (3)＝32－3＋1＝7，∴当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，7.。
2013届高考一轮数学复习课件(人教版)第4讲---函数及其表示概要
第二章 函数与基本初等函数
第1课时 函数及其表示
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了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和 值域；了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要 选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．了 解简单的分段函数，并能简单应用．
请注意！
①本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要 素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热 点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．
所以函数的定义域为{x|x≤－1 或 x≥1 且 x≠±2}．
(2)由25－x2≥0 cosx>0
－5≤x≤5 得2kπ－π2<x<2kπ＋π2k∈Z
所以函数的定义域为[－5，－32π)∪(－π2，π2)∪(32π，5]．
探究 1 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，
如分式的分母不等于零， 偶次根式的被开方数为非负数， 零指数幂的底数不为零， 对数的真数大于零且底数为不等于 1 的正数 三角函数的定义等． (2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题． 在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴， 并且要注意端点值或边界值．
【解析】 (1)由1≤3x－1≤2得：23≤x≤1， ∴y＝f(3x－1)的定义域为[23，1]． (2)由1 ≤x≤2得：0≤log2x≤1， ∴y＝f(x)的定义域为[0,1]．
【答案】 (1)[23，1] (2)[0,1]
探究2 ①若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝ f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．
这两个函数才相同．
函数定义： 设集合A是一个非空的 数集 ,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x , 在集合 B中都 有 唯一确定 的数f(x)和它对应,那么就称f : A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A .
2020高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第4讲 函数的概念及其表示(58张PPT) .ppt
(3)当 x 为有理数时，D(x)＝1；当 x 为无理数时，D(x)
＝0，所以函数的值域为{0，1}．
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第4讲 函数的概念及其表示
双
向 固
2．函数的表示方法
基 础
(1)函数 f(x)＝xx，2，xx≤>00，是两个函数．(
)
(2)下列各组函数是同一个函数的是②③.( )
①f(x)＝x，f(x)＝xx2；②f(x)＝x2，f(t)＝t2；
y＝x＋x＋1 1(x>－1)
y＝x＋x 1
y＝xx22－＋2xx＋＋13
y＝23－－csoins
x x
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第4讲 函数的概念及其表示
双
向
固 基
2．函数的表示法
础
(1)基本表示方法：解__析__法____、___图_像__法__、_列__表__法___．
(2)分段函数：在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式，
第4讲 函数的概念及其表示
双
向
固 基
1．函数的概念
础
(1)概念：设 A，B 都是非空的数集，如果按照某种确定
的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中
都有_唯_一__确__定__的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合
A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.其中 x 叫作自变
为 y cm2，则 y 关于 x 的函数关系式是______________．
图 2-4-1 [答案] y＝x 1600－x2
[解析] 矩形的对角线为40 cm，则矩形的另一条边长 为 1600－x2 cm，故矩形的面积y＝x 1600－x2 cm2，所 以所求的函数关系式是y＝x 1600－x2.
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山西省晋中市高考数学一轮专题：第4讲函数及其表示
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；
②；③中满足“倒负”变换的函数是（）
A . ①②
B . ①③
C . ②③
D . 只有①
2. （2分） (2016高一上·呼和浩特期中) 设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
表1 映射f的对应法则
原像1234
像3421
表2 映射g的对应法则
原像1234
像4312
则与f[g（1）]相同的是（）
A . g[f（1）]
B . g[f（2）]
C . g[f（3）]
D . g[f（4）]
3. （2分） (2016高一上·江北期中) 给出如图所示的对应：
其中构成从A到B的映射的个数为（）
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
4. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x(km)
0<x
≤500500<x
≤1 000
1 000<x
≤1 500
…
邮资y(元) 5.00 6.007.00…
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是（）
A . 5.00元
B . 6.00元
C . 7.00元
D . 无法确定
5. （2分） (2019高一上·平坝期中) 已知集合，，是从
到的一个映射，若，则其对应关系可以是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）如果且，则（）
A .
B .
C . 6
D . 8
7. （2分） (2019高一上·山丹期中) 与函数相等的函数是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）符号表示不超过的最大整数,例如,,定义函数,给出下列四个命题：(1)函数的定义域为,值域为;(2)方程有无数个解;(3)函数是周期函数;(4)函数是增函数.其中正确命题的个数有（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分）函数的值域是（）
A . [2,8]
B .
C .
D .
10. （2分）下列各组函数是同一函数的是（）
①与；② 与
③与；④与。
A . ①②
B . ①③
C . ③④
D . ①④
11. （2分）某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加10.4%，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）函数的定义域为R，且定义如下：（其中M是实数集R的非空真
子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共7分)
13. （1分）设M={x，y，z}，N={1，﹣1，0}，若从M到N的映射f满足：f（x）﹣f（y）=f（z），这样的映射f的个数为________．
14. （1分）函数y= 的定义域是________．
15. （2分）设对应法则f是从集合A到集合B的函数，则下列结论中正确的是 ________．
①B必是由A中数对应的输出值组成的集合；
②A中的每一个数在B中必有输出值；
③B中的每一个数在A中必有输入值；
④B中的每一个数在A中对应惟一的输入值．
16. （1分）下面有四组函数，
①f（x）= ，g（x）=x﹣1，
②f（x）= ，g（x）= ，
③f（x）=（） 2 ， g（x）= ，
④f（x）= ，g（x）= ，
其中为相同函数的是________组．
17. （1分）(2018高二下·中山月考) 在某次考试中，学号为的同学的考试成绩
，且，则这四位同学的考试成绩的共有________种；
18. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 若函数f（x）=8x的图象经过点，则f﹣1（a+2）=________．
三、解答题 (共2题；共20分)
19. （5分）已知集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从集合A到B的映射．若f：x→（x+1，x﹣1），求A中元素3在B中的对应元素和B中元素（﹣4，﹣6）在A中的对应元素．
20. （15分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2 ．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共2题；共20分) 19-1、
20-1、。