必修五等比数列——高一数学讲义
高一数学复习考点知识讲解课件58---等比数列的性质
高一数学复习考点知识讲解课件等比数列的性质考点知识1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．导语在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．一、由等比数列构造新等比数列问题1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？提示等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列符号表示 a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *)a na n －1＝q (n ≥2，n ∈N *) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1类比差⇒商；和⇒积，积⇒乘方性质等差数列首项a 1，公差d等比数列首项a 1，公比q把等差数列前k 项去掉，得到一个以a k ＋1为首项，以d 为公差的等差数列把等比数列前k 项去掉，得到一个以a k ＋1为首项，以q 公比的等比数列等差数列中，a k ，a k ＋m ，a k ＋2m …是以公差为md 的等差数列等比数列中，a k ，a k ＋m ，a k ＋2m …是以公比为q m 的等比数列等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列两个等差数列相加，还是一个等差数列两个等比数列相乘，还是一个等比数列知识梳理1．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．2．若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2.3．若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq .注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q ＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列．例1如果数列{}a n 是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a nB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n C.{}a n ·a n ＋1 D.{}a n ＋a n ＋1 答案D解析取等比数列a n ＝()－1n ，则a n ＋a n ＋1＝0，所以{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故D 错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．反思感悟由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q <0的情况．跟踪训练1设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为() A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案D解析因为A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，所以A i ＝a i a i ＋1(i ＝1,2,3，…，n ，…)， 则数列{A n }的通项为A n ＝a n a n ＋1.根据等比数列的定义，数列{A n }(n ＝1,2,3，…)为等比数列的充要条件是A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q (常数)．二、等比数列中任意两项之间的关系问题2结合上面的类比，你能把等差数列里面的a n ＝a m ＋(n －m )d 类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得a n ＝a m q n －m ；由等比数列的定义可知a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1，两式相除可得a n a m ＝a 1q n －1a 1qm －1＝q (n －1)－(m －1)＝q n －m ，即a n ＝a m q n －m . 知识梳理等比数列通项公式的推广和变形a n ＝a m q n －m . 例2在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n ； (2)已知a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n . 解设等比数列{a n }的公比为q .(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝q (a 3＋a 6)＝18，a 3＋a 6＝36，得q ＝12.再由a 3＋a 6＝a 3·(1＋q 3)＝36得a 3＝32，则a n ＝a 3·qn －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8＝12，所以n －8＝1，所以n ＝9. (2)由a 7＝a 5·q 2得q 2＝14.因为a n >0，所以q ＝12， 所以a n ＝a 5·qn －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8.反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1(a 1q ≠0)可求出等比数列中的任意一项．(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n ＝a m q n －m (q ≠0)也可求出等比数列中的任意一项．跟踪训练2(1)在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为()A ．2B.12C ．2或12D ．－2或12(2)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 9－a 10a 5－a 6等于()A ．16B ．8C ．4D ．2 答案(1)C(2)C解析(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，∴a 1(1＋q 3)＝18，a 1(q ＋q 2)＝12，q ≠－1，化为2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.故选C.(2)等比数列{a n }中，设其公比为q (q ≠0)，a 3＝2，a 4a 6＝a 3q ·a 3q 3＝a 23q 4＝4q 4＝16，∴q4＝4.∴a 9－a 10a 5－a 6＝a 1q 8－a 1q 9a 1q 4－a 1q 5＝q 4＝4，故选C.三、等比数列中多项之间的关系问题3结合上面的类比，你能把等差数列里面的a m ＋a n ＝a k ＋a l ，类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得a m a n ＝a k a l ，其中m ＋n ＝k ＋l ，m ，n ，k ，l ∈N *. 推导过程：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a k ＝a 1q k －1，a l ＝a 1q l －1，所以a m a n ＝a 1q m －1·a 1q n －1＝a 21q m ＋n －2，a k a l ＝a 1q k －1·a 1q l －1＝a 21qk ＋l －2， 因为m ＋n ＝k ＋l ，所以有a m a n ＝a k a l . 知识梳理设数列{a n }为等比数列，则：(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列．注意点：(1)性质的推广：若m ＋n ＋p ＝x ＋y ＋z ，有a m a n a p ＝a x a y a z ；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…. 例3已知{a n }为等比数列． (1)若{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5；(2)若a n >0，a 5a 7＋2a 6a 8＋a 6a 10＝49，求a 6＋a 8；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值． 解(1)在等比数列{a n }中， ∵a 2a 4＝12，∴a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12， ∴a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 26＋2a 6a 8＋a 28＝49，即(a 6＋a 8)2＝49， ∵a n >0， ∴a 6＋a 8＝7.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2·…·a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．跟踪训练3(1)公比为32的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于() A．4B．5C．6D．7答案B解析因为a3a11＝16，所以a27＝16.又因为a n>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.(2)已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________. 答案5 2解析方法一因为{a n}是等比数列，所以a1a7＝a24，a2a8＝a25，a3a9＝a26.所以a24·a25·a26＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝5×10＝50. 因为a n >0，所以a 4a 5a 6＝5 2.方法二因为a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 22·a 2＝a 32＝5，所以a 2＝135.因为a 7a 8a 9＝(a 7a 9)a 8＝a 38＝10，所以a 8＝1310.同理a 4a 5a 6＝a 35＝1133312332222528()()(510)5052a a a ==⋅==.1．知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列． (2)等比数列中任意两项之间的关系． (3)等比数列中多项之间的关系． 2．方法归纳：公式法、类比思想．3．常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项．1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为()A ．±12B ．±2C.12D ．－2 答案D解析因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.2．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么() A ．{a n ＋b n }，{a n b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n b n }都不一定是等比数列 答案C解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． 3．已知在等比数列{}a n 中，有a 3a 7a 10＝9，则a 4a 28等于() A ．3B ．9C ．20D ．无法计算 答案B解析由等比数列多项之间的下标和的关系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a 4a 28＝9.4．若正项等比数列{a n }满足a 1a 5＝4，当1a 2＋4a 4取最小值时，数列{}a n 的公比是________．答案2解析设正项等比数列{}a n 的公比为q ()q >0， 因为a 1a 5＝4，所以由等比数列的性质可得a 2a 4＝4，因此1a 2＋4a 4≥21a 2·4a 4＝2，当且仅当1a 2＝4a 4，即a 4a 2＝q 2＝4，即q ＝2(负值舍去)时，等号成立． 所以数列{}a n 的公比是2.课时对点练1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3等于() A ．4B ．2C ．5D.52答案A解析因为a n a n ＋1＝2n ，所以a n －1a n ＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＝2(n ≥2)， 数列{a n }的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故a 7a 3＝22＝4. 2．在等比数列{a n }中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10等于()A ．6B ．2C ．2或6D ．－2答案B解析由题意知a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，所以a 2<0，a 18<0，故a 10<0，所以a 10＝－a 2·a 18＝－2，因此a 4·a 16＋a 10＝a 210＋a 10＝2，故选B.3．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于()A.32B.23C ．－23D.23或－23答案C解析因为a 4＝a 2·q 2，所以q 2＝a 4a 2＝818＝49. 又因为a 1<0，a 2>0，所以q <0.所以q ＝－23. 4．在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为() A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案B解析由a 2a 3a 6a 9a 10＝(a 2a 10)·(a 3a 9)·a 6＝a 56＝32＝25，得a 6＝2，则a 29a 12＝a 6a 12a 12＝a 6＝2. 5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为()A ．2B.6766C ．3D. 3答案D解析方法一依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }，设其公比为q (q ≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 1q ·a 1q 2＝3，a 1q 6·a 1q 7·a 1q 8＝9，解得a 1q ＝33，q 3＝63，所以第5节的容积为a 1q 4＝a 1q ·q 3＝33·63＝ 3.故选D. 方法二依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a 1a 2a 3＝3，a 7a 8a 9＝9，由等比数列的性质可知a 1a 2a 3a 7a 8a 9＝(a 1a 9)·(a 2a 8)·(a 3a 7)＝a 65＝27.所以a 5＝ 3.故选D.6．(多选)设{a n }是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．{a n a n ＋1}是等比数列C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列 D ．{lg|a n |}是等比数列答案ABC解析由{a n }是等比数列可得a na n －1＝q (q 为定值，n >1)．A 中，a 2n a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n －12＝q 2为常数，故A 正确；B 中，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故B 正确； C 中，1a n 1a n －1＝a n －1a n＝1q 为常数，故C 正确； D 中，lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故D 错误．7．在正项等比数列{a n }中，若3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2021－a 2020a 2023－a 2022＝________. 答案19解析设正项等比数列{a n }的公比q ＞0，∵3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －3＝0，q ＞0，解得q ＝3.则原式＝a 2021－a 2020q 2(a 2021－a 2020)＝1q 2＝19. 8．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，则a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝________. 答案π2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，所以a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝a 4a 2＋2a 24＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝π2.9．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64.又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4， 此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14， 此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. 10．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求a 3＋a 5的值；(2)若数列{a n }的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项． 解(1)∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36，即(a 3＋a 5)2＝36，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2－a 5＝42，∴q ≠1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168，a 1q (1－q 3)＝42， 解得⎩⎨⎧ a 1＝96，q ＝12.若G 是a 5，a 7的等比中项，则有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9， ∴a 5，a 7的等比中项为±3.11．设各项均为正数的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2·…·a 9)等于()A ．38B ．39C ．9D ．7答案C 解析因为a 4a 8＝a 5a 7＝3a 7且a 7≠0，所以a 5＝3，所以log 3(a 1a 2·…·a 9)＝log 3a 95＝log 339＝9.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于()A ．2B ．1C.12D.18答案C解析方法一∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15等于()A．±2B．±4C．2D．4答案C解析∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{a n}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.14．在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．答案－213解析由于{a n}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a137，而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.15．在等比数列{a n }中，若a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 答案23或32解析∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝32或q 10＝23. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或32. 16．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若任意n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．解(1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4，所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)．设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c1＝a1－b1＝2－1＝1，c4＝a4－b4＝14－6＝8，＝8，故q＝2.设{c n}的公比为q，则q3＝c4c1则c n＝2n－1，即a n－b n＝2n－1.所以b n＝4n－2－2n－1(n∈N*)．故{b n}的通项公式为b n＝4n－2－2n－1(n∈N*)．(2)由题意得，b k应为数列{b n}的最大项．由b n＋1－b n＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*)．当n<3时，b n＋1－b n>0，b n<b n＋1，即b1<b2<b3；当n＝3时，b n＋1－b n＝0，即b3＝b4；当n>3时，b n＋1－b n<0，b n>b n＋1，即b4>b5>b6>…所以k＝3或k＝4.。
等比数列人教A版高中数学必修五PPT课件
解：设原来的三个数是 ：a, aq, aq 2
则必有(a2qaq
a 4)2
(aq 2 a(aq
32) 2 32)
① ②
由①得q 4a 2 a
代入②得a 2，q 5或a 2，q 13 9
故原来的三个数是：2,20,50或 2，26，338 99 9
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 1)求证数列{an+1}是等比数列; 2)求an的表达式
解：设首项为a1，公比为q，则有
a1 a1
q q
2 3
12 18
解得
q
3 2 ,a1
16 3
an
32 9
(
3 2
)
n，a
2
8
例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160， 求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
aa11qq52
20 160
解得
q 2 a1 5
因此，an=5×2n-1
(二)等比数列的通项公式 由定义可知：
a2 q，a3 q，a4 q，，an1 q，an q
a1
a2
a3
an2
a n1
(n-1个等式)
观察上式，可以把每一个等式的左边 相乘，右边也相乘，等式还成立。
a2 a3 a4 an1 an q q q q
a1 a2 a3
an2 an1
1 q
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
(五)等比数列的性质
5、若{an },{bn }为项数相同的等比数列 ，则
(1)数列{c
a
n
},
{
人教版高一数学必修五第二章第四节《等比数列》说课 课件(共31张PPT)
3
教学过程
①生物课本学习过的细胞分裂：
1, 2, 4,8,
②《庄子》中的论述： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
③计算机病毒通过邮件进行的传播。 ④银行支付利息的一种方式——复利。 ⑤脑筋急转弯：一块豆腐切成八块至少切几刀？
1 1 1 1 1, , , , , 2 4 8 16
1
教材分析
☆ 教学目标
1、知识与技能： 理解等比数列的概念，掌握等比数列通
项公式，了解等比数列与指数函数的关系，会用公式解决 一些简单问题；
2、过程与方法：培养学生运用归纳类比的方法发现问题，
分析问题，概括问题的能力；通过模仿探索的过程，提高 学生运用函数观点，方程思想解决问题的数学能力；
3、情感态度价值观：通过主动研究、合作交流，感受探索
设问5：
an 1 * q ( q 0, n N ) ①我们可以用递推式子 a n
来表示等比数列的定义，但是能否确定一个数列呢？ （不能） ②那么确定一个等比数列需要几个条件呢？ （首项及公比） ③当给定了首项和公比之后，如何求任意一项的值呢？ （需要研究通项公式） ④请各小组自主探究，推导等比数列的通项公式 （提示学生回顾等差数列通项公式推导方法）
Part 2 1
Part 3 1
C O N T E N T S
Part 4
5 Part 1
6 Part 1
课堂小结、构建知识体系 教 材分析
3
教学过程
设问1： 例1
观察下列几个数列，有什么共同特点？
(2)1, 2, 4, 8,16, 1 1 1 1 (3)1,1,1,1,1, (4)1, , , , , 2 4 8 16 1 2 3 (5)1, 20, 20 ,20 , (6) ,1,3,9,27, 3 (1)2, 4,8,16,
高中数学北师大版必修5 1.3 教学课件 《等比数列》(数学北师大必修5)
1 11
（1）
24
（2） 1
24
1 1…
8 16
8 16 …
（3） 3，9，27，81，……；
（4） 1 , 1 , 1 , 1 , ; 2 4 8 16
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q= 1 2
q= 2
q= 3
q=- 1 2
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等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
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等比数列
an a1q n1
am a1qm1
可得
an a1 qn1
an amqnm
等比数列的通项公式还可以写成
指数型的函数
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第一章 · 数列
第三节 等比数列
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第一讲 等比数列
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复习回顾： 请同学们回忆一下等差数列的定义和什么是等
差中项 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等比数列 的公差。 公差通常用字母 d表示.
an a1 (n 1)d
an a1q n1
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等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q,那么根据等比数列
的定义得到
高中数学人教A版必修5《等比数列的性质》PPT课件
则这个数列可设为 , a d, a, a d, , 此数列的公差为d ; （2）若所给等差数列的项数为偶数时， 则这个数列可设为 , a 3d, a d, a d, a 3d , 此数列的公差2d ;
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
知识回顾： 1.等比数列的概念及定义式； 2.等比数列的通项公式；
教学目标： 1.了解等比数列部分性质的推导过程； 2.掌握等比数列的性质； 3.能利用等比数列的性质解题； 4.感受利用性质解题的优势。
1.公式的推广（次通项公式）
复习：等差数列：an a1 (n 1)d am a1 (m 1)d (m, n N )
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
课堂总结：
1.四个性质； 2.一个方法：类比法 3.一个感悟：知识是灵活的
布置作业：
电子版练习题已发到钉钉班级 群里，请认真完成，及时上传。
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
例4.将公比为 q的等比数列a1, a2 , a3, 依次取相邻两项的乘积组成新的
B 数列 a1a2 , a2a3, a3a4 , ,则此数列是（ ）
A.公比为 q的等比数列
B.公比为 q2的等比数列
C.公比为 q3的等比数列
D.不一定是等比数列
例5.设an 是等比数列，给出下列说法：
（1）an2 是等比数列； √ q 2
A.12
B.6
C. 12
D. 6
解： a7 a10 a2 a15 36 3a15 36 a15 12
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
人教版高中数学必修五-等比数列课件
【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1= 9，an= 1，q= 2，
则n为( )
8 33
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.等比数列{an}中，a1= an= q= 所以
an=a1qn-1=
所以
即n-981，=3，13n，=4.
2， 3
9 (2)n1 1， ( 2)n1 ( 2)3，
83 3
公比分别为p，q，因为 an b1 n1 an=1pbqn≠1 0，所以{an·bn}
一定是等比数列.
anbn an bn
2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，
所以an+1+3=2(an+3)，即 =2，
所以数列{an+3}是首项为aan11+33，公比为q=2的等比数列. an 3
A. 27
B. 45
C. 25
D. 47
2
4
2
4
2.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三 项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32， 那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.
【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再 由后三个数成等差数列列方程求解. 2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方 程组求解.
注意什么？
提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需 要注意：(1) =q(n∈N*)为常数.
((23))比数值列中a的n为1 每同aan一n一1 项个都常不数能. 为0. an
探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，
人教A版高中数学必修五等比数列教学教学PPT课件
(2) 1 , 1 , 1 , 1
2 4 8 16
公比 q，-1，1，…
公 比q= -1 摆动数列
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列， 这
个常数叫做等a 比n数1列的q公(q 比是 ，公常 比数 通常,且 用字q母q0表） 示。 an
a n1
比 (2)若 a、 G、 b成 等 比 数 列 ， G 2 ab,
则 G叫 a与 b的 等 比 中 项
数 (3)an am q nm ,(m , n N *)
(4)若 m n p q， 则 am an a p aq
列 (5)an2 an1 an1, (n 2)
例4：在等比数列a n中 ， a52,a求1010 , a 15 。
方法一：由题意到方程组解得 方法二：利用性质2 方法三：利用性质3
五.小结
1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否 是等比数列； 2、等比中项的概念 ； 3、等比数列的通项公式及应用(知三求一) ； 4、本节课采用的主要思想——类比思想和方 程思想。
六、作业设计
（2）等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的
例1：求下列等比数列的第4项： （ 1 ） 5，-15，45，…
an a1•qn1
解: a45( 3 )4 1 135
(2) 2 , 1 , 3 , 3 28
解:
a4
23
3 4
41
9 32
例2：一个等比数列第三项与第四项分别是 12与18，求它的第1项和第2项。
例3:已知 a 为n 公差为2的等差数列，若
2.4 等比数列
知识回顾
高一数学必修五第二章等比数列的概念课件
以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里麦粒
数的2倍，直到第64格，请给我足够的麦粒实现上述要求”。
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，假定千粒麦粒的
质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量约为6亿吨，根
据以上数据，判断国王能否实现他的诺言？
一、导
• 等差数列前n项和：Sn= a1 + a2 +…+ an
多年才能产出所需小麦。
一、导
• （3）等比数列前n项和推导
乘以公比， 错位相减
• 等比数列首项a1，公比为q：
•
Sn= a1 + a2 +…+ an
①
•
qSn= a1q+…+an-1q + anq
•
qSn= a2 +…+ an + anq
②
• ①-②：（1-q）Sn=a1-anq=a1（1-qn）
• q=1
Sn=na1
• q≠1 Sn=a1（1-qn）/（1-q) (知3求2)
二、思
• （1）1/2，1/4，1/8，…，求S8； • （2）a1=27，a9=1/243，求S8； • （3）a1=3，q=2，n=6，求Sn； • （4）a1=27，q=-1/3，an=1/90，求Sn； • （5）在递增的等比数列{an}中，已知a1+an=34，a3*an-2=64,
且前n项和为Sn，则n= （ ）。
三、议
• （1）a1=3，q=2，n=6，求Sn； • （2）a1=27，q=-1/3，an=1/90，求Sn； • （3）在递增的等比数列{an}中，已知a1+an=34，a3*an-2=64,
2.5.2 等比数列的前n项和(第2课时)性质及应用(课件)-下学期高一数学(人教A版必修5)
1．思考辨析
[基础自测]
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120， 则该等比数列的公比 q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1.( ) (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列．( ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( )
等比数列前 n 项和公式的函数特征应用 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)， 则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列，所以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14， 所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44，0 (舍去)，所以 S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶 数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间 两项的和为1238”求此等比数列的项数．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． （2019 年金华模拟）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，
《高一数学等比数列》课件
等比数列具有很多特点和 常用公式，包括公比的取 值范围、前 n 项和的计算 公式等。
等比数列的性质
公比
公比是等比数列相邻 两项之比的常数，用 r 表示。
前 n 项和
计算等比数列前 n 项 的和的公式为 Sn = (A1 * (r^n - 1)) / (r - 1)， 其中 Sn 表示前 n 项的 和。
• 数学相关教材 • 网络资源 • 其他相关参考资料
介绍等比数列的推广及其 在更广泛的领域中的应用， 例如指数函数和级数。
总结
重点知识点回顾
回顾等比数列的重要概念、公式和性质，并加深对它们的理解。
应用及其重要性
强调等比数列在各个领域中的广泛应用及其在问题求解中的重要性。
学习策略
分享一些学习等比数列的有效策略和技巧，帮助学生更好地掌握这一概念。
参考文献
物理学、经济学
等比数列在物理学和经济学 等领域也有广泛的应用，例 如物理学中的指数衰减和经 济学中的增长模型。
练习与拓展
1 例题练习
通过一系列的等比数列练 习题，巩固对等比数列的 理解和运用能力。
2 与其他数列的比较
将等比数列与等差数列和 斐波那契数列等其他数列 进行比较，了解它们之间 的异同。
3 拓展
《高一数学等比数列》 PPT课件
提供了全面且易于理解的高一数学等比数列PPT课件，帮助学生深入掌握等比 数列的概念、性质和应用，提升数学学习的效果。
什么是等比数列
1 定义
2 通项公式
3 性质和常用公式
等比数列是指数列的一种， 其中相邻两项之比是固定 的。
等比数列的通项公式为 An = A1 * r^(n-1) ，其中 An 表 示第 n 项，A1 表示首项， r 表示公比。
人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式课件
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
∴an＋1＋1＝2(n∈N*). an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法： an ＝q(n≥2，q an－1
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的 前 一项的 比 等于同一 常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母q表
示(q≠0).
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
高中数学必修5《等比数列的性质》PPT
在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等， 即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
性质5 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列
工具
第二章 数列
栏目导引
已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an} 中 ， a1·a2·a3 ＝ 5 ， a7·a8·a9＝10，则 a4·a5·a6＝( )
A．5 2
B．7
C．6
D．4 2
工具
第二章 数列
栏目导引
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第二章 数列
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[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5 a7·a8·a9＝a83＝10 a4·a5·a6＝a53
3
又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8) 2
1
1
∴a4·a5·a6＝(a23a83) 2 ＝(5×10) 2 ＝5 2.故选 A.
若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k、 m∈N*)组成公差为md的等差数列
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请把这些性质类比到等比数列
（小组合作交流）
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第二章 数列
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等比数列的常用性质
性质1 性质2 性质3 性质4
通项公式的推广：an＝am· qn－m (n，m∈N*) 若则{aak·n}a为l＝等a比m·数an列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，
若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an
若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋an＝a2 ＋an－1＝a3＋an－2＝…
人教课标版(B版)高中数学必修5《等比数列(第1课时)》教学课件
例题讲解
2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的 递推公式.这个数列是等比数 列吗?
开始
A=1
n=1
输出A
n=n+1
A=1/2A
否
n>5? 是
结束
３．一个等比数列的第３项和第４项分别是12和
18，求它的第１项和第２项．
(分析：要求第１项和第２项，必先求公比 q，可利用方程的思想进行求解.)
2.由定义归纳通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q …
an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
an=a1qn-1
一、温故知新：
1、等差数列定义：
an－an-1=d(d为常数)
2、等差数列单调性：
d>0单调递增 d<0单调递减 d=0常数列
3、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d
二、课题引入：
某细胞分裂模型
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1个数列从第二项起每 一项与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 。
＿a＿n=＿2n－＿1 ＿＿
上式还可以写成
an
1 2n 2
an 8
·
7
可见，表示这个等比数列
y 的各点都在函数
1 2
2x
6 5
的图象上，如右图所示。
4
·
3
结论:等比数列an的图象是21 其·对·应的
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高一数学等比数列及其求和
知识点1. 等比数列的有关概念
1．等比数列：若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比为常数的数列。
思考：如何证明一个数列是等差数列？
2．等比中项：
（注意：等比数列中，无0这个项） 3．通项公式：累乘法）
(1
m n p a ap
a m n n -==- 知识点2. 等比数列的相关运用和性质 1．22112
--+-===n n n k n k n a a a a a a a
注意：q p n a a a +=++=+m n a q p n m }{a 时，是等差数列：当 q p n m a a a a =+=+时，是等比数列：当q p n m }{a n 2．若有三个数成等比数列，通常设其为：
aq a q
a
,,； 若有四个数成等比数列，通常设其为：
3
3,,,aq aq q
a q a 知识梳理
3.等比数列前n 项和⎪⎩
⎪⎨⎧==--=≠--=)1(1)1(1)1(111q na S q q a a q q q a S n n
n n
一、选择题 1．设等比数列中，前n 项和为,已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解答过程：
2．等比数列}{n a 中，如果5a 5=，8a 25=，则2a 等于（ ） A.35 B.5 C.5 D.1 解答过程：
3．在等比数列( ) A.
B. 4
C.
D. 5
解答过程：
4．已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若13a =，24144a a =，则5S 的值是 ( ) A ．
69
2
B ．69
C ．93
D ．189 解答过程：
典例精析
5．已知等比数列{}n a ，若1a +2a =20，3a +4a =80，则5a +6a 等于( ) A ．480 B ．120 C ．240 D ．320 解答过程：
6．已知等比数列{}n a 中，121a a +=， 458a a +=-，则公比q =（ ）
（A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）1
2
解答过程：
7．已知等比数列{}n a 的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（ ） A ．23 B ．21 C ．19 D ．17 解答过程：
8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ） A ．31 B ．36 C ．42 D ．48 解答过程：
9．在等比数列{}n a 中，如果6969a a ==，，那么3a 等于（ ） A ．2 B ．23 C ．9
16
D ．4 解答过程：
10．在等比数列{}n a 中，已知前n 项和n S =1
5
n a ++，则a 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．－5
D ．5 解答过程：
11．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C. 4 D ．3 解答过程：
12． 已知数列{}n a 的通项2cos()n
n a n =π，则1299100...a a a a ++++=（ ）
A.0
B. 101223-
C.101
22- D.1002(21)
3-
解答过程：
二、填空题
13．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和
__________.
n S =
解答过程：
14．数列1
12，214，318，4116
，…的前n 项和是__________． 解答过程：
15．在等比数列{n a }中，若274=a ，3-=q ，则=7a ． 解答过程：
16．在等比数列{}n a 中，若4,2
1
41==a a ，则公比=q 解答过程：
17．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和．若31,a a 是方程09102=+-x x 的两个根，则=6S ____ ． 解答过程：
18．等比数列{}n a 中，12,2a q ==,则这个数列的前6项和6S = 。
解答过程：
1．设M=++ …+，则M 的值为（ ）
A 、
20122011 B 、20132012 C 、20142013 D 、2013
2014
解答过程：
2．若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，前100项和S 100=( ) A ．2101 B ．2101+2 C ．2100－2 D ．2100 解答过程： 3．若
{}n
a 是首项为4，公比为2的等比数列，则4
2016log
a = ．
解答过程：
4．若{a n }为等比数列，且641001=a a ，则
2122232100log log log log a a a a ++++=L L
解答过程：
能力提升
5．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3
，则{a n }的前10项和为________． 解答过程：
6．已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 解答过程：
7．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯 盏. 解答过程：
8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++= . 解答过程：
题悟总结
参考答案
1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．A 7．D 8．A 9．D 10．C 11．C 12．D
13．2,21
n-
14．S n＝
1
2
n n
（＋）
＋1－
1
2N
15．729
-
16．2
17．364
18【答案】126
能力提升
1．B 2．C 3．20174．300 5．3(1－3－10) 6．512 7．38．5.。