【数学】河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题 (解析版)
2019学年河北省唐山市高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年河北省唐山市高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. （2011秋•宁波期末）已知A={x|y=x，x ∈ R}，B={y|y=x 2 ，x ∈ R}，则A∩B等于（）A．R B．{y|y≥0} C．{（0，0），（1，1）} D．∅2. （2015秋•唐山校级期末）直线x﹣ y﹣ =0的倾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°3. （2004•贵州）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=04. （2015秋•唐山校级期末）若a=log 2009 2010，b=log 2011 2010，c=log 2010，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5. （2014•埇桥区校级学业考试）已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）A．（﹣3，0，0） B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3） D．（0，0，3）6. （2015秋•唐山校级期末）已知正四面体ABCD及其内切球O，经过该四面体的棱AD 及底面ABC上的高DH作截面，交BC于点E，则截面图形正确的是（）A． ______________ B．C． ______________ D．7. （2015秋•唐山校级期末）函数f（x）=x 2 +2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4 ] 上递减，则a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，5 ] D．（﹣∞，﹣3 ]8. （2010秋•邯郸期末）函数f（x）=log a 2x（a＞0，且a≠1）的图象与函数g（x）=log 2 2x的图象关于x轴对称，则a=（）A． B． C．2 D．49. （2015秋•唐山校级期末）用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何几的三视图如图示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（）A．8 B．7 C．6 D．510. （2011•封开县校级模拟）已知函数f（n）= 其中n ∈N，则f（8）等于（）A．2 B．4 C．6 D．711. （2015秋•唐山校级期末）如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=a x ，y=b x ，y=c x ，y=d x 在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜cC．b＜a＜d＜c D．b＜a＜c＜d12. （2015秋•唐山校级期末）已知直线a、b及平面α，在下列命题：中，正确的有（）① ②③ ④ ．A．、①② B．②③ C．③④ D．①③二、填空题13. （2015秋•唐山校级期末）轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是___________ ．14. （2015秋•唐山校级期末）已知函数f（x）的定义域为{x|x ∈ R，x≠0}，且f（x）为奇函数．当x＜0时，f（x）=x 2 +2x+1，那么当x＞0时，f（x）的递减区间是___________ ．15. （2008•宝坻区一模）有6根木棒，已知其中有两根的长度为 cm和 cm，其余四根的长度均为1cm，用这6根木棒围成一个三棱锥，则这样的三棱锥体积为_________ cm 3 ．16. （2012•北京模拟）函数的定义域为_________________________________ ．三、解答题17. （2010秋•潍坊期末）已知△ ABC 的三个顶点分别为A（2，3），B（﹣1，﹣2），C（﹣3，4），求（Ⅰ ）BC边上的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ ）△ ABC 的面积．18. （2015秋•肇庆期末）已知函数f（x）=a x﹣1 （a＞0且a≠1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较与f（﹣2.1）大小，并写出比较过程．19. （12分）（2010秋•邯郸期末）如图，已知底角为45°的等腰三角形ABC，底边AB 的长为2，当一条垂直于AB的直线L从左至右移动时，直线L把三角形ABC分成两部分，令AD=x，（1）试写出左边部分的面积y与x的函数解析式；（2）在给出的坐标系中画出函数的大致图象．20. （2015秋•唐山校级期末）如图，△ ABC 是直角三角形，∠ ABC=90° ，AP ⊥ 平面ABC，且AP=AB，点D是PB的中点，点E是PC上的一点，（1）当DE ∥ BC 时，求证：直线PB ⊥ 平面ADE；（2）当DE ⊥ PC 时，求证：直线PC ⊥ 平面ADE；（3）当AB=BC时，求二面角A﹣PC﹣B的大小．21. （2010秋•邯郸期末）函数f（x）=2 x 和g（x）=x 3 的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点 A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），且x 1 ＜x 2 ．（1）请指出示意图中曲线C 1 ，C 2 分别对应哪一个函数？（2）证明：x 1 ∈ [1，2 ] ，且x 2 ∈ [9，10 ] ；（3）结合函数图象的示意图，判断f（6），g（6），f（100），g（100）的大小，并按从小到大的顺序排列．22. （2015秋•唐山校级期末）已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+4=0与圆C相切（1）求圆C的方程（2）过点Q（0，﹣3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）且为x 1 x 2 +y 1 y 2 =3时求：△ AOB 的面积．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
……外……内绝密★启用前 河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设全集U =R ，()(){}310A x x x =-->，{}2B x x =<，则()⋂=U C A B （ ）A ．{}12x x ≤<B ．{}12x x <<C ．{}2x x <D ．{}1x x ≥ 2．函数()x 2f x 2log x 3=+-的零点所在区间( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3．函数2(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤- B ．2a ≥- C ．6a ≤- D ．6a ≥- 4．若扇形的圆心角120α=︒，弦长12cm AB =，则弧长l =（ ）cm A B C ．43π D ．83π 5．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4π- 6．已知函数()22log ,041,0x x x x f x x -+>⎧=⎨-≤⎩若()3f a ＝，则()2f a －＝( ) A ．－15 B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3 7．在ABC V 中，3CD BD =u u u r u u u r ，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ⋅=（ ） A ．34- B ．316-C ．34D ．3168．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +=+，且当[0,1]x ∈时，()21=log ()f x x +，则下列不等式正确的是( )A ．()()2log 756()f f f -<<B ．()()2log 7()65f f f -<<C ．()()25log (76)f f f <<-D ．()()256o )l g 7(f f f -<<9．若sin 25α=，sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（）A ．94πB ．74π C ．54π或74πD ．54π或94π10．已知函数2(),x f x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U11cos()4θ+sin 2θ=（）A ．13 B ．14 C ．14- D ．13-12．已知函数()2cos()1(0,||)2f x x ωϕωϕπ=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[,]66ππ-B ．[,0]4π-C ．[,]312ππ-D ．[0,]4π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题…………○…………号：___________…………○…………13．函数y =________. 14．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=________. 15．设25a b m ==，若112a b +=，则m =_____． 16．设函数22(sin 1)()sin 1x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 三、解答题 17．已知角α的终边在直线y =上. （1）求tan α，并写出α与终边相同的角的集合S ； （2cos()cos()2αα++π+18．已知函数2()1cos 2sin ,f x x x x x R =+-∈， （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）用“五点作图法”作出()f x 在[0,]π上的图象；（要求先列表后作图） （3）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上的最小值和最大值. 19．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a +-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值，并用定义证明其单调性；○…………外…………○………※※题※※ ○…………内…………○………（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 20．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)a y kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所过利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）21．已知函数3(()log 91)xf x kx =+-是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）当0x ≥时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数3()log (?32)x h x m m =-，若函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，求实数m 的取值范围.22．如图，在半径为2，圆心角为2π的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M 、N 两点分别在半径OA 、OB 上，P 、Q 两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .（1）若M 、N 分别是OA 、OB 中点，求四边形MNQP 面积的最大值；（2）2PQ ，求四边形MNQP 面积的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】 化简集合{}31A x x x =><或，根据集合的交集、补集运算即可求解.【详解】 ()()310x x -->Q ,3x ∴>或1x < 即{}31A x x x =><或， [1,3]U C A ∴=，()⋂=U C A B {}12x x ≤<故选：A【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，集合的交集，补集，属于容易题.2．B【解析】【分析】通过计算x 1=，x 2=的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案．【详解】由题意，可得函数在定义域上为增函数，()2f 12log 1310=+-=-<，()22f 22log 235320=+-=-=>，所以()()120f f <，根据零点存在性定理，()f x 的零点所在区间为()1,2故选B ．【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准去计算()()1,2f f 的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．3．D【解析】【分析】求出抛物线的对称轴，由题意需区间在对称轴的右侧，列出关于a 的不等式，即可求出结论.【详解】函数2(2)y x a x =+-的对称轴方程为22a x -=， 函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以242a -≤， 解得6a ≥-.故选:D.【点睛】本题考查二次函数的单调性，对于常用的简单函数单调性要熟练掌握，属于基础题. 4．B【解析】【分析】由弦长和圆心角，求出扇形半径，根据扇形弧长公式，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，依题意06sin 60r ==弧长23l r π==. 故选:B. 【点睛】本题考查扇形的弧长，要注意圆心角要化为弧度角，属于基础题.5．B【解析】 得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.6．A【解析】【分析】根据分段函数，对a 进行分类讨论，求出a 的值，最后求出()2f a -的值.【详解】当0a >时，若()3f a ＝，则2log 32a a a +=⇒=；当0a ≤时，若()3f a ＝，则24133a a --=⇒=，不满足0a ≤舍去．于是，可得2a =.故()02152)160(41f a f -=-=--＝.故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量问题，考查了数学运算能力7．B【解析】【分析】 由已知得12AO AD =u u u r u u u r ，3CD BD =u u u r u u u r 转化为以A 为起点的向量关系，将AD u u u r 用向量,AB AC u u u r u u u r 表示，进而AO u u u r 用,AB AC u u u r u u u r 表示，求出,λμ，即可求出结论.【详解】133,33,22AC CD BD AD A AC D AB AD AB =-=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， O 为AD 的中点，11344=2A B AD AC A O -+=u u u u r u u u r u u r u u u r ， 133,,4416λμλμ∴=-=⋅=-. 故选:B.【点睛】本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题.8．C【解析】【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期4T =，然后利用函数()f x 的性质计算或估计()2log 7f 、()6f 、(5)f -的值或范围即可比较大小.【详解】由()()++2=0f x f x ，得()()=+2f x f x -，所以()+4()f x f x =，()f x 的周期4T =.又()()f x f x -=-，且有()()20=0=f f -， 所以()()2551log 2==1()==f f f -----，()()620f f ==.又22log 73<<，所以20log 721<-<，即270log 14<<， 因为[0,1]x ∈时，()2()[]log 10,1f x x +∈=，所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=- 又271log 22<<，所以2270log (log )12<<，所以2271log (log )02-<-<， 所以2(5)(log 7)(6)f f f -<<.故选：C.【点睛】本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强9．B【解析】【分析】 依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得 cos()βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【详解】[4πα∈Q ，]π，[βπ∈，3]2π， 2[2πα∴∈，2]π，又10sin 22α<<， 52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，cos2α∴=；又sin()βα-=， (2πβα∴-∈，)π，cos()βα∴-==cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()(αβαβααβααβα∴+=+-=---=2=又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π， 17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=. 故选B 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题． 10．A 【解析】分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.详解：因为()2xf x e x =+，所以()()f x f x -=,()f x 为偶函数， 因为当0x >时，()f x 单调递增，所以()()321f a f a ->-等价于()()321f a f a ->-，即321a a ->-，2223912421,810304a a a a a a a -+>-+-+>∴>或12a <， 选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 11．C 【解析】 【分析】2(cos sin )cos()4θθθ=++，可得cos sin θθ+=，两边平方,即可求解. 【详解】2(cos sin )cos()4θθθ==+=+cos sin θθ+=31+sin 24θ=， 1sin 24θ∴=-.故选:C. 【点睛】本题考查三角函数化简求值，涉及到二倍角公式、两角差余弦公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】函数()f x 的最大值为3，相邻两个最高点的距离等于周期，可得函数周期为23π，求出3ω=，()1f x >，化为cos(3)0x ϕ+>，(,)126x ππ∈-恒成立，求出3x ϕ+，结合余弦函数的图像，即可求解. 【详解】函数()f x 图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π， 所以周期22,33T ππωω==∴=，()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立， 即cos(3)0x ϕ+>，(,)126x ππ∈-恒成立， ,3,1264222x x ππππππϕ-<<-<<-<<,33442x πππϕϕϕπ-<-+<+<+<, 4222ππϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴⎨⎪+≤⎪⎩，解得04πϕ-≤≤.故选:B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，考查整体转换思想，将问题化归为研究熟悉函数的性质，属于中档题.13．(1,0)(0,3]-U 【解析】 【分析】由解析式满足的条件，列出关于x 的不等式组，即可求解. 【详解】函数有意义需22301011x x x x ⎧-++≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得10x -<<或03x <≤； 函数的定义域为(1,0)(0,3]-U . 故答案为:(1,0)(0,3]-U . 【点睛】本题考查函数的定义域，对于函数有意义的限制条件要熟记，属于基础题. 14．4π 【解析】【分析】由图像与x 轴交点的坐标和相邻最低点的坐标，可求出44T π=，求出1,2A ω==，再由最低点的坐标，结合||2ϕπ<，即可求解. 【详解】 由图像可得2,,244T T πππωω===∴=， 58x π=函数取得最小值， 所以532(),2()424k k Z k k Z πππϕπϕπ+=+∈=+∈， ||,24ππϕϕ<∴=Q .故答案为:4π. 【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于基础题. 15．【解析】试题分析：2525log ,log a bm a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b +=+==⇒=m ⇒=考点：指数式与对数式的综合运算． 16．2 【解析】 【分析】22(sin 1)()sin 1x f x x +=+化为22sin ()1sin 1x f x x =++，令22sin ()sin 1x g x x =+，max 1()M g x =+，min 1()m g x =+，()g x 为奇函数，根据奇函数的对称性，max min ()()0g x g x +=，即可求解. 【详解】22222(sin 1)sin 12sin 2sin ()1sin 1sin 1sin 1x x x xf x x x x +++===++++, 22sin ()sin 1x g x x =+，22sin ()()sin 1xg x g x x --==-+， ()g x 为奇函数，max min ()()0g x g x +=，max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.故答案为:2 【点睛】本题考查函数最值的和，解题的关键是分离常数，将问题转化为奇函数的最值和，属于中档题.17．（1），2{|,}3k k ααπ=π+∈Z ；（2）4. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得tan α=论；（2）利用诱导公式化简，将所求式子化为关于sin ,cos αα齐一次分式，化弦为切，即可求解. 【详解】（1）∵角α的终边在直线y =上，∴tan α=，与α终边相同的角的集合2{|22,}33S k k k αααππ==π+=π-∈Z 或， 即2{|,}3S k k ααπ==π+∈Z ； （2cos()cos()2αα=++π+4===【点睛】本题考查三角函数的定义，以及终边相同角的集合，考查关于sin ,cos αα齐次分式的求值，属于基础题. 18．（1）[,k ]36k ππππ-+，k Z ∈；（2）图象见解析；（3）最小值为2-，最大值为1.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式，将()f x 化简为()2sin(2)6f x x π=+，用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求解； （2）由[0,]x π∈，132[,]666x πππ+∈，确定起始值和终止值，按照“五点作图法”步骤做出图像；（3）根据函数图像平移的关系，求出()g x ，利用整体思想转化为正弦函数最值，即可求解. 【详解】（1）2()1cos 2sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+，由222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x 的单调增区间[,k ]36k ππππ-+，k Z ∈；（2）[0,]x π∈，132[,]x πππ+∈，列表如下：（3）()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ， 所以()2sin(2)6g x x π=-，130,22666x x ππππ-≤≤-≤-≤-， 当2,626x x πππ-=-=-时，()g x 取得最小值为2-，当132,662x x πππ-=-=-时，()g x 取得最大值为1， 所以函数()g x 的最小值为2-，最大值为1. 【点睛】本题考查三角函数化简，以及三角函数的单调性、图像，考查图像平移变换后函数的最值，属于中档题.19．（1）2a =，1b =，证明见解析；（2）1(,)3-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的必要条件得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-求出1b =，2a =，再验证()f x 为奇函数；将()f x 分离常数化为11()221x f x =-++，按照单调函数定义，证明()f x 在R 为减函数；（2）由()f x 是奇函数22(2)(2)0f t t f t k -+-<化为22(2)(2)f t t f t k -<-+，结合()f x在R 上是单调递减，不等式等价转化为2320t t k -->，对一切t R ∈恒成立，根据二次函数图像，可得0∆≤，求解，即可得出结论. 【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012bb a-+=⇒=+， ∴12()2xx b f x a +-=+，又由(1)(1)f f -=-知211122221a a a --=-⇒=++， 所以2a =，1b =，经检验2a =，1b =时，121()22x x f x +-=+是奇函数，11211()22221x x x f x +-==-+++， 则12,x x R ∀∈，且12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵12x x <，∴1222x x <，∴12()()f x f x >， ∴()f x 在R 上是单调递减； （2）因为()f x 是奇函数，所以22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2222t t k t ->-， 即对一切t R ∈有：2320t t k -->， 从而判别式141203k k ∆=+<⇒<-， 所以k 的取值范围是1(,)3-∞-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，用奇偶性的必要条件求参数后要跟上验证，考查函数的单调性证明，要注意分离常数简化计算，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题, 20．（1）0)y x =>；（2）详见解析；（3）4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元.【解析】 【分析】（1）将()1,1 ()4,2代入a y kx =，求得,k α的值，即可得到函数的解析式；（2）由题意，根据4x的大小关系，可进行判定，得到答案. （3）设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元资金生产A 芯片，列出公司获利的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设投入资金x 千万元，则生产A 芯片的毛收入(0)4y x π=>；将()1,1 ()4,2代入ay kx =，得1,42,ak k =⎧⎨⨯=⎩ 1,1,2k a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩所以，生产B芯片的毛收入0)y x =>.（2）由4x >16x >；由4x=16x =；由4x<016x <<. 所以，当投入资金大于千16万元时，生产A 芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元，生产B 芯片的毛收入大.（3）公司投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元资金生产A 芯片.公司所获利润()4024x f x -==)21294-+2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21．（1）1；（2）3(0,log 2]；（3）{}112m m ⎧-⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】（1）函数()()3log 91xf x kx =+-是偶函数, 所以()()11f f =-得出k 值检验即可；（2）()()3log 91x f x x =+-因为0x ≥时，()()3log 912x g x x a =+--存在零点，即关于x 的方程()3log 912xa x =+-有解，求出()()3log 912xx x ϕ=+-的值域即可；（3）因为函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，所以关于x 的方程()()33log ?32log 91x x m m x -=+-有且只有一个解，所以·3233x x x m m --=+，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()()3log 91xf x kx =+-是R 上的偶函数，所以()()11f f =-，即()()1133log 91log 91k k -+-=++解得1k =，经检验：当1k =时，满足题意. （2）因为1k =，所以()()3log 91xf x x =+-因为0x ≥时，()()3log 912xg x x a =+--存在零点，即关于x 的方程()3log 912xa x =+-有解，令()()3log 912xx x ϕ=+-，则()33911log log 199x x xx ϕ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因为0x ≥，所以(]111,29x +∈，所以()(]30,log 2x ϕ∈， 所以，实数a 的取值范围是(]30,log 2.（3）因为函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，所以关于x 的方程()()33log ?32log 91xxm m x -=+-有且只有一个解，所以·3233x x x m m --=+令3(0)x t t =>，得()21210m t mt ---= L （*），记()()2121t m t mt ζ=---， ①当1m =时，方程（*）的解为12t =-，不满足题意，舍去； ②当1m >时，函数()m t 图像开口向上，又因为图像恒过点()0,1-，方程（*）有一正一负两实根，所以1m >符合题意；③当1m <时，()()22410m m ∆=-+-=且()2021m m -->-时，解得12m --=，方程（*）有两个相等的正实根，所以m =满足题意.综上，m 的取值范围是{}1m m ⋃⎪⎪⎩⎭. 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题.22．（1）74；（2）22+. 【解析】【分析】（1）连接OP 、OQ ，四边形MNQP 为梯形，四边形MNQP 面积为 POQ NOQ POM MON S S S S ∆∆∆∆++-，设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，结合1OM ON ==,即可求出面积关于θ的表达式，进而求出最大值；（2）设(0,2)OM ON x ==∈，3POQ π∠=，12AOQ BOP π∠=∠=，四边形面积为212sin 122x x π，利用1234πππ=-用两角差的正弦公式求出sin 12π，即可求出四边形面积的最大值.【详解】（1）连接OP 、OQ ，则四边形MNQP 为梯形，设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，则22POQ θπ∠=-， 且此时1OM ON ==，四边形MNQP 面积2111132sin 2sin 22sin(2)4sin 2sin 222222S θθθθθπ=⨯+⨯+⨯⨯--=-++， ∴1sin 4θ=，S 取最大值74； （2）设(0,2)OM ON x ==∈，由2PQ =可知3POQ π∠=，12AOQ BOP π∠=∠=，314sin sin()12222πππ=-=-⋅= ∴四边形MNQP 面积221122S x x x ==-+∴x =，S . 【点睛】本题考查四边形的面积，解题的关键要把四边形分割为若干三角形，转化为求三角形面积的和差，利用二次函数的性质解决实际问题，考查计算能力，属于中档题.。
河北省唐山市2019年高一上学期数学期末考试试卷(I)卷
河北省唐山市2019年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B的元素个数为（）A . 10个B . 8个C . 18个D . 15个2. （2分）如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A . BD∥平面CB1D1B . AC1⊥BDC . AC1⊥平面CB1D1D . 异面直线AD与CB1所成的角为60°3. （2分） (2019高一上·集宁月考) 如图所示，四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的面积为（）.A . 4B .C .D . 84. （2分）(2018·长沙模拟) 在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（）A .B .C .D .5. （2分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，2，3）关于z轴的对称点为（）A . （﹣1，﹣2，3）B . （﹣1，2，3）C . （﹣1，﹣2，﹣3）D . （1，2，﹣3）6. （2分）直线与圆相切，则实数等于（）A . 或B . 或C . 或D . 或7. （2分）设函数，若f(a)<1，则实数a的取值范围是（）A . (－∞，－3)B . (1，＋∞)C . (－3,1)D . (－∞，－3)∪(1，＋∞)8. （2分）(2017·嘉兴模拟) 设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是（）①对任意实数a，b，函数y=f（x）在R上是单调函数；②对任意实数a，b，函数y=f（x）在R上都不是单调函数；③对任意实数a，b，函数y=f（x）的图象都是中心对称图象；④存在实数a，b，使得函数y=f（x）的图象不是中心对称图象．A . ①③B . ②③C . ①④D . ③④9. （2分）直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是（）A . -1B . 0C . 1D . 1-10. （2分）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·辽宁模拟) 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）函数满足对任意都有，则a的取值范围（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·唐山期中) 已知函数f（x）的定义域为R，且f（1﹣x）=f（1+x），若f（﹣1）+f（3）=12，则f（3）=________．14. （1分）(2019·天津模拟) 已知直线为圆的切线，则 ________．15. （1分）(2017·邹平模拟) 函数f（x）=ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则f（x）＞0的解集为________．16. （1分）(2017·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：（x﹣1）2+y2=4上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高二上·南通开学考) 已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}．（1）当m=3时，求A∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．18. （5分） (2016高二上·遵义期中) 如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．19. （15分） (2016高一上·普宁期中) 已知函数，且此函数图象过点（1，5）．（1）求实数m的值；（2）判断f（x）奇偶性；（3）讨论函数f（x）在[2，+∞）上的单调性？并证明你的结论．20. （5分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD﹣EFQH 材料切割成三棱锥H﹣ACF．（Ⅰ）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；（Ⅱ）已知原长方体材料中，AB=2，AD=3，DH=1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求三棱锥H﹣ACF的高h．请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高．21. （10分） (2017高一下·中山期末) 已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．22. （5分） (2017·沈阳模拟) 已知f（x）=ex与g（x）=ax+b的图象交于P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）两点．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值；（Ⅱ）且PQ的中点为M（x0 ， y0），求证：f（x0）＜a＜y0 ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、。
河北省唐山一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河北省唐山一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x −2>0}，B ={x|x ∈N}，则(∁U A)∩B =( )A. {0,1,2}B. {1,2}C. {0,1}D. ⌀2. 已知函数f(x)=3x +x −7的零点为x 0，则x 0所在区间为( )A. [−1,0]B. [−2,−1]C. [1,2]D. [0,1]3. 函数y =−x 2+2x +1在区间[−3,a ]上是增函数，则a 的取值范围是( )A. −3<a ≤1B. −3<a ≤2C. a ≥−3D. −3<a ≤−14. 在半径为8cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( )A.400π3cm B.20π3cm C.200π3cm D.40π3cm5. 将函数y =sin (3x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A. π4B. 3π4C. π8D. −π46. 已知函数f(x)={2x (x ≥2)f(x +1)(x <2)，则f(log 23)=( )A. 6B. 3C. 13D. 167. 在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= ( )A. −12B. 12C. −34D. 348. 定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的x,y ∈R ，总有f(x +y)−[f(x)+f(y)]=2010，则下列说法正确的是( )A. f(x)−1是奇函数B. f(x)+1是奇函数C. f(x)−2010是奇函数D. f(x)+2010是奇函数9. 已知sinα=√1010,sin(α−β)=−√55,α,β∈(0,π2)，则β=( )A. 5π12B. π3C. π4D. π610. 已知函数f(x)=e |x|+x 2，则使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围是( )A. (13,1) B. (−∞,13)∪(1,+∞)C. (−13,13) D. (−∞,−13)∪(13,+∞)11.已知θ∈(0,π)，sin2θ=−2425，则sinθ−cosθ=()A. 75B. −75C. ±75D. 1512.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则f(π)=()A. √3B. −√3C. 1D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=√2x2−x−1lg(x+4)的定义域为______ ．14.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)部分图象如图，则函数解析式为______．15.已知a=log48,b=log24，则4a=_________；a+b=________16.已知函数f(x)=(x 2−2x)sin(x−1)+x+1在[−1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(12分)已知角α的终边经过点P(−3,4)．(1)求sin(π−α)+cos(−α)tan(π+α)的值；(2)求sinαcosα+2cos2α的值．18.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x–1．(1)求f(π4)的值；(2)求函数f(x)的单调增区间．19.已知定义域为R的函数f(x)=2x2x+1⋅a−12是奇函数．(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若关于x的不等式f(kx2−kx+k)+f(3−3k)>0的解集为R，求k的取值范围．20.已知美国苹果手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)={400−6x,0<x ≤407400x−40000x2,x >40．(1)写出年利润(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．21. 若函数f(x)=22x +2x a +a +1有零点，求实数a 的取值范围．22. 已知奇函数f(x)在(−∞,0)⋃(0,+∞)上有定义，在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0，又知函数g(θ)=sin 2θ+mcosθ−2m ，θ∈[0,π2]，M ={m|g(θ)<0}，集合N ={m|f(g(θ))<0}，求M⋂N ．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查集合的交并补混合运算，属于基础题．求出集合A及其补集，再求(∁U A)∩B即可．解：A={x|x−2>0}={x|x>2}，所以∁U A={x|x≤2}，又B={x|x∈N}，所以(∁U A)∩B={0,1，2}，故选A．2.答案：C解析：本题考查函数零点存在性定理，考查推理能力和计算能力，属于基础题．根据函数f(x)在R上连续，f(1)<0，f(2)>0，从而判断函数的零点x0所在区间为[1,2]．解：∵函数f(x)=3x+x−7在R上连续，又f(1)=−3<0，f(2)=4>0，则f(1)f(2)<0，故函数的零点x0所在区间为[1,2]，故选C．3.答案：A解析：本题考查二次函数的单调性，利用区间与对称轴的关系即可求解，解：因为y=−x2+2x+1开口向下，且对称轴为x=1，所以函数在(−∞,1]单调递增，由已知有：−3<a ≤1． 故选A ．4.答案：D解析：本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题． 直接利用弧长公式即可计算求解． 解：扇形的弧长为l ，圆心角大小为α=5π3，半径为r =8cm ，则 l =rα= 8×5π3=40π3cm ．故选D ．5.答案：C解析：将函数y =sin (3x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到y =sin[3(x +π8)+φ]=sin(3x +3π8+φ)，由于所得函数为偶函数，则f(0)=sin(3π8+φ)=±1，3π8+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π8(k ∈Z)，取k =0得φ=π8... 6.答案：A解析：解：∵函数f(x)={2x (x ≥2)f(x +1)(x <2)，∴f(log 23)=f(log 23+1)=2log 23+1=3×2=6． 故选：A ．由函数性质得f(log 23)=f(log 23+1)=2log 23+1，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.答案：B解析：本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．由已知画出图形，把AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，结合AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求得λ与μ的值，则答案可求． 解：如图，∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为AD 的中点， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12⋅32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴λ=−14,μ=34， 则λ+μ=12． 故选B ．8.答案：D解析：令x =y =0，则f(0)=−2010，再令y =−x ，则f(x)+f(−x)=−2010−2010，即[f(x)+2010]+[f(−x)+2010]=0，∴f(x)+2010为奇函数．9.答案：C解析：本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，属于中档题． 先由同角三角函数的基本关系得出，再由cosβ=cos[α−(α−β)]得出的值，即可得出结果． 解：，，=3√1010×2√55+√1010×(−√55)=√22，)，又β∈(0,π2∴β=π，4故选C．10.答案：A解析：解：x≥0时，f(x)=e x+x2，∴x增大时e x增大，x2增大，即f(x)增大；∴f(x)在[0,+∞)上单调递增；f(x)的定义域为R，且f(−x)=f(x)；∴f(x)为偶函数；∴由f(x)>f(2x−1)得：f(|x|)>f(|2x−1|)∴|x|>|2x−1|；∴x2>(2x−1)2；<x<1；解得13,1)．∴x的取值范围为(13故选：A．根据f(x)解析式可以判断f(x)在[0,+∞)上为增函数，在R上为偶函数，从而由f(x)>f(2x−1)便可得到|x|>|2x−1|，两边平方即可解出该不等式，从而得出x的取值范围．考查指数函数、二次函数的单调性，增函数的定义，偶函数的定义，以及通过两边平方解绝对值不等式的方法．11.答案：A解析：本题目主要考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于较易题．由已知可得sinθ>0，cosθ<0，再由sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2进行求解．解析：解：∵θ∈(0,π)，sin2θ=−24，即，25∴sinθ>0，cosθ<0，则sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2=√1−sin2θ=√1+2425=75． 故选：A ．12.答案：B解析：解：由函数f(x)的图象经过点(0,1)，(2π3,−1)， 所以A =2，T =2π3×2=4π3，所以ω=2π4π3=32，所以1=2sinφ，且|φ|<π， 所以φ=π6；所以f(x)=2sin(32x +π6)f(π)=2sin(32π+π6)=−2cos π6=−√3． 故选：B ．根据函数f(x)的图象与性质，求出f(x)的解析式，再计算f(π)的值． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．13.答案：{x|−4<x <−3或−3<x ≤−12或x ≥1}解析：解：由{2x 2−x −1≥0x +4>0x +4≠1，解得：−4<x <−3或−3<x ≤−12或x ≥1．∴函数f(x)=√2x 2−x−1lg(x+4)的定义域为{x|−4<x <−3或−3<x ≤−12或x ≥1}．故答案为：{x|−4<x <−3或−3<x ≤−12或x ≥1}．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础的计算题．14.答案：y =2sin(13x −π6)解析：解：根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)部分图象，可得A=2，12⋅2πω=7π2−π2，∴ω=13，结合五点法作图可得13⋅π2+φ=0，求得φ=−π6，故函数的解析式为y=2sin(13x−π6)，故答案为：y=2sin(13x−π6)．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．15.答案：8,72解析：本题考查的对数函数的性质与运算，属于基础题．解：因为a=log48,b=log24，根据对数函数的性质，所以4a=8，所以a+b=log48+log24=32+2=72，故答案为8,72．16.答案：4解析：把函数解析式变形，可得f(x)=[(x−1)2−1]sin(x−1)+x−1+2，令g(x)=(x−1)2sin(x−1)−sin(x−1)+(x−1)，结合g(2−x)+g(x)=0，可得g(x)关于(1,0)中心对称，则f(x)在[−1,3]上关于(1,2)中心对称，从而求得M+m的值．本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．解：∵f(x)=(x2−2x)sin(x−1)+x+1=[(x−1)2−1]sin(x−1)+x−1+2，令g(x)=(x−1)2sin(x−1)−sin(x−1)+(x−1)，而g(2−x)=(x−1)2sin(1−x)−sin(1−x)+(1−x)，∴g(2−x)+g(x)=0，则g(x)关于(1,0)中心对称，则f(x)在[−1,3]上关于(1,2)中心对称．∴M +m =4．故答案为：4．17.答案：解：由角α的终边过点P(−3,4)知|OP|=r =5，所以sinα=22=45，cosα=22=−35，tanα=4−3=−43． (1)sin(π−α)+cos(−α)tan(π+α)=sinα+cosαtanα =(45−35)(−43)=−320．(2)sinαcosα+2cos 2α =45×(−35)+2×(−35)2=625．解析：本题主要考查任意角的三角函数、诱导公式，属基础题．根据任意角的三角函数，求出角α的正弦、余弦、正切值；(1)利用诱导公式代入求值即可；(2)直接代入即可．18.答案： 解：(1)函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x–1=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，∴f(π4)=2sin(π2+π6)=2cos π6=√3． (2)对于函数f(x)=2sin(2x +π6)，令2kπ–π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ–π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，故函数的增区间为[kπ–π3,kπ+π6]，k ∈Z ．解析：本题主要考查三角函数值的求解，以及三角函数的单调区间的求解，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．(1)根据三角函数的表达式，代入即可求f(π4)的值；(2)将三角函数进行化简，利用三角函数的性质即可求函数f(x)的单调递增区间． 19.答案：解：(1)定义域为R 的奇函数，可得f(0)=0，即12⋅a −12=0，可得a =1，经检验，a =1时，f(x)是奇函数；(2)由(1)可得f(x)=2x2x +1−12， 在x ∈R 上任意取两个自变量：x 1，x 2且x 1<x 2，由f(x 2)−f(x 1)=2x 22x 2+1−12−(2x 12x 1+1−12)=2x 2−2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 2>2x 1，∵2x 1+1>1，2x 2+1>1，∴(2x 1+1)(2x 2+1)>1则2x 2−2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)>0，即f(x 2)−f(x 1)>0，所以函数f(x)在R 上单调递增；(3)由不等式f(kx 2−kx +k)+f(3−3k)>0，则f(kx 2−kx +k)>−f(3−3k)，根据(1)可知f(x)是奇函数，∴f(kx 2−kx +k)>f(−3+3k)，根据(2)可知f(x)是递增函数，∴kx 2−kx +k >3k −3的解集为R ，即kx 2−kx −2k +3>0对x ∈R 恒成立，当k =0时，3>0对x ∈R 恒成立，当k ≠0时，要使不等式kx 2−kx −2k +3>0对x ∈R 恒成立，则{k >0△<0，即{k >0k 2−4k(−2k +3)<0， 可得：0<k <43，综上可得k 的取值范围[0,43).解析：本题考查不等式的恒成立问题，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．(1)定义域为R 的奇函数，可得f(0)=0，即可a 的值；(2)利用函数单调性定义证明即可；(3)根据单调性脱去“f ”，转化为二次函数的解集为R ，即可求解k 的取值范围．20.答案：解：(1)设年利润为y万美元，当0<x≤40时，y=x(400−6x)−16x−40=−6x2+384x−40，当x>40时，y=x(7400x −40000x2)−16x−40=−40000x−16x+7360，所以y={−6x2+384x−40,0<x≤40−40000x−16x+7360,x>40．(2)①当0<x≤40时，y=−6(x−32)2+6104，所以当x=32时，y取得最大值6104，②当x>40时，y=−40000x −16x+7360≤−2√40000x⋅16x+7360=5760．当且仅当40000x=16x即x=50时取等号，所以当x=50时，y取得最大值5 760，综合①②知，当年产量为32万部时所获利润最大，最大利润为6104万美元．解析：(1)根据利润公式得出解析式；(2)分段计算最大利润，从而得出结论．本题考查了分段函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．21.答案：解：f(x)=22x+2x a+a+1=(2x)2+2x a+a+1，△=a2−4(a+1)≥0；解得，a≥2+2√2或a≤2−2√2；若a≤2−2√2，则y=t2+ta+a+1的对称轴x=−a2>0，故数f(x)=22x+2x a+a+1有零点；若a≥2+2√2，则y=a+1<0；故矛盾；综上所述，a≤2−2√2．解析：f(x)=22x+2x a+a+1=(2x)2+2x a+a+1，再由△=a2−4(a+1)≥0得a≥2+2√2或a≤2−2√2；从而讨论对称轴即可．本题考查了函数的零点的位置的判断，属于基础题．22.答案：M⋂N ={m|m >4−2√2}解析：∵奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(−∞,0)上也是增函数，又由f(1)=0得f(−1)=−f(1)=0.∴满足{g(θ)<0f(g(θ))<0=f(−1)的条件是{g(θ)<0g(θ)<−1.即g(θ)<−1(θ∈[0,π2])，即sin 2θ+mcosθ−2m <−1，也即−cos 2θ+mcosθ−2m +2<0.令t =cosθ，则t ∈[0,1]，又设δ(t)=−t 2+mt −2m +2,0≤t ≤1.要使δ(t)<0，必须使δ(t)在[0,1]内的最大值小于零.当m 2<0即m <0时，δ(t)max =δ(0)=−2m +2，解不等式组{m <0−2m +2<0，知m ∈Φ.当0≤m 2≤1即0≤m ≤2时，δ(t)max =m 2−8m+84，由m 2−8m+84<0，解得4−2√2≤m ≤4+2√2，故有2≥m ≥4−2√2.当m 2>1即m >2时，δ(t)max =−m +1，解不等式组{m >2−m +1>0，得m >2.综上：M⋂N ={m|m >4−2√2}．。
河北省唐山市第一中学2019_2020学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1.已知集合M ＝{1，2a }，P ＝{－1，－a}，若M∪P 有三个元素，则M∩P＝( ) A. {0,1} B. {0，－1} C. {0} D. {－1}【答案】C 【解析】由集合{}21M a =，，{}-1,-P a =，且M P ⋃有三个元素可知：22a a ＝ａ１ａ１⎧-⎪≠±⎨⎪-≠±⎩解得：ａ＝０，∴M P ⋂＝{}0 故选C2.集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是（ ）A. P Q =B. P Q ⊆C. Q P ⊆D.P Q =∅I【答案】B 【解析】函数y =10,1x x -≥∴≥，即{}|1P x x =≥，函数y =[)0,+∞，即{}|0Q x x =≥，则：P Q ⊆. 本题选择B 选项.3.已知集合{}{}2|320,|06,A x x x B x x x N =-+==<<∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A. 4B. 8C. 7D. 16【答案】B 【解析】结合题意可得：{}1,2A =，{}1,2,3,4,5B =，令{}3,4,5M =，集合N 为集合M 的子集，则C A N =⋃， 结合子集个数公式可得，集合C 的个数为328=个. 本题选择B 选项. 4.函数y =的定义域为（ ） A. (],2-∞ B. (],1-∞ C. 11,,222⎛⎫⎛⎤-∞⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D. 11,,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】要使函数函数2232y x x =--有意义，则必须满足2022320x x x -≥⎧--≠⎨⎩，解出即可． 【详解】解：2022320x x x -≥⎧--≠⎨⎩Q ，解得212,2x x x ≤⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩，即2x <且12x ≠-． ∴函数y =的定义域为11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选C ．【点睛】本题考查函数的定义域，充分理解函数y =1y x=的定义域是解决此问题的关键．5.函数()()211f x mx m x =+-+在区间(],1-∞上为减函数，则m 的取值范围（ ）A. 1(0,]3B. 1[0,)3C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1(0,)3【答案】C 【解析】 【分析】先按一次函数与二次函数分类讨论，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系列不等式，解得m 的取值范围【详解】当0m =时，()1f x x =-，满足在区间(],1-∞上为减函数，当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的图象对称轴为12mx m-=，且函数在区间(],1-∞上为减函数，0112m m m>⎧⎪∴-⎨≥⎪⎩，求得103m <≤，故选C.【点睛】本题考查一次函数与二次函数单调性，考查基本分析求解能力. 6.设0,0x y >>，且18x y +=，则xy 的最大值为 A. 80 B. 77 C. 81 D. 82【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质求解.【详解】∵x＞0，y ＞0，∴x+y ≥ 当且仅当x=y 时等号成立，∵x+y=18，∴ 18≤ ，解得xy ≤81， 即x=y=9时，xy 最大值为81． 故选C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值，必须同时满足：一正、二定、三相等，特别是式子中不能取等号时，不能应用基本不等式，可通过函数的单调性求最值.7.已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A. 04m <≤B. 01m ≤≤C. 4m ≥D.04m ≤≤【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()f x =0m =时，函数()1f x =对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D. 考点：函数的定义域.8.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是A. (0，3)B. (0，3]C. (0，2)D. (0，2]【答案】D 【解析】 【分析】由()f x 为R 上的减函数，根据1x ≤和1x >时，()f x 均单调递减，且2(3)151aa -⨯+≥，即可求解.【详解】因为函数()f x 为R 上的减函数，所以当1x ≤时，()f x 递减，即30a -<，当1x >时，()f x 递减，即0a >，且2(3)151aa -⨯+≥，解得2a ≤， 综上可知实数a取值范围是(0,2]，故选D.【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.若()221110x x f x x x x ++⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭等于 （ ） A. 1 B.14 C.34D.32【答案】C【解析】令112xx+=可得：2x=-，据此可知：()()22121132242f+-⎛⎫=+=⎪-⎝⎭-.本题选择C选项.10.已知函数()22,,52,,x x af xx x x a+>⎧=⎨++≤⎩若方程()20f x x-=恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A. [)1,1- B. [)1,2- C. [)2,2- D. []0,2【答案】B【解析】【分析】令()()2g x f x x=-，将方程()20f x x-=恰有三个不同的实根，转化为()g x由恰好有三个不同的零点，分别作出()g x两段图像，根据图像得到答案.【详解】令()()2g x f x x=-，因为方程()20f x x-=恰有三个不同的实根所以可得函数()22,,32,x x ag xx x x a-+>⎧=⎨++≤⎩恰好三个不同的零点.如图，作出函数2y x=-+与232y x x=++的图像，结合函数2y x=-+与232y x x=++的图像可知12a-≤<，故选B.【点睛】本题考查根据分段函数的零点个数，求参数的范围，函数与方程，属于中档题.11.如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A. [1，＋∞)B. [0C. [0，1]D. [1【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，求213()22f x x x =-+的增区间，再求()13122f x y x x x==-+的减区间，从而求缓增区间.【详解】因为函数213()22f x x x =-+的对称轴为x ＝1， 所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当x≥1时，()13122f x x x x=-+， 令13()122g x x x =-+(x ≥1)，则222133'()222x g x x x-=-=，由g′(x)≤0得1x ≤≤即函数()13122f x x x x=-+在区间上单调递减，故“缓增区间”I 为， 故选D.【点睛】该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目.12.已知函数()()f x x R ∈满足()()13f x f x +=-，若函数2y x =-与()y f x =的图象的交点为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y 、L 、(),n n x y ，则123n x x x x ++++=L （ ） A. 0 B. nC. 2nD. 3n【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知，函数2y x =-与()y f x =的图象都关于直线2x =对称，然后利用对称性可得出123n x x x x ++++L 的值.【详解】()()13f x f x +=-Q ，∴函数()y f x =的图象关于直线2x =对称， 设()2g x x =-，则()()222g x x x x -=--=-=，()()222g x x x +=+-=，()()22g x g x ∴-=+，所以，函数2y x =-的图象也关于直线2x =对称.当n 为正偶数时，两图象的交点两两关于直线2x =对称，123422n nx x x x n ∴++++=⨯=L ； 当n 为正奇数时，两图象的交点有1n -个点两两关于直线2x =对称，另一个在直线2x =上，12314222n n x x x x n -∴++++=⨯+=L . 综上所述，1232n x x x x n ++++=L . 故选：C.【点睛】本题考查了利用函数图象的对称关系，求两函数交点横坐标之和，考查化归与转化思想，属于中等题.二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分） 13.已知集合A ={|x x =21,},3n n B +∈Z ={|x x =21,}3nn Z +∈，则集合A B 、的关系为__________． 【答案】A B = 【解析】223133n n x +=+=，,2n Z n ∈∴Q 为偶数，21n ∴+为奇数，23n +为奇数，A B ∴=，故答案为A B =.14.设函数()f x 是定义在[]1,3a a -+上的奇函数，当0x >时，()221f x ax x =-+，则()2f -=__________.【答案】7 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称求出实数a 的值，可得出函数()y f x =在0x >时的解析式，计算出()2f 的值，由奇函数的定义可得出()2f -的值.【详解】Q 奇函数()y f x =的定义域为[]1,3a a -+，()()130a a ∴-++=，解得1a =-，则当0x >时，()221f x x x =--+，()2222217f ∴=--⨯+=-，因此，()()227f f -=-=. 故答案为：7.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也涉及了奇函数定义域的考查，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知函数()()()2123,11,1a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩ 的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】求出函数()y f x =在区间[)1,+∞上的值域为[)0,+∞，再结合函数()y f x =的值域为R ，得出函数()123y a x a =-+在(),1-∞上单调递增，可得出函数()y f x =在区间(),1-∞上的值域，再由两段值域并集为R ，可得出关于实数a 的不等式（组），解出即可. 【详解】当1x ≥时，10x -≥，则()()210f x x =-≥，则函数()y f x =在区间[)1,+∞上的值域为[)0,+∞.又Q 函数()y f x =的值域为R ，则函数()123y a x a =-+在(),1-∞上单调递增， 当1x <时，()()1231231f x a x a a a a =-+<-+=+， 所以，函数()y f x =在区间(),1-∞上的值域为(),1a -∞+，由题意可得()[),10,a R -∞++∞=U ，12010a a ->⎧∴⎨+≥⎩，解得112a -≤<.因此，实数a 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时不要忽略对函数单调性的分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____. 【答案】5,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由()4f x m <-+，可得出()215m x x -+<，由210x x -+>结合参变量分离法得出215m x x <-+，求出函数251y x x =-+的最小值，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】由()4f x m <-+，即214mx mx m --<-+，即()215m x x -+<，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭Q ，251m x x ∴<-+， 由于二次函数21y x x =-+在区间[]1,3上单调递增，当13x ≤≤时，2117x x ≤-+≤，255571x x ∴≤≤-+，则57a <，因此，实数m 的取值范围是5,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：5,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法转化为函数的最值来处理是求解的关键，考查化归与转化思想，属于中等题. 三、解答题（共6小题，计70分）17.已知全集U =R ，集合{|32}A x x =-<<，2711x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{|121}C x a x a =-≤≤+．（1）求()U A B ∩ð；（2）若C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|31}x x -<≤；（2）2a <-或522a -<≤ 【解析】 【分析】（1）分别求出集合B 与U B ð,然后将U B ð和集合A 取交集即可;（2）先求出A B U ,再由C A B ⊆⋃,可分C =∅和C ≠∅两种情况讨论,可求出a 的取值范围.【详解】（1）由题意,()()610276101110x x x x x x x ⎧--≤--≤⇔≤⇔⎨---≠⎩,解得16x <≤, 即集合{}16B x x =<≤,则{1U B x x =≤ð或}6x >,又{|32}A x x =-<<,所以(){|31}U A B x x ⋂=-<≤ð; （2）{|36}A B x x ⋃=-<≤,C A B ⊆⋃, 若C =∅,则121a a ->+,解得2a <-;若C ≠∅,则12113216a a a a -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩,解得522a -<≤.故a 的取值范围是2a <-或522a -<≤. 【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题. 18.（1）解不等式2513x x x --+<； （2）已知关于x 的不等式220x x a a -+-≤． 【答案】（1）23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）见解析. 【解析】 分析】（1）分1x ≤-、512x -<<、52x ≥去绝对值，并解出不等式2513x x x --+<，可得出该不等式的解集；（2）将所求不等式变形为()()10x a x a ⎡⎤---≤⎣⎦，然后对a 和1a -的大小进行分类讨论，可得出该不等式的解集.【详解】（1）设()251f x x x =--+.当1x ≤-时，()()25163f x x x x x =-+++=-+<，解得32x >，此时x ∈∅； 当512x -<<时，()251343f x x x x x =-+--=-+<，解得23x >，此时2532x <<；当52x ≥时，()25163f x x x x x =---=-<，解得3x >-，此时52x ≥. 综上所述，不等式2513x x x--+<的解集为23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； （2）()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a . 当1a a <-时，即当12a <时，不等式解集为{}1x a x a ≤≤-； 当1a a >-时，即当12a >时，不等式解集为{}1x a x a -≤≤；当1a a =-时，即当12a =时，不等式解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 所以，当12a <时，不等式解集为{}1x a x a ≤≤-； 当12a =时，不等式解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭； 当12a >时，不等式解集为{}1x a x a -≤≤. 【点睛】本题考查绝对值不等式和含参二次不等式的求解，考查分段讨论思想与运算求解能力，属于中等题.19.已知f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，解析式为f (x )＝231x x ++. (1)求f (x )在R 上的解析式；(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数．【答案】(1) f(x)＝23,010,023,01xxxxxxx-+⎧<⎪-⎪=⎨⎪+⎪>+⎩(2)见解析【解析】试题分析：（1）分别求出当x＜0和x=0时的解析式，写成分段函数的形式；（2）设∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，通过作差证明f(x1)＞f(x2)即可．试题解析：(1)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝.又∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝，∴f(x)＝.又∵奇函数在x=0时有意义，∴f(0)＝0，∴函数的解析式为f(x)＝(2)证明：设∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论，注意取值时要取所给区间上的任意两数x 1，x 2，变形是解题的重点，目的使所做的差变成成绩的形式． 【此处有视频，请去附件查看】20.一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x x m =+，已知[()]165f f x x =+. （1）求()f x ；（2）当[1,3]x ∈时，()g x 有最大值13，求实数m 的值. 【答案】（1）()41f x x =+;（2）2-. . 【解析】 【分析】（1）用待定系数法设出一次函数()f x ,代入已知条件,即可求出()f x .（2）()()()g x f x x m =+是二次函数,配方确定对称轴，求出最值得到m 方程,即可求解m 值.【详解】（1）依题意设(),0f x kx b k =+>,2[()]()()165f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=+,216,05k k kb b ⎧=>⎨+=⎩,解得4,1k b ==, 所以()41f x x =+.（2）2()()()(41)()4(41)g x f x x m x x m x m x m =+=++=+++,对称轴方程为418m x +=-当41172,84m m +-≤≥-时，()g x 的最大值为(3)13(3)13g m =+=,解得2m =- 当41172,84m m +-><-时，()g x 的最大值为(1)5(1)13g m =+=,解得85m =（舍去） 综上，实数m 的值为2-【点睛】本题考查函数解析式的确定,考查二次函数的性质,考查函数的最值,考查分类讨论思想,确定函数解析式是关键,属于中档题.21.设()f x 的定义域为()0,∞+，对于任意正实数,m n 恒()()()f m n f m f n =+g，且当1x >时，()10,13f x f ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭.（1）求()3f 的值；（2）求证：()f x 在()0,∞+上是增函数； （3）解关于x 的不等式()326f x f x ⎛⎫≥+⎪-⎝⎭. 【答案】（1）()31f =（2）见解析（3）[)9,+∞ 【解析】 试题分析：(1)利用赋值法首先令1m n ==，可得()10f =，然后令13,3m n ==，则()31f =； (2)由题意结合增函数的定义证得当任取()12,0,x x ∈+∞时有()()21f x f x >即可； (3)结合(1)中的函数值和(2)中函数的单调性得到关于实数x 的不等式，求解不等式可得解集为[)9,+∞. 试题解析：解：（1）令1m n ==，则()()121f f =，所以()10f =， 令13,3m n ==，则()()1133f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()31f =； （2）任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则211x x >， ()()()()()222211111111·x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为211x x >，所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x >， 所以()f x 在()0,+∞上单调递增；（3）由()()()3333f f f ⨯=+得()92f =， 所以()276f x f x ⎛⎫≥⎪-⎝⎭，因为()f x 在()0,+∞上单调递增， 即02706276x x x x ⎧⎪>⎪⎪>⎨-⎪⎪≥⎪-⎩，得9x ≥， 所以不等式的解集为[)9,+∞.22.已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（1）若不等式()23f x t <+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围； （2）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式.【答案】（1）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =在区间[]0,2上的最大值，可得出关于实数t 的不等式，解出即可；（2）根据题意得出()222,222,2x x x g x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，作出函数()y g x =的图象，计算出(11g =，并作出函数()y g x =的图象，对m 分1和1论，可得出函数()y g x =在区间[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式. 【详解】（1）Q 函数()()22f x x =-在区间[]0,2上单调递减，当[]0,2x ∈时，函数()y f x =的最大值为()()max 04f x f ==， 由题意得234t +>，解得12t >，因此，实数t 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()222,222,2x x x g x x f x x x x x x ⎧-≥==-=⎨-+<⎩，其图象如下图所示，当2x ≥时，令()221g x x x =-=，解得12x =-（舍）或12x =+，根据图象得：（ⅰ）当01m <≤时，()()22m g m m m ϕ==-+；（ⅱ）当112m <≤+()()11m g ϕ==； （ⅲ）当12m >+()2()2m g m m m ϕ==-.综上所述，()222,011,1122,12m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩.【点睛】本题考查二次不等式在区间上恒成立问题，同时也考查了含绝对值函数的最值的求解，一般将函数表示为分段函数的形式，结合图象求解，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中等题.四、附加题（共1小题，10分）（英才班做）23.设函数()2(01,)xxf x ka a a a k R -=->≠∈且，()f x 是定义域为R 的奇函数．（1）确定k 的值；（2）若()13f =，函数()()222xx g x aa f x -=+-，[]0,2x ∈，求()g x 的最小值；（3）若3a =，是否存在正整数λ，使得()()()221f x f x λ≤+对[]2,1x ∈--恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 ；（2）2-；（3）存在，{}1,2,3,4,5． 【解析】【分析】（1）由题可知，()00f =，代入函数解析式即可求出k 的值； （2）根据已知条件得2a =，运用换元法令22x x t -=-，得函数()()215420,4g x h t t t t ⎡⎤==-+∈⎢⎥⎣⎦，,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值；（3）由题意，将问题转化为()11233xxλ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭在[]2,1x ∈--恒成立， 【详解】解：（1）()2(01,)xxf x ka a a a k R -=->≠∈且是定义域为R 上的奇函数，()00f ∴=，得2k =，()22xxf x a a -=-，经验证符合题意，2k ∴=．（2）由（1）可知，()22xxf x a a -=-，又()13,f =1223a a -∴-=，即22320,a a --=2a ∴=或12a =-（舍去），2a ∴=, ()()()()22222422224222xxx xxxx x g x ----=+--=---+，令()2202x xt x -=-≤≤，22x x t -=-在[]02，是增函数，得150,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()215420,4g x h t t t t ⎡⎤==-+∈⎢⎥⎣⎦，,函数对称轴1520,4t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦可知2t =时，有最小值2-. （3）存在理由如下：3a =，()()2299xxf x -=-，()()233xx f x -=- ，则()()()4992133x xxx λ---≤+-对[]2,1x ∈--恒成立，330,x x --<所以()11233x xλ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 设113,,93xu u ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦易证1z u u =+在11,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，当13u = 时最小值103min Z =， 即[]2,1x ∈--时，1233xxy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为203， 所以2013λ+≤，173λ≤， ∵λ是正整数， ∴{}1,2,3,4,5λ∈．【点睛】本题考查奇函数的性质，考查运用构造函数法和换元法求解函数的最值和不等式恒成立问题的方法，考查转化思想和计算能力.。
2019-2020学年河北省唐山市高一上学期期末考试数学试题 扫描版含答案
唐山市2019～2020学年度高一年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：A 卷：CDDBC DADCA BAB 卷：CDABC DADBA BA二、填空题：（13）(－∞，－5)∪(1，＋∞) （14）x（15）33 （16）①5；②2三、解答题：（17）解：（Ⅰ）解：因为x ＝log 32，所以3x ＝2，3－x ＝ 12．则9x －9－x ＋1 3x ＋3－x ＝9x －9－x ＋1 3x ＋3－x ＝4－ 14＋12＋ 1 2＝ 1910．…5分 （Ⅱ）原式＝(π－3)×1＋[(2＋3)×(2－3)]2019＝π－3＋1＝π－2…10分 （18）解：（Ⅰ）由已知cos α＝mm 2＋2＝－33，m ＜0，解得m ＝－1．…4分 所以P (－1，2)，tan α＝－2．…6分 （Ⅱ）原式＝sin α＋2cos αcos α＋sin α＝tan α＋21＋tan α＝－2．…12分 （19）解：（Ⅰ）f (x )＝cos 4x －3sin 4x ＝2cos (4x ＋ π3)．…4分 ∴f (x )的最小正周期T ＝ 2π 4＝ π2．…6分 （Ⅱ）由2k π－π≤4x ＋ π3≤2k π，k ∈Z ，解得k π 2－ π 3≤x ≤k π 2－π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π 2－ π 3，k π2－π12]，k ∈Z ．…12分 （20）解：（Ⅰ）因为函数f (x )＝log 0.52－axx －2为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝log 0.52－ax x －2＋log 0.52＋ax －x －2＝log 0.54－a 2x 24－x 2＝0． 所以4－a 2x 24－x 2＝1，即a 2＝1． …4分 当a ＝1时，f (x )没有意义，舍去；当a ＝－1时，函数f (x )＝log 0.52＋xx －2 (x ＜－2或x ＞2)满足题意.综上，a ＝－1. …6分 （Ⅱ）设h (x )＝2＋xx －2＝1＋4x －2，则h (x )在⎣⎡⎦⎤103，6单调递减，所以2≤h (x )≤4，所以－2≤f (x )≤－1， …9分 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤ 10 3，6都有f (x )＞t －3成立，所以t －3＜f (x )min ＝－2所以t 的取值范围是t ＜1.…12分 （21）解：（Ⅰ）若a ＝1，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4－x －2－x ．当x ∈[－1，0)时，f (x )＝f (－x )＝4x －2x ．所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2x ，－1≤x ＜0，4－x －2－x ，0≤x ≤1． …4分 （Ⅱ）因为函数f (x )为定义在[－1，1]的偶函数，所以只需求x ∈[0， 1]的最小值．当x ∈[0，1]时，f (x )＝4－x －a ·2－x ．设t ＝2－x ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则4－x ＝t 2．令h (t )＝f (x )，h (t )＝t 2－at ＝(t －a 2) 2－a24， …6分①当a ≤1时，a 2≤ 12，f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1 2＝ 1 4－ 12a ；②当a ≥2时，a2≥1，f (x )min ＝h (1)＝1－a ； ③当1＜a ＜2时，1 2＜a 2＜1，f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24． 综上，f (x )min＝⎩⎨⎧1 4－ 12a ，a ≤1－a24， 1＜a ＜2 1－a ， a ≥2…12分（22）解：（Ⅰ）在Rt △OEC 中，∠DCO ＝θ＝π6，OC ＝4，则OE ＝4sin π6＝2，又OF ＝1．所以AD ＝EF ＝OE －OF ＝1．…4分（Ⅱ）在Rt △OEC 中，CE ＝4cos θ，OE ＝4sin θ，EF ＝4sin θ－1， 因为E 为CD 的中点， 所以CD ＝8cos θ，…6分 四边形ABCD 的面积S ＝ 12×(AB ＋CD )×EF＝ 12(2＋8cos θ)(4sin θ－1)＝(1＋4cos θ)(4sin θ－1)＝16sin θcos θ＋4(sin θ－cos θ)－1…9分设t ＝sin θ－cos θ，π4≤θ＜π2，t ∈[0，1)，则sin θcos θ＝1－t 22． 所以S ＝4t ＋16×1－t 22－1＝－8t 2＋4t ＋7当t ＝ 1 4时，S max ＝152．所以四边形ABCD 的面积的最大值为152． …12分。
(8份试卷合集)2019-2020学年河北省唐山市数学高一第一学期期末统考模拟试题
高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1．直线1y =+的倾斜角为（） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为（ ） A.8-B.1-C.0D.13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cosC cos a c b b A -=-，则ABC ∆的形状为( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形4．在空间四边形ABCD 中，2AD = ， BC =E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，EF =AD 与BC 所成角的大小为（ ）A.150︒B.60︒C.120︒D.30︒5．若直线l ：y kx =与曲线M ：y 1=+k 的取值范围是( )A.13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦B.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.15,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.97．函数()51f x x x =--在下列区间一定有零点的是（ ） A ．[]0,1B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]3,48．实数a =，b =，0.2c =的大小关系正确的是( ) A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<9．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC ∆的顶点(20)(04)A B ，，，,若其欧拉线方程为20x y -+=, 则顶点C 的坐标为 ( ） A ．04-（，）B ．4,0-（）C ．4,0（）或4,0-（）D ．4,0（）10．已知集合{}-2A =，-1,0,1,2，{}|21B x x =-<<，则A B I = （ ） A.{}1,0-B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}0,1,211．若函数()()2sin f x x ωϕ=+对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π-=．若函数()()cos 1g x x ωϕ=+-，则()6g π的值是（ ）A.-2B.-1C.12- D.012．为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A ．160 B ．163 C ．166 D ．17013．0000sin110cos 40cos70sin 40-⋅= A.12B.3 C.12-D.3-14．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP OA =+u u u v u u u vλAB AC AB AC ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心15．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3二、填空题 16．已知函数，若关于x 的方程有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是______．17．已知不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数x y 、、z 都成立，则实数a 的取值范围为______18．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________。
唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题含解析
【答案】（1） ,单调增区间
（2) 或
【解析】
【分析】
(1）根据已知条件代入，求解相关参数，确定函数表达式,再根据三角函数单调区间求法解答;
(2）由(1）写出函数 解析式，零点问题转化成函数 的图像和直线 的交点问题，即可求解参数取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分析函数 性质，周期性与偶函数，画出简易图像，判断参数范围.
【详解】由题意，函数 是定义在 上的周期为2的偶函数，则函数 关于 轴对称，
再由当 时， ，画出简易图像，
若关于 的方程 有唯一解，则 与函数 的图像恰有一个公共点,当 时，显然满足题意；
当 时，由函数可得 ，即
【点睛】本题考查弧度制下的弧长公式,属于基础题。
4。若角 的终边经过点 ,则 （ ）
A。 B. C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数定义，即可求解 值.
【详解】由题意，角 的终边经过点 ，则
则
故选：B。
【点睛】本题考查三角函数定义，属于基础题.
5.若角 的终边在第四象限,则 （ )
A. 2B.—2C. -2或2D。 0
故选C。
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的概念即可,属于常考题型.
7。函数 图象的对称轴方程为( ）
A. B。
C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数 对称轴方程是 ，可令 ，即可求解函数 的对称轴方程。
【详解】由题意,令
则
则 为函数 的对称轴方程。
故选：D.
【点睛】本题考查 型三角函数的对称轴方程问题，属于基础题。
精练03 基本不等式-高一上学期数学期末考点(新教材人教A版必修第一册)
精练03基本不等式1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D【答案】C 【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y >∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥ 故选：C2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（ ）A ．4B ．3+C ．8D ．9【答案】C 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号， 所以12x y+的最小值为8， 故选：C3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C ．y =D ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<<【详解】 对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2，A 错误； 对于B. 1sin 0sin 0sin 2y x x x x π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以1sin 2sin x x +≥=时， 即sin 1x =，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B 错误.对于C.2y =≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2，C 错误；对于D,1tan (0)tan?2y x x x π=+<<，因为tan 0x >，所以1tan 2tan x x +≥=， 当且仅当tan 1x =，即4x π=时，y 有最小值2，满足，D 正确；故选：D.4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（ ）A B C ．D ．【答案】C 【详解】 ∵21a ab +=， ∴1b a a=-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∴3a b +的最小值为5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x ＞0，y ＞0，且111x y+=，则xy 有（ ） A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最大值14D ．最小值14【答案】A 【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y+=，又11x y +≥1≤，114xy ≤， 即4xy ≥，当2x y ==时取等号, 则xy 有最小值4， 故选：A6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a ba b--+的最小值为（ ） A ．11 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【详解】解：因为正实数a ，b ，且1a b +=，所以2241a b a b--+41a b a b =-+- 41()b a a b =+-+ 41()()1b a a b =+⋅+- 44b a a b =++4≥8=当且仅当4b a a b =即223a b ==时，取等号. 所以2241a b a b--+的最小值为8. 故选：C.7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．22a b +≥D ．223a b +≥【答案】A 【详解】对于A ，0a >，0b >，a b ∴+≥12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2≤，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误； 对于C ， 不妨设32a =，12b =时，23172244a b =+=<+，故B 错误； 对于D ，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 错误. 故选：A8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．36【答案】C 【详解】()4af x x x=+≥24x a =，∴22x ==，解得：16a =， 故选：C.9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y+的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．D ．【答案】C 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为. 故选：C10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C 【详解】由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞【答案】C 【解析】正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=，则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭， 当且仅当22n m m n -=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号， 故选：B.13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A.14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．726+【答案】B 【详解】1x >，10x ->，又0y >，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y -=++- 22(1)621y x x y-+⋅-10=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ．15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?3xy xy x y zx xy y x y y xy x===-++--，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3 【详解】函数2241y x x =++， 即()224111y x x =++-+1413≥=-=， 当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3.17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【答案】(),1-∞ 【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为_____ 【答案】8【详解】 1x >，∴函数115(1)62(1)68111y x x x x x x =++=-++-+=---，当且仅当2x =时取等号． 因此函数151y x x =++-的最小值为8． 故选：A ．19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【详解】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3 【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：321．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若441x y +=，则x y +的取值范围是____________．【答案】(],1-∞- 【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________． 【答案】4 【详解】因为x ，0y >，且194x y+=，所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=，,即1,3x y ==时，取等号， 所以x y +的最小值为4， 故答案为：423．【山西省2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________. 【答案】25 【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭17172425≥+=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：2524．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.【答案】20202019-【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b =时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．【答案】10【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：1026．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.【答案】5km 处，最小值为8万元..【详解】解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元.根据题意可设1y x λ=，2y x μ=.由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=. 所以()20405y x x x =+>.根据均值不等式可得8y ≥=， 当且仅当2045x x =，即5x =时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．【答案】（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【详解】 （1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x>⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >且3a b +=．（Ⅰ）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值； （Ⅱ）求2231a b a b +++的最小值及此时a ，b 的值．【答案】（Ⅰ）32a b==时，11a b⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值为2-；（Ⅱ）6a=-，3b=-+3+；【详解】解：（Ⅰ）1133224233333333333a b a b b a b aa b a b a b a b a b+++=+=+=+++=，当且仅当33b aa b=且3a b+=，即32a b==时取等号，311423loga b⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭即最大值为2-，（Ⅱ）3a b+=，∴223313131(1)121111a ba b a ba b a b a b a b++=++-+=+-++=++++++3113(1)3(2()()332314444(1)4(1)a b b aba b a b b++=+++=+++=+++，当且仅当3(1)44(1)b aa b+=+且3a b+=，即6a=-3b=-+29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知0a>，0b>.（1）求证：()2232a b b a b+≥+；（2）若2a b ab+=，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b+-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b+≥+.（2）∵0a>，0b>，∴2ab a b=+≥2ab≥1，∴1≥ab.当且仅当1a b==时取等号，此时ab取最小值1.和分析法来一起证明，属于中档题.30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【答案】（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()80016001600 4280828084S x x x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．。
【数学】河北省唐山市2019-2020学年高一上学期期末考试试题 (解析版)
1
A.
3
【答案】B
7
B.
6
3
C.
2
D. 3
D. 13 4
【解析】当 x 2 时， 2 f (2)+ f 骣琪琪桫12 = 2 ，即 4 f (2)+ 2 f 骣 琪 琪 桫12 = 4 ①；
当
x
1 2
时，
2
f
骣琪琪桫12
+ f (2) = 1 ②，
2
( ) 用①式减去②式可得： 4 f 2 + 2 f 骣琪琪桫12
B. 4
C. 0, 2,3, 4
D. 0, 2, 4
【答案】C
【解析】因为集合 A 1,3 ，全集U 0,1, 2,3, 4 ，所以 CU A = {0, 2, 4}， 因为集合 B 3, 4 ，所以 CU A B 0, 2,3, 4 ，故选：C.
( ) 2. cos -240 = ( )
( ) ( ) 因为 f
0
= 骣琪琪桫12
0
1
- 03
=1> 0，
f
骣琪琪桫12
= 骣琪琪桫12
1 2
-
骣琪琪桫12
1 3
<0， f
0 ´ f 骣琪琪桫12
<0
所以函数
f
x
1 2
x
在区间
0,
1 2
上有零点，
故选 D.
7.函数
y
cos
2x
的图像可以由函数
y
cos
2x
π 3
的图像(
)
A. 向右平移 个单位得到
1
A.
2
B. 3 2
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
唐山一中高一年级第一学期期末考试自拟试题数学试卷卷Ⅰ（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.设全集U =R ，()(){}310A x x x =-->，{}2B x x =<，则()⋂=U C A B （ ）A. {}12x x ≤<B. {}12x x <<C. {}2x x <D. {}1x x ≥2.函数()x2f x 2log x 3=+-的零点所在区间( )A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,43.函数2(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≤-B. 2a ≥-C. 6a ≤-D. 6a ≥-4.若扇形的圆心角120α=︒，弦长12cm AB =，则弧长l =（ ）cmA.B.C.43π D.83π 5.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A.B.C. 0D. 4π-6.已知函数()22log ,041,0x x x x f x x -+>⎧=⎨-≤⎩若()3f a ＝，则()2f a －＝( ) A. －1516 B. 3 C. －6364或3 D. －1516或3 7.在ABC V 中，3CD BD =u u u r u u u r，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ⋅=（ ）A. 34-B. 316-C.34D.3168.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +=+，且当[0,1]x ∈时，()21=log ()f x x +，则下列不等式正确的是( )A. ()()2log 756()f f f -<<B. ()()2log 7()65f f f -<<C.()()25log (76)f f f <<-D.()()256o )l g 7(f f f -<<9.若sin 25α=，sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（） A.94π B.74πC.54π或74πD.54π或94π 10.已知函数2(),xf x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U11.cos()4θ=+，则sin 2θ=（ ） A.13B.14C. 14-D. 13-12.已知函数()2cos()1(0,||)2f x x ωϕωϕπ=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ） A. [,]66ππ-B. [,0]4π-C. [,]312ππ-D. [0,]4π卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数lg(1)y x =+的定义域为________. 14.已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><部分图象如图所示，则ϕ=________.15.设25a b m ==，若112a b+=，则m =_____． 16.设函数22(sin 1)()sin 1x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其它题12分，共70分.）17.已知角α的终边在直线y =上.（1）求tan α，并写出α与终边相同的角的集合S ；（2cos()cos()2αα++π+ 18.已知函数2()1cos 2sin ,f x x x x x R =+-∈， （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）用“五点作图法”作出()f x 在[0,]π上的图象；（要求先列表后作图） （3）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上最小值和最大值.19.已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值，并用定义证明其单调性；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.20.美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)ay kxx =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示的公司所过利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）21.已知函数3(()log 91)xf x kx =+-是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）当0x ≥时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数3()log (?32)x h x m m =-，若函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 22.如图，在半径为2，圆心角为2π的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M 、N 两点分别在半径OA 、OB 上，P 、Q 两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .（1）若M 、N 分别是OA 、OB 中点，求四边形MNQP 面积最大值；（2）2PQ =，求四边形MNQP 面积最大值.的的。
河北省唐山一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案
t
AB AC
PB PC 的最大值等于（ ）
A.13
B.15
C.19
卷Ⅱ（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
D.21
13.若 4x 4y 1 ，则 x y 的取值范围是______.
14.一个多面体的直观图和三视图所示，M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADF BCE 内自由飞翔，由 它飞入几何体 F AMCD 内的概率为______.
有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了 80
名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要
求的.）
1.已知菱形 ABCD 的边长为 a. ABC 60 ，则 BD CD （ ）
A. 3 a2 2
B. 3 a2 4
C. 3 a2 4
D. 3 a2 2
2.已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a8 a5 6 ， S9 S4 75 ，则 Sn 取得最大值时 n （ ）
元的概率是（ ）
2
1
3
5
A.
B.
C.
D.
5
2
4
6
5.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表
面积为（ ）
A. 3
B.12
C.18
D. 27
1
6.已知等差数列an 中， a1 a2 a3 3 ， a28 a29 a30 165 ，则此数列前 30 项和等于（ ）
河北省唐山市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河北省唐山市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4}，集合A ={1,2，3}，B ={2,4}，则(∁U B)∪A 为( )A. {1,3}B. {2,3，4}C. {0,1，2，3}D. {0,2，3，4}2. sin 315°+sin(−480°)+cos(−330°)的值为( )A. 12B. −12C. −√22D. √223. 已知集合A ={0,1,2}，B ={a,2}，若B ⊆A ，则a =( )A. 0B. 0或1C. 2D. 0或1或24. 已知f (x )={2x −1,x <12f (x −1)+1,x ≥12，则f (14)+f (76)=( )A. −16B. 16C. 56D. −565. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =1x 2B. y =(12)|x|C. y =lg xD. y =|x|−16. 函数f(x)=3x −x 2的零点所在区间是( )．A. (1,2)B. (0,1)C. (−2,−1)D. (−1,0)7. 为了得到函数y =4cos2x 的图象，只需将函数y =4cos(2x +π4)的图象上每一个点( )A. 横坐标向左平动π4个单位长度 B. 横坐标向右平移π4个单位长度 C. 横坐标向左平移π8个单位长度D. 横坐标向右平移π8个单位长度8. 三个数a =30.2，b =0.23，c =log 0.23的大小关系为( )A. c <a <bB. b <a <cC. a <b <cD. c <b <a9. 已知cos(2π3−α)=34，则sin(α−π6)cos(π3−2α)=( )A. 332B. −332C. 316D. −31610. 函数f(x)=−4sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2,x ∈R)的部分图象如图所示，则f(16)的值为( )A. −√2B. √2C. −2√2D. 2√211. 函数f(x)=2x 2−5x +2的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 不确定12. 设，，则( )A. a +b <ab <0B. ab <a +b <0C. a +b <0<abD. ab <0<a +b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=log 3(3+2x −x 2)的定义域是______ ．14. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，则这个函数解析式为______． 15. 已知tan(x +π4)=2，则tanx =______．16. 设函数f(x)=sin(ωx +π3)，其中ω>0.若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (Ⅰ)计算：(279)0.5+(0.1)−2+(21027) −23−3π0+3748(Ⅱ)设2a =5b =m ，且1a +1b =2，求m 的值．18. (1)已知角α终边上一点P(−4,3)，求cos(π2+α)sin(−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)的值(2)已知cos(π+α)=−12，且α是第四象限角，计算：sin[α+(2n+1)π]+sin[α−(2n+1)π]sin(α+2nπ)⋅cos(α−2nπ)(n ∈Z)．19. 已知函数f(x)=√3sin2x +cos2x(1)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的单调递增区间 (2)若x ∈[−π6,π3]，求函数f(x)值域．20. 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于∀x ∈R ，都有f(−x)=f(x)成立．(1)若x ≥0时，f(x)=(12)x ，求不等式f(x)>14的解集；(2)若f(x +1)是偶函数，且当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ，求f(x)在区间[2015,2016]上的解析式．21. 已知y =f(x)是偶函数，定义x ≥0时，f(x)={x(3−x),0≤x ≤3(x −3)(a −x),x >3．(1)求f(−2)；(2)当x<−3时，求f(x)的解析式；(3)设函数y=f(x)在区间[−5,5]上的最大值为g(a)，试求g(a)的表达式．22.若函数f(x)=sin(ax+π)+b(a>0,b>0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间3的距离为π．(1)求a，b的值；(2)求f(x)在[0,π]上的最大值和最小值．4-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．根据补集与并集的定义，计算即可．解：全集U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，B={2,4}，则∁U B={0,1，3}，∴(∁U B)∪A={0,1，2，3}．故选：C．2.答案：C解析：本题考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，属于基础题．利用诱导公式化简即可求出答案．解：原式=sin(360°−45°)+sin(−360°−120°)+cos(−360°+30°)=−sin45°−sin60°+cos30°=−√22−√32+√32=−√22．故选C．3.答案：B解析：本题考查集合的基本关系，解决问题的关键是根据子集关系及集合的性质求解对应a值．解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1．4.答案：A解析：本题考查了分段函数的定义域与值域，属于基础题.利用分段函数的解析式，直接求解函数值即可． 解：因为f (x )={2x −1,x <12f (x −1)+1,x ≥12，所以f (14)+f (76)=2×14−1+f (16)+1=12+2×16−1 =−16．故选A ．5.答案：D解析：解：A 中函数y =1x 2是偶函数且在(0,+∞)上单调递减，故A 错误； B 中函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递减，故B 错误； C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增， 故选D ．分别函数的奇偶性、单调性，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．6.答案：D解析：本题考查零点存在性定理，属基础题．由函数零点存在性定理对各选项逐一判断，即可得到答案．解：f(1)=3−1=2，f(2)=9−4=5，f(0)=1，f(−1)=13−1=−23， f (−2)=19−4=−359，因为f(−1) f(0)<0，所以函数f(x)=3x −x 2的零点所在区间是(−1,0)，7.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：将函数y=4cos(2x+π4)的图象上每一个点横坐标向右平移π8个单位长度，可得y=4cos[2(x−π8)+π4]=4cos2x的图象，故选D．8.答案：D解析：解：三个数a=30.2>1，b=0.23∈(0,1)，c=log0.23<0，可得c<b<a．故选：D．求出三个数的范围，然后判断大小即可．本题考查对数值的大小范围，借助取值范围是解题的关键．9.答案：A解析：本题主要考查了三角函数的化简求值，熟练掌握诱导公式和两角和与差的公式是解决此类问题的关键．由cos(2π3−α)=cos(π2+π6−α)=34，由诱导公式知：cos(π2+π6−α)=−sin(π6−α)，即sin(α−π6)=−34．由cos(π3−2α)=cos2(π6−α)=cos2(α−π6)=1−2sin2(α−π6)=1−2×916=−18，∴sin(α−π6)cos(π3−2α)=−34×(−18)=332．故选A．10.答案：C本题考查三角函数图象及性质，属基础题目．根据图象可得T的值，即可得ω，由由五点作图法可得φ的值，即可得f(x)的解析式，即可求解f(16)的值．=6−(−2)=8 ,解：由题意T2，，由五点作图法可得：，又|φ|<π2，，，故选C．11.答案：C解析：解：∵二次函数对应的判别式△=(−5)2−4×2×2=25−16=9>0，∴函数f(x)=2x2−5x+2的零点个数为2个．故选：C．利用二次函数和二次方程之间的关系，判断判别式即可判断函数零点的个数．本题主要考查函数零点的个数的判断，利用判别式是解决本题的关键，比较基础．12.答案：B解析：本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，属于中档题．直接利用对数的运算性质化简即可得答案．解：∵a=log0.20.3=lg0.3，−lg5b=log20.3=lg0.3，lg2，ab=−lg0.3lg2⋅lg0.3lg5=lg0.3⋅lg103lg2lg5，，lg0.3lg2lg5<0，∴ab<a+b<0．故选B．13.答案：{x|−1<x<3}解析：解：由3+2x−x2>0得x2−2x−3<0，解得−1<x<3，故函数的定义域为{x|−1<x<3}，故答案为：{x|−1<x<3}根据对数函数成立的条件解不等式即可．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．14.答案：y=x12(x≥0)解析：解：设f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，∴2α=√2∴α=12．这个函数解析式为y=x12(x≥0)．故答案为：y=x12(x≥0)．根据幂函数的概念设f(x)=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．15.答案：13解析：解：∵已知tan(x +π4)=2，∴tanx+11−tanx =2，解得tanx =13， 故答案为：13．根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得tanx+11−tanx =2，解方程求得tan x 的值． 本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．16.答案： [56,43)解析：本题考查三角函数的性质，属于基本题型． 由，则，再根据函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点即得答案．解：，，又∵函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，，∴56≤ω<43， 故答案为[56,43)．17.答案：解：(Ⅰ)解：原式=(259) 12+(110)−2+(6427) −23−3+3748=[(53)2] 12+(10−1)−2+[(43)3] −23−3+3748=53+100+916−3+3748=100；(Ⅱ)解、由2a =5b =m ，得a =log 2m ，b =log 5m ， 又1a +1b =2． ∴1log2m+1log 5m=lg2+lg5lgm=1lgm =2，∴m =√10．解析：(Ⅰ)根据指数幂的运算性质进行计算即可．(Ⅱ)根据对数的运算性质进行计算即可；本题考查了对数的运算性质，考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．18.答案：(1)解：∵角α终边上一点P(−4,3)，∴x =−4，y =3，r =|OP|=5，sinα=y r =35，cosα=x r =−45，∴cos(π2+α)sin(−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)=−sinα⋅sinαcos(π2+α)sin(π2+α)=−sinα⋅sinα−sinα⋅cosα=sinαcosα=−34． (2)解：∵已知cos(π+α)=−cosα=−12，且α是第四象限角，∴cosα=12， ∴sin[α+(2n+1)π]+sin[α−(2n+1)π]sin(α+2nπ)⋅cos(α−2nπ)=−sinα−sinαsinα⋅cosα=−2cosα=−4．解析：(1)本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用诱导公式求得要求式子的值；(2)本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．利用诱导公式求得cosα的值，可得要求式子的值．利用诱导公式求得cosα的值，可得要求式子的值． 19.答案：解：(1)∵函数f(x)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ．再根据x ∈[0,π2]时，可得函数的增区间为[0,π6].(2)函数f(x)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)∵x ∈[−π6,π3]， ∴2x +π6∈[−π6,5π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，故当sin(2x +π6)=−12时，g(x)取得最小值为−1；当sin(2x+π6)=1时，g(x)取得最大值为2，故函数g(x)的值域为[−1,2]．解析：(1)当x∈[0,π2]时，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调递增区间．(2)利用正弦函数的定义域和值域，求得它的值域．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20.答案：解：由题意：函数f(x)的定义域为R，且对于∀x∈R，都有f(−x)=f(x)成立．∴f(x)是偶函数．(1)当x≥0时，f(x)=(12)x，那么：x<0时，则−x>0，f(−x)=(12)−x，∵f(−x)=f(x)，故得x<0时，f(x)=(12)−x，∴f(x)在定义域为R上的解析式f(x)=(12)|x|，不等式f(x)>14转化为：(12)|x|>(12)2，∴|x|<2，解得：−2<x<2，∴不等式f(x)>14的解集为{x|−2<x<2}．(2)由f(x+1)是偶函数，可得f(x)是周期为1的函数．即f(x+1)=f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)=2x，∵x∈[2015,2016]上，那么：x−2015∈[0,1]上；∴f(x)=2x−2015；故得f(x)在区间[2015,2016]上的解析式f(x)=2x−2015；解析：(1)由题意求出f(x)在定义域为R 上的解析式，再求解f(x)>14的解集；(2)由f(x +1)是偶函数，可得f(x)是周期为1的函数．当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ，可以得出f(x)在区间[2015,2016]上的解析式．本题考查了函数的奇偶性的运用和周期函数解析式的求法．属于基础题． 21.答案：解：(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f (−2)=f (2)=2×(3−2)=2;(2)当x <−3时，f(x)=f(−x)=(−x −3)(a +x)=−(x +3)(a +x)，所以，当x <−3时，f(x)的解析式为f(x)=−(x +3)(a +x);(3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[−5,5]上的最大值，即为它在区间[0,5]上的最大值，①当a ≤3时，f(x)在[0,32]上单调递增，在[32,+∞)上单调递减，所以g(a)=f(32)=94，②当3<a ≤7时，f(x)在[0,32]与[3,3+a 2]上单调递增， 在[32,3]与[3+a 2,5]上单调递减，所以此时只需比较f(32)=94与f(3+a 2)=(a−3)24的大小， (A)当3<a ≤6时， f(32)=94≥f(3+a 2)=(a−3)24， 所以g(a)=f(32)=94 ， (B)当6<a ≤7时， f(32)=94<f(3+a 2)=(a−3)24， 所以g(a)=f(3+a 2)=(a−3)24． ③当a >7时，f(x)在[0,32]与[3,5]上单调递增，在[32,3]上单调递减，且f(32)=94<f(5)=2(a −5)，所以g(a)=f(5)=2(a −5)，∴g(a)={ 94,a ≤6(a−3)24,6<a ≤72(a −5),a >7 ．解析：本题主要考查了由函数的奇偶性求函数值，以及函数的解析式，函数的最值问题，属于中档题型．(1)由题意可知f(−2)=f(2)，从而可解．(2)由函数为偶函数，可解．(3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[−5,5]上的最大值即为它在区间[0,5]上的最大值，分类讨论a 即可．22.答案：解：(1)函数f(x)=sin(ax+π3)+b(a>0,b>0)，∵f(x)的图象与x轴相切，可得b=1，图象上相邻两个最高点之同的距离为π．∴周期T=π，即2πa=π，可得：a=2．(2)由(1)可得f(x)=sin(2x+π3)+1．∵x∈[0,π4]，∴2x+π3∈[π3,5π6]，∴当2x+π3=π2时，f(x)取得最大值为2；当2x+π3=5π6时，f(x)取得最小值为32．解析：本题考查三角函数的图象及性质，给定区间最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(1)根据函数f(x)=sin(ax+π3)+b(a>0,b>0)的图象与x轴相切，可得b=1，图象上相邻两个最高点之同的距离为π.即周期T=π，可得a=2(2)根据x在[0,π4]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质，可得最大值和最小值．。
2019-2020学年河北省唐山一中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年河北省唐山一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. 设全集U ＝R ，A ＝{x|(x −3)(x −1)>0}，B ＝{x|x <2}，则(∁U A)∩B ＝（ ） A.{x|1≤x <2} B.{x|1<x <2} C.{x|x <2} D.{x|x ≥1}2. 函数f(x)＝2x+log 2x −3的零点所在区间（ ） A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3)D.(3, 4)3. 函数y ＝x 2+(a −2)x 在区间(4, +∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.a ≤−2 B.a ≥−2 C.a ≤−6 D.a ≥−64. 若扇形的圆心角α=120∘，弦长AB =12cm ，则弧长l =( )cmA.4√3π3B.8√3π3C.4π3D.8π35. 函数y =sin (2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( ) A.3π4 B.π4C.0D.−π46. 已知函数f(x)={log 2x +a,x >04x−2−1,x ≤0. ，若f(a)＝3，则f(a −2)＝（ ）A.−1516B.3C.−6364或3D.−1516或37. 在△ABC 中，3CD →=BD →，O 为AD 的中点，若AO →=λAB →+μAC →，则λ⋅μ＝（ ） A.−34 B.−316C.34D.3168. 已知定义R 在上的奇函数f(x)满足f(x +2)+f(x)＝0，且当x ∈[0, 1]时，f(x)＝log 2(x +1)，则下列不等式正确的是（ ）A.f(log 27)<f(−5)<f(6)B.f(log 27)<f(6)<f(−5)C.f(−5)<f(log 27)<f(6)D.f(−5)<f(6)<f(log 27)9. 若sin 2α=√55，sin (β−α)=√1010，且α∈[π4, π]，β∈[π, 3π2]，则α+β的值是（ ）A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π410. 已知函数f(x)＝e |x|+x 2，（e 为自然对数的底数），且f(3a −2)>f(a −1)，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞,12)∪(34,+∞)B.(12,+∞)C.(−∞,12)D.(0,12)∪(34,+∞)11. 若√2cos 2θcos (π4+θ)=√3sin 2θ，则sin 2θ＝（ ）A.13B.23C.−23D.−1312. 已知函数f(x)=2cos (ωx +φ)+1(ω>0, |φ|<π2)，其图象与直线y =3相邻两个交点的距离为2π3，若f(x)>1对∀x ∈(−π12, π6)恒成立，则φ的取值范围是( ) A.[−π6, π6]B.[−π4, 0]C.(−π3, −π12]D.[0, π4]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 函数y =√−x 2+2x+3lg (x+1)的定义域为________．已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ＝________．设2a ＝5b ＝m ，且1a +1b =2，m ＝________．设函数f(x)=(sin x+1)2sin 2x+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝________．三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其它题12分，共70分．）已知角α的终边在直线y =−√3x 上，（1）求tan α，并写出与α终边相同的角的集合S ；（2）求值√3sin −√3cos (3π2+α)+cos (π+α)．已知函数f(x)＝1+2√3sin x cos x −2sin 2x ，x ∈R ． （1）求函数f(x)的单调增区间；（2）用“五点作图法”作出f(x)在[0, π]上的图象．（要求先列表后作图）（3）若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．已知定义域为R 的函数f(x)=−2x +b2+a 是奇函数． (1)求a ，b 的值；并判定函数f(x)单调性（不必证明）．(2)若对于任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求k 的取值范围．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y ＝kx a (x >0)，其图象如图所示．(Ⅰ)试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式； (Ⅱ)如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？(Ⅲ)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用f(x)表示公司所获利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润＝A 芯片毛收入+B 芯片毛收入-研发耗费资金）已知函数f(x)＝log 3(9x +1)−kx 是偶函数． （1）求实数k 的值；（2）当x ≥0时，函数g(x)＝f(x)−x −a 存在零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数ℎ(x)＝log 3(m ⋅3x −2m)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围．如图，在半径为2，圆心角为π2的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M 、N 两点分別在半径OA 、OB 上，P 、Q 两点在弧AB̂上，且OM ＝ON ，MN // PQ ．（1）若M 、N 分別是OA 、OB 中点，求四边形MNQP 面积的最大值．（2）PQ ＝2，求四边形MNQP 面积的最大值．参考答案与试题解析2019-2020学年河北省唐山一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先解出集合，再求补集，并集．【解答】∵A＝{x|(x−3)(x−1)>0}，∴A＝(−∞, 1)∪(,3, +∞)，∴∁U A＝[1, 3]，∴(∁U A)∩B＝[1, 2)．2.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】通过计算x＝1，x＝2，的函数，并判断符号，由零点存在性定理可知选B【解答】∵f(1)＝2+log21−3＝−1<0，f(2)＝22+log22−3＝5−3＝2>0，根据零点存在性定理，f(x)的零点所在区间为(1, 2)故选：B．3.【答案】D【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】根据题意，分析函数的对称轴以及开口方向，结合函数单调性的性质可得−a−22≤4，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数y＝x2+(a−2)x为二次函数，其对称轴为x=−a−22，开口向上，若其在区间(4, +∞)上是增函数，则有−a−22≤4，解可得：a≥−6；4.【答案】B【考点】弧长公式【解析】先求出半径，再利用弧长公式即可求出弧长．【解答】解：∵扇形的圆心角α=120∘，弦长AB=12cm，∴r=√32=4√3cm，∴弧长l=|α|r=2π3×4√3=8√3π3cm.故选B.5.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的奇偶性【解析】利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换可得函数y＝sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f(x)=sin(2x+φ)，则f(x+π8)=sin[2(x+π8)+φ]=sin(2x+π4+φ)，∵f(x+π8)为偶函数，∴π4+φ=kπ+π2，∴φ=kπ+π4，k∈Z，∴当k=0时，φ=π4．故φ的一个可能的值为π4．故选B.6.【答案】A【考点】求函数的值函数的求值【解析】当a >0时，f(a)=log 2a +a =3，解得a ＝2，f(a −2)＝f(0)；当a ≤0时，f(a)＝4a−2−1＝3，解得a ＝3，不成立．由此能求出f(a −2)． 【解答】∵ 函数f(x)={log 2x +a,x >04x−2−1,x ≤0. ，f(a)＝3，∴ 当a >0时，f(a)=log 2a +a =3，解得a ＝2， f(a −2)＝f(0)＝4−2−1=−1516；当a ≤0时，f(a)＝4a−2−1＝3，解得a ＝3，不成立． 综上，f(a −2)=−1516． 7.【答案】B【考点】平面向量的基本定理 【解析】可画出图形，根据3CD →=BD →即可得出BD →=32BC →，从而根据O 为AD 的中点即可得出AO →=12AB →+34(AC →−AB →)=−14AB →+34AC →，然后根据平面向量基本定理即可求出λ⋅μ的值．【解答】 如图，∵ 3CD →=BD →，O 为AD 的中点， ∴ AO →=12AD →=12AB →+12BD →=12AB →+34BC → =12AB →+34(AC →−AB →) =−14AB →+34AC →， 又AO →=λAB →+μAC →， ∴ λ⋅μ=−316．8.【答案】 C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】先判断函数周期为4，再把f(6)，f(log 27)，f(−5)化简，最后比较即可． 【解答】奇函数f(x)满足f(x +2)+f(x)＝0，f(x +2)＝−f(x) 所以f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，故f(x)为周期4， f(6)＝f(2)＝−f(0)＝0，f(−5)＝f(−1)＝−f(1)＝−1，f(log 27)＝−f(log 27−2)＝−f(log 274)=−log 2(log 274)∈(−1, 0)， 故f(6)>f(log 27)>f(−5)， 故选：C ． 9.【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 两角和与差的三角函数 【解析】依题意，可求得α∈[π4, π2]，2α∈[π2, π]，进一步可知β−α∈[π2, π]，于是可求得cos (β−α)与cos 2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案． 【解答】∵ α∈[π4, π]，β∈[π, 3π2]，∴ 2α∈[π2, 2π]， 又0<sin 2α=√55<12，∴ 2α∈(5π6, π)，即α∈(5π12, π2)，∴ β−α∈(π2, 13π12)，∴ cos 2α=−√1−sin 22α=−2√55； 又sin (β−α)=√1010， ∴ β−α∈(π2, π)，∴ cos (β−α)=−√1−sin 2(β−α)=−3√1010， ∴ cos (α+β)＝cos [2α+(β−α)]＝cos 2αcos (β−α)−sin 2αsin (β−α)=−2√55×(−3√1010)−√55×√1010=√22． 又α∈(5π12, π2)，β∈[π, 3π2]，∴ (α+β)∈(17π12, 2π)，∴ α+β=7π4，10.【答案】 A【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】先判定函数的奇偶性和单调性，然后将f(3a −2)>f(a −1)转化成f(|3a −2|)>f(|a −1|)，根据单调性建立不等关系，解之即可． 【解答】∵ f(x)＝e |x|+x 2，∴ f(−x)＝e |−x|+(−x)2＝e |x|+x 2＝f(x) 则函数f(x)为偶函数且在[0, +∞)上单调递增 ∴ f(−x)＝f(x)＝f(|−x|)∴ f(3a −2)＝f(|3a −2|)>f(a −1)＝f(|a −1|)， 即|3a −2|>|a −1|两边平方得：8a 2−10a +3>0 解得a <12或a >34 11.【答案】 C【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知展开倍角公式可得sin θ+cos θ=√3sin θcos θ，结合平方关系即可求得sin θcos θ的值，则答案可求． 【解答】由√2cos 2θcos (π4+θ)=√3sin 2θ，得√2(cos 22√22(=2√3sin θcos θ，∴ sin θ+cos θ=√3sin θcos θ，又1＝sin 2θ+cos 2θ＝(sin θ+cos θ)2−2sin θcos θ，∴ 1＝3(sin θcos θ)2−2sin θcos θ，即sin θcos θ＝1（舍）或sin θcos θ=−13．∴ sin 2θ＝2sin θcos θ=−23．12.【答案】 B【考点】余弦函数的图象 【解析】由函数图象和题意可得ω=3，进而可得关于φ的不等式组，解不等式组结合选项可得． 【解答】解：由题意可得函数f(x)=2cos (ωx +φ)+1的最大值为3， ∵ f(x)图象与直线y =3相邻两个交点的距离为2π3， ∴ f(x)的周期T =2π3，∴ 2πω=2π3，解得ω=3，∴ f(x)=2cos (3x +φ)+1， ∵ f(x)>1对∀x ∈(−π12, π6)恒成立， 即cos (3x +φ)>0对∀x ∈(−π12, π6)恒成立， ∴ −π4+φ≥2kπ−π2且π2+φ≤2kπ+π2，解得φ≥2kπ−π4且φ≤2kπ，即2kπ−π4≤φ≤2kπ，k ∈Z ．结合选项可得当k =0时，φ的取值范围为[−π4, 0]，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】(−1, 0)∪(0, 3] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【解答】由{−x 2+2x +3≥0x +1>0x +1≠1 ，解得−1<x ≤3且x ≠0． ∴ 函数y =√−x 2+2x+3lg (x+1)的定义域为(−1, 0)∪(0, 3]．【答案】 π4【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得出结论． 【解答】根据函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象， 可得A ＝2，14⋅2πω=5π8−3π8，∴ ω＝2．再根据五点法作图可得2⋅3π8+φ＝π，∴ φ=π4，【答案】√10【考点】指数函数与对数函数的关系 对数的运算性质【解析】先解出a ，b ，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m 的等式，求m ． 【解答】∵ 2a ＝5b ＝m ，∴ a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，由换底公式得1a +1b =log m 2+log m 5=log m 10=2，∴ m 2＝10，∵ m >0，∴ m =√10 故应填√10 【答案】 2【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】通过换元可知y ＝f(x)＝1+2tt 2+1，其中t ＝sin x ∈[−1, 1]，利用z =2tt 2+1为奇函数可知z max +z min ＝0，进而M +m ＝(1+z max )+(1+z min )＝2． 【解答】由题可知t ＝sin x ∈[−1, 1]，则y ＝f(x)＝1+2t t 2+1，令z =2tt 2+1，则当t ＝0时z ＝0，且函数z 为奇函数，所以z max +z min ＝0，又因为M +m ＝(1+z max )+(1+z min )， 所以M +m ＝2+(z max +z min )＝2， 三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其它题12分，共70分．） 【答案】∵ 角α的终边在直线y =−√3x 上，∴ tan α=−√3，与α终边相同的角的集合S ＝{α|α＝2kπ+2π3, 或α＝2kπ−π3, k ∈Z, }，即S ＝{α|α＝kπ+2π3, k ∈Z}．√3sin −√3cos (3π2+α)+cos (π+α)=√3sin −3sin α−cos α=√3tan −3tan α−1=√3tan 3tan α+1=4．【考点】任意角的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值，再根据终边相同的角的表达方式求得与α终边相同的角的集合S ．（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得所给式子的值． 【解答】∵ 角α的终边在直线y =−√3x 上，∴ tan α=−√3，与α终边相同的角的集合S ＝{α|α＝2kπ+2π3, 或α＝2kπ−π3, k ∈Z, }，即S ＝{α|α＝kπ+2π3, k ∈Z}．√3sin −√3cos (3π2+α)+cos (π+α)=√3sin −√3sin α−cos α=√3tan −√3tan α−1=√3tan √3tan α+1=4．【答案】f(x)=1+2√3sin x cos x −2sin 2x =√3sin 2x +cos 2x =2sin (2x +π6)，令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ； 列表如下f(x) 1 2 0 −1 0 1作出f(x)在[0, π]上的图象，如图所示；若把函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin [2(x −π6)+π6]=2sin (2x −π6)的图象， ∵ x ∈[−π2,0]， ∴ 2x −π6∈[−7π6,−π6]，∴ sin (2x −π6)∈[−2,1]．故g(x)在区间[−π2,0]上的最小值为−2，最大值为1．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象【解析】（1）化f(x)为正弦型函数，再求函数f(x)的单调递增区间；（2）利用列表、描点、连线法作出f(x)在[0, π]上的图象即可；（3）根据三角函数图象平移法则写出g(x)的解析式，再求函数g(x)在区间[−π2,0]上的最值．【解答】f(x)=1+2√3sin x cos x−2sin2x=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；列表如下f(x)120−101作出f(x)在[0, π]上的图象，如图所示；若把函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)的图象，∵x∈[−π2,0]，∴2x−π6∈[−7π6,−π6]，∴sin(2x−π6)∈[−2,1]．故g(x)在区间[−π2,0]上的最小值为−2，最大值为1．【答案】解：(1)∵定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数，∴{f(0)=0f(1)=f(−1)，即{−20+b20+1+a=0−21+b21+1+a=−21+b2−1+1+a，化简，得{−1+b2+a=0−2+b4+a=−−12+b1+a，解得，{a=2b=1，∴a的值是2，b的值是1，∴f(x)是R上的减函数.(2)由f(t2−2t)+f(2t2−k)<0，得f(t2−2t)<−f(2t2−k)，∵f(x)是奇函数，∴f(t2−2t)<f(k−2t2)，由(1)知，f(x)是减函数，∴原问题转化为t2−2t>k−2t2，即3t2−2t−k>0对任意t∈R恒成立，∴Δ=4+12k<0，解得k<−13，∴实数k的取值范围是：k<−13.【考点】函数恒成立问题函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】(1)由题意知f(0)=0求出b，再由奇函数的定义求出b；(2)利用奇函数的性质转化为一元二次不等式，借助与一元二次函数的关系进行判断．【解答】解：(1)∵定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数，∴{f(0)=0f(1)=f(−1)，即{−20+b20+1+a=0−21+b21+1+a=−21+b2−1+1+a，化简，得{−1+b2+a =0−2+b4+a=−−12+b 1+a，解得，{a =2b =1，∴ a 的值是2，b 的值是1， ∴ f(x)是R 上的减函数.(2)由f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0，得f(t 2−2t)<−f(2t 2−k)， ∵ f(x)是奇函数，∴ f(t 2−2t)<f(k −2t 2)， 由(1)知，f(x)是减函数，∴ 原问题转化为t 2−2t >k −2t 2， 即3t 2−2t −k >0对任意t ∈R 恒成立， ∴ Δ=4+12k <0，解得k <−13， ∴ 实数k 的取值范围是：k <−13.【答案】（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设为y ＝k 0x ， 且x ＝1时，y =14，代入解得k 0=14，则生产A 芯片的毛收入y =x4(x >0)；将(1, 1)，(4, 2)代入y ＝kx a ，得{k =1k ×4a =2 ，解得{k =1a =12 ，所以，生产B 芯片的毛收入为y =√x(x >0)． （2）由（1）知，当x 4>√x 时，解得x >16，可知当投入资金大于16千万元时，生产A 芯片的毛收入大；当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 两种芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B 芯片的毛收入大．(Ⅲ)公司投入4亿元资金同时生产A 、B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片， 则投入(40−x)千万元资金生产A 芯片，公司所获利润f(x)=40−x 4+√x −2=−14(√x −2)2+9，故当√x =2，即x ＝4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】(Ⅰ)第一问根据待定系数法，可求出解析式；(Ⅱ)第二问利用分段函数比大小，解不等式，即可求出大小关系； (Ⅲ)第三问，将实际问题转换成二次函数求最值的问题，即可求解． 【解答】（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设为y ＝k 0x ， 且x ＝1时，y =14，代入解得k 0=14，则生产A 芯片的毛收入y =x4(x >0)；将(1, 1)，(4, 2)代入y ＝kx a ，得{k =1k ×4a =2 ，解得{k =1a =12 ，所以，生产B 芯片的毛收入为y =√x(x >0)． （2）由（1）知，当x 4>√x 时，解得x >16，可知当投入资金大于16千万元时，生产A 芯片的毛收入大；当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 两种芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B 芯片的毛收入大．(Ⅲ)公司投入4亿元资金同时生产A 、B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片， 则投入(40−x)千万元资金生产A 芯片，公司所获利润f(x)=40−x 4+√x −2=−14(√x −2)2+9，故当√x =2，即x ＝4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元． 【答案】由f(x)＝log 3(9x +1)−kx 是偶函数． 则f(x)＝f(−x)恒成立， 则2(k −1)x ＝0恒成立， 即k ＝1；当x ≥0时，g(x)＝f(x)−x −a 存在零点， 即a ＝log 3(9x +1)−2x 在x ∈[0, +∞)有解， 设φ(x)＝log 3(9x +1)−2x (x ≥0)， φ(x)＝log 3(19x +1)， 因为x ≥0， 所以19x +1∈(1, 2]，所以φ(x)∈(0, log 32]，即实数a 的取值范围为：(0, log 32]，函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，则关于x 的方程log 3(m ⋅3x −2m)＝log 3(9x +1)−x 只有一个解， 所以m ⋅3x −2m ＝3x +3−x ，令t ＝3x (t >0)，得(m −1)t 2−2mt −1＝0，①当m −1＝0，即m ＝1时，此方程的解为t =−12，不满足题意，②当m −1>0，即m >1时，由韦达定理可知，此方程有一正一负根，故满足题意， ③当m −1<0，即m <1时，由方程(m −1)t 2−2mt −1＝0只有一正根，则需{4m 2−4(m −1)×(−1)=0−−2m 2(m−1)>0，解得m =−1−√52，综合①②③得，实数m 的取值范围为：{−1−√52}∪(1, +∞)．【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】（1）由函数的奇偶性得：f(x)＝f(−x)恒成立，则2(k −1)x ＝0恒成立，即k ＝1；（2）由函数的零点与方程的根得：当x ≥0时，g(x)＝f(x)−x −a 存在零点，即a ＝log 3(9x +1)−2x 在x ∈[0, +∞)有解，构造函数求值域即可；（3）函数图象的交点与方程的根的相互转化得：函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，等价于关于x 的方程log 3(m ⋅3x −2m)＝log 3(9x +1)−x 只有一个解，讨论(m −1)t 2−2mt −1＝0的正根即可．【解答】由f(x)＝log 3(9x +1)−kx 是偶函数． 则f(x)＝f(−x)恒成立， 则2(k −1)x ＝0恒成立， 即k ＝1；当x ≥0时，g(x)＝f(x)−x −a 存在零点， 即a ＝log 3(9x +1)−2x 在x ∈[0, +∞)有解， 设φ(x)＝log 3(9x +1)−2x (x ≥0)， φ(x)＝log 3(19x +1)， 因为x ≥0， 所以19x +1∈(1, 2]，所以φ(x)∈(0, log 32]，即实数a 的取值范围为：(0, log 32]，函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，则关于x 的方程log 3(m ⋅3x −2m)＝log 3(9x +1)−x 只有一个解， 所以m ⋅3x −2m ＝3x +3−x ，令t ＝3x (t >0)，得(m −1)t 2−2mt −1＝0，①当m −1＝0，即m ＝1时，此方程的解为t =−12，不满足题意，②当m −1>0，即m >1时，由韦达定理可知，此方程有一正一负根，故满足题意， ③当m −1<0，即m <1时，由方程(m −1)t 2−2mt −1＝0只有一正根，则需{4m 2−4(m −1)×(−1)=0−−2m 2(m−1)>0，解得m =−1−√52，综合①②③得，实数m 的取值范围为：{−1−√52}∪(1, +∞)．【答案】连接OP ，OQ ，则四边形MNQP 为梯形．设∠AOP ＝∠BOQ ＝θ∈(0, π4)，则∠POQ =π2−2θ，且此时OM ＝ON ＝1，四边形MNQP 面积S =12×2sin θ+12×2sin θ+12×2×2sin (π2−2θ)−12=−4sin 2θ+2sin θ+32， ∴ sin θ=14，S 取最大值74；设OM ＝ON ＝x ∈(0, 2)，由PQ ＝2可知∠POQ =π3，∠AOQ ＝∠BOP =π12， ∴ sin π12=√6−√24， ∴ 四边形MNQP 面积S =√6−√24x +√6−√24x +√3−12x 2=−12x 2+√6−√22x +√3，∴ x =√6−√22，S 取最大值为2+√32． 【考点】三角函数模型的应用 三角函数的最值 【解析】（1）设∠AOP ＝∠BOQ ＝θ∈(0, π4)，则∠POQ =π2−2θ，且此时OM ＝ON ＝1，利用分割法，即可求四边形MNQP 面积的最大值．（2）PQ ＝2，可知∠POQ =π3，∠AOQ ＝∠BOP =π12，利用分割法，即可求四边形MNQP 面积的最大值． 【解答】连接OP ，OQ ，则四边形MNQP 为梯形．设∠AOP ＝∠BOQ ＝θ∈(0, π4)，则∠POQ =π2−2θ，且此时OM ＝ON ＝1，四边形MNQP 面积S =12×2sin θ+12×2sin θ+12×2×2sin (π2−2θ)−12=−4sin 2θ+2sin θ+32， ∴ sin θ=14，S 取最大值74；设OM ＝ON ＝x ∈(0, 2)，由PQ ＝2可知∠POQ =π3，∠AOQ ＝∠BOP =π12， ∴ sin π12=√6−√24， ∴ 四边形MNQP 面积S =√6−√24x +√6−√24x +√3−12x 2=−12x 2+√6−√22x +√3，∴ x =√6−√22，S 取最大值为2+√32．。
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因为当 x 0 时， f x 单调递增，所以 f 3a 2 f a 1 等价于
f
3a
2
f
a 1 ，即
3a 2
a 1 ，
9a2 12a 4 a2 2a 1,8a2 10a 3 0a 3 a 1 4或 2，
3CD
BD,
3AD
3AC
AD
AB,
AD
1
AB
3
AC
【解析】
2 2，
AO
1
AD=
1
AB
3
AC
O 为 AD 的中点，
2
4
4，
1 , 3 , 3
44
16 .
故选:B.
8.已知定义在
R
上的奇函数
f
x
满足
f
(x 2)
f
x
0
，且当
x [0,1] 时，
f x=log2(x 1) ，则下列不等式正确的是( )
10.已知函数 f (x) e x x2 , 且 f (3a 2) f (a 1) ，则实数 a 的取值范围是（ ）
4
A.
,
1 2
3 4
,
B.
1 2
,
C.
,
1 2
D.
0,
1 2
3 4
,
【答案】A
【解析】因为 f x e x x2 ，所以 f (x) f (x) , f x 为偶函数，
A. f log27 f (5) f 6 B. f log27 f 6 f (5) C. f (5) f log27 f 6 D. f (5) f 6 f log27
【答案】C
【解析】由 f (x+2)+f x =0 ，得 f (x+2)= f x ，所以 f (x+4) f x ， f x 的周
【解析】得到的偶函数解析式为
y
sin
2
x
π 8
sin
2x
π 4
，显然
π 4
.
6.已知函数
f
x
l4oxg22
x x, x 1, x 0
0
若
f
a ＝3 ，则
f
(a－2)
＝(
)
15
A. － 16
B. 3
63 C. － 64 或 3
15 D. － 16 或 3
【答案】A
【解析】当 a 0 时，若 f a＝3，则 log2 a a 3 a 2 ；当 a 0 时，若 f a＝3，
9.若
5 sin( ) 5，
10 10 ，且 [ π , π] ， [π, 3π]，则 的值是（）
4
2
9π
A.
B. 7π
C. 5π 或 7π D. 5π 或 9π
4
4
44
44
【答案】B
【解析】 [ π ， π] ， [π ， 3π] ，
4
2
2 [ π ， 2π] ， 2
0 sin 2 5 1
期 T 4.又 f (x) f x ，且有 f 2= f 0=0 ，
所以
f
(5)=
f
5=
f
1 = log22= 1，
f
6
f
2
0
.
又
2 log27
3，所以
0 log2 7 2 1，即
0
log 2
7 4
1
，
因为 x [0,1]时， f x log2(x 1)[0,1] ，
所以
f
【答案】B
【解析】由题意，可得函数在定义域上为增函数， f 1 2 log21 3 1 0 ，
f 2 22 log22 3 5 3 2 0 ， 所以 f 1 f 2 0 ，根据零点存在性定理， f x 的零点所在区间为 1, 2
故选 B．
3.函数 y x2 (a 2)x 在区间 (4, ) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. a 2 B. a 2 C. a 6 D. a 6
【答案】D
【解析】函数
y
x2
(a
2)x
的对称轴方程为
x
2
2
a
，
函数在区间
(4,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
上是增函数，所以
2
2
a
4
，
解得 a 6 .故选:D.
1
4.若扇形的圆心角 120 ，弦长 AB 12cm ，则弧长 l （ ） cm
4 3π
A.
又
5 2，
2 (5π ， π) ，即 (5π ， π ) ，
6
12 2
( π ， 13π) ， 2 12
cos 2 1 sin 2 2 2 5 5；
sin( ) 10
又
10 ，
(π ， π) ，
2
cos( ) 1 sin 2( ) 3 10 10 ，
A.
x 1 x 2
B.
x x 2
C.
x x 1
D.
【答案】A
【解析】
x
3
x
1
0
,
x
3
或
x
1
A
即
x x 3或x 1 ，CU A [1,3] ， CU A B
x1 x 2
故选：A
2.函数 f x 2x log2 x 3的零点所在区间 (
)
A. 0,1 B. 1, 2 C. 2,3 D. 3, 4
则 4a2 1 3 a 3 ，不满足 a 0 舍去．于是，可得 a 2 .
f (a-2)＝f 0 402 1 15
故
16 .故本题选 A.
2
7.在
ABC
中，
3CD
BD
，
O
为
AD
的中点，若
AO
AB
AC
，则
（
）
3 3 3
3
A. 4 B. 16 C. 4 D. 16
【答案】B
3
8 3π
B.
3
4π 8π
C.
D.
3
3
【答案】B
【解析】设扇形的半径为 r
r
，依题意
6 sin 600
4
3
，
弧长 l 2 πr 8 3 π .
3
3
故选:B.
5.将函数 y sin 2x 的图象沿轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的
一个可能取值为( )
A.
B.
【答案】B
C. 0 D. π 4
cos( ) cos[2 ( )] cos 2 cos( ) sin 2 sin( ) 2 5 ( 3 10) 5 10
5
10 5 10
2 2
又 (5π ， π ) ， [π ， 3π] ，
12 2
2
( ) (17π ， 2π) ， 7π .
12
4
故选 B
河北省唐山市第一中学 2019-2020 学年高一上学期期末考试
数学试题
卷Ⅰ（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1.设全集U R ， A x x 3 x 1 0 ， B x x 2 ，则 CU A B （ ）
x 1 x 2
log2 7
f
(log 2 7
2)
f
(log 2
7) 4
log 2 (log 2
7 4
1)
log 2 (log 2
7) 2
1 又
log 2
7 2
2
0 ，所以
log2 (log2
7) 2
1
1
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log 2 (log 2
7) 2
0
，
3
所以
f
(5)
f
(log2
7)
f
(6)
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故选：C.
sin 2