电磁场与电磁波习题答案8

第八章

8-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。

解 非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的麦克斯韦方程如下：

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨

⎧

=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇)(),()(0),()()

,()(),(),()(),(),(r r E r r H r r H r r E r E r r J r H ρεμμεt t t t t t t t t ， 分别对上面两式的两边再取旋度，利用矢量公式A A A 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，得

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∇⋅-∇+∂∂+∂∂⨯∇=∂∂-∇)()(),(),()

,()(),()()

,()

()(),(2

22

r r r E r r J r r H r r E r r r E εερμμμεt t t t t t t t t

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∇⋅∇-∂∂⨯∇-⨯-∇=∂∂-∇μμεμε)(),()

,()(),()

,()

()(),(2

22

r r H r E r r J r H r r r H t t t t t t t

则相应的亥姆霍兹方程为

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∇⋅-∇++⨯∇=+∇)()()()()()(j )()(j )

()()()(22r r r E r r J r r H r r E r r r E εερωμμωμεω⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∇⋅∇-⨯∇-⨯-∇=+∇μμεωμεω)()()()(j )()

()()()(22r r H r E r r J r H r r r H

8-2 设真空中0=z 平面上分布的表面电流t J s x s sin 0ωe J =，试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。

解 0=z 平面上分布的表面电流将产生向z +和z -方向传播的两个平面波，

设z > 0区域中的电场和磁场分别为)(1z,t E ，)(1z,t H ，传播方向为z +；而z < 0区域中的场强为)(2z,t E 和)(2z,t H ，传播方向为z -。显然，各个场分量均与0=z 边界平行。由于表面电流的存在导致磁场强度在0=z 边界上不连续，但是电场强度仍然连续。由此求得下列方程：

[]s n t t J H H e =-⨯),0(),0(21

),0(),0(21t t E E =

式中z n e e -=。考虑到

[]z z,t Z z,t e H E ⨯=)()(101；[])()()(202z z,t Z z,t e H E -⨯=

求得，[]0)0()0(210=⨯+z ,t ,t Z e H H ，获知)0()0(12,t ,t H H -=

因此，t J t J ,t y z x z s ωωsin 2

1

sin 2121)0(001e e e e J H =⨯-=⨯-=

那么， ()kz t J z,t y -=ωsin 21

)(01e H ， z > 0

同理可得 ()kz t J z,t y +-=ωsin 2

1

)(02e H ， z < 0

因此，两边的电场强度分别为

()kz t J Z z,t x -=

ωsin 2)(00

1e E ， z > 0 ()kz t J Z

z,t x +=ωsin 2

)(002e E ， z < 0

能流密度分别为

()kz t J Z z,t z,t z,t z

-=⨯=ω2

200111sin 4

)()()(e H E S ,

z > 0 ()kz t J Z z,t z,t z,t z +-=⨯=ω2

200222sin 4

)()()(e H E S ， z < 0

8-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为

)3

1018sin() ,(6x t t x y π

π-

⨯=e E (V/m)

试求磁场强度瞬时值、平面波的频率、波长、相速及能流密度。 解 已知电场强度瞬时值为

()⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-⨯=x t t x y ππ311018sin ,6e E (V/m)

可见这是向+x 方向传播的平面波。因此，磁场强度的瞬时值为

()⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯=x t t x z

ππ311018sin Z 1,6e H (A/m) 式中ε

μ

=

Z 为媒质的波阻抗。 根据题意，获知平面波的角频率61018⨯=πω，波数π3

1

=k 。由此求出

频率：Hz 10926⨯==π

ωf ；波长：m 62==k π

λ

相速：61054⨯==λf v p (m/s) 能流密度：H E S ⨯=)m /W (311018sin Z 1262⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-⨯=x t x

ππe 8-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为

)2106cos(4.2) ,(8y t t y z πππ+⨯=e H (A/m)

试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密度。 解 根据题意，获知平面波的角频率6106⨯=πω，相位常数π2=k 。由此求出

频率：Hz 10328⨯==

πωf ；波长：m 12==k π

λ 相速：8

103⨯==

k

v p ω(m/s)

已知磁场强度瞬时值为

()()

y t t y z πππ2106cos 4.2,8+⨯=e H (A/m)

可见这是向-y 方向传播的平面波。因此，电场强度的瞬时值为

()()

y t Z t y x πππ2106cos 4.2,60+⨯=e E (V/m)

式中0

0εμ=

Z 为真空的波阻抗。那么，电场强度的复矢量为 ()y x

Z y ππ2j 0e 2

4.2e E =(V/m)

能流密度矢量：

())W/m (6.3452

4.2230

2ππy y

Z

e e H E S -=-=⨯=

8-5 当频率分别为10kHz 与10GHz 的平面波在海水中传播时，求此平面波