电磁场与电磁波习题答案8

第八章8-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。

解 非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的麦克斯韦方程如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇)(),()(0),()(),()(),(),()(),(),(r r E r r H r r H r r E r E r r J r H ρεμμεt t t t t t t t t ， 分别对上面两式的两边再取旋度，利用矢量公式A A A 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅-∇+∂∂+∂∂⨯∇=∂∂-∇)()(),(),(),()(),()(),()()(),(222r r r E r r J r r H r r E r r r E εερμμμεt t t t t t t t t⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅∇-∂∂⨯∇-⨯-∇=∂∂-∇μμεμε)(),(),()(),(),()()(),(222r r H r E r r J r H r r r H t t t t t t t则相应的亥姆霍兹方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇⋅-∇++⨯∇=+∇)()()()()()(j )()(j )()()()(22r r r E r r J r r H r r E r r r E εερωμμωμεω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅∇-⨯∇-⨯-∇=+∇μμεωμεω)()()()(j )()()()()(22r r H r E r r J r H r r r H8-2 设真空中0=z 平面上分布的表面电流t J s x s sin 0ωe J =，试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。

解 0=z 平面上分布的表面电流将产生向z +和z -方向传播的两个平面波，设z > 0区域中的电场和磁场分别为)(1z,t E ，)(1z,t H ，传播方向为z +；而z < 0区域中的场强为)(2z,t E 和)(2z,t H ，传播方向为z -。

显然，各个场分量均与0=z 边界平行。

由于表面电流的存在导致磁场强度在0=z 边界上不连续，但是电场强度仍然连续。

由此求得下列方程：[]s n t t J H H e =-⨯),0(),0(21),0(),0(21t t E E =式中z n e e -=。

考虑到[]z z,t Z z,t e H E ⨯=)()(101；[])()()(202z z,t Z z,t e H E -⨯=求得，[]0)0()0(210=⨯+z ,t ,t Z e H H ，获知)0()0(12,t ,t H H -=因此，t J t J ,t y z x z s ωωsin 21sin 2121)0(001e e e e J H =⨯-=⨯-=那么， ()kz t J z,t y -=ωsin 21)(01e H ， z > 0同理可得 ()kz t J z,t y +-=ωsin 21)(02e H ， z < 0因此，两边的电场强度分别为()kz t J Z z,t x -=ωsin 2)(001e E ， z > 0 ()kz t J Zz,t x +=ωsin 2)(002e E ， z < 0能流密度分别为()kz t J Z z,t z,t z,t z-=⨯=ω2200111sin 4)()()(e H E S ,z > 0 ()kz t J Z z,t z,t z,t z +-=⨯=ω2200222sin 4)()()(e H E S ， z < 08-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为)31018sin() ,(6x t t x y ππ-⨯=e E (V/m)试求磁场强度瞬时值、平面波的频率、波长、相速及能流密度。

解 已知电场强度瞬时值为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=x t t x y ππ311018sin ,6e E (V/m)可见这是向+x 方向传播的平面波。

因此，磁场强度的瞬时值为()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=x t t x zππ311018sin Z 1,6e H (A/m) 式中εμ=Z 为媒质的波阻抗。

根据题意，获知平面波的角频率61018⨯=πω，波数π31=k 。

由此求出频率：Hz 10926⨯==πωf ；波长：m 62==k πλ相速：61054⨯==λf v p (m/s) 能流密度：H E S ⨯=)m /W (311018sin Z 1262⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=x t xππe 8-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为)2106cos(4.2) ,(8y t t y z πππ+⨯=e H (A/m)试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密度。

解 根据题意，获知平面波的角频率6106⨯=πω，相位常数π2=k 。

由此求出频率：Hz 10328⨯==πωf ；波长：m 12==k πλ 相速：8103⨯==kv p ω(m/s)已知磁场强度瞬时值为()()y t t y z πππ2106cos 4.2,8+⨯=e H (A/m)可见这是向-y 方向传播的平面波。

因此，电场强度的瞬时值为()()y t Z t y x πππ2106cos 4.2,60+⨯=e E (V/m)式中00εμ=Z 为真空的波阻抗。

那么，电场强度的复矢量为 ()y xZ y ππ2j 0e 24.2e E =(V/m)能流密度矢量：())W/m (6.34524.22302ππy yZe e H E S -=-=⨯=8-5 当频率分别为10kHz 与10GHz 的平面波在海水中传播时，求此平面波在海水中的波长、传播常数、相速及特性阻抗。

解 当kHz 10=f 时，4102⨯=πω，11091080102364494>>⨯=⨯⨯⨯⨯=-ππωεσ， 故可视为良导体。

那么相位常数：40.0=='μσπf k ；衰减常数：40.0='=''k k波长：ππλ52='=k ；相速154m s 1014.340.0102-⨯=⨯='=πωk v p 波阻抗：()Ωe 14.0j 14j πσμπ=+=f Z c 当kHz 10=f 时，10102⨯=πω，109.010*********10<<=⨯⋅⨯⨯=-ππωεσ， 故可视为非理想的电介质，则相位常数：28.1873=='μεωk 衰减常数：3.842==''εμσk 波长：mm 354.32='=k πλ；相速：m/s 10354.37⨯==kv p ω 波阻抗：Ω15.42801200====πεμεμZ Z r r c 8-6 推导式（8-3-9）。

解 若媒质的电导率为σ，则无源区中的麦克斯韦方程为E E E H )j (j j ωσεωωεσ-=+=⨯∇令ωσεεj-=e ，代入下述齐次亥姆霍兹方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+∇=+∇02222H H E E e e μεωμεω 再令e c k μεω22=，显然c k 为复数。

设k j k k c ''-'=，将e ε代入c k 得)j (j 2222ωσεμω-='''-''-'k k k k该方程两端对应的实部和虚部应该相等，即⎩⎨⎧='''=''-'ωμσμεωk k k k 2222 求解上述联立方程即可求得式（8-3-9），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=''++=']1)(1[2]1)(1[222ωεσμεωωεσμεωk k 8-7 试证一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。

证明 令一个x 方向的线极化平面波为)2121(E E E x x +==e e E那么可将上式改写为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==E E E E E E E y x y x x x 21j 2121j 21)2121(e e e e e e E显然上式右端两项均为圆极化平面波，而且旋转方向恰好相反。

这就证实一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。

8-8 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。

证明 由教材8-4节可见，通过坐标轴旋转，任一椭圆极化平面波均可表示为y y x x E E e e E j +=令21E E E x +=，21E E E y -=，即)(211y x E E E +=，)(212y x E E E -= 那么前式可展开为)(j )(2121E E E E y x -++=e e E此式又可改写为)j ()j (2211E E E E y x y x e e e e E -++=显然，上式代表两个旋转方向相反的圆极化波。

8-9 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。

证明 设圆极化波电场强度的瞬时值为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=2sin sin ),(00πωωkz t E kz t E t z y x e e E上式可改写为()()kz t E kz t E t z y x -+-=ωωcos sin ),(00e e E相应的磁场强度为()()kz t Z Ekz t Z E t z x y---=ωωcos sin ),(0000e e H 那么，能流密度瞬时值为()()02020202020cos sin ),(),(),(Z E kz t Z E kz t Z E t z t z t z zz e e H E S =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⨯=ωω 可见，圆极化波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。

8-10 设真空中圆极化平面波的电场强度为x z y x π2j e )j (100)(-+=e e E (V/m)试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。

解 由电场强度的表示式可见，π2=k ，那么波长：m 12==k πλ；频率：Hz 1038⨯==λcf 因传播方向为+x 方向，z 分量又导前y 分量，因此该圆极化平面波是左旋的。

磁场强度为()x y z x Z ππ2j 0e j 651--=⨯=e e E e H （A/m ） 能流密度为08.5361000*x xe e H E S ≈=⨯=π（W/m 2） 8-11 当平面波自第一种理想介质向第二种理想介质垂直投射时，若媒质波阻抗12Z Z >，证明边界处为电场驻波最大点；若12Z Z <，则边界处为电场驻波最小点。

证明 设入射波的传播方向为+z 方向，z <0一侧媒质波阻抗为Z 1，z >0一侧媒质波阻抗为Z 2，那么，入射波和反射波可以分别表示为入射波：z k i i 1j 0e -=E E ；反射波：z k r r 1j 0e E E = 边界上的反射系数为1212Z Z Z Z R +-=由于两种介质均为理想介质，1Z 和2Z 为实数，且1≤R 。