广东省广州市海珠区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷 (含解析)

广东省广州市海珠区2020-2021学年高二（上）期末考试

数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，集合B＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，1] B．[﹣2，3）C．（﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣1] 2．已知椭圆，则该椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

3．已知命题p：∃a≥0，a2+a＜0，则命题￢p为（）

A．∀a≥0，a2+a≤0B．∀a≥0，a2+a＜0

C．∀a≥0，a2+a≥0D．∃a＜0，a2+a＜0

4．等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3＝6，a4+a5+a6＝﹣3，则a7+a8+a9＝（）A．24 B．C．D．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．π+2 B．C．D．

6．设正数m，n满足＝1，则9m+4n的最小值为（）

A．9 B．16 C．25 D．26

7．椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是这两曲线的一个交点，则|PF1|⋅|PF2|的值为（）

A．m2﹣a2B．（m﹣a）C．D．m﹣a

8．几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成30°角，则该椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

二、选择题（共4小题）.

9．已知命题p：若x＜y＜0，则﹣x＞﹣y，命题q：若x＜y，则x2＜y2，则下列命题中真命题（）

A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．（￢p）∨q 10．已知，则下列不等式正确的是（）

A．B．|a|+b＞0 C．lna2＞lnb2D．

11．已知直线l1、l2的方向向量分别是＝（2，4，x），＝（2，y，2），若||＝6且l1⊥l2，则x+y的值可以是（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

12．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）

A．椭圆C的方程为+x2＝1 B．椭圆C的方程为+y2＝1

C．|PQ|＝D．△PF2Q的周长为4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知x，y满足条件，则的最小值为．

14．数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＝，则S4＝．

15．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，，若M是AA1的中点，则BM与平面B1D1M所成角的正弦值是．

16．过双曲线的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左、右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是.（用区间表示）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．①a4+a5＝﹣4，②a2+a6＝﹣6，③S7＝14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．

问题：等差数列{a n}前n项和为S n，a7＝3，若____，是否存在k，使得S k﹣1＞S k且S k＜S k+1？

18．在平面直角坐标系xOy中，已知点P到两点M（），N（）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线y＝kx+2与曲线C有公共点，求实数k的取值范围．

19．某公司进行技术创新，将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品，从而实现“变废为宝、低碳排放”．经过生产实践和数据分析，在这种技术下，该公司二氧化碳月处理成本y（元）与二氧化碳月处理量x（x∈[300，600]，单位：吨）之间满足函数关系y＝﹣300x+80000，假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200

元．

（1）该公司二氧化碳月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低，最低平均成本是多少？

（2）该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少？

（月收益＝月收入﹣月处理成本）

20．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点．

（1）求证：AB1∥平面DBC1；

（2）若AB1⊥BC1，求二面角D﹣BC1﹣C的余弦值．

21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+3n+1（n∈N*）．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列{a n}的通项公式；

（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．

22．已知点A（1，0），E，F为直线x＝﹣1上的两个动点，且，动点P满足，（其中O为坐标原点）．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）若直线l与轨迹C相交于两不同点M，N，如果，证明直线l必过一定点，并求出该定点的坐标．

广东省广州市海珠区2020-2021学年高二（上）期末考试

数学试卷参考答案

一、选择题（共8小题）.

1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，集合B＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，1] B．[﹣2，3）C．（﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣1] 解：∵集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，

集合B＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥4}，

∴A∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣1}＝（﹣3，﹣1]．

故选：D．

2．已知椭圆，则该椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

解：∵椭圆，

∴a＝5，b＝4，c＝3，

∴该椭圆的离心率为e＝＝．

故选：C．

3．已知命题p：∃a≥0，a2+a＜0，则命题￢p为（）

A．∀a≥0，a2+a≤0B．∀a≥0，a2+a＜0

C．∀a≥0，a2+a≥0D．∃a＜0，a2+a＜0

解：特称命题p：∃a≥0，a2+a＜0，

由特称命题的否定是全称命题，则命题￢p为∀a≥0，a2+a≥0．

故选：C．

4．等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3＝6，a4+a5+a6＝﹣3，则a7+a8+a9＝（）A．24 B．C．D．

解：等比数列{a n}中，

由等比数列的性质得：

S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等比数列，