2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解

2.1 合情推理与演绎推理

一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列推理是归纳推理的是( )

A ．A ，

B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆

B ．由a1＝1，an ＝3n －1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和Sn 的表达式

C ．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S ＝πab

D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

2．设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )

A ．f(2n)>2n ＋12

B ．f(n2)≥n ＋22

C ．f(2n)≥n ＋22

D ．以上都不对

3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α，则直线b ∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．非以上错误

4. 若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A －BCD 的高为h ，则( )

A ．h>h1＋h2＋h3

B ．h ＝h1＋h2＋h3

C ．h

D ．h1，h2，h3与h 的关系不定

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．把正有理数排序：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，则数19891949所在的位置序号是________．

6．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．

三、解答题(共70分)

7.（15分）通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

23135sin 75sin 15sin 020202=

++；23

150sin 90sin 30sin 020202=++；

23165sin 105sin 45sin 020202=

++；23

180sin 120sin 60sin 020202=++

8.（20分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，

单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图. 其中第一

个图有1个蜂巢，第二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则

(4)f =_____;()f n =___________.

9．(20分) 在

ABC ∆中,若0

90=∠C ,则

1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的

类似性质,并证明你的猜想.

10.（15分）对于一元二次方程，有以下正确命题：

如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，方程

01121=++c x b x a 和02222=++c x b x a 在复数

集上的解集分别是A 和B ，则“2

1

2121c c b b a a ==”是“B A =”的充分必要条件．

试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．

2.1 合情推理与演绎推理答题纸

得分：

一、选择题

二、填空题

5． 6．

三、解答题

7.

8.

9.

10.

2.1 合情推理与演绎推理 答案

一、选择题

1.B 解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n 项和Sn ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.

2.C 解析：f(2)＝32，f(4)＝f(22)>2＋22，f(8)＝f(23)>3＋22，f(16)＝f(24)>4＋22，f(32)＝f(25)>5＋22. 由此可推知f(2n)≥n ＋22.故选C.

3.A 解析：由演绎推理的三段论可知答案应为A.

4.B 解析：由点P 是正三角形ABC 的边BC 上一点，且P 到另两边的距离分别为h1，h2，正三角形ABC 的高为h ，由面积相等可以得到h ＝h1＋h2.于是，采用类比方法，平面上的面积类比空间中的体积，可得答案为B. 二、填空题

5.7749965 解析：从所给有理数的排序规律可以发现，它们是由分子与分母的和依次为2,3,4，…的分数段“拼”成的．因为分数19891949的分子、分母和为3938，所以归纳推理可知，它是第3937段的第1949个数． 故序号为(1＋2＋…＋3936)＋1949＝7749965.

6.13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析：观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 三、计算题

7.证明：左边=2002

2

00

)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++-

=2

3

)cos (sin 2322=+αα=右边

8．解：,1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f

37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f .

9. 解：由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABC P -中，三个侧面PCA PBC PAB ,,两两垂直，且与底面所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos

222

=++γβα”

证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记h PO = 由PB PC PA PC ⊥⊥,得PAB PC 面⊥，从而PM PC

⊥，又α=∠PMC

PC h PCO =

∠=sin cos α，PA h =βcos ，PB

h

=γcos h PA PC PC PB PB PA PC PB PA V ABC P ⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅=-)cos 2

1

cos 21cos 21(3161γβα

1)cos cos cos (=++∴h PB

PA PC γβα即1cos cos cos 222=++γβα

10. 解：（3）如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，不等式01121>++c x b x a 和0

222

2>++c x b x a 的解集分别是A 和B ，则“21

2121c c b b a a ==”是“B A =”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．