2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解

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2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解

5．把正有理数排序：11，21，12，31，22，13，
41，32，23，14，…，则数 19891949 所在的位置序号
是________．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6 ．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1
＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根
据上述规律，第四个等式为________．
f (n) =___________.
三、解答题(共 70 分) 7 .（15 分）通过观察下列等式，猜想出一个一般性的
结论，并证明结论的真假。
sin2 150

sin 2
750

sin2 1350

3 2
；
sin 2
300

sin 2
900

sin2 1500

3 2
；
9． (20 分 ) 在 ABC 中 ,若 C 900 ,则 cos2 A cos2 B 1 ,用类比的方法,猜想三棱锥的
2.1 合情推理与演绎推理
一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1．下列推理是归纳推理的是( ) A．A，B 为定点，动点 P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆 B．由 a1＝1，an＝3n－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C．由圆 x2＋y2＝r2 的面积πr2，猜想出椭圆 x2a2＋ y2b2＝1 的面积 S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
8.（2 0 分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图

【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 Word版含答案

2.1.2演绎推理[学习目标]1．理解演绎推理的意义．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．[知识链接]1．演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．2．如何分清大前提、小前提和结论？答在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．3．演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[预习导引]1．演绎推理要点一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．解(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；小前提：海王星是太阳系里的大行星；结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(2)大前提：所有导体通电时发热；小前提：铁是导体；结论：铁通电时发热．(3)大前提：一次函数都是单调函数；小前提：函数y ＝2x －1是一次函数；结论：y ＝2x －1是单调函数．(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q ；小前提：数列1,2,3，…，n 是等差数列；结论：数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．要点二演绎推理的应用例2 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长均为a ，D 、E 分别为C 1C 与AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .(1)求证：A 1B ⊥AD ； (2)求证：CE ∥平面AB 1D . 证明(1)连接BD .∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱， ∴A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点，∴△A 1C 1D ≌△BCD ，∴A 1D ＝BD ，∵G 为A 1B 的中点，∴A 1B ⊥DG ，又∵DG ∩AB 1＝G ，∴A 1B ⊥平面AB 1D . 又∵AD ⊂平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD .(2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ，∴GE ⊥平面ABC . ∵DC ⊥平面ABC ，∴GE ∥DC ，∵GE ＝DC ＝12a ，∴四边形GECD 为平行四边形，∴CE ∥GD .又∵CE ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ， ∴CE ∥平面AB 1D .规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．跟踪演练2 求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．证明 y ＝(2x ＋1)－22x＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )的定义域为R .f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－22－x ＋1＋⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1). 由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数．要点三合情推理、演绎推理的综合应用例3 如图所示，三棱锥A －BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影．(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明． (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心．(2)解猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD＝S 2△BCD .证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连结AE ，由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ，即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .规律方法合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．跟踪演练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13 x 是对数函数(小前提)，所以y＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析 y ＝log a x 是增函数错误．故大前提错．3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线4． “如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD ”．证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC >BC ， ① 所以AD >BD ， ② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 答案③ 解析由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础达标1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案C解析由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．三段论：“①小宏在2020年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2020年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2020年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．答案③解析在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．6．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是________．答案y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．二、能力提升8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是()A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错答案C解析由三段论推理概念知推理正确．9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是()A．1 B．2C ．3D ．4答案 B解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.10．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________.答案 12解析令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)① 令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)， ∴f (x )＝f (x ＋6)，即f (x )周期为6，∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12，即f (2 010)＝12.11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．证明大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )．结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC . 证明如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB .AE ⊂平面SAB . ∴AE ⊥平面SBC ，又BC ⊂平面SBC .∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC . 三、探究与创新13．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a ＞0且a ≠1)．(1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32a 2－a －22＋a 3－a －32a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g (2＋3)＝ f (3)g (2)＋g (3)f (2)，于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明因f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(大前提)，所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a－(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y2(小前提及结论)，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a－(x ＋y )2＝g (x ＋y ).。

【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案

2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．要点二类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三平面图形与空间图形的类比例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．答案 n 2－n ＋62解析前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________．答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心答案 D解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________．答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”．证明设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ，由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n 个等式可为________．答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。

2-1-1 合情推理与演绎推理

片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的
卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字
之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足，
若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足，故甲的卡片上的数字是(1,3)．
解析：A 错误，因为 logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B 错误，因为 sin(x＋y) ＝sin xcos y＋cos xsin y；对于 C，则有(x＋y)n＝C0nxn＋C1nxn－1·y＋…＋Crn·xn－r·yr＋… ＋Cnnyn；D 正确，为加乘法的结合律，故选 D.
B．f(n)＝n＋2
C．f(n)＝2n
D．f(n)＝2n
解析：选 C.对于 f(n)＝2n，有 f(n1＋n2)＝2(n1＋n2)．f(n1)＋f(n2)＝2n1＋2n2， ∴f(n1＋n2)＝f(n1)＋f(n2)．
∴f(n)＝2n. 5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则 b1b2b3…b9＝29，若{an}为等差数列，a5 ＝2，则{an}的类似结论为( ) A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9 解析：选 D.由等差数列性质，有 a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5， ∴a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝2×9. 6．下列推理正确的是( )
解：在△DEF 中，由正弦定理，得 d ＝ e ＝ f .于是， sin D sin E sin F
类比三角形中的正弦定理，在四面体 SABC 中，我们猜想 S1 ＝ sin α1

人教版新课标A版高中选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷

人教版新课标A版选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）下列命题中正确的是（）A . 类比推理是一般到特殊的推理B . 演绎推理的结论一定是正确的C . 合情推理的结论一定是正确的D . 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的2. （2分）下图是某光缆的结构图,其中数字为某段的最大信息量,则从M到N的最大信息量为（）A . 6B . 7C . 12D . 213. （2分） (2016高二上·衡阳期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a∈R，a*0=a；②对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（ex）* 的最小值为（）A . 2B . 3C . 6D . 84. （2分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A . aB . aC . aD . a5. （2分）观察下列各式：，则的末四位数为（）A . 3125B . 5624C . 0625D . 81256. （2分）北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行．某公司有A、B、C、D、E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知：E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A、C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路．由此可知，下列推测一定正确的是（）A . 今天是周六B . 今天是周四C . A车周三限行D . C车周五限行7. （2分）根据下边给出的数塔猜测1234569+8=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111A . 1111110B . 1111111C . 1111112D . 11111138. （2分） (2016高二下·钦州期末) “因为偶函数的图象关于y轴对称，而函数f（x）=x2+x是偶函数，所以f（x）=x2+x的图象关于y轴对称”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 大前提与推理形式都错误9. （2分）下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

人教A版选修1-2《2.1合情推理与演绎证明(1)》同步练习及答案

合情推理与演绎推理测试题（选修1-2）试卷满分150，其中第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共100分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有1.n A.1845a a a a +<+B. 1845a a a a +=+C.1845a a a a +>+D.1845a a a a =2.下面使用类比推理正确的是 A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x =A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x5.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6.函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A.18B.14C.12D. 17.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+∙+.其中不成立的有A.1个B.2个C.3个D.4个8.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 5 9.设 ()|1|||f x x x =--, 则1[()]2f f =A. 12-B. 0C.12D. 110.已知向量)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 则由x 的值构成的集合是A.{2,3}B. {-1, 6}C. {2}D. {6} 11. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 12.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二.解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 13.证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.14.在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状.15.已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，判断直线EF 与平面ABD 的关系，并证明你的结论.16.已知函数x x x f -+=)1ln()(，求)(x f 的最大值.17.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 090<.第Ⅱ卷（共50分）三．填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。

高中数学 2.1.1合情推理与演绎推理同步练习(含解析)苏教版选修12

第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．推理：从一个或几个已知命题得出________________________过程称为推理．2．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义从个别事实中推演出一般性的结论根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同思维过程实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论观察、比较→联想、类推→猜测新的结论一、填空题1．下列说法正确的是________．①由合情推理得出的结论一定是正确的②合情推理必须有前提有结论③合情推理不能猜想④合情推理得出的结论不能判断正误2．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是____________．3．已知A＝1＋2x4，B＝x2＋2x3，x∈R，则A与B的大小关系为________．4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是________．5．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为________．6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________________．7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．8．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.二、解答题9．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin 20°·sin 40°＝34；sin 228°＋sin 232°＋sin 28°·sin 32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．10．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n (n ∈N *)，求出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式．能力提升11．若Rt △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h2＝1a 2＋1b2，在正方体的一角上截取三棱锥P —ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO2，N ＝1PA2＋1PB2＋1PC 2，那么M 、N 的大小关系是M ________N ．(填“<、>、＝、≤、≥”中的一种)12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．第2章推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理答案知识梳理1．另一个新命题的思维作业设计 1．②解析合情推理的结论不一定正确，但必须有前提有结论． 2．2n－1解析 a 2＝2a 1＋1＝2×1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝2×3＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n ＝2n－1.3．A ≥B解析 ∵A －B ＝2x 4－2x 3－x 2＋1＝(x －1)2·(2x 2＋2x ＋1)≥0，∴A ≥B . 4．1 5．■解析图形涉及□、○、三种符号；其中○与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才合适．6．正四面体的内切球的半径是高的14解析原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．962解析观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50.∴m －n ＋p ＝962.9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°， ∴由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝34.10．解由a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得，a 1＝1a 1，又a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，将S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，S n －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋1an －1的左右两边分别相减得a n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，整理得a n －1a n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，所以a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2，又a 2>0，所以a 2＝2－1.同理a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3，又a 3>0，所以a 3＝3－ 2. 可推测a n ＝n －n －1. 11．＝12．证明类似性质为：若M 、N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与P 点位置无关的定值．其证明如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a2(m 2－a 2)．∴k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m，又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a 2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b 2a2(x 2－m 2)．∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a2.故k PM ·k PN 是与P 点位置无关的定值．。

高中数学苏教版选修2-2同步训练：2.1 合情推理与演绎推理 pdf版含答案

2.1 合情推理与演绎推理1、观察按下列顺序排列的等式:9011⨯+=,91211⨯+=,92321⨯+=,93431⨯+=,…,猜想第()*N n n ∈个等式应为( ) A.()91109n n n ++=+B.()91109n n n -+=-C.()91101n n n +-=-D.()()9111010n n n -+-=-2、如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是( )A.2B.4C.6D.83、下列推理是归纳推理的是( )A.,A B 为定点,动点P 满足2PA PB a AB +=>,则P 点的轨迹为椭圆B.由11a =,31n a n =-,求出123,,S S S 猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C.由圆222x y r +=的面积2πr ,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积πS ab = D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4、如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )A. B. C. D.5、已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式:,可推出扇形的面积公式( )A. 22r B. 22l C. 2lr D.不可类比6、下面使用类比推理正确的是( )A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a b c c c c+=+≠” D.“() n n n ab a b =”类推出“()n n n a b a b +=+”7、在证明()21f x x =+为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提;④函数()21f x x =+满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )A.①④B.②④C.①③D.②③8、“π是无限不循环小数,所以π是无理数”,以上推理的大前提是( )A.实数分为有理数和无理数B. π不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D.有理数都是有限循环小数9、对于推理:若a b >,则22a b >;因为23>-,所以()2223>-即49>下列说法正确的是( )A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确10、下列说法正确的是( )A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是由特殊到一般的推理C.归纳推理是由个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤11、观察下列等式. 11122-=11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……据此规律,第n 个等式可为__________.12、已知222233+=,333388+=,44441515+=,...,若666a b b += (,a b 均为实数),则a =__________,b =__________.13、观察下列等式211=22123-=-2221236-+=2222123410-+-=-……照此规律,第n 个等式可为__________。

高中数学选修1-2 同步练习专题2.1 合情推理与演绎推理(解析版)

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列13521,,n -,,,,则23是这个数列的A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项【答案】C【解析】令2123n -=，解得12n =，故23是这个数列的第12项．故选C ． 2．某演绎推理的“三段”分解如下：①函数()13xf x =是减函数；②指数函数是减函数；③函数()13x f x =是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是 A ．①→②→③ B ．③→②→① C ．②→①→③ D ．②→③→①【答案】D3．下列推理是类比推理的是A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x ya b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确【答案】C【解析】A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 是类比推理．故选C ． 4．“因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提与推理形式都错误【答案】B5．设0()sin x f x =，10()()f f x x '=，21()()f f x x '=，…，1()(),n n f f n x x +='∈N ，则2017()f x = A ．cos x - B ．sin x - C ．cos x D ．sin x【答案】C【解析】1()cos f x x =，2()(cos )sin ,f x x 'x ==-，3()cos ,f x x =-，4()sin f x x =，故2017450411()()()cos f x f x f x x ⨯+===．故选C ．6．在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214SS =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V = A ．18 B ．19 C ．164D ．127【答案】D【解析】如图，连接AE ，7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31……A ．811B ．809C ．807D ．805【答案】B【解析】由题意知前20行共有正奇数21353920400++++==个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809⨯-=．故选B ．8．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是……A．26 B．31 C．32 D．36 【答案】B【解析】有灰色的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是65(61)31+⨯-=．故选B．9．有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”.已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是A．甲B．乙C．丙D．无法确定【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．设等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列；类比以上结论有：设等比数列{}n b的前n项积为n T，则4T，______________，128TT成等比数列．【答案】84TT【解析】由题意，等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列，运用类比思想，只需要将差改为比即可，故有4T，84TT，128TT成等比数列．11．用演绎推理证明2)0(,,y x x=∈-∞是减函数时，大前提是______________．【答案】减函数的定义【解析】大前提：减函数的定义，在x I ∈内，若有12x x >，则有12()()f x f x <，小前提：2)0(,,y x x =∈-∞时12x x >，有12()()f x f x <，结论：2)0(,,y x x =∈-∞是减函数．12．已知下列等式：，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________()*n ∈N ．【答案】13．在下列类比推理中，正确的有_____________．①把()a b c +与(log )a x y +类比，则有log )l g og (o l a a a x y x y +=+； ②把()a b c +与sin()x y +类比，则有sin()sin sin x y x y +=+；③把实数,a b 满足：“若0,0ab b =≠，则0a =”，类比平面向量的数量积，“若·0=a b ，≠0b ，则=0a ”；④平面内，“在ABC △中，ACB ∠的平分线CE 将三角形分成两部分的面积比=AEC BEC SACS BC△△”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥A BCD －中，平面DEC 平分二面角A CD B --，且与AB 交于点E ，则平面DEC 将三棱锥分成两部分的体积比A CDE ACDB CDE BDCV S V S --=△△．【答案】④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．把下列演绎推理写成三段论的形式．（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；（2）一切奇数都不能被2整除，20(2)1+是奇数，所以20(2)1+不能被2整除；（3）三角函数都是周期函数，cos y α=是三角函数，因此cos y α=是周期函数．【解析】（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，………………大前提在标准大气压下把水加热到100℃，…………………………………小前提水会沸腾．………………………………………………………………结论（2）一切奇数都不能被2整除， ……………………………………大前提20(2)1+是奇数， ……………………………………………………小前提 20(2)1+不能被2整除． ……………………………………………结论（3）三角函数都是周期函数，………………………………………大前提cos y α=是三角函数，………………………………………………小前提 cos y α=是周期函数．………………………………………………结论15．已知()33xf x =+，分别求()0)(1f f +，()12()f f -+，()23()f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．【解析】由1()33xf x=+，得01113()()313333f f=+=+++，12113()()3333123f f-=+=++-+，23113()()3333233f f-=+=++-+，归纳猜想一般性结论为3()(1)3f fx x-++=，证明如下：111131()(1)333313333xx x x xf f xx-++-++=+=++++⋅+1113313313313=33333333(133)x x xx x x x+++⋅⋅+⋅++===++++⋅．16．（1）在平面上，若两个正方形的边长的比为，则它们的面积比为.类似地，在空间中，对应的结论是什么？（2）已知数列满足11212,4nnnaa aa+-==+，求，并由此归纳得出的通项公式（无需证明）.17．如图1，已知PAB△中，，点在斜边上的射影为点.（1）求证：222111PH PA PB =+；（2）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（1）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.因为，，，所以平面，。

2019-2020年高中数学人教B版选修2-2同步训练：2.1 合情推理与演绎推理 Word版含答案

2.1 合情推理与演绎推理1、某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班;丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( )A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日2、如果甲去旅游,那么乙、丙和丁将一起去.据此,下列结论正确的是( )A.如果甲没去旅游,那么乙、丙、丁三人中至少有一人没去.B.如果乙、丙、丁都去旅游,那么甲也去.C.如果丙没去旅游,那么甲和丁不会都去.D.如果丁没去旅游,那么乙和丙不会都去.3、有一段演绎推理是这样的:“指数函数都是增函数;已知12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数;则12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4、如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是( )A.2B.4C.6D.85、下面几种推理是类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果A∠和B∠是两条平行直线的同旁内角，则∠+∠=︒180A BB.依据圆中与圆心距离相等的两条弦长相等，推测球中与球心距离相等的两截面圆的面积相等C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D.一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除 6、若等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则数列{}n S n 为等差数列,公差为2d.类似地,若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ,前n 项积为n T ,则等比数列的公比为( ) A.2qB.2q7、设函数()f x =n 项和公式的推导方法计算(5)(4)(3)...(0)(1)...(5)(6)f f f f f f f -+-+-++++++的值为( )A.2B.2C.D.28、已知数列{}n b 为等比数列, 52b =,则912392b b b b ⋅⋅=,若数列{}n a 为等差数列,52a =,则数列{}n a 的类似结论为( )A. 912392a a a a ⋅⋅=B. 912392a a a a ++++=C. 123929a a a a ⋅⋅=⨯D. 123929a a a a ++++=⨯9、在平面几何中，有如下结论：正ABC △的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =( ) A.164B.127C.19D.1810、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得x =（）A. 3B. C. 6D. 11、观察下列各式：22222322221231;623512;6347123;64591234;6⨯⨯=⨯⨯+=⨯⨯++=⨯⨯+++=照此规律，当*N n ∈时，2222123...n ++++= .12、《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: ==则按照以上规律,若=有 “穿墙术”,则n =__________.13、设ABC △的三边长分别为a ，ABC △的面积为S ，内切圆半径为r ，则2Sr a b c=++；类比这个结论可知：四面体P ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为R ，四面体P ABC -的体积为V ，则R =__________.14、已知推理:“因为ABC △的三边长依次为3,4,5,所以ABC △是直角三角形”.若将其恢复成完整的“三段论”,则大前提是__________.15、在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则(1)正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的_________. (2)证明你的结论是正确的.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：112~日期之和为78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的日期之和是26, 甲在1日和3日都有值班,故甲余下的两天只能是10号和12号; 而乙在8日和9日都有值班,8917+=, 所以11号只能是丙去值班了.余下还有2号、4号、5号、6号、7号五天, 显然,6号只可能是丙去值班了2答案及解析：答案：C 解析：3答案及解析：答案：A解析：试题分析:当1a >时,指数函数x y a =是增函数;当01a <<时,指数函数x y a =是减函数,故说“指数函数x y a =是增函数”是错误的。

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.由下列事实：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4，（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5，可得到合理的猜想是．【答案】.【解析】由所给等式可以发现：等式左边由两个因式相乘；第一个因式相同，是；第二个因式是和的形式，每一项为的形式，且按降次排列，按升次排列，且；等式右边为差的形式，次数比左边第二个因式的第一项次数大1，；因此，我们可得到合理的猜想是.【考点】归纳推理.2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．3.把命题“若是正实数，则有”推广到一般情形，推广后的命题为____________.【答案】若都是正数，则有【解析】可通过类比，归纳得一般结论，证明如下：【考点】推理与证明.4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．推理形式错误C．小前提错误D．非以上错误【答案】A【解析】三段论推理形式为大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确，且推理的形式也正确，结论才正确，此处结论错误的原因是“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线”这句话不正确，它恰是推理的大前提，故选择A.【考点】三段论推理.5.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．6.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．9.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.10.把正整数按右图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把上图中的数分为4个数列分别是：（1）1,5,9 (2)2,6,10 ;(3)3,7,11 ;(4)4,8,12 它们都是以4为公差的等差数列，4个数列的通项公式分别为，，，，只要确定2014在哪个位置就可以了，只有解得，其余的解得不是整数，所以2014在第二个数列的位置，观察数的结构得本题选A。

高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2合情推理(2)课时作业(含解析)新人教A版选修1_2

第二章推理与证明课时作业34一、选择题1．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近．答案：C2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．① B ．①② C ．①②③D ．③ 解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：C3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：推广到空间以后，对于A ，还有可能异面，对于C 还有可能异面，对于D ，还有可能异面．答案：B4．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若ΔBCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM＝( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：面的重心类比几何体重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AOOM＝3，故选C. 答案：C 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O －xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示__________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O －xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析：平面几何中，圆的面积与圆半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面A －BCD 的棱长为a ，可得其内切球的半径为612a ，外接球的半径为64a ，则V 1V 2＝127. 答案：1277．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°， …所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是__________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4) 三、解答题8．在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为300.类比上述结论，相应的在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是b n 的前n 项积，试得出类似结论并证明．解：类比等差数列可得等比数列对应性质：在公比为4的等比数列{b n }中，T n 表示b n 的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列且公比为4100.证明如下：T n ＝b 1b 2…b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2…b 1q n －1＝b n 1q0＋1＋2＋…＋(n －1)＝＝，∴T 10＝b 101·445，T 20＝b 2014190，T 30＝b 3014435，T 40＝b 4014780. ∴T 20T 10＝b 101·4145，T 30T 20＝b 1014245，T 40T 30＝b 1014345. 而b 1014245b 1014145＝4100，b 1014345b 1014245＝4100， ∴T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30是以4100为公比的等比数列． 9．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2，同理，y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。

2019高中数学第2章推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 2.1.1 合情推理学案新人教A版选修1-2

2.1.1 合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义．(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理[基础自测]1．思考辨析(1)利用合情推理得出的结论都是正确的． ( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用． ( )(3)由个别到一般的推理为归纳推理． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )【导学号：48662046】A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对 B [推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]3．等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是________．b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)[类比等差数列，可以类比出结论b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)]4．如图211所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N*)．图21115 3n－3 [依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．][合作探究·攻重难]12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为________．(2)已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．(3)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，满足S n＝6－2a n＋1(n∈N*)．①求a2，a3，a4的值；②猜想a n的表达式.【导学号：48662047】[解析](1)12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n ＋1n n ＋2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x 1－16x ，根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x. [答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x(3)①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)，所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________．65 [因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x ＝64＋1＝65.] 2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3-2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3-2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5-2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7-2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9-2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1-2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1-2＝________. 43n (n ＋1) [通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．]面砖的块数是________．图212(2)根据图213中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：48662048】图213[解析](1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案](1)5n＋1 (2)5093．如图214所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：图214通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．16 3n＋1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．] 4．根据如图215的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．(1) (2) (3) (4) (5)图215[解] 法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，故猜测第n 个图形中的圆圈数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……由上述的变化规律，可猜测第n 个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n 个方向，每个方向有(n －1)个圆圈，因此共有n (n －1)＋1＝(n 2－n ＋1)个圆圈．(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点： [探究问题]1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的13.(1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －12n －1＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明．思路探究 (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC .[解] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以2n －1，即商类比成开2n －1次方，即在正项等比数列{b n }中，有2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt△ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .，S 3，S 分别表示△与底面ABC 所成二面角的大小．，连接AF .[当堂达标·固双基]1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )【导学号：48662049】A ．r 22B ．l 22C ．lr2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]2．观察如图216所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )图216A.B.C.D.A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．]3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．b 4＋b 8>b 5＋b 7 [将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7.]4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________.【导学号：48662050】13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2[由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.]5．在Rt△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想． [解] 如图，在Rt△ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。

人教A版选修1-2教案：2.1合情推理与演绎推理(三)(含部分答案)

§2.1 合情推理与演绎推理（三）【学情分析】：合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．【教学目标】：（1）知识与技能：了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．（2）过程与方法：体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．（3）情感态度与价值观：培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．【教学重点】：正确地运用演绎推理进行简单的推理．【教学难点】：正确运用“三段论”证明问题．【练习与测试】：1．下面的推理过程中，划线部分是（）．因为指数函数xa y =是减函数，而xy 2=是指数函数，所以xy 2=是减函数.A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（）A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是3．因为相似三角形面积相等，而△ABC 与△A 1B 1C 1面积相等，所以△ABC 与△A 1B 1C 1相似.上述推理显然不对，这是因为（）．A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．推理形式错误 4．请判断下面的证明，发生错误的是（）．∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行，又∵直线⊆l 平面α，直线⊆m 平面β，直线⊆n 平面β，且l ∥m ， ∴α∥β.A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．以上都错误 5．函数()()R x x f y ∈=为奇函数，()()()()22,211f x f x f f +=+=，则()=5f （）． A ．0 B ．1 C ．25D ．5 6．下面给出一段证明： ∵直线⊆l 平面α，又∵α∥β，∴l ∥β.这段证明的大前提是． 7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论． ∵ ．（大前提）又∵P A ⊥BC ，AB ⊥BC ， P A ∩AB=A ．（小前提）∴ ．（结论）CBAP8．用“三段论”证明：通项公式为dn c a n +=的数列{}n a 是等差数列. 9．用“三段论”证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ，则AB=DC ． 10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写． 11．证明函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 12．设a ＞0,b ＞0,a +b =1,求证：8111≥++abb a ．参考答案1～5：BADAC6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC ⊥平面P AB 8．证：如果数列{}n a 满足：d a a n n =-+1（常数），那么数列{}n a 是等差数列（大前提） ∵数列{}n a 中有d dn c n d c a a n n =+-++=-+)()1(1（常数），（小前提） ∴通项公式为dn c a n +=的数列是等差数列．（结论） 9．证：过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ．∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（大前提）又∵四边形ABED 中DE ∥AB ，AD ∥BE ，（小前提） ∴四边形ABED 是平行四边形．（结论） ∵平行四边形的对边相等．（大前提）又∵四边形ABED 是平行四边形，（小前提） ∴AB ＝DE ．（结论） ∵两直线平行，同位角相等．（大前提）又∵AB ∥DE ，（小前提） ∴∠DEC ＝∠B ．（结论） ∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等．（大前提）又∵∠B ＝∠C ，∠DEC ＝∠B （小前提） ∴∠DEC ＝∠C ．（结论） ∵三角形中等角对等边．（大前提）又∵△DEC 中有∠DEC ＝∠C ，（小前提） ∴DE ＝DC ．（结论） ∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等．（大前提）又∵AB ＝DE ，DE ＝DC （小前提） ∴AB=DC ．（结论）10．证：函数)(x f y =若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1、x 2，若x 1＜x 2，则有)(1x f ＜)(2x f ，则)(x f y =在该给定区间内是增函数．（大前提）任取x 1、x 2∈（－∞，1］，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝（－x 12+2x 1）－（－x 22+2x 2）＝（x 2－x 1）（x 1+x 2－2）又∵x 1＜x 2≤1，∴x 2－x 1＞0，x 1+x 2＜2，即x 1+x 2－2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝（x 1－x 2）（2－（x 1+x 2））＜0，即f (x 1) ＜f (x 2) ．（小前提）∴函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数．（结论） 11．证：任取x 1、x 2∈［1，+∞］，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝（－x 12+2x 1）－（－x 22+2x 2）＝（x 1－x 2）（2－（x 1+x 2））又∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1+x 2＞2，即2－（x 1+x 2）＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝（x 1－x 2）（2－（x 1+x 2））＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ．∴函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 12．证：∵a +b =1，且a ＞0,b ＞0,⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=++b b a a b a b a ab b a b a ab b a 2112111118442242422=+=⨯⨯+≥⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=b a a b b a a b b a a b。

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.当x∈R＋时，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推广为x＋≥n＋1，其中P等于 ( )A、 B、Ｃ、 D、【答案】A【解析】∵x∈R+时可得到不等式x+≥2，x+≥3，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方，∴p=n n，故选A【考点】本题考查了归纳推理点评：解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向2.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是 ( )A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】解：因为用演绎法证明函数是增函数，可以根据函数满足增函数的定义，得到结论。

3.根据给出的数塔猜测123456×9＋7=( )1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111……A．1111113B．1111112C．1111111D．1111110【答案】C【解析】解：根据已知的条件1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111，观察归纳猜想可知123456×9＋7=1111111 ，选C4.在平面几何中,有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有.”【答案】【解析】根据类比的规则，三角形类比三棱锥，边类比成面.所以.5.类比圆的性质“与圆心距离相等的两弦相等，距圆心较近的弦较长”，可得球的性质_【答案】“与球心距离相等的两截面圆面积相等，距球心较近的截面圆面积较大。

复习演绎推理

用符号表示这两步都遵守如下推理规则：“如果b⇒c， a⇒b，则a⇒c”，这种推理规则叫做三段论推理．
演绎推理在代数中的应用
用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞,＋∞)
上是增函数．分析：证明本题所依据的大前提是增函数的定义，
即函数y＝f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，
x2，若有x1<x2，则有f(x1)<f(x2)．小前提是函数y＝f(x)， x∈(－∞，＋∞)上满足增函数的定义，这是证明本题的关
(3)通项公式an＝2n＋3表示的数列{an}为等差数列．
(4)Rt△ABC的内角和为180°. 解析：(1)平行四边形的对角线互相平分； …大前提菱形是平行四边形； … … … … … … 小前提
菱形的对角线互相平分． … … … … …结论
(2)等腰三角形两底角相等； … … … … …大前提 ∠A，∠B是等腰三角形的两底角； … … …小前提
解析：演绎推理的结论正确与否与前提、推理形式有关，不一定正确，故②不正确．
答案：C
3．三段论：“某年份若能被4整除，但不能被100整除，或者能被400整除，则该年份为闰年．”现已知某年份不能被400整除，则该年份不是闰年．上述推理( ) A．小前提与结论都错 C．只有大前提错 B．只有小前提错 D．只有结论错
∠A＝∠B. … … … … … … … … … … … …结论
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an} 为等差数列； … … … … … … … … … … … …大前提通项公式an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－ [2(n－1)＋3]＝2(常数)； … … … … … … … … …小前提通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列． … …结论 (4)三角形的内角和是180°； … … … … … …大前提 Rt△ABC是三角形； … … … … … … … … …小前提

2020_2021学年高中数学2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课后提升训练(含解析)人教A版选修1_2

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课后篇巩固提升基础巩固1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电B.猜想数列11×2,12×3,13×4,……的通项公式为a n=1n(n+1)(n∈N*)C.半径为r的圆的面积为πr2,则单位圆的面积为πD.由在平面直角坐标系中,圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2A,B是归纳推理,选项D是类比推理,只有选项C是演绎推理.2.(多选)在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是()A.①B.②C.③D.④,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故①④正确.3推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形”中的小前提是()A.①B.②C.③D.①和②,小前提为②,结论为③.4.某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演,《马蹄声碎》不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是()A.《雷雨》只能在周二上演B.《茶馆》可能在周二或周四上演C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D.四部话剧都有可能在周二上演,周一上演《天籁》,周四上演《茶馆》,周二上演《雷雨》(或《马蹄声碎》) ,周三上演《马蹄声碎》(或《雷雨》),故选C.5.函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线,用三段论表示为:大前提.小前提.函数y=x2+2x+1是二次函数函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线6.三段论“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平面内动点M 到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),则M点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误,概念出错,不严密.而因为1(2,0),2(2,0)间距离为|F1F2|=4,所以平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是线段而不是椭圆.7将下列演绎推理写成“三段论”的形式.(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行;(2)菱形对角线互相平分;(3)函数f(x)=x2-cos x是偶函数.太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,大前提海王星是太阳系中的大行星,小前提所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行.结论(2)平行四边形对角线互相平分,大前提菱形是平行四边形,小前提所以菱形对角线互相平分.结论(3)若对函数f(x)定义域中的任意x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,大前提对于函数f(x)=x2-cos x,当x∈R时,有f(-x)=f(x),小前提所以函数f(x)=x2-cos x是偶函数.结论8.设a>0,f(x)=e nn +ne n是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)内是增函数.f(x)是R上的偶函数,对于一切x∈R,都有f(x)=f(-x),∴e nn +ne n=e-nn+ne-n=1n e n+a e x,即(1n -n)(e n-1e n)=0对一切x∈R成立.∵e x-1e n 不恒等于0,∴1n-a=0,即a2=1,∴a=±1,又∵a>0,∴a=1.x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=e n1−e n2+1e n1−1e n2=(e n2−e n1)(1e n1+n2-1)=e n1(e n2-n1-1)·1-e n1+n2e n1+n2.∵x1>0,x2>0,且x1<x2,∴x2-x1>0,x1+x2>0,∴e n2-n1-1>0,1-e n1+n2<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).故f(x)在(0,+∞)内是增函数.能力提升1.下列推理属于演绎推理的是()A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电C.两条直线平行,同位角相等,若角A 与角B 是两条平行直线的同位角,则A=BD.在数列{a n }中,a 1=2,a n =2a n-1+1(n ≥2),猜想{a n }的通项公式A 选项,由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理;对于B 选项,由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电是归纳推理;对于C 选项,两条直线平行,同位角相等,若角A 与角B 是两条平行直线的同位角,则A=B 是演绎推理;对于D 选项,在数列{a n }中,a 1=2,a n =2a n-1+1(n ≥2),猜想{a n }的通项公式是归纳推理.故选C .2三段论“①船只要准时起航,就能准时到达目的港,②这艘船准时到达目的港,③这艘船是准时起航的.”中的小前提是( ) A.① B.② C.①② D.③,③为小前提,②为结论. 3.自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时,得到如下结果:①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟;②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟;③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟;④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.根据上述调查结果,下列结论错误的是( ) A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生 B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟A ,B ,C ,D ,则由题意知,A ∩B=⌀,B ⊆C ,D ∩C=⌀,∁U D=B ,∴A ⊆D ,B=C ,∁U D=B.选项A,B ∩D=⌀,正确;选项B,B=C ,正确;选项C,A ⊆D ,正确.故选D .4.若函数f (x )满足f (a+b )=f (a )·f (b )(a ,b ∈N *),且f (1)=2,则n (2)n (1)+n (3)n (2)+…+n (2 016)n (2 015)= .f (a+b )=f (a )·f (b )(a ,b ∈N *),所以可令b=1,得f (a+1)=f (a )f (1),于是n (n +1)n (n )=2,故n (2)n (1)+n (3)n (2)+…+n (2 016)n (2 015)=2×2 015=4 030.5如图,四边形ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ,运用三段论证明:BD ⊥平面PAC.,那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线,大前提PO ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,小前提所以PO⊥BD.结论正方形的对角线互相垂直,大前提AC,BD是正方形ABCD的对角线,小前提所以AC⊥BD.结论如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直,大前提PO⊥BD,AC⊥BD,PO∩AC=O,且PO⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,小前提所以BD⊥平面PAC.结论6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规定,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);(2)求证:1n(1)+1n(2)+1n(3)+…+1n(n)<43.(4)=37,f(5)=61.由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,f(4)-f(3)=37-19=3×6,f(5)-f(4)=61-37=4×6,……因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3 n2-3n+1.又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.k≥2时,1n(n)=13n2-3n+1<13n2-3n=13(1n-1-1n),所以1n(1)+1n(2)+1n(3)+…+1n(n)<1+131-12+12−13+…+1n-1−1n=1+131-1n<1+13=43.。

2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解