数值分析作业答案(第5章)
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5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21
110
A a a T
证明2A 是对称矩阵。
证明 由消元公式及A 的对称性，有
,,,3,2,,)2(111
11111
)2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=-
=
故2A 对称。
5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21
110
A a a T 其中1)2(2)(-=n ij
a A 。证明：
(1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。
证明 (1).因为A 对称正定，所以
n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=，
其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有
,,,3,2,,)2(111
11111
)2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=-
=
故2A 也对称。
又由A L A a a T
121110=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡，其中
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-
=⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-111
1
11111
21101
1011n n I a a a a a
a L ，
可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有
,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T
T T T
故T
AL L 11正定。
由,000110211
111121111
1⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-A a I a a A a a AL L n T T T
而011>a ，故知2A 正定