考研数学公式定理背诵手册(数学二)：线性代数

性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式．
推论 行列式中某一（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，如第 i 列的元素都是两数之和：
（2）若 A 可逆，则 A−1 亦可逆，且 ( A−1)−1 = A ． （3）若 A 可逆，数 λ ≠ 0 ，则 λ A 可逆，且 (λ A)−1 = 1 A−1 ．
λ （4）若 A, B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 亦可逆，且 ( AB)−1 = B−1A−1 ．
（5）若 A 可逆，则 AΤ 亦可逆，且 ( AΤ )−1 = ( A−1)Τ ．
A = O 或 B = O ；A2 = O
A=O；
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AB = AC
B = C ． 但 是 A, B 为 方 阵 ， 则 有 | AB |=| BA |=| A || B | ；
| AB |= 0 ⇔| A |= 0 或| B |= 0 ．
2．逆矩阵的性质
（1）若矩阵 A 是可逆的，则 A−1 是唯一的．
定理 设非齐次线性方程组 Ax = b ，其系数矩阵的秩 r( A) = r(r > 0) ，增广矩阵的秩
第二部分 线性代数
一、行 列 式
1. 行列式的重要定理及公式
定理 对换改变 n 元排列的奇偶性． 定理 任一 n 元排列与排列1 2 3 n 可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数 与这个 n 元排列有相同的奇偶性．
2．行列式的基本性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等． 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号． 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．
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（4.1）有解，而且当 r = n 时有唯一解，当 r < n 时有无穷多解。 4．齐次线性方程组 Ax = 0 解的判别别
齐次线性方程组一定有解（至少有零解）。
定理 齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 ⇔ r( A) < n ⇔ A 的列向量线性相关。
推论 1 当 m < n （即方程的个数<未知数的个数）时，齐次线性方程组 Ax = 0 必有非
=
D2 D
,
,
xn
=
Dn D
，
a11 Dj = a21
a1, j−1 b1 a1, j+1 a2, j−1 b2 a2, j+1
a1n a2n ，
an1
an, j−1 bn an, j+1
ann
即 Dj 是把 D 中第 j 列 x j 的系数换成常数项所得到的行列式。
3．初等行变换解线性方程组
给定 n 个未知数 m 个方程组（4.1），对它的增广矩阵 A 施行初等行变换，得到阶梯形
| AB |=| BA |=| A | ⋅ | B |=| B | ⋅ | A | ．
（3）设 A 为 n 阶矩阵，则| kA |= k n | A | ，切记| kA |≠ k | A | ．
3．行列式的重要公式与结论 （1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即
107
a11 a12 a22
（4）若 A ≠ O ，则 r( A) ≥ 1；
（5）若 A 可逆，则 r( AB) = r(B) ，若 B 可逆，则 r( AB) = r( A) ；
（6）若 A, B 为两个阶数相同的矩阵，则 r( A ± B) ≤ r( A) + r(B) ；
⎧n, 如果r( A) = n, （7） r( A∗) = ⎪⎨1, 如果r( A) = n −1,
3. 向量组与矩阵的秩的重要定理与公式 定理 设 β1, β2 , , βt 可由α1,α2 , ,αs 线性表出。若 r(α1,α2 , ,αs ) = r, r(β1, β2 ， , βt ) = p ，则 p ≤ r 。
推论 如果向量组（I），（II）是两个等价的向量组，则 r(I ) = r(II ) ，即两个等价的向
矩阵
⎡c11 c12
c1r
c1n d1 ⎤
⎢ ⎢
c12
c2r
c2n
d2
⎥ ⎥⎢Biblioteka ⎥⎢A⎯初⎯等⎯行变⎯换 →
⎢ ⎢
0
⎢
crr 0
⎥ crn dr ⎥
0
d
r
+1
⎥ ⎥
⎢
0
0 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣
0
0 0 ⎥⎦
如果 dr+1 ≠ 0(或r( A) ≠ ( A)) ，方程组（4.1）无解；如果 dr+1 = 0(或r( A) = r( A)) ，方程组
⎩⎪0, 如果r( A) < n −1
（ n 为 n 阶方阵）．
三、向 量
1．关于线性相关性的重要定理
定理 1 向量组 a1, a2 , , am 线性相关 ⇔ 向量组中至少有一个向量可由其余的 m −1 个
向量线性表出。
定理 2 若向量组 a1, a2 , , ar 线性无关；而向量组 a1, a2 , , ar ，β 线性相关，则 β 可
（ⅳ） ( AB)Τ = BΤ AΤ
（5）共轭矩阵满足下述运算规律：
（ⅰ） A + B = A + B ； （ⅱ） λ A = λ A ； （ⅲ） AB = AB ．
以上 A, B 为复矩阵， λ 为复数，且运算都是可行的．
注 （1）不同型的零矩阵是没的．
（2）一般情况下 AB ≠ BA ；AB = O
零解。
推论 2 当 m = n 时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
a11 a12 | A |= a21 a22
a1n a2n = 0 。
am1 am2
amn
定理 设齐次线性方程组 Ax = 0 的系数矩阵的秩 r( A) = r < n ，则其基础解系由 n − r
个解向量构成。
5．非齐次线性方程组 Ax = b 解的判别
定理 6 n 个 n 维向量组线性无关 ⇔ 由向量组所构成的矩阵对应的行列式 ≠ 0 。
2．等价向量组的重要结论 注意：研究两个向量组是否等价，通常是通过研究它们的极大无关组是否等价入手。 定理 7 向量组的任意两个极大无关组等价。 定理 8 两个等价的线性无关组所含向量的个数相等。
定理 9 如果向量组α1,α2 , ,αs 线性无关，且它可由向量组 β1, β2 , , βt 线性表示， 则s≤t 。
（ⅲ）数与乘积的结合律 (kA)B = A(kB) = k( AB) ．
（3）方阵幂满足下列运算规律：
Ak Al = Ak+l ， ( Ak )l = Akl ， k, m 为正整数．
（4）矩阵的转置满足下列运算规律：
（ⅰ） ( AΤ )Τ = A ； （ⅱ） ( A + B)Τ = AΤ + BΤ ； （ⅲ） (λ A)Τ = λ AΤ ；
量组有相同的秩。
定理 设 A 为矩阵。如果 r( A) = r ，则 A 中有 r 个线性无关的列向量，而其他列向量
都是这 r 个线性无关列向量的线性组合，也就是 r( A) = A 的列秩。
一般地， r( A) = A 的行秩 = A 的列秩。
4．施密特正交化方法
曲线性无关向量组α1,α2 , ,αs ，构造正交向量组 β1, β2 , , βs 的施密特正交化方法为
（6）| kA |= k n | A | （ A 为 n 阶方阵）．
（7）设 A, B 为同阶方阵，则| AB |=| A || B | ，注意| A + B |≠| A | + | B | ．
（8）设 A∗ 为 A 的伴随矩阵， Aij 为 aij 的代数余子式，
⎡ A11 A21
A∗
=
⎢ ⎢
A12
(xi − x j ) ，
n≥i> j≥1
x x n−1
n−1
1
2
xn−1 n
其中记号“ Π ”表示全体同类因子的乘积．
二、矩 阵
1．矩阵的运算规律 （1）矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律：
（ⅰ）交换律 A + B = B + A ．
（ⅱ）结合律 ( A + B) + C = A + (B + C) ， k(lA) = (kl) A ．
A ∗ AO
=
=| A || B | ，
OB ∗B
∗
AO =
A = (−1)mn | A || B | ．
BO B ∗
（4）设 A 是 n 阶方阵， AT 为 A 的转置矩阵，用 | A | ，| AT | 表示对应 n 阶方阵的行列
式，则有
| A |=| AT | ．
（5）设方阵 A 可逆，则| A−1 |= 1 ． | A|
β1
=
α1, β2
=
α2
−
(α 2 β1 ) (β1, β1)
β1,
βi
= αi
−
(α i β1 ) (β1, β1)
β1
−
−
(αi βi−1) (βi−1, βi−1)
βi −1 (i
=
3,
4,
, s)
且这样构造的向量组 β1, β2 , , βs 与原向量组α1,α2 , ,αs 等价．
111
四、线性方程组
A22
⎢
⎢ ⎣
A1n
A2n
An1 ⎤
An
2
⎥ ⎥
⎥
Ann
⎥ ⎦
则 | A∗ |=| A |n−1 ．
（9）设 A, B 为 n 阶方阵，则
但一般地 AB ≠ BA ．
| AB |=| BA |=| A || B |，
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（10）范德蒙行列式
11 x1 x2 Dn = x12 x22
1
xn
∏ xn2 =
（ⅲ）分配律 k( A + B) = kA + kB ， (k + l) A = kA + lA ．
以上 A, B,C 均为 m × n 矩阵； k, l 为常数．
（2）矩阵乘法满足下列运算规律：
（ⅰ）结合律 ( AB)C = A(BC) ．
（ⅱ）分配律 ( A + B)C = AC + BC ， C( A + B) = CA + CB ．
注 A 可逆的充分必要条件是 | A |≠ 0 ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵．
3. 重要公式与结论 我们给出有关矩阵秩的重要公式与结论如下：
（1） r( A) = r( AΤ ) ， r( A) = r( A−1) ； （2）如果 A ∼ B ，那么 r( A) = r(B) ；
（3） r( AB) ≤ min(r( A), r(B), ) ， r( AB) ≥ r( A) + r(B) − n （ n 为 A 的列数）；
a11 a12 D = a21 a22
(a1i + a1'i ) (a2i + a2' i )
a1n a2n ，
an1 an2 则 D 等于下列两个行列式之和：
a11 a12
a1i
D = a21 a22
a2i
(ani + an' i )
a1n a11 a12 a2n + a21 a22
ann
a1' i a2' i
a1n a11 a2n = a21 a22
= a11a12 ann ．
（2）
a11 a21
ann an1 an2
ann
a1,n−1 a2,n−1
a1n =
a2,n−1
a1n
a2n
n ( n −1)
= (−1) 2 a1na2,n−1
an1 ．
an1
an1
an,n−1 ann
（3）设 A 是 m 阶方阵， B 是 n 阶方阵，则
1. 线性方程组的重要定理
定理 如果 ξ1,ξ2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，则 ξ1 − ξ2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解。
定理 如果 ξ 是线性方程组 Ax = b 的解，η 是非齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则
ξ + kη 是线性方程组 Ax = b 的解。
定理 线性方程组的初等变换把线性方程组变成它的同解方程组。 2．克莱姆法则
a1n a2n ．
an1 an2
ani
ann an1 an2
an' i
ann
性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元
素上去，行列式不变．
注 （1）设 A, B 均匀为 n 阶矩阵，一般地，| A + B |=| B + A |≠| A | + | B | ．
（2）设 A, B 均匀为 n 阶矩阵，一般地， AB ≠ BA ，但是
给定 n 个方程的方程组
⎧a11x1 + a12 x2 + ⎪⎨⎪a21x1 + a22 x2 + ⎪ ⎪⎩an1x1 + an2 x2 +
+ a1n xn = b1, + a2n xn = b2 ,
+ ann xn = bn ,
如果系数行列式 D ≠ 0 ，则方程组有唯一解：
其中
x1
=
D1 D
,
x2
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由向量组 a1, a2 , , ar 线性表出，且表示法唯一。
定理 3 若向量组 a1, a2 , , ar 线性相关，则向量组 a1, a2 , , ar ，αr+1 也线性相关。
定理 4 若向量组 a1, a2 , , ar 线性无关，则无论如何扩充向量组各向量的分量，所得
向量组仍线性无关。 定理 5 向量组的个数大于向量组的维数，则此向量组线性相关。