【新教材】新人教A版必修一 函数的零点个数问题 教案

【知识要点】一、方程的根与函数的零点(1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ,那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点,即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根。

函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

(2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ,验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0,则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <,则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =(此时零点01(,)x x b ∈)第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组: （1）a 的符号；（2)对称轴2bx a=-的位置;（3）判别式的符号；(4）根分布的区间端点的函数值的符号. 四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取;精确到0。

1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入。

五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2)图像法;(3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程,再求解。

【例1】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围。

【点评】(1）本题如果用其它方法比较复杂,用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法。

【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（） A ．4B ．5C ．6D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤 先求函数的单调性，再画图分析. 学科＠网【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（2） ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时,()f x 取得最小值,1(ln )1ln f a a a-=-+。

（i)当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点。

(ii)当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点。

（iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<。

422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点。

00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】(1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围,用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析。

(2） 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值,它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->,这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+。

(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理,还要在该区间找一个函数值为正的值,它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n 〉0。

(4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性。

【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点,求b 的取值范围。

（Ⅲ）由（Ⅱ)知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-,极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3）问，由于函数()f x 中没有参数,所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+,其中a 为实数,常数 2.718e =。

（1） 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2） 当4a =-时,求函数()f x 的单调区间；（3） 当a 取正实数时,若存在实数m ,使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.方法三 方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =，再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析解答.【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有（） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解,直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =，再在同一直角坐标系下画出lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用。

【反馈检测3】设函数()()()221ln ,1,02f x x m xg x x m x m =-=-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时,讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】(1)95a =；(2）()f x 的单调增区间是51(1)2,15(,1)2； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；(3)a 的取值范围是(1,)+∞.【反馈检测2详细解析】(1）222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =。

(2） 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±。

所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15(,12;()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)+∞；【反馈检测3答案】(1）单调递增区间是(),m +∞,单调递减区间是()0,m ；（2）1．学科＠网【反馈检测3详细解析】(1）函数()f x 的定义域为()()()()0,,'x m x m f x x+-+∞=．当0x m <<时，()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增,综上,函数()f x 的单调递增区间是(),m +∞， 单调递减区间是()0,m ．（2)令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-，当1m =时,()'0F x ≤，函数()F x 为减函数,F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。