东南大学离散数学课件
东南大学 离散数学 第2章 谓词逻辑
对公式中的自由变元也可以进行更改,这种 更改叫做代入,代入规则是: ⑴ 对于谓词公式中的自由变元可以代入, 代入时需对公式中该变元自由出现的每处进 行. ⑵ 代入的变元与原公式中其他变元的名称 不能相同.
【例2.12】对(x)(P(y)∧R(x,y))→(y)Q(y) 中的自由变元y进行代入. 解: 下面哪个是正确的? (x)(P(z)∧R(x,z))→(y)Q(y) (x)(P(x)∧R(x,x))→(y)Q(y) (x)(P(z)∧R(x,y))→(y)Q(y)
因 为 (x)P(x) 与 (y)P(y) , (x)P(x) 与 (y)P(y) 都具有相同意义,所以约束变元与表示该变 元的符号无关.根据这个特点,可以对约束 变元换名.换名规则如下: ⑴对约束变元可以换名,其更改变元名称 的范围是量词的指导变元,以及该量词辖域 中的所有该变元,公式的其余部分不变. ⑵换名时一定要更改成辖域中没有出现的 变元名,最好是公式中没有的变量名.
(1)每列火车都比某些汽车快. (2) 某些汽车比所有火车慢. 解:设A(x):x是火车.B(x):x是汽车.C(x,y): x比y快. "每列火车都比某些汽车快."符号化为: (x)(A(x)→(y)(B(y)∧C(x,y))) "某些汽车比所有火车慢."符号化为: (x)(B(x)∧(y)(A(y)→C(y,x)))
【例2.3】 命题:⑴ 所有数小于5. ⑵ 至少有一个数小于5. 个体域: ① -1,0,1,2,4 ② 3,-2,7,8 ③ 15,20,24 解:设L(x):x小于5. ⑴ "所有数小于5."符号化为:(x) L(x) 5 (x) 在个体域①,②,③中, 真值分别为:真,假,假. ⑵ "至少有一个数小于5."符号化为:(x)L(x) 在个体域①,②,③中, 真值分别为:真,真,假.
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12345 R3,R4…
13
7.3 关系旳运算
定理：R是A上旳二元关系，若存在自然数i 和j，且i<j，使Ri=Rj
❖ 对全部旳k≥0，则Ri+k=Rj+k ❖ 对全部旳k,m≥0 ，则有Ri+md+k=Ri+k ❖ 设S={R0,R1,R2,…,Rj-1}，则R旳每一次幂是
29
7.4 关系旳性质
X={1,2,3}, R5=
❖反自反旳，对称旳，反对称旳，可传递旳
若X= ，X上旳空关系
❖自反旳，反自反旳，对称旳，反对称旳，可传递 旳
30
第七章: 二元关系
第一节：有序对与笛卡儿积 第二节：二元关系 第三节：关系旳运算 第四节：关系旳性质 第五节：关系旳闭包 第六节：等价关系与划分 第七节：偏序关系
0010
1100
4
7.3 关系旳运算
关系旳右复合
F o G { x, y | t( x,t F t, y G)}
例
❖ A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3} ❖ R={<x,y>|x+y=6}
={<1,5>,<2,4>,<3,3>} ❖ S={<y,z>y-z=2}
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7.5 关系旳闭包
定理: 设R是非空集A旳关系,则s(R)=RR-1 证明:
❖RRR-1满足定义第2条 ❖<a,b>RR-1 <a,b>R<a,b>R-1 <b,a>R-1<b,a>R <b,a>RR-1 RR-1是对称旳
37
7.5 关系旳闭包
东南大学离散数学第一章
计算机科学与工程学院
p q
F F F T T F T T
pq
F F F T
21
1.1 命题与联接词
析取联接词
– 符号,读作“析取”
定义：命题 p，q – p与q的析取式：复合命题“p或q” – 符号：pq(符号称作析取联结词) – pq为假当且仅当p和q同时为假 例子
数理逻辑提供了计算机科学与技术研究中的 重要工具与方法
计算机科学与工程学院
12
第一部分 数理逻辑
■ 主要内容 命题逻辑基本概念
命题逻辑等值演算
命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
计算机科学与工程学院
13
第1章 命题逻辑基本概念 Propositional Logic
• 离散数学与数据库理论
数据库理论中的关系演算与关系模型需要用到谓词逻辑 关系数据库是行和列组成的二维表，表间的连接操作由笛卡尔积 理论支持 表的操作（查询、删除、修改）与关系代数和数理逻辑密切相关
计算机科学与工程学院
6
绪论：离散数学与计算机科学(续)
• 离散数学与人工智能
计算机智能化（推理）的前提——自然语言的符号化 语言符号化是数理逻辑研究的基本内容
– 自然数、整数，真假值，有限节点等
研究方法：推理、运算及实验等
计算机科学与工程学院
2
绪论：为什么要学习离散数学
计算机技术的支撑科学：计算机只能处理离散的或
离散化了的数量关系
培养离散思维与抽象思维能力 计算机专业课程学习的重要基础
培养理论研究和应用开发的离散建模能力
东南大学离散数学课件
2.4 可满足性问题与消解法
例：设C1为R∨┐P∨Q，C2为P∨┐Q
以P，┐P为消解基的消解结果是 R∨Q∨┐Q 以Q，┐Q为消解基的消解结果是R∨┐P∨P
特别地，当C1，C2都是单文字子句，且互补时， C1，C2的消解结果不含有任何文字，这时我们称 其消解结果是“空子句”（nil），常用符号 λ表 示之, 空子句λ是永远无法被满足的。
2
2.4 可满足性问题与消解法
分离规则 可改为 说明：
p, p q q
p, p q q
该规则要求“消去两个互补文字”。 “操作”特色 对第二种形式作如下的推广：
p q1 .... qn , p r1 ... rm q1 ... qn r1 ... rm
7
2.4 可满足性问题与消解法
定理2：如果子句集S有一个否证，那么S是不可 满足的。 分析：设C1，C2 ，…,Cn（= λ）是S的一个否证。若S可满
足，即有某个赋值使S中所有子句为真，那么可对n归纳 证明，使C1，C2 ，…,Cn为真，从而( Cn ) = (λ) = 1， 导致矛盾。
证：n=1时，因C1S，显然( C1 ) = 1。
设对任意k < n，( Ck ) = 1，考虑Cn 。若CnS，则应有 ( Cn ) = 1；若Cn 为Ci , Cj 的消解结果，而i,j < n 。 据归纳假设， 有 ( Ci ) = 1，( Cj ) = 1，从而根据定理1可得 ( Cn ) = 1。
2.4 可满足性问题与消解法
可满足性问题：
用于证明A是否永真 用于验证逻辑蕴涵
• A1…Ak B 永真 当且仅当 A1…Ak B 永假
解决方法
真值表 主析取范式 主合取范式 缺点：计算量大
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
《离散数学教案》课件2
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义介绍离散数学的概念和特点强调离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的重要性解释离散数学在算法设计、编程和计算机科学其他领域的应用强调离散数学对于解决问题和逻辑思维的重要性1.3 离散数学的基本概念介绍集合、图、逻辑、组合等基本概念解释这些概念在离散数学中的作用和相互关系第二章：集合论2.1 集合的基本概念定义集合、元素、集合之间的关系介绍集合的表示方法：列举法和描述法2.2 集合的运算介绍集合的并、交、差、补等基本运算解释集合运算的性质和规律2.3 集合的推理和公理化介绍集合论的基本公理和公理化体系解释集合论的公理化意义和作用第三章：逻辑与布尔代数3.1 逻辑的基本概念定义逻辑联结词、命题、真值表等基本概念介绍逻辑推理和论证的基本方法3.2 布尔代数的基本概念介绍布尔代数的基本元素和运算解释布尔代数在计算机科学中的应用3.3 逻辑与布尔代数的关系解释逻辑和布尔代数之间的联系和转化举例说明逻辑表达式和布尔代数表达式的相互转化第四章：图论4.1 图的基本概念定义图、顶点、边等基本概念介绍图的表示方法和图的类型4.2 图的运算和性质介绍图的连通性、路径、圈等基本概念解释图的运算和性质的应用和意义4.3 图的应用介绍图在计算机科学中的应用：算法设计、网络结构等举例说明图的应用实例和解决实际问题的方法第五章：组合数学5.1 组合数学的基本概念定义组合、排列、组合数等基本概念介绍组合数学的基本原理和方法5.2 组合计数原理介绍排列组合计数原理及其应用解释组合计数原理在离散数学中的重要性5.3 图着色和组合优化问题介绍图着色问题的定义和解决方案举例说明组合优化问题及其解决方法第六章：算法设计与分析6.1 算法的基本概念定义算法、输入、输出、有效性和可读性等基本概念解释算法在解决问题中的重要性6.2 算法设计技术介绍常用的算法设计技术：贪心法、分而治之、动态规划等解释每种技术的应用场景和特点6.3 算法分析与复杂性介绍算法分析和时间复杂度、空间复杂度的概念解释常用算法分析方法和评价标准第七章：数理逻辑与命题逻辑7.1 数理逻辑的基本概念介绍数理逻辑中的基本概念：命题、联结词、逻辑运算等解释数理逻辑在计算机科学中的应用7.2 命题逻辑的推理规则介绍命题逻辑中的推理规则：蕴含式、否定式、De Morgan定律等解释这些规则在逻辑推理中的应用和意义7.3 数理逻辑与计算机科学解释数理逻辑在计算机科学中的重要作用：编程语言、形式验证等举例说明数理逻辑在计算机科学中的应用实例第八章：集合论与数理逻辑的应用8.1 集合论在计算机科学中的应用介绍集合论在计算机科学中的应用：数据结构、数据库等解释集合论在计算机科学中的重要性和作用8.2 数理逻辑在计算机科学中的应用介绍数理逻辑在计算机科学中的应用：形式语言、编译原理等解释数理逻辑在计算机科学中的重要性和作用8.3 集合论和数理逻辑在其他领域的应用介绍集合论和数理逻辑在其他领域的应用：数学、哲学等解释集合论和数理逻辑在其他领域的重要性第九章：图论的应用9.1 社交网络与图论介绍社交网络中的图论应用：网络结构、关系分析等解释图论在社交网络分析中的作用和意义9.2 路径与圈的应用介绍路径和圈在图论中的应用：最短路径、环路检测等解释路径和圈在解决实际问题中的重要性9.3 网络流与匹配问题介绍网络流和匹配问题的定义和解决方案解释网络流和匹配问题在计算机科学中的应用第十章：组合数学的应用10.1 组合数学在计算机科学中的应用介绍组合数学在计算机科学中的应用：数据存储、编码理论等解释组合数学在计算机科学中的重要性和作用10.2 组合优化问题介绍组合优化问题的定义和解决方案解释组合优化问题在离散数学中的重要性和应用10.3 组合数学在其他领域的应用介绍组合数学在其他领域的应用：生物学、经济学等解释组合数学在其他领域的重要性第十一章：离散数学与计算机科学11.1 离散数学与算法强调离散数学在算法设计和分析中的作用解释如何使用离散数学工具解决算法问题11.2 离散数学与数据结构探讨离散数学在数据结构设计中的应用解释离散数学概念如何帮助优化数据结构11.3 离散数学与编程语言讨论离散数学在编程语言设计和实现中的角色举例说明离散数学在编程语言特性中的应用第十二章：离散数学与实际应用12.1 离散数学与网络科学介绍离散数学在网络科学中的应用解释图论和其他离散数学概念在网络结构和分析中的重要性12.2 离散数学与密码学探讨离散数学在密码学中的核心作用解释离散数学如何帮助设计和分析密码系统12.3 离散数学与讨论离散数学在领域的应用解释离散数学在知识表示、推理和问题解决中的作用第十三章：离散数学的实践项目13.1 离散数学项目的设计与实施介绍如何设计离散数学实践项目强调项目实施的重要性和方法13.2 离散数学项目的案例分析分析成功的离散数学项目案例从中提炼经验教训，为今后的项目提供参考13.3 离散数学项目的评价与反馈讨论离散数学项目评价的标准和方法强调项目反馈在持续改进和学习中的重要性第十四章：离散数学与数学逻辑14.1 离散数学与数理逻辑探讨离散数学与数理逻辑的紧密联系解释数理逻辑在离散数学问题求解中的作用14.2 离散数学与模型论介绍模型论及其在离散数学中的应用解释模型论在形式系统验证和解释中的重要性14.3 离散数学与计算理论讨论离散数学在计算理论中的应用强调计算理论在理解计算过程和设备中的价值第十五章：离散数学的未来发展15.1 离散数学的新兴研究领域介绍离散数学新兴研究领域和发展趋势强调跨学科合作在离散数学研究中的重要性15.2 离散数学在新技术中的应用探讨离散数学在云计算、大数据等新技术中的应用解释离散数学在未来信息技术发展中的关键作用15.3 离散数学教育的挑战与机遇讨论离散数学教育面临的挑战和机遇强调离散数学教育在培养创新人才中的重要性重点和难点解析重点：1. 离散数学的基本概念和特点2. 集合论、逻辑、图论和组合数学的核心理论和方法3. 离散数学在计算机科学中的应用，如算法设计、数据结构、网络科学、密码学等4. 离散数学实践项目的设计、实施和评价5. 离散数学教育的挑战与机遇难点：1. 集合论、逻辑、图论和组合数学的高级理论和复杂应用2. 算法设计和分析中的数学建模与优化3. 离散数学在跨学科领域中的应用，如生物学、经济学等4. 离散数学教育中的教学方法和策略设计5. 离散数学研究的前沿领域和未来发展趋势希望本文的重点和难点解析能对学习离散数学的教案有所帮助。
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学第一章课件
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
28
1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
11
数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
31
四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
24
1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
25
一. 否定“” (Negation)
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学课件图论》PPT课件
，m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成
，又
l 1 2
l 2 l 2
在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.
定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证明：由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证。
定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证明： 阶数 n6，结论为真。 当n7 时，用反证法。否则会 推出2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
如上面的例子。
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平面图与对偶图之间的关系
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则d(v*i)=deg(Ri) 证明： (1)、(2)平凡 (3) 应用欧拉公式 (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两
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自对偶图
定义：设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自 对偶图. 概念： n阶轮图（ Wn ）、奇阶轮图、偶阶轮图 轮图都是自对偶图。 画出W6和W7的对偶图，并说明它们都是自对偶图。
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第十七章 小结
❖ 主要内容 ▪ 平面图的基本概念 ▪ 欧拉公式 ▪ 平面图的判断 ▪ 平面图的对偶图
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练习1
1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.
解 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r.
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
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集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
离散数学PPT【共34张PPT】
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
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关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
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可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
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1.1 命题与联结词
例子： “排斥或” 这本书只能出版或销毁。 张晓静只能挑选202或203房间。
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1.1 命题与联结词
蕴含词：（“蕴含”联结词、单条件联结词） 符号“→”，读作：“如果…则…”、“蕴含”。 命题 p，q， 蕴含式p→q，称p是蕴含式的前件，q为 蕴含式的后件， →称为蕴含联结词。并规定， p→q 为假当且仅当p为真q为假。 真值表定义 p 0 0 1 q 0 1 0 p→q 1 1 0
1
1
1
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1.1 命题与联结词
例子： (a)如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。 p：我拿起一本书 q：我一口气读完了这本书 则：p→q 通常称：(a)为形式条件命题。 ——前提和结果有某种形式和内容上的联系。
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命题联结词(15)
(b) P：月亮出来了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则 3×3=9。 (b)为实质条件命题。 ——前提和结果可以有联系，也可以没有联系， 只要满足单条件命题的定义。
例子
王华的成绩很好并且品德很好
p：王华的成绩很好 q：王华的品德很好
p q F F F T T F T T
12
pq F F F T
pq
1.1 命题与联接词
析取联接词
符号,读作“析取”、“和”、“或”
定义：命题 p，q
p与q的析取式：复合命题“p或q” 符号：pq(符号称作析取联结词) pq为假当且仅当p和q同时为假
东南大学
计算机科学与工程学院 仲新宇
xyzhong@
1
序言一：什么是离散数学
研究离散量的结构及相互关系的数学科学 离散结构：集合、关系、图等 离散量是指分散开来的、不存在中间值的量 研究对象:有限或可数个元素 自然数、整数，真假值，有限节点等 计算机技术的支撑科学：计算机只能处理离散的或离 散化了的数量关系
18
1.1 命题与联结词
给定命题p→q，则将q→p， ¬p→¬q， ¬ q →¬ p分别称为命题p→q的逆命题，反命题，逆反 命题。 例：关于命题p→q可以证明： p→q ¬ q →¬ p 原命题 逆反命题 q→p ¬p→¬q 逆命题 反命题
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1.1 命题与联结词
等价词（ “同”联结词、“等同”词、双条件联结词） 符号“↔” 定义：命题p、q，复合命题“p当且仅当q”称作p与q 的等价式，记做p↔q， ↔称作等价联接词。 并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。 真值表定义： p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↔q 1 0 0 1
例子
小李是学数学或者计算机科学
p：小李是学数学 q：小李是学计算机科学
p q F F F T T F T T
13
pq F T T T
pq
1.1 命题与联结词
注意： 区分“相容或”与“排斥或（不可兼或）” “排斥或” 真值表定义
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p⊕q 0 1 1 0
26
逻辑难题
一个岛上居住着两类人——骑士和流氓。骑士说的都 是真话，流氓只会说谎。你遇到两个人A和B，如果A 说“B是骑士”,B说“我们两个不是一类人”。请判断 A，B分别是哪类人？
如果A说“我们之间至少有一个是流氓”。请判断A， B分别是哪类人？
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练习
仅当John是大二、大三或大四的学生时，他才学习 微积分。 如果Jerry获得奖学金，则他会上大学。（形式化 该命题和其逆命题），如果Jerry没获得奖学金， 但中了彩票去上大学。该命题和其逆命题的真值？
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1.1 命题与联结词
例子： △ABC是等腰三角形当且仅当△ABC中有两只角相等 p：△ABC是等腰三角形 q：△ABC有两只角相等 则：p↔q。
21
1.1 命题与联结词
命题联结词在使用中的优先级
先括号内，后括号外 命题联结词的优先次序为： ¬ Λ ∨ → ↔
（由高到低）
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1.1 命题与联结词
24
1.1 命题与联结词
例子： 令 p：北京比天津人口多。 q：2＋2＝4。 r:乌鸦是白色的。 求下列命题真值。 （1）((¬ ∧q) ∨ (p ∧¬q) ) →r p （2）(q∨r) →(p→¬r) （3）(¬ p∨r) (p∧¬ r)
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软件规范说明
v: “The user enters a valid password,” a: “Access is granted to the user,” c: “The user has contacted the network administrator,” (i) “The user has contacted the network administrator, but does not enter a valid password.” (ii) “Access is granted if the user has contacted the network administrator or enters a valid password.” (iii) “Access is denied if the user has not entered a valid password or has not contacted the network administrator.”
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1.1 命题与联接词
命题：具有唯一真值陈述句
唯一性：或真或假但不能两者都是的 命题所用符号：常用小写２６个英文字母
例子
十是整数 上海是一个村庄 x=3 现在是几点？ 1+1=2 我现在说假话
悖论！
8
1.1 命题与联接词
判断下列语句是否为命题
明天下雨 加拿大是一个国家 x+y>4
9ห้องสมุดไป่ตู้
1.1 命题与联接词
命题分类
简单命题：不能被分解成更简单的陈述句 复合命题：简单陈述句+联接词
例子
今天没有天晴 牛顿是一位物理学家，而且是一位数学家 小李是学数学或者计算机科学 如果天下雨，那么地下湿
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1.1 命题与联接词
否定联接词
符号¬,读作“非”，“否定”
定义：命题 p
p的否定式：复合命题“p的否定”（“非p”）
符号：p (符号称作否定联结词)
p为真当且仅当p为假
例子
今天没天晴
p：今天天晴
p T F
p F T
p
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1.1 命题与联接词
合取联接词
符号,读作“合取”、“积”、“与”
定义：命题 p，q
p与q的合取式：复合命题“p并且q” 符号：pq(符号称作合取联结词) pq为真当且仅当p和q同时为真
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序言二：与其它专业课关系
人工智能
可计算性理论 编译原理
离散结构
数据结构基础
操作系统 数据库原理 软件工程
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课程安排
数理逻辑 集合论
代数结构 图论
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主要参考书
Discrete Mathematics and Its Applications
Kenneth H.Rosen
《离散数学》
西安电子科技大学出版社 方世昌 编著
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习题： 1.他即聪明又用功。 p：他聪明 q：他用功 pΛq 2.他虽聪明但是不用功。 pΛ¬q 3.如果明天不是雨加雪则我去学校。 p：明天下雨 q：明天下雪 r：我去学校 ¬ （p Λ q）→r 4.如果明天不下雨并且不下雪则我去学校。 ¬p Λ¬ q→r
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1.1 命题与联结词
5.如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 p：我上街 q：我去书店看看 r：我很累 ¬r →（p→q） 或 (¬rΛp)→q
《离散数学》
电子工业出版社 朱一清 编著
《离散数学》
北京大学出版社 耿素云、屈婉玲等编著
5
课程安排
数理逻辑 集合论
代数结构 图论
6
数理逻辑
逻辑分类
辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：是研究思维的概念、判断和推理的问题 。
数理逻辑
数学方法研究形式逻辑的一门科学
在数理逻辑中，用数学的方法是指引进一套符号 体系的方法来研究概念、判断和推理。即对符 号进行判断和推理。 • 四大分支：证明论、模型论、递归论和公理集合 论。最基本组成部分：命题演算、谓词演算