信号与系统第七章1郑君里

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( n) u(n) u( n 1)
3．矩形序列
1 RN ( n ) 0
RN ( n )
0 n N 1 n 0, n N
1
1 o 1 2 3

N 1 n
与un的关系：RN (n) u(n) u(n N )
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4．斜变序列
x( n) nu( n)
xnT sinΩ0 nT 令 0 Ω0T，离散正弦信号
区别:
xn sin 0 n
连续 连续 连续域的正弦频率 离散域的频率
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Ω0 ω0
单位 弧度 / 秒 单位 弧度
ω0 π，
7．复指数序列
xn e j0n cos 0 n j sin 0 n
第七章离散时间系统的时域分析
离散时间信号、离散时间系统
f tk
离散时间信号： 时间变量是离散的，函数 只在某些规定的时刻有确定的 值，在其他时间没有定义。
t 2 t 1 o
t1 t 2 t 3
tk
离散信号：可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际 系统生成。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信 号。如数字计算机。
1
系统分析
连续时间系统——微分方程描述
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: 拉氏变换法
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: z变换法
1．相加： z(n) x(n) y(n) 2．相乘： z(n) x(n) y(n) z( n) ax( n) 3．乘系数： 4．移位： z( n) x( n m ) z ( n) x ( n m )
x 1 x 0
x n x 3
3
右移位 左移位
xn sinnω0 余弦序列：xn cosn 0
sinnω0 1 O 1 5 10 n sin 0 t
6．正弦序列
1
0 : 正弦序列的频率 , 序列值依次周期性重复 的速率。
离散正弦序列 xn sin 0 n 是周期序列应满足
xn N xn N称为序列的周期，为任意正整数。
x 2n
O
6
n
6 5 4 3 2 1
n x 2
4
2
O
1 2 3 4 5 6
n
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
21 n
例3：设N=10，说明正弦序列的包络线每隔10个样值重 复一次，周期为10。
2π 2π ω0 0.2π N 10
表示相邻两个序列值间 的弧度数为 0.2π。
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2π 当 0 ＝ , 则序列每10个重复一次正弦包络的 数值。 10
正弦序列周期性的判别
①
2π
N，N是正整数 0 2π sin 0 n N sin 0 n sin 0 n 2π sin 0 n 0 正弦序列是周期的
一．离散信号的表示方法
xt xnT 等间隔T xn n 0,1,2,
数字序列 如 0.9, 0.8,0.3,0.1 n 0 有规则的, 可以用函数表示 : xn 波形表示 : 线段的长短表示各序列 值的大小
2．单位阶跃序列
1 u( n) 0
n0 n0
u( n) 1
1 O

1 23
n
u(n)可以看作是无数个单位样值之和:
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
n与un是差和关系，不再是微 商关系。
x ( n)
1
1 O 1 2 3 4
n
13
5．单边指数序列
xn a n un
a n un
a 1
a n un
0a1
1
1
1
O
1
2
3
4
n
1 O
1
a n un
2
3
4
n
a n un
a 1
1 a 0
1 1 O 1 2
3
1 4
n
1 O
1
2
3
4
n
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7．累加： z( n)
k
x( k )

8．重排（压缩、扩展）：
n x n x an , 或 x n x a 注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。
9．序列的能量 E
n
x ( n)
n
2
7
三．常用离散信号
•单位样值信号 •单位阶跃序列 •矩形序列 •斜变序列 •单边指数序列 •正弦序列 •复指数序列
2
本章内容
•离散时间信号及其描述、运算； •离散时间系统的数学模型——差分方程； •线性差分方程的时域解法； •离散时间系统的单位样值响应； •离散卷积。
学习方法
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几 章对照，温故而知新。
3
第二节离散时间信号--序列
x n
3 4 5
1 2
9 10 11 6 7 8
22
n
一个周期
23
例5：信号xn sin0.4n是否为周期信号？
0 0.4
2π
0
5π是无理数 所以为非周期的序列
24
复序列用极坐标表示：
x n x n e
x n 1
jarg x n
复指数序列：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
arg xn 0 n
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数字角频率（离散域的频率）的取值
数字频率 0可以连续变化，
但0只能在 π ，π 范围内取值。 正弦函数本身周期为 2π , 0为抽样值的数字频率间隔 的弧度数，其数值不会超过 2π 。
ω0 反映每个序列值出现的速 率，ω0小，两个序列值 间弧度 小。
sin nω0 1
o1
sin Ω0 t 5
10 n
22
1
例4
4π 已知： sin n ， 求其周期。 11 4π 2π 11 11 N ω0 ，则有： 2π 11 ω0 4π 2 m
所以N 11，即周期为11。（ 2π 中有5.5个ω0 ）
序列形式： x ( n ) ,0,0, 1 ,2,4,8, n 0
x n
波形：

2
4
1
O

2
2
1
1
n
20
例2
x n
6 5 4 3 2 1
已知x ( n)波形，请画出 n x ( 2n), x 波形。 2
1 2 3 4 5 6
●数字频率——抽样间隔的关系应满足Nyquist抽样率
0 Ω0TS 2π
TS为抽样间隔时间，s为抽样角频率，
0 π 可以取负值，所以0 π ，π
因为 S 2Ω0 ， 所以0 π
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S
Ω0
2 n , n 0 试写出其序列形式并画出波形。 例1 x ( n) 0, n 0
1
O
1
n
注意： ( t )用面积 强度表示， t 0，幅度为 ;
(n )在n 0取有限值为1不是面积 。
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利用单位样值信号表示任意序列
x ( n)
m
x(m ) (n m )

f n
1.5
1
2 1
3
o
3
4
n
f n 1,1.5,0,3,0,0, n 1 1.5 n 3 n 2 n 0 10
x n 1 x 0
x 1
x 1
x 1
2 1 o 1
3
x 3
4
n
1 o
1 2
n
6
x 2
x 2
5．倒置： z(n) x( n) 6．差分： 前向差分：x( n) x( n 1) x( n)
后向差分：x( n) x( n) x( n 1)
2π
0 找不到满足 xn N xn的N值 ，为非周期的
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离散信号 sinn 0 与连续信号 sin0 t 的关系与区别。
2 f t sin2πf 0 t sinΩ0 t Ω0 T 离散点（时刻）nT上的正弦值
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1．单位样值信号
0, n 0 ( n) 1, n 0 0, n j 时移性 ( n j ) 1, n j
比例性 c ( n), c ( n j ) 抽样性 f ( n) ( n) f (0) ( n)
( n)
1
O
1
n
( n 1)
xn与xn概念上有区别，但为了书写方便，常以 xn
表示整个序列，在应 用场合一般不会混 淆。
4
序列的三种形式
单边序列： n 0；
x ( n)
双边序列： n ；

O
n x ( n)

O
n
x ( n)
有限长序列： n1 n n2；
O
n1
n2
5
n
二．离散信号的运算
N N ， 为有理数 ② 0 m m 2π sin 0 n N sin 0 n m sin 0 n m 2π sin 0 n 0 2π sin 0 n仍为周期的 周期：N m 0 2π ③ 为无理数