信号与系统的基本概念

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第 1 章 信号与系统的基本概念
二、 信号的基本运算
1. 相加和相乘
两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号 在该时刻的信号值之和。两个信号相乘，其积信号在任意时刻 的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。 设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可 表示为
第1章 信号与系统的基本概念
1.0 连续信号与离散信号 1.1 信号的基本运算
1.2 阶跃信号和冲激信号
1.3 卷积积分 1.4 周期信号的连续时间傅里叶级数 1.5 模拟信号的傅里叶变换
第 1 章 信号与系统的基本概念
一、 连续信号与离散信号
1.连续信号：一个信号，如果在某个时间区间内除有限个
间断点外都有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号。
第 1 章 信号与系统的基本概念
四、 卷积积分
1. 卷积的定义
设 f1(t) 和 f2(t) 是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信
号，我们将积分



f1 ( ) f 2 (t )d
定义为 f1(t) 和 f2(t) 的卷积 (Convolution)， 简记为
f1 (t ) f 2 (t )
(t )
lim p (t )
0
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第 1 章 信号与系统的基本概念
p Δ (t)
(t)
2

1
(1)

o

2
(a)

t
o (b)
t
图 1.4-3 单位冲激信号
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第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义，得到
f (t ) (t ) f (0) (t )

也可以是不连续的。
定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列， 通 常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为 信号的第m个样值。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
f1 (k) A „ －8 －6 －4 －2 01 2 3 4 －A (a) f2 (k) 2 1 －3 －1 01 －1 (b) 23 4 k －3 －1 01 2 3 4 5 6 k A f3 (k) 5 6 7 8 „ k
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第 1 章 信号与系统的基本概念 即

f1 (t ) f 2 (t )


f1 ( ) f2 (t )d
式中，τ为虚设积分变量， 积分的结果为另一个新的时
间信号。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
2. 卷积的图解机理
信号 f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过6个步骤来完成： （1）画出 f1(t)与 f2(t)波形，将波形图中的 t 轴改换成τ 轴，分别得到 f1(τ) 和 f2(τ) 的波形。
（4）将 f1(τ)和 f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函 数f1(τ) f2(t-τ)。 （5）计算乘积信号f1(τ) f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面
积，便是式(2.2 - 1)卷积在 t 时刻的值。
（6）令变量 t 在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、 五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)在整个时间轴上的值。
(t )
0 (t 0) lim (t ) 0 1 (t 0)
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第 1 章 信号与系统的基本概念 单位阶跃信号时移 t0 后可表示为
0 (t t0 ) 1
t t0 t t0
注意： 信号ε(t)在t =0处和ε(t-t0)在t=t0处都是不连续的。
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第 1 章 信号与系统的基本概念 （3）当t >3时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(e)所示，此时， 仅在0<τ<3范围内，乘积f1(τ)f2(t-τ) 不为零，故有
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第 1 章 信号与系统的基本概念
五、 周期信号的连续时间傅里叶级数 1. 三角形式的傅里叶级数。对于任何一个周期为T的周期信号 f(t)，都可以将它表示为三角函数集中各函数的线性组合，即：
jt

n
F e
jnt
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第 1 章 信号与系统的基本概念
式中，相关系数Fn
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第 1 章 信号与系统的基本概念
• 周期信号：
A0 f (t ) An cos(n1t n ) 2 n 1
n
Fe
n

jn1t
1 1 jn jn Fn An An e Fn e 2 2
a0 f (t ) a1 cos t a2 cos 2t an cos nt 2 b1 sin t b2 sin 2t bn sin nt a0 (an cos nt bn sin nt ) 2 n 1
式中，Ω=2π/T 称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。 式(3.2 - 5)就 是周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为 周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开
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第 1 章 信号与系统的基本概念
f1 (t ) (t ) (t 3)
例 1 给定信号
f 2 (t ) e (t )
t
f1 (t) 1
求y(t)=f1(t) * f2(t)。
f2(t) 1
0
1 2 3 4 (a)
t
o (b)
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t
图 2.2 – 1 f1(t)和f2(t)波形
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第 1 章 信号与系统的基本概念
六、 模拟信号的傅里叶变换
周期信号：
f (t )
1 Fn T
n
T 2 T 2


Fn e
jn1t
——指数形 式傅里叶级 数。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
三、 阶跃信号和冲激信号
1. 连续时间阶跃信号
(t) Δ (t) (t－t0 )
1
1
1
o
Δ (a)
t
o
t
o
t0 (c)
t
(b)
图 1.4-1 单位阶跃信号
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第 1 章 信号与系统的基本概念 设图1.4-1(a)所示函数
0 1 (t ) t 1
图 1.1-3 离散信号
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(c)
第 1 章 信号与系统的基本概念
在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为
模拟信号 (如图1.1- 2(a))；把幅值可连续取值的离散信号称为 抽样信号 (如图1.1-3(a))；而把幅值只能取某些规定数值的离
散信号称为数字信号 (如图1.1-3(c))。 为方便起见，有时将信号f(t) 或 f(k)的自变量省略，简记 为f(·)， 表示信号变量允许取连续变量或者离散变量，即用f(· ) 统一表示连续信号和离散信号。
t0 0t t
该函数在t < 0时为零，t >Δ时为常数1。在区间(0，Δ)内 直线上升，其斜率为1/Δ。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
随Δ减小，区间(0，Δ)变窄，在此范围内直线上升斜率变
大。 当Δ→0时， 函数εΔ(t) 在t =0处由零立即跃变到 1，其斜
率为无限大， 定义此函数为连续时间单位阶跃信号，简称单 位阶跃信号， 用ε(t)表示， 即
式在(-∞, ∞)区间也是成立的。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
2. 指数形式的傅里叶级数
对周期为T 的周期信号，除了可展开成三角形式的傅里叶级
数外，还可展开成指数形式的傅里叶级数。
f (t ) F0 F1e F2e
j 2 t
jt
F2e
n
j 2 t
F1e
s(t ) f1 (t ) f 2 (t ) P(t ) f1 (t ) f 2 (t )
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第 1 章 信号与系统的基本概念
同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k) 与积信号p(k)可表示为
s(k ) f1 (k ) f 2 (k ) P(k ) f1 (k ) f 2 (k )


f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)


f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )



f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
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第 1 章 信号与系统的基本概念
希腊字母读法： 序号 大写 小写 英文注音 国际音标注音 中文注音 意义 1 Α α alpha a:lf 阿尔法 角度；系数 2 Β β beta bet 贝塔 磁通系数；角度；系数 3 Γ γ gamma ga:m 伽马 电导系数（小写） 4 Γ δ delta delt 德尔塔 变动；密度；屈光度 5 Δ ε epsilon ep`silon 伊普西龙 对数之基数 6 Ε δ zeta zat 截塔 系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数 7 Ζ ε eta eit 艾塔 磁滞系数；效率（小写） 8 Θ ζ thet ζit 西塔 温度；相位角 9 Η η iot aiot 约塔 微小，一点儿 10 Κ θ kappa kap 卡帕 介质常数 11 Λ ι lambda lambd 兰布达 波长（小写）；体积 12 Μ κ mu mju 缪 磁导系数；微（千分之一）；放大因数（小写） 13 Ν λ nu nju 纽 磁阻系数 14 Ξ μ xi ksi 克西 15 Ο ν omicron omik`ron 奥密克戎 16 Π π pi pai 派 圆周率=圆周÷直径=3.1416 17 Ρ ξ rho rou 肉 电阻系数（小写） 18 ΢ ζ sigma `sigma 西格马 总和（大写），表面密度；跨导（小写） 19 Σ η tau tau 套 时间常数 20 Τ υ upsilon jup`silon 宇普西龙 位移 21 Φ θ phi fai 佛爱 磁通；角 22 Υ χ chi phai 西 23 Φ ψ psi psai 普西 角速；介质电通量（静电力线）；角 24 Χ ω omega o`miga 欧米伽 欧姆（大写）；角速（小写）；角 16
这里“连续”一词是指在定义域内(除有限个间断点外)信 号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续 的，也可以是跳变的。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
f1 (t) A 1
f2 (t) A
f3 (t)
－2
－1
0 1 －A
2 t
o
t
o
t0
t
(a)
(b)
(c)
图 1.1-2 连续信号
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第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 离散信号：仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时 间信号。 这里“离散”一词表示wenku.baidu.com变量只取离散的数值，相邻离 散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些 离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的，
0 (e) t＞3
3
t
τ
0 (f )
3
t
图 2.2 – 2 卷积的图解表示
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第 1 章 信号与系统的基本概念 （1）当t<0时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(c)所示，对任一τ， 乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。 （2）当0<t<3时，f2(t-)波形如图2.2- 2(d)所示。
第 1 章 信号与系统的基本概念
f1 ( ) 1 f2 (－ ) 1
0
1
2 (a)
3
4

(b)
o

f2 ( t－ )
1
f1 ( )
f2[-(τ- t)]
1 f2 ( t－ ) 3
f1 ( )
t 0 (c) t＜0

0
t
3

(d) 0 ＜t ＜3 y(t)
1
f1 ( )
f2 ( t－ ) y(3)
（2）将 f2(τ) 波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到
f2(-τ)波形。
（3）给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移| t |，得到 f2
[-（τ-t）] 。在t <0时， 波形往左移；在t >0时，波形往右 移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
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第 1 章 信号与系统的基本概念
2. 连续时间冲激信号
1 d p ( t ) ( t ) dt 0
0t 其他 t
面积为1的 矩形脉冲
当Δ→0时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大， 而其面积仍等于1。我们将此信号定义为连续时间单位冲激信 号， 简称单位冲激信号或δ函数，用δ(t)表示，即