高数专插本试题及答案
广东专插本(高等数学)模拟试卷30(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷30(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(χ)=χ3sinχ是( )A．奇函数B．偶函数C．有界函数D．周期函数正确答案：B2．设函数在χ=0处连续，则a= ( ) A．0B．1C．2D．3正确答案：B3．有( )A．一条垂直渐近线，一条水平渐近线B．两务垂直渐近线，一条水平渐近线C．一条垂直渐近线，两条水平渐近线D．两条垂直渐近线，两条水平渐近线正确答案：A4．设函数f?(2χ-1)=eχ，则f(χ)= ( )A．B．C．D．正确答案：D5．下列微分方程中，其通解为y=C1cosχ+C2sinχ的是( ) A．y?-y?=0B．y?+y?=0C．y?+y=0D．y?-y=0正确答案：C填空题6．设函数f(χ)=2χ+5，则f[f(χ)-1]=______。
正确答案：4χ+137．如果函数y=2χ2十aχ+3在χ=1处取得极小值，则a=______。
正确答案：-48．设f(χ)=e2χ，则不定积分=_____。
正确答案：eχ+C9．设方程χ-1+χey确定了y是的隐函数，则dy=______。
正确答案：10．微分方程y?-y?=0的通解为______。
正确答案：y=C1+C2eχ(C1，C2为任意常数)解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限。
正确答案：由于当χ→0时，χ4是无穷小量，且，故可知，当χ→0时，1-e-32-3χ2，故所以12．已知参数方程。
正确答案：所以则13．求不定积分∫χ.arctanxdx。
正确答案：14．已知函数f(χ)处处连续，且满足方程求。
正确答案：方程两边关于χ求导，得f(χ)=2χ+sin2χ+χ.cos2χ.2+(-sin2χ).2 =2χ+2χcos2χ，f?(χ)=2+2cos2χ+2χ.(-2sin2χ)=2(1+cos2χ)-4χsin2χ，所以，。
广东专插本(高等数学)模拟试卷54(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷54(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设函f(χ)＝( ) A．－1B．0C．1D．不存在正确答案：D解析：极限不存在，本题应选D．2．设函数f(χ)＝lnsinχ，则df(χ)＝( )A．B．－cotχdχC．cotχdχD．tanχdχ正确答案：C解析：d(lnsinχ)＝cosχdχ＝cotχdχ，故应选C．3．f′(χ2)＝(χ＞0)，则f(χ)＝( )A．2χ＋CB．2＋CC．χ2＋CD．＋C正确答案：B解析：令t＝χ2则χ＝，f′(χ)＝(χ＞0)，f(χ)＝∫f′(χ)dχ＝＋C，故应选B．4．如果使函数f(χ)＝在点χ＝0处连续，应将其在点χ＝0处的函数值补充定义为( )A．0B．2C．－1D．1正确答案：D解析：若f(χ)在χ＝0处连续需补充定义f(0)＝1，故本题选D．5．设pn＝，qn＝，n＝1，2，…，则下列命题中正确的是( )A．若an条件收敛，则Pn与qn都收敛B．若an绝对收敛，则Pn与qn都收敛C．若an条件收敛，则Pn与qn的敛散性都不定D．若an绝对收敛，则Pn与qn的敛散性都不定正确答案：B解析：an绝对收敛都收敛，an条件收敛都发散，一个收敛，一个发散an发散，故本题选B．填空题6．设＝6，则a＝_______．正确答案：－1解析：＝6，则(1＋0)(1＋2.0)(1＋3.0)＋a＝0，a＝－1．7．已知曲线y＝χ2＋χ－2上点M处的切线平行于直线y－5χ－1，则点M的坐标为_______．正确答案：(2，4)解析：y′＝2χ＋1＝5，则χ＝2，故M点坐标为(2，4)．8．已知f(χ)＝χ2＋cosχ＋∫01f(χ)dχ，则f(χ)＝_______．正确答案：χ＋cosχ＋＋sin1解析：令f(χ)＝χ2＋cosχ＋C，则f(χ)＝χ2＋cosχ＋(χ2＋cosχ＋C)dχ，f(χ)＝即C＝，C＝＋sin1，故f(χ)＝χ＋cosχ＋＋sin1．9．微分方程y?－y′＝0的通解为_______．正确答案：y＝C1＋C2eχ解析：微分方程的特征方程为λ2－λ＝0，则特征根为λ1＝0，λ2＝1，故微分方程的通解为y＝C1＋C2eχ(C1，C2为任意常数)．10．若函数f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：6解析：即＝3，故a＝6．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2023年专转本高数试卷
2023年专转本高数试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = (1)/(√(x - 1))的定义域是（）A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (-∞,1)D. (-∞,1]2. 若f(x)=sin x，则f^′(x)=（）A. cos xB. -cos xC. sin xD. -sin x3. ∫ x^2dx=（）A. (1)/(3)x^3+CB. x^3+CC. (1)/(2)x^2+CD. 2x + C4. 极限lim_x→ 0(sin x)/(x)=（）A. 0.B. 1.C. ∞D. 不存在。
5. 设y = e^xcos x，则y^′=（）A. e^xcos x - e^xsin xB. e^xcos x+e^xsin xC. -e^xsin xD. e^xsin x6. 函数y = x^3-3x^2+1的单调递增区间是（）A. (-∞,0)∪(2,+∞)B. (0,2)C. (-∞,1)∪(1,+∞)D. (1,+∞)7. 已知向量→a=(1,2, - 1)，→b=(2, - 1,3)，则→a·→b=（）A. -1.B. 1.C. 3.D. -3.8. 定积分∫_0^1x^2dx=（）A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. 1.D. 2.9. 二阶线性微分方程y^′′+p(x)y^′+q(x)y = f(x)，当f(x) = 0时，称为（）A. 齐次方程。
B. 非齐次方程。
C. 线性方程。
D. 非线性方程。
10. 函数y=ln(x + 1)在x = 0处的切线方程为（）A. y = xB. y=-xC. y = x + 1D. y=-x - 1二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数y = tan x的周期是______。
2. 若y = f(u)，u = g(x)，则复合函数y = f(g(x))的导数y^′=______。
3. lim_n→∞(1+(1)/(n))^n=______。
广东专插本(高等数学)模拟试卷27(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷27(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数的反函数是( )A．B．C．D．正确答案：C2．= ( )A．1B．0C．2D．正确答案：D3．已知f(n-2)(χ)=χlnχ，则f(n)(χ)= ( )A．B．C．lnχD．χlnχ正确答案：B4．在下列给定的区间内满足洛尔中值定理的是( ) A．y=｜χ-1｜，[0，2]B．C．y=χ2-3χ+2，[1，2]D．y=xarcsinx，[0，1]正确答案：C5．下列关于二次积分交换积分次序错误的是( )A．B．C．D．正确答案：D填空题6．y=χ3lnχ(χ＞0)，则y(4)________。
正确答案：7．定积分=________。
正确答案：28．设=_______。
正确答案：19．若函数f(χ)=aχ2+-bχ在χ=1处取得极值2，则a=______，b=_______。
正确答案：-2，410．交换积分的积分次序，则I=______。
正确答案：解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限。
正确答案：12．设。
正确答案：13．求不定积分。
正确答案：14．求函数y=2χ3+3χ2-12χ+1的单调区间。
正确答案：y?=6χ2+6χ-12=6(χ2+χ-2)=6(χ+2)(χ-1)，令y?=0，得χ1=-2，χ2=1，列表讨论如下：由表可知，单调递增区间是(-∞，-2]，[1，+∞)，单调递减区问是[-2，1]。
15．设f(χ)是连续函数，且，求f(χ)。
正确答案：等式两边对χ求导得f(χ3-1).3χ2=1，即f(χ3-1)=，令χ=2，得f(7)=。
16．计算，其中D是由y=χ和y2=χ所围成的区域。
正确答案：17．设，其中f(u)，g(v)分别为可微函数，求。
正确答案：18．求微分方程的通解。
正确答案：原方程的特征方程为2r2+4r+3=0，特征根为，所以原方程的通解为综合题设函数f(χ)=χ-2arctanx。
2022年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案
广东省2022年普通学校专升本真题高等数学一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个符合题目要求)1.若函数f (x )={x +1,x ≠1a,x =1,在 x ≠1处连续，则常数a=（ ）A.-1B.0C.1D.22.lim x→0(1−3x )1x=（ ） A.e−3B.e 13C.1D.e 33.lim x→0u n =0是级数∑u n ∞n=1收敛的（ ） A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 4.已知1x 2是函数f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx =+∞1（ ）A.2B.1C.-1D.-25.将二次积分I =∫dx 10∫f(x 2+y 2)dy 1x 化为极坐标系下的二次积分，则I=（ ）A.∫dθπ40∫f(p 2)dp secθ0 B.∫dθπ40∫pf(p 2)dp cscθ0C.∫dθπ2π4∫f(p 2)dp secθ0 D.∫dθπ2π4∫pf(p 2)dp cscθ0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若x →0时，无穷小量2x 与3x 2+mx 等价，则常数m =7.设{x =5t −t 2y =log 2t ，则dy dx |t=2=8.椭圆x 24+y 23=1所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体积为9.微分方程e −x y′=2的通解是10.函数Z =x ln y 在点（e ，e ）处的全微分dz |（e ,e ）= 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.求极限limx→1x 3+3x 2−9x+5x 3−3x+212.设y =arc tan x 2，求 d 2ydx 2|x=113.设函数f (x )={ x 2sin 1x +2x,x ≠00, x =0 ,利用导数定义求f′(0).14.求不定积分2x √1−x 215.已知∫tanxdx =−ln |cos x |+C ，求定积分∫xsec 2π40xdx16.设Z =f(x,y)是由方程Z =2x −y 2e z 所确定的隐函数，计算ðzðx −y ðzðy 17.计算二重积分∬cosxdσD ，其中D 是由曲线y =sinx(o ≤x ≤π2)和直线 y =0,x =π2围成的有界闭区域。
广东省2010~2020年专插本考试《高等数学》真题及答案
广东省2010年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．周期函数D ．有界函数2．0x =是函数1,0()0,0x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（）A ．连续点B ．第一类可去间断点C ．第一类跳跃间断点D ．第二类间断点3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）A ．1cos x-B ．211x +-C ．2ln(1)x x ++D ．21x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则(,)f x y y∂∂=（）A ．2y x-B ．-1C ．2x y-D ．-3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设a ，b 为常数，若2lim()21x ax bx x →∞+=+，则a b +=.7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.8．由曲线1y x=是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =.9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.10．设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分222()Dx y d σ+=⎰⎰.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12．设函数22sin sin 2,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.14．计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15．计算不定积分ln 51x e dx -⎰.16．求微分方程sin dy yx dx x+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.18．计算二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围成的区域.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0Φ()(1)xx t t dt =-⎰的单调增减区间和极值。
广东专插本(高等数学)模拟试卷55(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷55(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列极限结论错误的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：＝1，故C错误，本题应选C．2．在下列给定的区间内满足罗尔定理的是( )A．y＝｜χ－1｜，[0，2]B．y＝，[0，2]C．y＝χ2－3χ＋2，[1，2]D．y＝χarcsinχ，[0，1]正确答案：C解析：A项，y在χ＝1处不可导；B项，y在χ＝1处不连续；D项，y(1)≠y(0)，故本题应选C．3．曲线f(χ)＝的水平渐近线为( )A．y＝B．y＝－C．y＝D．y＝－正确答案：C解析：，则y＝为曲线的一条水平渐近线．4．若∫f(χ)dχ＝＋C，则∫χf′(χ)dχ＝( )A．＋CB．＋CC．χlnχ－χ＋CD．＋C正确答案：D解析：，由于C1为任意常数，故应选D．5．下列命题正确的是( )A．若｜un｜发散，则un必发散B．若un收敛，则｜un｜必收敛C．若un收敛，则(un＋1)必收敛D．若｜un｜收敛，则un必收敛正确答案：D解析：若｜un｜收敛则un一定收敛，若un，发散，则｜un｜一定发散，其余情况无法判定，故本题选D．填空题6．曲线y＝的水平渐近线为_______．正确答案：y＝1解析：＝1，所以曲线有水平渐近线y＝1．7．已知函数参数方程为χ＝e2tcos2t，y＝e2tsin2t，则＝_______．正确答案：0解析：＝2e2tsin2t＋2e2tsintcost，＝2e2tcos2t－2e2tcostsint，8．＝_______．正确答案：2解析：9．y′＋ycosχ＝0满足y｜χ＝0＝2的特解为_______．正确答案：y＝2e-sinχ解析：y′＋ycosχ＝0，＝－ycosχ，＝－cosχdχ，ln｜y｜＝－sinχ＋ln ｜C｜，y＝Ce-sinχ，又y｜χ＝0＝2即C＝2，故微分方程的特解为y＝2e-sinχ10．化二重积分(χ2＋y2)dy为极坐标形式_______．正确答案：解析：由直角坐标形式可知积分区域如图所示．0≤χ≤2a，0≤y≤，用极坐标可表示为0≤0≤，0≤r≤2acosθ，χ＝rcosθ，y＝rsinθ．则极坐标形式为解答题解答时应写出推理、演算步骤。
《高等数学》专插本年历年试卷
X 省202X 年一般高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题〔本在题共5小题，每题3分，共15分。
每题只有一个选项符合题目要求〕1．函数22()2x x f x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则以下等式正确的选项是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．以下级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．假设二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则 9．设平面地域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕11．求20sin 1lim x x e x x →--12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面地域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+-判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题〔大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分〕 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰〔1〕求()x ϕ；〔2〕求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ 〔1〕证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； 〔2〕比拟数值20192018与20182019的大小，并说明理由；202X 年X 省一般高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题〔本大题共5小题，每个空3分，共15分〕 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解： 13.解：14.,t =则211,22x t dx tdt =-= 15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--16.解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤17.解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比拟判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.〔1〕由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(2)由题意得 20.证明〔1〕 证明11ln(1)ln ()01x x x x+--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立()f x ∴在(0,)+∞单调递减〔2〕设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比拟,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>X 省202X 年一般高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题〔本在题共5小题，每题3分，共15分。
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试真题、详细答案及考点详解
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学真题、详细答案及考点详解一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.设()[]1cos lim 0=-→x f x x ，则下列等式正确的是间断点是（）A.()1lim 0=→x f x B.()1cos lim 0=→x x f x C.()1lim 0-=→x f x D.()[]1cos lim 0=+→x x f x 解答：根据初等函数的连续性，可得()[]()()()0lim 1lim 0cos lim cos lim cos lim 0=⇒=-=-=-→→→→→x f x f x f x x f x x x x x x 因此()()1cos lim ,0cos lim 0=+=→→x x f x x f x x 故选D.本题考试内容：初等函数的连续性；考试要求：会利用函数的连续性求极限.2.函数()2332x x x f -=的极小值是（）A.1-=xB.0=xC.1=x D.2=x 解答：对函数进行一阶导数求导，可得()()16662-=-='x x x x x f 令()()⇒=-=-='016662x x x x x f 10==x x 或而()612-=''x x f 因此()060<-=''f ，即x =0为极大值点()066121>=-=''f ，即x =1为极小值点从而极小值为()1321-=-=f ，故选A.本题考试内容：函数极值与极值点；考试要求：理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最值的方法，并会应用函数极值的方法求解应用题.3.已知x 3是函数()x f 的一个原函数，则()=x f （）A.x 3B.3ln 3xC.13-x x D.3ln 3x 解答：根据原函数的定义，可知()()()3ln 33x x x f x f =⇒='故选B.本题考试内容：原函数与不定积分的定义；考试要求：理解原函数与不定积分的概念及其关系.4.设平面区域(){}0,1|,22≥≤+=y y x y x D ，则()=+⎰⎰σd y x D422（）A.10π B.9πC.5πD.92π解答：使用极坐标计算二重积分，由于平面区域如下图所示令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，其中⎩⎨⎧≤≤≤≤πθ010r ，因此()()10sin cos 1904222210422ππθθθσπ==⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰dr r d r r r dr d y xD故选A.本题考试内容：极坐标系下二重积分的计算；考试要求：掌握直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算.5.设级数∑∞=1n n a 满足nn a 510≤≤，则下列级数发散的是（）A.∑∞=13n naB.∑∞=+13n n aC.∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a D.∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-131n n n a 解答：根据正项级数的比较审敛法，由于n n a 510≤≤，由于∑∞=151n n 收敛，因此∑∞=1n na 收敛，再根据级数的性质，可以对下列选项进行判断A 选项：∑∑∞=∞==1133n n n n a a ，因此根据级数的性质可知，∑∞=13n n a 收敛；B 选项：321113a a a a a n n n n ---=∑∑∞=∞=+，因此，级数增加（减去）有限项，不改变敛散性，因此∑∞=+13n n a 收敛；C 选项：∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+13211321132111n n n n n n n n n a n a n a ，其中∑∞=1321n n 为p -级数（132<=p ），故∑∞=1321n n 发散，而∑∞=1n n a 收敛，因此根据级数收敛的性质可知∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a 发散；D 选项：∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+123113113111n n n n n n n n n a n a n a ，其中∑∞=1231n n 为p -级数（123>=p ），故∑∞=1231n n 收敛，而∑∞=1n n a 收敛，因此根据级数收敛的性质可知∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a 收敛，故选D.本题考试内容：收敛级数的基本性质；考试要求：掌握几何级数（等比级数）、调和级数、p -级数的敛散性；理解收敛级数的基本性质.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=1,321,132x x a x x a x f 在1=x 处连续，则常数=a .解答：根据函数极限的充分必要条件可知，()()()Ax f x f A x f x x x ==⇔=+→-→→111lim lim lim 而()()a x a x f x x +=+=-→-→11lim lim 211，()()332lim lim 311+-=+-=+→+→a x a x f x x 因此()().131lim lim 11=⇒+-=+⇒=+→-→a a a x f x f x x 本题考试内容：函数在一点连续的充分必要条件；考试要求：掌握判断函数（分段函数）在一点处连续的方法.7.曲线3222=+y x 在()1,2-点处的切线方程为=y .解答：隐函数求导，因此()122|20212=--='⇒-='⇒='⋅+-，y y x y y y x 从而切线方法为()().3211-=⇒-⋅=--x y x y 本题考试内容：求导方法：函数的四则运算求导方法、隐函数的求导法；考试要求：熟练掌握隐函数的求导方法.8.微分方程043=-'+''y y y 的通解为=y .解答：特征方程为()()0140432=-+⇒=-+r r r r 故1,421=-=r r 故通解为.241x x e C e C y +=-本题考试内容：二阶常系数线性齐次微分方程；考试要求：会求二阶常系数线性齐次微分方程的通解和特解.9.设二元函数()y x f ,在点()0,0的某个领域有定义，且当0≠x 时，()()230,00,+=-x xf x f ，则()='0,0x f .解答：根据偏导数的定义，()()()230,00,0,+=-='x x f x f x f x 因此().20,0='x f 本题考试内容：多元函数的定义；考试要求：理解一阶偏导数和全微分的概念.10.设函数()x f 在()+∞∞-,内可导且满足()()x f x f '=，()m f =0，如果()811=⎰-dx e x f x ，则=m .解答：使用分离变量法，可得：()()()()()()()()⎰⎰=⇒=⇒=⇒'=dx x df x f dx x f x df x f dx x df x f x f 1因此()()Cx e x f C x x f +=⇒+=ln 由于()m f =0，因此()m C m e f C ln 0=⇒==从而()xmx me ex f ==+ln ，将此式子代入()811=⎰-dx e x f x，可得().482888111111=⇒=⇒=⇒=⇒=⎰⎰⎰---m m dx m dx e me dx e x f x xx本题考试内容：可分离变量的微分方程；考试要求：会求可分离变量的微分方程.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.求极限xdt t t xx ⎰→0arctan lim.解：使用洛必达法则00arctan 01arctan limarctan lim=⋅==→→⎰xx xdt t t x xx 本题考试内容：洛必达法则和变上限的定积分；考试要求：熟练掌握应用洛必达法则求未定式极限的方法以及掌握变上限定积分求导数的方法.12.已知y 是x 的函数，且2ln 2ln ln ++='x x y ，求.|22e x dxyd =解：使用复合函数求导法，可得x x x xx x x y ln 212101ln 21211+=+⋅+⋅=''则.1ln 2121|22ee e e dx y d e x =+==本题考试内容：求导方法——复合函数的求导法；考试要求：熟练掌握复合函数求导方法.13.求不定积分().sin 2cos 2⎰-dx x x x 解：根据不定积分的性质，可得()dxx x dx x dx x x x ⎰⎰⎰-=-22sin 2cos sin 2cos 其中12sin 2122cos 212cos C x x xd xdx +==⎰⎰22222cos 21sin 21sin C x dx x dx x x +-==⎰⎰因此()C x x dx x x x +-=-⎰22cos 212sin 21sin 2cos （其中21C C C +=）.本题考试内容：基本积分公式、换元积分法——第一换元法（凑微分法）；考试要求：熟练掌握不定积分的基本积分公式、熟练掌握不定积分的第一换元法.14.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,1,123x x x x x x f ，求定积分().203dx x f ⎰-+解：令2+=x t ，从而2-=t x ，dt dx =，当3-=x 时，1-=t ；当0=x 时，2=t ，从而原式可变为()().23|210122122111232103=+=++==+⎰⎰⎰⎰---t dt t dt t t dt t f dx x f 本题考试内容：定积分的性质、定积分的计算——换元积分法；考试要求：掌握定积分的基本性质以及掌握定积分的换元法.15.求二元函数y x xy z 223+=的全微分dz ，并求.2yx z∂∂∂解：y x y x z 232+=∂∂，226yx xy y z -=∂∂，因此dyy x xy dx y x y dz ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222623.2662222yxy y x xy x y x z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂本题考试内容：全微分以及高阶偏导数；考试要求：掌握二元函数一阶偏导数与二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法.16.计算σd y D⎰⎰，其中D 是由直线x y =，2-=x y 与0=y ，2=y 围成的有界区域.解：x则有界区域可写为Y-型区域⎩⎨⎧+≤≤≤≤220y x y y 因此原二重积分可变为().4|2|202222220=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰++y ydy dy x y dx y dy d y y yy yDσ本题考试内容：直角坐标系下二重积分的计算；考试要求：掌握直角坐标系下二重积分的计算方法.17.求微分方程22sec yxdx dy =，满足初始条件1|0==x y 的特解.解：使用分离变量法，可得⎰⎰=⇒=⇒=xdx dy y xdx dy y yx dx dy 222222sec sec sec 因此C x y +=tan 313将1|0==x y 代入上式，可得310tan 131=⇒+=⨯C C 从而可得微分方程特解为.1tan 331tan 3133+=⇒+=x y x y 本题考试内容：可分离变量方程；考试要求：会求分离变量微分方程的通解和特解.18.判断级数∑∞=12!2n n n n 的收敛性.解：由于∑∞=12!2n n n n 为正项级数，()()()()()1021lim !2!121lim !2!121lim lim 22122121<=+=++=++=∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n a a n n n n n n n nn n 因此根据比值判别法可知：∑∞=12!2n n n n 收敛.本题考试内容：常数项级数审敛法；考试要求：掌握正项级数的比值审敛法.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.设有界平面图形G 由曲线ax e y =和直线0==x e y ，围成，其中a ＞0，若G 的面积等于1（1）求a 的值；（2）求G 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积V .解：（1）由题设可得平面图形G ，如下图所示因此aa a e a e e e a a e e a ex dx e e S a a a ax a ax1111|1011010=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⋅⎰又因为平面G 的面积为1，因此.111=⇒==a aS ye1/ax（2）要求G 绕y 轴旋转一周，因此根据公式可得()()().2|21|ln 2ln 21ln 2|ln ln 11111121212-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅===⎰⎰⎰⎰⎰e y e e dy y y y y e dy y e dy y y y y y dy y dy x V ee eee ee ey πππππππ本题考试内容：定积分的应用——平面图形的面积、旋转体的体积；考试要求：掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生的旋转体体积的方法.20.设函数()bxeax f +=1，其中b a ,为常数，且0≠ab （1）判别()x f 在区间()+∞∞-,内单调性；（2）求曲线()x f y =的拐点；（3）求曲线()x f y =的水平渐近线方程.解：（1）函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,，而()()211bxbx bx e abe e a x f +-='⎪⎭⎫⎝⎛+='因此，当0>ab 时，函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,单调递减；当0<ab 时，函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,单调递增.（2）由于()()()()()()()324222*********bx bx bx bx bx bx bx bx bx bx e e e ab e e e ab e e ab e abe x f +--=++++-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''令()()()01132=+--=''bx bxbx e e e ab x f ，且0≠ab ，可得0010=⇒=⇒=-x e e ebx bx显然()x f ''在x =0左右两端异号，因此把x =0代入原式，可得()2100ae af =+=因此，拐点为⎪⎭⎫⎝⎛2,0a .（3）当0>b 时，()01limlim =+=+∞→+∞→bx x x e a x f ，()a e ax f bx x x =+=-∞→-∞→1lim lim ；当0<b 时，()a e a x f bx x x =+=+∞→+∞→1lim lim ，()01lim lim =+=-∞→-∞→bx x x e ax f ，因此水平渐近线为0==y a y 和.本题考试内容：函数单调性的判定法、曲线的凹凸性、拐点以及函数曲线的水平渐近线：掌握利用导数判定函数单调性的方法，会判定曲线的凹凸性、会求曲线的拐点以及会求曲线的水平渐近线.。
高等数学试题及答案专升本
高等数学试题及答案专升本高等数学试题及答案（专升本）一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限lim(x→0) (sin x)/x 的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的导数是（）。
A. 2x + 3B. 2x - 3C. x^2 + 3D. x^2 - 3答案：A3. 曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线斜率是（）。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：B4. 不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx 的结果是（）。
A. x^3 - x^2 + x + CB. x^3 + x^2 - x + CC. x^3 - x^2 + x + CD. x^3 + x^2 - x + C答案：C5. 函数y = e^x 的原函数是（）。
A. e^x + CB. e^(-x) + CC. e^x - CD. e^(-x) - C答案：A6. 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 3x - 2，则f[g(x)]的表达式是（）。
A. 6x - 3B. 6x + 1C. 9x - 5D. 9x + 1答案：C7. 函数y = ln(x) 的反函数是（）。
A. e^yC. x^yD. y^x答案：A8. 函数y = x^2 在区间[-2, 2]上的最大值是（）。
A. 0B. 4C. -4D. 2答案：B9. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2x 的极值点是（）。
A. x = 0B. x = 1C. x = 2答案：B10. 曲线y = x^2 + 2x + 1与直线y = 3x + 2的交点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2)/(x^2 + 2x - 3) 的值是 _______。
答案：112. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的二阶导数是 _______。
广东专插本(高等数学)模拟试卷43(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷43(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列四组函数字f(χ)与g(χ)表示同一函数的是( )A．f(χ)＝tanχ，g(χ)＝B．f(χ)＝lnχ3，g(χ)＝3lnχC．f(χ)＝，g(χ)＝χD．f(χ)＝ln(χ2－1)，g(χ)＝ln(χ－1)＋ln(χ＋1)正确答案：B解析：A、D选项中，两函数的定义域不同；C选项中，当χ＞0时，f(χ)≠g(χ)；B选项中，f(χ)＝lnχ3＝3lnχ＝g(χ)，定义域均为χ＞0，故本题选B．2．当χ→0时，χ3＋sinχ是χ的( )A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶但不等价无穷D．低阶无旁小正确答案：B解析：＝1，故χ3＋sinχ是χ的等价无穷小．3．设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则曲线y＝f(χ)在(a，b)内平行于χ轴的切线( )A．仅有一条B．至少有一条C．有两条D．不存在正确答案：B解析：f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则f(χ)满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0，则f(χ)在(a，b)内至少有一条平行于χ轴的切线，故选B．4．定积分dχ＝( )A．0B．2C．D．π正确答案：C解析：考察定积分在对称区间上积分的性质．5．级数(c≠0，b≠0)收敛的条件是( )A．a＜bB．｜a｜＞｜b｜C．｜a｜＜｜c｜D．｜a｜＜｜b｜正确答案：D解析：根据等比级数的敛散性可知，当且仅当＜1时，级数收敛，即｜a｜＜｜b｜，故选D．填空题6．已知χ→0时，无穷小1－cosχ与asin2χ等价，则a＝_______．正确答案：解析：当χ→0时，(1－cosχ)～χ2，asin2χ～aχ2，由1－cosχ与asin2χ等价知＝1，于是a＝．7．函数y＝f(χ)由参数方程所确定，则_______．正确答案：解析：8．＝_______．正确答案：解析：9．设f(χ，y)＝，则f(1，)＝_______．正确答案：解析：10．微分方程y?－4y′＋13＝0的通解为_______．正确答案：y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)解析：对应的特征方程为r2－4r＋13＝0，解得r＝2±3i，故通解为y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)，其中C1，C2为任意常数．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2023专转本高数试卷
2023专转本高数试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = (1)/(ln(x - 1))的定义域为（）A. (1,2)∪(2,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)∪(2,+∞)D. (2,+∞)2. 当x→0时，sin x与x是（）A. 高阶无穷小。
B. 低阶无穷小。
C. 同阶但非等价无穷小。
D. 等价无穷小。
3. 设函数y = f(x)在点x_0处可导，则limlimits_Δ x→0(f(x_0 - Δ x)-f(x_0))/(Δ x)=（）A. f'(x_0)B. -f'(x_0)C. 0D. 不存在。
4. 函数y = x^3 - 3x的单调递增区间是（）A. (-∞,-1)∪(1,+∞)B. (-1,1)C. (-∞,+∞)D. (-1,0)∪(1,+∞)5. 设f(x)=∫_0^xsin t^2dt，则f'(x)=（）A. sin x^2B. cos x^2C. 2xsin x^2D. 2xcos x^26. 下列广义积分收敛的是（）A. ∫_1^+∞(1)/(x)dxB. ∫_1^+∞(1)/(x^2)dxC. ∫_0^1(1)/(√(x))dxD. ∫_0^1(1)/(x^2)dx7. 已知向量→a=(1, - 1,0)，→b=(1,0, - 1)，则→a×→b=（）A. (1,1,1)B. (-1, - 1, - 1)C. (1, - 1,1)D. (1,1, - 1)8. 平面2x - y + z = 1的法向量为（）A. (2,-1,1)B. (2,1,1)C. (-2,1,-1)D. (1,-2,1)9. 级数∑_n = 1^∞(1)/(n(n + 1))的和为（）A. 0B. 1C. 2D. 发散。
10. 微分方程y' + y = 0的通解为（）A. y = Ce^xB. y = Ce^-xC. y = x + CD. y = C二、填空题（每题3分，共15分）1. limlimits_x→1(x^2 - 1)/(x - 1)=_22. 函数y = x^2e^x的导数y'=_(x^2 + 2x)e^x3. 设z = ln(x + y)，则(∂ z)/(∂ x)big_x = 1,y = 0=_14. 曲线y = sin x在x=(π)/(2)处的切线方程为_y = 15. 已知→a=(1,2,3)，→b=(3,2,1)，则→a·→b=_10三、计算题（每题8分，共40分）1. 求极限limlimits_x→0(tan x - sin x)/(x^3)。
专插本数学试题及答案
专插本数学试题及答案一、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个正确答案）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的导数是（）。
A. 4x - 3B. 2x - 3C. 4x^2 - 3xD. 2x^2 - 32. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a和向量b的点积是（）。
A. 10B. 11C. 12D. 143. 以下哪个选项是微分方程y'' + 2y' + y = 0的通解？（）A. y = e^(-x)B. y = e^(-x) + xe^(-x)C. y = cos(x) + sin(x)D. y = cos(x) + x*sin(x)4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. π/2D. 25. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 矩阵A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}的行列式是（）。
A. -2B. 2C. -5D. 57. 以下哪个选项是二重积分∬(D) xy dA的计算结果，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的三角形区域？（）。
A. 1/6B. 1/8C. 1/4D. 1/38. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上的最大值是（）。
A. -1B. 0C. 1D. 29. 以下哪个选项是线性方程组x + 2y = 5和3x - y = 1的解？（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 2)D. (2, 3)10. 以下哪个选项是曲线y = x^2在点(1, 1)处的切线方程？（）A. y = 2x - 1B. y = 2xC. y = 2x + 1D. y = x + 1二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是______。
专插本高数练习题
专插本高数练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值出现在 \( x \) 等于（）。
A. 0B. 2C. 4D. 82. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，那么 \( L \) 的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的值域是（）。
A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)5. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，那么\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是（）。
A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若 \( \lim_{x \to 2} f(x) = 5 \)，则 \( \lim_{x \to 2}(f(x) - 5) = ________ 。
7. 若 \( a \) 和 \( b \) 是二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，则 \( a + b \) 的值为 ________。
8. 若 \( \sin x = \frac{3}{5} \)，且 \( x \) 在第一象限，那么\( \cos x \) 的值为 ________。
9. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 交点的坐标为________。
2024广东专插本考试高等数学试题
2024广东专插本考试高等数学试题2024广东专插本考试高等数学试题一、选择题1、下列函数中，在区间(0,1)内为增函数的是： A. y = ln(x + 1) B. y = e^(-x) C. y = sinx D. y = cosx2、设{an}为等比数列，a1 = 2，公比为q，则a2 等于： A. 2q B. qC. 1/qD. q^23、下列图形中，面积为S的平行四边形的个数是： A. 1 B. 2 C. 3D. 4二、填空题 4. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, -4)，则向量a 与向量b 的夹角为__________。
5. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3，则f(-2) = __________。
6. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| = __________。
三、解答题 7. 求函数y = sinx + cosx + sinxcosx + 1的最大值与最小值。
8. 求下列微分方程的通解：dy/dx = y/(x + 1)，其中y(0) = 1。
9. 在等差数列{an}中，已知a1 = 1，S100 = 100a10，求{an}的前n项和Sn的公式。
四、应用题 10. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本40万元，此外每生产100件产品还需增加投资2万元。
设总收入为R(x)万元，x为年产量，产品以每百件为单位出售，售价为47万元/百件。
若当年产量不足300件时，可全部售出；若当年产量超过300件，则只能销售75%。
试求该公司的年度总收入R(x)的表达式。
五、选做题 11. 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3, π/6)、(4, π/3)，求△AOB的面积S。
12. 已知函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。
试求证：存在一点ξ∈[0,1]，使得f(ξ) = -ξ。
六、附加题 13. 求证：在正整数中，n^3 - n一定是6的倍数。
广东专插本(高等数学)模拟试卷28(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷28(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．极限( )A．1B．-1C．0D．不存在正确答案：D2．设则χ=0是函数f(χ)的( )A．可去间断点B．第二类间断点C．连续点D．跳跃间断点正确答案：A3．设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则曲线y=f(χ)在(a，b)内平行于χ轴的切线( )A．仅有一条B．至少有一条C．有两条D．不存在正确答案：B4．设函数( )A．B．C．D．正确答案：D5．不定积分∫23χdχ= ( )A．B．C．D．正确答案：A填空题6．不定积分=_____。
正确答案：7．曲线的渐近线有______。
正确答案：y=0及χ=-18．曲线y=(1十χ2)arctanx在χ=0处的切线方程为_____。
正确答案：y=χ9．设积分区域D：1≤χ2+y2≤4，则=______。
正确答案：10．微分方程y?=24χ的通解为_____。
正确答案：y=χ4+C1χ2+C2χ+C3解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限。
正确答案：12．试确定常数a，b的值，使f(χ)在点处可导。
正确答案：由f(χ)的定义可知f(χ)分别在(-∞，)与(，+∞)上连续，且由f(χ)在点χ=处连续知。
由于f(χ)在χ=处可导，且，从而，进而由，可得。
13．计算不定积分。
正确答案：14．求不定积分。
正确答案：15．设函数z=f(eχsiny，3χ2y)，且f(u，v)为可微函数，求dz。
正确答案：令eχsiny=u，3χ2y=v，则有z=∫(u，v)。
利用微分的不变性得，dz=fu?(u，v)du+fv?(u，v)dv =fu?d(eχsiny)+fv?(3χ2y) =fu?(e χsinydχ+eχcosydy+fv?(6χydχ+3χ2dy) =(eχsinyfu?+6χyfv?)dχ+(eχcosyfu?+3χ2fv?)dy。
高数专插本试题及答案
高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1、下列等式中，不成立．．．的是A 、1)sin(limx =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x xC 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e -B 、c e x +2C 、C e x +-221D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x |B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -=D 、3)(x x f =5、已知x xy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx e x =。
7、定积分211sin x e xdx --⎰=。
8、设函数xxx f +-=22ln)(，则(1)f ''=。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a=。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
12、求极限202x 0ln (1)limxt dt x →+⎰。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
每小题只有一个选项符合题目要求）．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是．2x =- 和0x = ．2x =- 和1x = ．1x =- 和2x = ．0x = 和1x =．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → ．等于1 ．等于2 ．等于1 或2 ．不存在 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰ ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰．下列级数收敛的是．11nn e ∞=∑ ．13()2nn ∞=∑．3121()3n n n ∞=-∑ ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件．0,0a b b -=< ．0,0a b b -=>．0,0a b b +=< ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y = ．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,xxdz e ydx e ydy =+ 则2zy x∂=∂∂ ．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．求20sin 1lim x x e x x →--．设(0)21x x y x x =>+，求dydx．求不定积分221xdx x ++⎰．计算定积分012-⎰．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ ．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ ．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1nn a ∞=∑的收敛性．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间四、综合题（大题共 小题，第 小题 分，第 小题 分，共 分） ．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（ ）求()x ϕ；（ ）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ （ ）证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； （ ）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 二、填空题（本大题共 小题，每个空 分，共 分）13x2x cos xe y 13π 三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰,t =则211,22x t dx tdt =-=20121021420153011,,2211()221()2111()253115t x t dx tdt t t tdtt t dtt t -==-==-=-=-=-⎰⎰⎰解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyz x xyz y xyzz xyz xyz xyz xyzf x y z yze f x y z xze f x y z xye z yze z xze x xye y xye ∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤222020ln()3(4ln 2)23(4ln 2)|2(8ln 23)Dx y d d ππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰ 解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-414(1)1lim lim 1,3213n x x nb n b n n +→∞→∞+∴==<+- 由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛．解()()()()(1)xx x x df x x de df x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞（ ）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰证明（ ）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++ 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（ ）设2019,2018a b ==则201820192019,2018b a a b ==比较,a b b a 即可，假设a bb a>即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
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A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导
2、设函数 在点x0处连续，且 则 =
A.-4B.0C. D.4
3、设函数 若 存在，则 =
A. B. C. D.
4、设 ，则 =
A. B. C. D.
5、积分
A.收敛且等于-1B.收敛且等于0C.收敛且等于1D.发散
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
11、求极限 。
12、计算不定积分 。
13、设函数 。
14、函数y=y(x)是由方程 所确定的隐函数，求 在点（1，0）处的值。
15、计算定积分 。
16、求二重积分 ，其中积分区域 。
17、设函数 ，求 。
18、求微分方程 满足初始条件 的特解。
四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）
故f(x)在区间（ ）及（3， ）单调上升，在区间（1，3）单调下降；
f(x)的极大值f(1)=1，极小值f(3)=－27。
（3）解法一：
解法二：
20、证明：设 ，
则 。
故 =c，c为常数。
化简得：
将初始条件代入得：
故所求的特解为 .
四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）
19、解：（1）
（2） ，
令 ，解得x=0，x=1，x=3.
列函数性态表如下
（ ）
0
（0，1）
1
（1，3）
343;
0
－
0
+
↗
无极值
↗
极大值
↘
极小值
↗
（说明：不列表，分别讨论单调性不扣分）
4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是
A、 x B、 C、 D、
5、已知 ，则 =
A、 B、 C、 D、
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、极限 =。
7、定积分 =。
8、设函数 ，则 =。
9、若函数 在x=0处连续，则a=。
10、微分方程 的通解是。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
= =
=
13、解： = ，
，
14、解法一：将方程 两边对x求导数得
，
则
。
解法二：将方程 两边取自然对数得
则
.
解法三：设F（x,y）= ，
则， ，
，
.
15、解：
16、解法一：D= 如答图1所示
解法二：D= 如答图1所示
（说明：本题不画图，不扣分）
17、解：
= ，
18、解： 原方程可变形为： ，
（说明：没写绝对值不扣分）
高等数学
历年试题集及答案
(2005-2016)
2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）
1、下列等式中，不成立的是
A、 B、
C、 D、
2、设 是在（ ）上的连续函数，且 ，则 =
A、 B、 C、 D、
3、设 ，则
A、- B、 C、- D、
1、D2、B3、B4、A5、C
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、87、x+2y-3=08、49、 10、
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、解法一：
解法二：
解法三：
(说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分)
12、解法一：
=
解法二：
=
解法三：设 =t，则x=
6、若直线 是曲线 的水平渐近线，则 =。
7、由参数方程 所确定的曲线在t=0相应点处的切线方程是。
8、积分 。
9、曲线 及直线x=0，x=1和y=0所围成平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积V=
。
10、微分方程 的通解是。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明）
15、解：
（每项的原函数求对各得1分，总体答案写对得5分）
16、解：令 ，则
6分
17、解：由两条曲线 及两条直线 所围成的平面图形
如图所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为
5分
18、解：采用极坐标变换 ，则
19、解：方程 的特征方程为
解出
可知方程的通解为
由上式可得
用初始条件 代入上面两式得
故 在闭区间[0，2]上的最大值为 ，最小值为
22、证明：设 则
由拉格朗日中值定理知，存在一点 ，使
， 即 ，
又因 ，故
23、解：应用分部积分法
由题意有 6分
2006年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）
19、已知函数 是 在 上的一个原函数，且f(0)=0.
（1）求 ；
（2）求 的单调区间和极值；
（3）求极限 。
20、设 ， 都是 上的可导函数，且 ，g=(0)=0。试证： 。
2006年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11、求极限 )。
12、求极限 。
13、已知 ，求 。
14、设函数 是由方程 所确定的隐函数，求 。
15、计算不定积分 。
16、计算定积分 。
17、求由两条曲线 及两条直线 所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。
18、计算二重积分 ,其中积分区域 。
19、求微分方程 满足初始条件 的特解。
20、已知 ，求全微分 。
解出 故所求的特解为
20、解：
故
四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分）
21、解： 的定义域为 ，
令 ，解出驻点（即稳定点）
列表
x
-1
（-1，1）
1
—
0
+
0
—
单调减
极小
单调增
极大
单调减
可知极小值
极大值
（2）因 在[0，2]上连续，由（1）知 在（0，2）内可导，且在（0，2），内只有一个驻点 （极大值点），因 ，且
四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分）
21、设 ，
（1）求 的单调区间及极值；
（2）求 的闭区间[0，2]上的最大值和最小值。
22、证明：当 时， 。
23、已知 ，且 ，求f(0)。
2005年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、D2、B3、C4、C5、A
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、1；7、0；8、 9、 10、
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
11、解：
12、解：
13、解：
14、解法一：设 ，则
故 （x≠y）。
解法二：方程 可写为
视 ，上式两边对x求导得
，
即 ，
所以 ，推出 （x≠y）