四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学(理)试卷 Word版含答案

理科数学第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集为，集合，，则A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 的实部和虚部相等，且()()23z i bi b R +=-∈，则z =A ．32B ．22C ．3D ．23．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格4．若变量x ，y 满足约束条件310260x y x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是A ．3-B ．0C ．13D ．1035．函数225()2xx xf x e+=的大致图像是A ．B ．C ．D ．6．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于A ．1-B ．1C ．3D ．77．已知35sin(),(,)4524πππαα-=∈，则sin =α A ．7210 B ．210-C ．210±D ．210-或72108．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是 A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线12x π=对称D ．()f x 的图像关于点(,0)3π对称9．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．20+B ．14+C ．26D ．12+10．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为 A ．516B ．1132C ．1532D ．1211．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 则p 的值为A B C D 12．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是 A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1-∞-第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________．14．8()x 的展开式中62x y 的系数是___________.15．已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1AB AC ==，12AA =，120BAC ∠=，则此球的表面积等于__________.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线右支上的一点，若直线2AF 与直线by x a=-平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分17．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51334a a +=，39S =．（I ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S ； （II ）求证：121112nS S S +++<. 18．（12分）近年来，网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众，某电商在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计，商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：（I ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系？（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种优惠券用户每次使用APP 购物后，都可获得一张优惠券，且购物一次获得1元优惠券，2元优惠券的概率分别是12，13，各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP 购物两次，记该用户当天获得的优惠券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：P （K 2≥k ） 0.1500.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：K 2()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a +b +c +d19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上一点，O 为菱形ABCD 对角线的交点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，四棱锥P ABCD -被平面EAC 分成的两部分的体积是四棱锥P ABCD -的体积的14，求二 面角E AB C --的正切值.20．（12分）已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点为圆22430F x y x +-+=：的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于,A D 两点，交圆F 于,B C 两点，,A B 在第一象限，,C D 在第四象限.（I ）求抛物线E 的方程；（II ）是否存在直线l ，使2BC 是AB 与CD 的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数()()21ln 22f x m x x x m =+-∈R .（I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <且()120f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=.（I ）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（II ）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点M 、N 到l 的距离都为3？若存在，求12||θθ-的值；若不存在，请说明理由.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()12f x x x =---的最大值为m . （I ）在如图所示的坐标系中作出函数()f x 的图象，并 结合图象求出m 的值；（II ）若,a m b m >>，不等式ln ln 1a b ⋅≥恒成立，求ab 的最小值.理科数学参考答案1．C 2．A3．D4．A5．B6．B7．B8．B9．A10．B11．C 12．B13．1()y x ππ=--14．5615．8π16．217．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-，2n S n =.（2）()22212111111111112312231n S S S n n n +++=++++<++++⨯⨯-()11111111222231n nn ⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．18．（Ⅰ）由题意，根据独立性检验的公式，可得K 22200(100302050)1505012080⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯11.1＞10.828．∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系． （Ⅱ）由题意可得：X 的取值分别为0，1，2，3，4．则P （X ＝0）1116636=⨯=，P （X ＝1）1162=⨯⨯216=，P （X ＝2）1163=⨯⨯211132236+⨯=，P （X ＝3）1123=⨯⨯213=，P （X ＝4）111339=⨯=．可得X 的分布列为：P （X ）1361613361319可得数学期望E （X ）36=⨯0+16⨯+236⨯+33⨯+49⨯=2． 19.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥， 因为底面ABCD 为菱形， DB AC ∴⊥， 又,PD DB ⊂平面PDB ，且PD DB D =，AC ⊥平面PDB ，AC ⊂平面,AEC ∴平面AEC ⊥平面PDB ；（2）设E 到平面ABCD 的距离为h ,菱形ABCD 的面积为S , 则13P ABCD V S PD -=⋅，1136E ABC ABC V S h Sh -∆=⋅=，由已知有4P ABCD E ABC V V --=， 12h PD ∴=, 则E 为PB 的中点， 连接EO ，则//EO PD ， EO ∴⊥平面ABCD ， 过O 作OF AB ⊥，连接EF ，则EFO ∠为二面角E AB C --的平面角， 设PD AD a ==，则1133,22EO PD a OF AD a ====，23tan EO EFO FO ∴∠==. 20．（1）根据已知设抛物线E 的方程为22(0)y px p =>.∵圆F 的方程为()2221x y -+=，∴圆心F 的坐标为()2,0F ，半径1r =.∴p22=，解得4p =.∴抛物线E 的方程为28y x =.（2）∵2BC 是AB 与CD 的等差中项，∴AB 4428CD BC r +==⨯=.∴AD AB 10BC CD =++=.若l 垂直于x 轴，则l 的方程为2x =，代入28y x =，得4y =±.此时12AD y 810y =-=≠，即直线2x =不满足题意.若l 不垂直于x 轴，设l 的斜率为k ，由已知得0k ≠，l 的方程为()2y k x =-.设()()1122,,,A x y B x y ，由()22{8y k x y x=-=得()22224840k x k x k -++=.∴212248k x x k++=.∵抛物线E 的准线为2x =-， ∴()()1212AD AF 224DF x x x x =+=+++=++，∴2248410k k ++=，解得2k =±.当2k =±时，()22224840k x k x k -++=化为2640x x -+=， ∵()264140∆=--⨯⨯>，∴2640x x -+=有两个不相等实数根. ∴2k =±满足题意，即直线()22y x =±-满足题意.∴存在满足要求的直线l ，它的方程为240x y --=或240x y +-=.21．（1）()f x 的定义域为0,，求导得()222m x x mf x x x x-+'=+-=，令0f x，得2x 2x m 0-+=，()4441m m ∆=-=-，若1m ≥时，0∆≤，0fx在0,上恒成立，()f x 单调递增；若1m <时，>0∆，方程2x 2x m 0-+=的两根为11x =21x =. 当0m ≤时，10x <，20x >，则()2,x x ∈+∞时，0f x，故()f x 在()2,x +∞单调递增；当01m <<时，120x x <<，则()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，0f x，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增.综上，当0m ≤时，()f x的单调递增区间为()1+∞；当01m <<时，()f x 的单调递增区间为(0,1，()1+∞；当1m ≥时，()f x 的单调递增区间为（+∞,0）.（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=的有两个不等正根()121241020m x x x x m ⎧∆=->⎪∴+=⎨⎪=>⎩，()112m x x ∴=-，101x <<，212x <<， 此时不等式()120f x ax -≥恒成立，等价于()()211111112l 2202n x x x x x x a -+---≥对()10,1x ∈恒成立，可化为()2111111111112ln 2122ln 1222x x x x x a x x x x x -+-≤=+----恒成立， 令()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-， 则()()()()22241212()1ln ln ln 222222x x g x x x x x x x -'=+--=+-=+---，()0,1x ∈，ln 0x ∴<，()40x x -<，()0g x '∴<在0,1恒成立，()g x ∴在0,1上单调递减，()()12310112212gx g >=+-⨯-=--∴，32a ∴≤-.故实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.22．（1）曲线C 的普通方程为221164x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=，直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=.（2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆，圆心O 到直线l 的距离32543d ==+.∴由图像可知，存在这样的点M ，N ，则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴124||3πθθ-=.23．（1）依题意，1,1()23,121,2x f x x x x -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，函数()f x 的图象大致如图所示，结合图象可知1m =.（2）因为()()22ln ln ln1ln ln44a b aba b+≤⋅≤=，故()2ln4ab≥，则2ab e≥.当且仅当a b e==时等号成立，所以ab的最小值为2e.。