轴的扭转和弯曲设计参考文献

1 3
F
4kN
mA NB 3 F 2 0
NB 8kN
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(2)列剪力方程与弯矩方程。
① 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图
列平衡方程：
F
2m
1m
A
FQ1 N A 0
B C
FQ1 N A 4kN
NA
NB
mD M1 N A x 0 A
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三、剪力图和弯矩图
工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。
若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的 剪力FQ 和弯矩M 可以写成x 的函数：
FQ=FQ(x)
M=M(x)
以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程。 为了直观地反映梁上各横截面的剪力和弯矩的大小及 变化规律，可根据剪力方程和弯矩方程, 用横坐标x表示
6kN.m
0
B
C
2kN.m X
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解：(1) 绘制扭矩图如图所示。
(2) 校核AB段的强度 （T=6KN.m,d=120mm）
max
6000
0.123
16.80MPa [ ]
16
则强度足够。
(3) 校核BC段的强度 （T=2KN.m,d=80mm）
max
用FQ 表示； 垂直于横截面的力偶矩—弯矩，
用 M 表示。
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◆剪力的符号规定
使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动 的
剪力方向为正，反之为负。
（+）
（-）
FQ
FQ
FQ
FQ
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◆弯矩的符号规定 使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正， 反之为负。
【课堂练习】已知:P=10KN,M=30N.m,a=2m, b=3m ,画剪力图和弯矩图
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四、横截面上的正应力
梁受纯弯曲时，其横截面上只有正应力，没有切应力。
◆中性层：长度不变的层。
◆所受正应力与率离开中性层的距离成正比，即：
横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布，中性层
解: 计算弯矩的最大值Ｍmax: 当工人行走到跳板中央时，弯矩最大。
M max
700 2
3 2
525N
m
校核弯曲强度:
max
M max Wz
525 103 500 502
2.52 MPa
[ ]
6 所以,该工人走过是安全的。
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【课堂练习】简支梁为圆形截面，已知材料许用弯曲 正应力[σ]=160Mpa，直径d=80mm，F=16KN，试校核 梁的强度。
2000 0.083
19.90MPa [ ]
16
则强度足够。
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18.4 弯曲
一、弯曲的概念
弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下， 使原为直线的轴线变为曲线的变形。
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二、剪力和弯矩的概念
2
F
A l
2
MA FA
B
弯曲梁横截面上的内力有两个： F 平行于横截面的内力——剪力，
【例】转速 n = 500r/min，主动轮B输入功率PB= 10KW，
A、C为从动轮，输出功率分别为 PA= 4KW ， PC= 6KW，
试计算该轴的扭矩。
解：
A
B
C
⑴先计算外力偶矩
MA
9550 PA n
9550 4 500
76.4Nm
MB
9550 PB n
9550 10 500
191Nm
上的正应力等于0。
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■最大正应力
max
M Wz
Wz——截面对中性轴z的抗弯截面系数， m3或mm3。
y
(1) 矩形截面：
Wz
bh2 6
z b
h
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(2) 圆形截面
Wz
d 3
32
(3) 圆环截面
其中
Wz
D3
32
(1 4 )
d
梁的横截面的位置,纵坐标分别表示剪力FQ和弯矩M的大小
而画出的图形，分别称为剪力图和弯矩图。
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【例】图示简支梁AB受集中截荷F=12kN， 试画出
其剪力图和弯矩图。
2m A
F 1m B
C
NA
NB
解: (1) 求A、B的支座反力
mB NA 3 F 1 0
NA
M 2 24 8x2
E FQ2
M2
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(3) 绘制剪力图和弯矩图。
AC段： FQ1 4kN M1 4x1
BC段： FQ2 8kN M 2 24 8x2
2m A
F
A 0
4 kN
M
F 1m B
C
C 8 kN.m
B x
8 kN
A
0
C
Bx
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MC
9550 PC n
9550 6 500
114.6Nm
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⑵计算扭矩：
A
B
C
MA T1
M 0 T1 M A 0
Mc T2
AB段 T1 M A 76.4Nm
BC段
M 0 T2 M C 0
T2 M C 114 .6Nm
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■最大切应力：
max
T Wp
T—— 截面上的转矩，N.m；
d
Wp——抗扭截面系数，m3。
①实心轴
Wp
d 3
16
②空心轴
Wp
D3
16
(1 4 )
D
d
其中α=d/D。
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■强度计算
圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的 最大切应力小于或等于材料的许用切应力, 即:
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二、外力偶矩的计算
在工程中，作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是圆轴传递的功率和转速。
输入功率：P(kW)
M 9550 . P N.m n
M
转速：n (r/min)
※说明：输入力偶矩是主动力偶矩，其方向与轴的转
向相同； 输出力偶矩是阻力偶矩， 其方向与轴的转向
相反。
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三、圆轴扭转时的内力——内力偶（扭矩）
用截面法求横截面的内力
M
M
M
T
M 0 M T 0
T M
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◆扭矩的正负（右手螺旋法则） 右手半握拳，四指沿着扭矩的方向：若拇指 的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。
注意：“+” “-” 不是计算出来的。
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【例】简支梁受力偶作用M ⑴ 求支座反力FAY,FBY得：
FAY= - FBY =M/l ⑵AC段 取距A点为x的截 面左段为研究对象
剪力: FQ1=FAY 弯矩: M1=FAY·x=(M
/l) ·x
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⑶BC段 取距A点为x的截 面左段为研究对象
剪力: FQ2=FAY 弯矩: M2=FAY ·x - M
四、 扭矩图 通常圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的。 为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把 圆轴的轴线作为 x 轴（横坐标轴）,以纵坐标轴 表示扭矩T。 这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线方向 变化情况的图形称为扭矩图。
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【例】上例，画扭矩图
A
B
T
+
76.4N.m
637N·m
计算外力偶矩
D
TA
9550 PA n
1592N
•m
TB
TC
9550 PB n
477.5N
•m
TD
9550 PD n
637N
•mHale Waihona Puke Baidu
作扭矩图
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*五、 圆轴扭转的切应力与强度计算
圆轴扭转时，横 截面边缘上各点的 切应力最大。
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max
Tm a x Wp
[
]
[τ]——轴材料的许用剪切应力
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【例】 一阶梯圆轴如图所示，轴上受到外力偶矩
M1=6 kN·m，M2=4 kN·m，M3=2kN·m，轴材料的许用 切应力［τ］=60 MPa，试校核此轴的强度。
M1
M2
M3
f 120 f 80
A T
D
y
z d
y
z D
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四、横截面上的正应力
梁的最大弯曲正应力小于或等于材料的许用应力,
即：
max
M max Wz
[ ]
[σ]——材料的许用应力
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【例】某建筑工地上, 用长为l=3 m的矩形截面木板 做跳板, 木板横截面尺寸 b=500mm, h=50mm, 木板材 料的许用应力[σ]=6MPa, 试问：一体重为700N的工 人走过是否安全？
FQ1 D
M1
M1 4x1
x1
NA
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① 对BC段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图
列平衡方程：
F
2m
1m
A
B
C
NA
F
NB
A
x2
FQ2 F N A 0
NA
FQ2 N A F 4 12 8kN
M E M 2 F (x2 2) N A x2 0
=(M/l).x - M ⑷画剪力图和弯矩图
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【例】图示的悬臂梁AB，长为l ，受均布载荷q 的作用， 求梁各横截面上的内力。
解: FQ - qx=0 FQ = qx (0≤x≤l)
M qx x 0 2
M 1 qx2 (0 x l) 2
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第18章 轴
§6－1 键联接
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18.3 扭转
一、扭转的概念
l
F F′
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◆受力特点 在杆件两端垂直于杆轴线的平面内 作用一对大小相等，方向相反的外力偶。
◆变形特点 横截面绕轴线发生相对转动，出现 扭转变形。
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-
C AB段 T1 76.4Nm BC段 T2 114 .6Nm
x
114.6N.m
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【例】已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功
率分别为15、15、20kW，n=300r/min，画出该轴扭矩图。
TB
TC
TA
TD
B
C
A
477.5N·m
955N·m
+
-