概率专题

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一、解答题

1．随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略

布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重

量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的

（1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101~300之间的概率；

（2）①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；

②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？

2．“工资条里显红利,个税新政人民心”.随着2019年新年钟声的敲响,我国自1980年以来,力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日

实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡

养老人等.

年的人均月收入24000元.统计资料还表明,他们均符合住房专项扣除；同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子,并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡

养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1；此外,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000

元/月,子女教育每孩1000元/月,赡养老人2000元/月等。

假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级

的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想,解决如下问题：（1）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元,求X的分布列和期望；（2）根据新旧个税方案,估计从2019年1月开始，经过多少个月,该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？

3．按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交

（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；

（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.

①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；

②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.

4．袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为. (I)求随机变量的概率分布及数学期望；

(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式.

5．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，

又推进诚信教育，并用“周实际回收水费

周投入成本

”表示每周“水站诚信度”，为了便于数

（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X ；

（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望； （3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.

6．《山东省高考改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,,,,A B B C C D D E +++

八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为

3 %, 7 %, 16 %, 2

4 %, 24 %, 16 %, 7 %, 3 %.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到

[91,100],[81,90],[71,80],[61,70][51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.

某校2017级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学

（1）从物理成绩获得等级A 的学生中任取3名，求恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率;

（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到1名同学的物理高考成绩等级为B +或A 结束(最多抽取1000人)，设抽取的学生个数为ζ，求随机变量ζ的数学期望(注: 1000460.9 1.710-≈⨯).

7．某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），己知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100 元.现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表:

以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在 甲、乙两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T (单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润.

(Ⅰ)当19n =时，求T 与X 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的槪率； (Ⅱ)以销售利润的期望为决策依据，判断17n =与18n =应选用哪—个.

8．篮球运动于1891年起源于美国，它是由美国马萨诸塞州斯普林菲尔德（旧译麻省春田）市基督教青年会（YMCA ）训练学校的体育教师詹姆士·奈史密斯博士

（Dr. James Naismith ）发明.它是以投篮、上篮和扣篮为中心的对抗性体育运动之一，是可以增强体质的一种运动.已知篮球的比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，3分线内侧投入可得2分，不进得0分.经过多次试验，某人投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件.

（1）求该人在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；

（2）求该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率；

（3）求该人两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望.

9．某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办随机统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数