22-“最小二乘法公式推导”教学的“惑”与“获” 中学数学教学参考(上旬刊)2012年第8期

“最小二乘法公式推导”教学的“惑”与“获”安徽省六安第一中学陆学政（邮编：237009）安徽省六安第一中学顾朝阳（邮编：237009）最小二乘法是统计学中用来求两个线性相关变量的回归直线方程的一种方法，“二乘”就是“平方”的意思.教材在分析了最小二乘法的思想之后，便直接给出回归直线斜率b和截距a的计算公式，而省略了公式的推导过程.笔者对此有两个困惑：公式的推导，教还是不教？若教，如何教？带着这两个困惑，笔者认真研读有关资料，仔细揣摩公式推导的数学实质，终于有所收获，现简述如下，并就教于方家.困惑1 公式推导，教不教？不教的理由似乎很充分：该公式不要求记忆，目前在考试中若用到则直接给出；公式推导比较复杂，太耽误时间，也不是教学重点；在后续的学习（选修2-3“统计案例”）中再推导也不迟，等等.思考1.1 数学教学的目的是什么？高中数学教学的主要目的是：使学生学好数学基础知识，形成基本技能，进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力等数学能力以及创新意识、良好的个性品质和辩证唯物主义观点.其中，数学能力的培养必须落实在数学知识的学习和数学技能的训练过程中，离开“双基”学习来培养能力，那是纸上谈兵.另外，无论是数学“双基”还是能力，它们都是在数学活动中形成和发展的，也只有在数学活动过程中才能得到体现，这就产生了日常数学教学活动中是否以“能力”立意的问题.最小二乘法公式的推导，教还是不教，不能取决于记忆要求，更不能取决于考试要求，而是取决于公式推导对学生能力培养和思想方法渗透的价值，即取决于对学生数学发展的价值.思考1.2 公式推导的价值何在？在∑=--=ni ii a bx y b a Q 12)(),(中，已知数据都是用字母表示，且含有求和符号，这可能是很多教师和学生感到复杂，并放弃推导公式的重要原因.舍去枝节问题，透过现象看本质，可以发现，这其实就是关于两个独立变量的二次式的配方过程.配方法是高中数学的重要思想方法，学生也有一定的知识基础（初中求解二次方程、二次函数问题就多次用到配方法）；同时，由于是两个独立变量，且有混合项，需要用“主元法”进行处理，因此是对初中所学的配方法的进一步发展，加之式子复杂，对代数恒等变形能力的要求也较高.因此，这是培养学生代数变形能力和推理能力、渗透数学思想方法的绝好机会.学生数学能力的培养、数学素养的提高不就是利用一次次的“机会”实现的吗？至于选修2-3的教材处理，完全可以简化为高一学生易于接受的形式.所以，公式推导具有较大的教学价值.困惑2 公式推导，如何教？明确了“公式推导”的定位后，接下来就是如何进行教学.不可否认的是，推导过程确有一定的难度，因此如何根据学生的认知基础，顺应学生的思维规律，进而设计科学的教学过程便成为教学的关键.思考2.1 公式推导的难点在哪？公式推导的难点在于学生如何想到用配方法求),(b a Q 的最小值.这是因为，学生之前学习的配方法基本上只涉及单一变量，对涉及两个独立变量的式子接触很少，何况式子还含有两个变量的混合项，学生往往感到束手无策.另外，配方法求最值的依据是实数平方的非负性，这对学生思维的严谨性也是一个考验. 思考2.2 如何突破难点？仔细分析教学的“先行组织者”，寻找之前的教学中配方法的发展轨迹，不难发现，初中阶段，先是因式分解中的公式法（完全平方公式），再是配方法解一元二次方程，然后是配方法求二次函数的最值；高一阶段，在必修一“用定义法证明函数单调性”时接触到了含两个变量（有混合项）的配方，必修二“数形结合求与圆有关的最值”时接触到了含两个变量（无混合项）的配方，必修二“空间直角坐标系”的课后习题（探求正方体的对角线上的动点与和它异面的棱上的动点之间距离的最小值问题）也涉及到含两个独立变量（有混合项）的多项式配方求最值，这些构成了公式推导的认知基础.但是，由于这些知识比较分散，学生掌握得并不牢固，因此，教学中可以采用“以退求进”的策略，降低坡度，从简单到复杂，从单变量到双变量，逐层渐进，从而顺利突破难点.至此，教学设计的思路便清晰明了了，概述如下： 一、以退为进，由浅入深问题1：设R x ∈，求=)(x f 1422++x x 的最小值. （这是初中水平的问题，旨在从学生最熟悉的情形入手.配方得，=)(x f 1)1(22-+x ，所以，最小值为1-.）问题2：设R y x ∈,，且满足122=+y x ，求24422+-++y x y x 的最小值. （这是学生在必修二“圆”一章遇到过的问题，配方得6)2()2(22--++y x ，利用其隐含的距离意义，得最小值为243-.）问题3：根据函数单调性的定义，证明函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数.（这是学生在必修一“函数” 一章遇到过的问题，任取21x x <，作差后因式分解，进而配方得，))(()()(2221211221x x x x x x x f x f ++-=-043)2()(2222112>⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=x x x x x ，所以)(x f 在),(+∞-∞上是减函数.这里配方时将1x 视作变量，而将2x “暂时”视作常量，称为“主元法”.）问题4：设R y x ∈,，求=),(y x f 9422+-+++y x xy y x取得最小值时的x 、y 值. （这是在问题3的基础上变式而得到的问题，与求),(b a Q 何时取最小值的问题的实质完全一致，旨在引导学生在后面的公式推导中剔除次要因素，洞察问题本质.利用“主元法”两次配方得，=),(y x f 2)3(43)21(22+-+++y y x ，所以，当⎪⎩⎪⎨⎧=-=++03021y y x 即⎩⎨⎧=-=32y x 时取最小值.） 二、具体操作，推导公式在顺利解决了上述四个问题后，教师就可以引导学生推导公式（由于变量x 、y 是相关关系，因此以下设i x ，i y ，ni ,,2,1 =分别都不尽相同，即∑=-ni ix n x1220)(12>-=∑=ni i x x ，∑=-ni iy n y1220)(12>-=∑=ni i y y ）： ∑=--=ni i i a bx y b a Q 12)(),( ∑==ni i y 12∑=⋅+ni i b x 1222a n ⋅+∑=⋅-n i i ib y x 12∑=⋅-n i i a y 12∑=⋅+ni i ab x 12∑==ni i y 12∑=⋅+ni i b x 1222a n ⋅+∑=⋅-ni i i b y x 12a y n ⋅-2ab x n ⋅+2])(2[2a xb y a n --⋅=∑=⋅+ni i b x 122∑=⋅-ni i i b y x 12∑=+ni i y 12（将a 视作“主元”） ])()(2[22x b y a x b y a n -+--⋅=∑=⋅+ni i b x 1222)(x b y n --∑=⋅-ni i i b y x 12∑=+ni i y 122)]([x b y a n --⋅=∑=⋅-+ni i b x n x 1222)(∑=⋅--n i i i b y x n y x 1)(2)(122∑=-+ni i y n y （完成对“主元”a 的配方后，再着手对剩余的b 配方）2)]([x b y a n --⋅=∑=⋅-+ni i x n x 122)(21221⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---∑∑==ni i ni i i x n x y x n y x b )(122∑=-+ni i y n y ∑∑==---ni i ni i i xn x y x n y x 12212)(由于∑=-ni ix n x1220)(12>-=∑=ni i x x ，所以上式取最小值当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x n x y x n y x b ni ini i i 1221，这就是要得到的公式. 三、总结拓展，深化理解上述公式推导过程关注的是),(b a Q “何时”取最小值，而这个“最小值”)(122∑=-ni i y n y ∑∑==---ni i ni i i xn x y x n y x 12212)(似乎无关紧要，果真如此吗？我们知道，刻画两个变量的线性相关问题，除了回归方程外，还要考虑线性相关的程度，即“最小值”占)(122∑=-ni i y n y 的比例.因此，只要将这个“最小值”除以)(122∑=-ni i y n y ，就可以得到2112222121))(()(1r y n y x n x y x n y x n i n i i i ni i i -=----∑∑∑===（﹡），其中))((1221221∑∑∑===---=n i in i i ni ii y n y x n x yx n y x r . 由0)(),(12≥--=∑=ni i i a bx y b a Q ，∑=-ni iy n y1220)(12>-=∑=ni i y y ，知012≥-r ，所 以有1≤r ，且r 越大，（﹡）式越接近于0，x 、y 的线性相关性越强，这个r 便是用来刻画x 、y 线性相关程度的重要参数，即教材“阅读材料”中所说的相关系数.四、课后练习，巩固方法练习1：有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元；现在购甲、乙、丙各1件需要多少元？（1985全国初中数学联赛题）。