平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图

M E 0 RB (l c) P1(a c) P2 (b c) M E 0
解得：
QE RA +
M E RAc +
b
RA
a
E c
P1 P2
RB
QF
RB
C
D
F
B MF
d
l
B
F
d
计算 F 点横截面处的剪力 QF 和弯矩 MF 。
b
RA
a
E c
P1 P2
RB
QF
RB
C
D
F
B MF
d
内容提要
§7-1 平面弯曲的概念及计算简图 §7-2 梁的内力 · 弯矩图 §7-3 弯曲时的正应力和强度计算
§7-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
I. 弯曲的概念
弯曲变形 受力特征： 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系
（有时还包括力偶）。 变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
梁： 以弯曲变形为主的杆件。
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
由平衡方程得
a
P
m
A
B
y 0 RAQ 0
m
x
可得 Q = RA
Q 称为 剪力
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
由平衡方程
a
P
m
mC 0
A
B
m x
M RAx 0
可得 M=RAx
此内力偶称为 弯矩
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。 其上剪力的指向和弯矩
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
RA
ql 2
P
mR
Pl
3ql 2 8
(例题2)
例2：计算图所示多跨静定梁的支反力
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m
K
B
1m
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m B
K 1m
分析：先将中间铰 C 拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB 的支反力。
CD
B
F
d
l
QE RA
+
M E RAc +
QE
RA
ME
A
E
C
取右段为研究对象
QE
RA
ME
A
E
C
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
P1
P2
RB
Ec
D
B
a- c
ME
b- c
l- c
QE
RA
ME
A
E
C
QE
P1
P2
RB
Ec
D
B
a- c
ME
b- c
l- c
y0
QE RB P1 P2 0
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯 曲称为非对称弯曲。
1 。支座的简化
II . 梁的计算简图
在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁
（1） 固定端
R Hm
（2）固定铰支座
R
R
H
( 3 ) 可动铰支座
2， 工程中常用到的静定梁 悬臂梁 简支梁 外伸梁
RB
解：（1）研究CB梁，由平衡方程
X 0, XC 0
mB 0, yC 5 20 3 2.5 5 0
y 0, RB 20 3 yC 0 X C 0, yC 31kN, RB 29kN
（2）研究 AC 梁，由平衡方程 X 0, X A 0
y 0, RA 50 31 81kN
处横截面处的剪力和弯矩。
b
P1 P2 a
A
CD
B
E
F
c
d
l
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
解:
mA 0
RBl P1a P2b 0
mB 0 RAl P1(l a) P2 (l b) 0
b
RA
a
A
E
c
P1 P2
RB
C
D
B
F
d
l
解得：
RA
P1 (l
a)
l
P2 (l
b)
M
的转向则与取右段梁为 研究对象所示相反。
m
M
P
RB
Qm
B
2, Ｑ和 M 的正负号的规定 剪力符号
使dx 微段有 左端向上而右端向下 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为正 。或使dx微段有顺时针
转动趋势的剪力为正。
+m
Q
Q
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
RB
P1a l
P2b
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
P=50KN yC ' yC
mA
XA
AE
C
xc ' xc
xc ' xc
RA
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§7—2 梁的内力· 弯矩图
一、梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
Pຫໍສະໝຸດ Baidu
m
A
B
m x
a
P
m
用截面法假想地在
A
B
m
横截面mm处把梁分
x
为两段，先分析梁左段。
l
B
F
d
y 0, QF RB 0
QF RB -
解得：
mF 0, M F RBd 0
M F RB d +
例题4
例题4： 图示简支梁受线性变化的分布荷载作用， 最大荷载集度为 q0 。试计算梁在 C 点处横截面上的 剪力和弯矩
q0
A
B
C
a l
RA 解：求梁的支反力 RA 和 RB
转动趋势的剪力为负。
-m
m
dx
弯矩符号
+ Mm
M
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时，
横截面m-m 上的弯矩为正；
m （受拉）
当dx 微段的弯曲上凸
_
（即该段的下半部受压）时，
横截面m-m 上的弯矩为为负。
m
m （受压）
例题3 例题4
例题3： 为图示梁的计算简图。已知 P1、P2，且 P2 > P1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知。试求梁在 E 、 F 点
(3) 几种超静定梁
(例题1) (例题2)
例1: 计算悬臂梁的支反力。
q
P
A
C
B
l2
l2
l
RA
A mR
3l 4
q
C
l
ql
P
2
B
解: 求梁的支反力 RA 和 mR 。
由平衡方程得： y 0,
R
A
ql 2
P0
M A 0,
mR
ql 2
3l 4
Pl
0
RA
A mR
3l 4
q
C
l
ql
P
2
B
解得：
纵向对称面 ： 包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线 的平面称为 纵向对称面
平面弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的 平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为 对称弯曲。
纵向对称面
A
P1
P2
梁的轴线
B
RA
RB
梁变形后的轴线
与外力在同一平
面内
再将副梁 CB 的两个支反力 XC ，YC 反向， 并分别加在主梁 AC 的 C 点处，求出 AC 的支反力。
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m B
K 1m
xC
C yC
q 20KN m D
M=5KN.m KB
RB
xC
C yC
q 20KN m D
M=5KN.m KB