电磁场与电磁波(第2章)

iv J v ds
s
式中运流电流密度为
div Jv v ds
通常，传导电流与运流电流并不同时存在。
位移电流
电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成
作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定 律可知
q
s
D dS
则穿过闭合面S的位移电流为：
dq D id dS J d dS s t s dt
E dl 0
l
稳恒磁场的环流如何呢？
B dl ?
l
对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的通量和 环流。
对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。
安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭 合曲线的线积分（也称 B 的环流）, 等于穿过该闭合曲线的
库仑定律
qq1 R 1 FE 2 ( )( ) R R 4 0
适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;
109 无限大真空情况 (式中 0 8.85 1012 36
F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中 ( 0
)
当真空中引入第三个点电荷 q3 时，试问 q1 与 q2 相互间的 作用力改变吗? 为什么？ 结论：电场力符合矢量叠加原理
s
即
H Jc Jv J d＝J J d
D E H J 0 J t t
麦克斯韦 第四方程
或
c B J / 0 E / t
2
2.6 微分形式的麦克斯韦方程组
将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微 分形式的麦克斯韦方程组 。 E / 0 D E B/t E B/t 或 B 0 B 0 2 c B J / 0 E/t H J D/t
通常，又将电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭 示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。
它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。
麦克斯韦由此预言电磁波的。
例:
已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介
电常数

,极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电
流 iC与 iD 的关系是什么? 解： 电场 忽略极板的边缘效应和感应电场
2.1 例 题

1. 两点电荷q1=8C位于z轴上z=4处，q2=-4C, 位于y轴上y=4处，求(4,0,0)处的电场强度。 2. －点+q电荷位于处（-a,0,0)，另－点电荷 -2q位于（a,0,0)处，空间有没有电场强度 E=0的点？

2. 磁场力
当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会
B 0
2.5 由安培环路定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第四方程
1. 传导电流、运流电流和位移电流 传导电流 自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成
传导电流的电流密度 J c 与电场强度
Jc E
E 的关系为：
此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohm’s law)，并且 传导电流为
以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方 程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组 ，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为“完整”方程组 ，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面 ——电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的 规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。具体地说 ，第一方程表明，电场是有散度场，即电场可以由点源电荷 所激发；第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由 单极磁荷所激发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相 互依存、相互制约并且相互转化。
此式称为电流连续性原理
即
ic iv id 0
或

s
J dS 0
电流连续性原理表明：在时 变场中，在传导电流中断处 必有运流电流或位移电流接 续。 其中
E J J c J v J d E v 0 t
称为全电流密度
4 3 2 3 0 0
2.3 由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第二方程
法拉第电磁感应定律
感应电动势
闭合路径所包围的磁通 根据斯托克斯定律
dm e dt e E dl
l
m B dS
s
B ( E ) dS dS l E dl t s s
所有电流强度 （即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流 强度）的代数和的μ0倍。
B dl 0 I內i
l i
与环路成右旋关系的电流取正。
I
讨论
B dl 0 I內i
i
① 磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一
点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。
表明了产生磁场的源是电流或 变化的电场——安培定律的另 2 c B J / 0 E / t 一种表现形式。
2.7 积分形式的麦克斯韦方程组
根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯 韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。
D E B/t 转化为 B 0 H J D/t
发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷 即电流之间的作用力，我们称其为磁场力 。
假定一个电荷q以速度 v
到磁场力为
在磁场中运动，则它所受
FB＝qv B
这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以
用一个磁感应强度 B 来描述。
3.洛伦兹力
当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用
ic J c ds
s
运流电流
电荷在无阻力空间作有规则运动而形成
形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用， 即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微， 可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。 假设存在一个电荷体密度为 的区域，在电场作用下， v 运动，则运动电荷垂直穿过面积S 的运 电荷以平均速度 流电流为
dq ic iv dt
麦克斯韦假设， S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流 相一致，并且若指定穿出S面的电流为正，则
D ( J c dS J v dS ) id dS s s s t
于是可得

s
( J c J v J d ) dS 0
库仑定律还可以换一种方式来阐述：
假定电荷q=1C，于是电场力 FE 即为q1对单位电荷的作用 力,我们将这个特定大小的电场力 FE 称为电场强度矢量 E
q1 R 1 E＝ 2 R R 4 0
结论
由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对 静止的电荷之间的作用力，所以电场强度表示 了电场力。

B dS s E dl t s s B dS 0 D (J ) dS s H dl t s
s
D dS Q
其中引出了三个 媒质特性方程
B 0 H D 0E Jc E
u E d ,
u( t ) D E d
位移电流密度 J D D ( du ) t d dt
位移电流 iD J D dS S ( du ) C du iC S d dt dt
传导电流与位移电流
3.磁场强度与安培环路定律 静电场的环流为零 说明静电场是保守场；
2.8 麦克斯韦方程的时谐形式
时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场（time – harmonic field）,简称时谐场。所谓时谐场即激励源按照 单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变 化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所有的 点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对于时 谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态响应 。 积分形式的时谐表示 微分形式的时谐表示

2.在导体铜（ε r =1,σ=5.8×107S/m)中某处，电 场强度为E=ezEmcos(2п×1010 t)计算该点的传导 电流密度幅度和位移电流幅度之比；如果铜换 为淡水（ ε r =81,σ=4S/m），重新计算传导电 流密度幅度和位移电流密度幅度之比。
2.电流连续性原理 在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则 穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率 ，即
其中
I I內i
i
4.麦克斯韦第四方程 在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电 流，即
H dl ( J c J v J d ) ds
l s
由斯托克斯定律得
l s
H dl H ds ( J c J v J d ) ds
② 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋
场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。
③ 当电流呈体分布时
B dl 0 J dS
S
定义自由空间用磁场强度 H 表示的磁通密度为
B 0 H
则安培环路定律可写成

l
H dl I
D E Jd 0 t t
式中位移电流密度
2.5 例 题
7 3 2.32 10 C m 1.一个体密度 为的质子束，通过
1000V的电压加速后形成等速的质子束，质 子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束 外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
2.5 例题
பைடு நூலகம்
E D dS q
s
根据高斯定律

s
D dS DdV Q q dV
V V
可得麦克斯韦第一方程 ： 或
D E / 0
2.2 例题

1. 一个平行板真空二极管内的电荷体密度 4 U d x ，式中阴极板位于x=0， 为 9 阳极板位于x=d，极间电压为U0。如果 U0=40V、d=1cm、横截面S=10cm2，求： （1） x=0和x=d区域内的总电荷量Q；（2） x=d/2和x=d区域内的总电荷量Q’。
E / 0
第一方程
将电场与其场源——电荷密度 联系了起来，实际上，它是库 仑定律的另一种形式。
E B / t
第三方程
第二方程
表明了随时间变化的磁场会产 生电场 ——这是法拉第电磁感 应定律的微分形式 。
B 0
第四方程
表明了在形成磁场的源中，不 存在“点磁荷——磁力线始终 闭合 。
时，我们称这样的合力为洛伦兹力。
即
F qE qv B
我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的 定义式。
2.2 由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程 定义
穿过一个单位有向面积dS的力线的条数为 电通密度(electric flux density)，用 D 表示。 在自由空间中，穿过有向面积S的电通量为
可得麦克斯韦第二方程 ：
B E t
2.4 由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程
磁通连续性原理 穿过开表面积S的磁通
B dS 0
s
m B dS
s
根据高斯定律
B dS BdV 0
s V
可得麦克斯韦第三方程 ：
第2章 电场、磁场与麦克斯韦方程
重点：
1. 电场力、磁场力、洛伦兹力 2. 电磁场中的三种电流以及电流连续性原理 3. 麦克斯韦方程的导出及意义 4. 微分形式的麦克斯韦方程 5. 积分形式的麦克斯韦方程 6. 时谐形式的麦克斯韦方程 7. 电磁场的能量与坡印廷矢量
2.1 电场力、磁场力与洛伦兹力 1. 电场力