球面和共轴球面系统的理想成像
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1.2球面和共轴球面系统的理想成像
① 规定角特指锐角。顺时针为正， 反之为负。 ② 孔径角是由光轴转到光线；
物方孔径角-U 像方孔径角U'
A
n
E
n'
I'
h
I
-U
o
φ
c
U'
A'
① 其它角（入射角、-反射角、 折射角）是由光线转到法线。
L
r
L'
1.3单球面近轴区的物像关系
1.3.1单球面成像的不完善性
1.3单球面近轴区的物像关系
1.3.2近轴区的完善成像
y‘ nl' β ' y nl
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.1从L= -∞，即无穷远处的光线平行于光轴 入射，被折射球面所成的像点称为像方焦点， 也称后焦点或第二焦点。OF2称像方焦距或后焦 n 距或第二焦距。由单球面高斯公式，L= -∞时， ≈0，则可得像方焦距为 l
n n n -n ' l l r
A' B'
3. 理想（高斯）光学系统
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
（2）薄透镜的成像作图
B' A'
3. 理想（高斯）光学系统
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.2公式法求像
（1）牛顿公式 pp’=ff’ β=y’/y=- f/p=-p’/f’ （2）高斯公式 N’/l’-n/l=n’/f’ β=nl’/n’l
'
'
nr ' OF2 = f = ' l n -n
'
'
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.3在单球面的高斯公式 中 ，
物方孔径角-U 像方孔径角U'
A
n
E
n'
I'
h
I
-U
o
φ
c
U'
A'
① 其它角（入射角、-反射角、 折射角）是由光线转到法线。
L
r
L'
1.3单球面近轴区的物像关系
1.3.1单球面成像的不完善性
1.3单球面近轴区的物像关系
1.3.2近轴区的完善成像
y‘ nl' β ' y nl
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.1从L= -∞，即无穷远处的光线平行于光轴 入射，被折射球面所成的像点称为像方焦点， 也称后焦点或第二焦点。OF2称像方焦距或后焦 n 距或第二焦距。由单球面高斯公式，L= -∞时， ≈0，则可得像方焦距为 l
n n n -n ' l l r
A' B'
3. 理想（高斯）光学系统
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
（2）薄透镜的成像作图
B' A'
3. 理想（高斯）光学系统
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.2公式法求像
（1）牛顿公式 pp’=ff’ β=y’/y=- f/p=-p’/f’ （2）高斯公式 N’/l’-n/l=n’/f’ β=nl’/n’l
'
'
nr ' OF2 = f = ' l n -n
'
'
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.3在单球面的高斯公式 中 ，
共轴球面系统成像的原理
共轴球面系统成像的原理
共轴球面系统（Spherical Coordinate Imaging，SCI）是一种用于成像的技术，其原理基于球面坐标系的数学模型，将空间中的点用三个参数（径向距离、角度和极角）来描述，即r（径向距离）、θ（角度）和φ（极角）。
共轴球面系统成像的原理如下：
1. 首先，将待成像区域划分为一系列小单元，每个小单元对应一个球面坐标系上的点。
2. 对于每个小单元，通过探测器阵列采集其反射或散射的光线，并将其转化为电信号。
3. 将每个小单元对应的球面坐标转化为直角坐标系中的坐标点，并将其输入到图像处理系统中。
4. 图像处理系统根据每个坐标点的位置和亮度信息，计算出其在图像中的像素值，并将其输出到显示器上，从而得到共轴球面系统的成像结果。
共轴球面系统成像的优点在于能够提供比传统成像技术更为全面和详细的图像信息，特别是在对复杂目标的成像方面具有优势。
此外，
共轴球面系统成像还具有高分辨率、高信噪比和低失真率等优点，因此在医学成像、工业检测、天文观测等领域得到了广泛应用。
3-4共轴系统成像
3-4 共轴系统成像
第3章 几何光学 共轴球面系统：由中心在同一直线上的两个或 更多球面构成的光学系统.
主光轴：诸球面中心所在同一直线.
成像：在近轴区域，只要物空间是单心光束， 则经共轴球面系统成像后仍为单心光束.即共轴球面 系统对近轴区域的物能成完善的像. 一 焦点 主平面 成像公式 1、焦点：物空间与主光轴平行的光线在像空间
i i 有 LN RN P R3 P2 R2 P R1 L1 A L1 3 1
其中；A—称为系统矩阵.（可用矩阵乘法计算）
a11 a12 11 12 11 12 aij i1 1 j i 2 2 j a a 21 22 21 22 21 22 i = 1 , 2 j = 1 , 2
S’k
-sk-1
nk 1
dk
S’k-1
sk
nk 1 nk 1 yk 1 ( ) yk 1 k 1 sk 1 sk 1
nk 1uk 1 nk 1uk 1 yk 1 k 1
yk 1 0 yk 1
1 0 k 1 1
因为两空间主平面是共扼的，所以系统的垂直 放大率 β = 1 .
3-4 共轴系统成像
证明：如图
M
第3章 几何光学
M’
h h h h F’ H H’ h s F h’ h’ h’ f tan -x -f f’ x’ x tan( ) -s s’ f （此系统的原点必需以两个主 x 若物点在主平面上， 平面为原点.）
从几何光学角度，共轴球面光学系统成像，不 过是光在光学系统的各面上折（反）射的结果.如果 能确定各面上折（反）射的光路，最终可得光学系 统的成像性质.光路计算方法很多，逐面计算加上相 邻面过渡条件的方法，思路简单，但在用计算机进 行光学系统设计中不甚方便.利用矩阵代数计算光路 为共轴球面光学系统计算机设计提供了途径. 设；共轴球面光学系统有 N 个折（反）射面， 如图. 计算在系统中任意两个相邻面上光线的折射.
第3章 几何光学 共轴球面系统：由中心在同一直线上的两个或 更多球面构成的光学系统.
主光轴：诸球面中心所在同一直线.
成像：在近轴区域，只要物空间是单心光束， 则经共轴球面系统成像后仍为单心光束.即共轴球面 系统对近轴区域的物能成完善的像. 一 焦点 主平面 成像公式 1、焦点：物空间与主光轴平行的光线在像空间
i i 有 LN RN P R3 P2 R2 P R1 L1 A L1 3 1
其中；A—称为系统矩阵.（可用矩阵乘法计算）
a11 a12 11 12 11 12 aij i1 1 j i 2 2 j a a 21 22 21 22 21 22 i = 1 , 2 j = 1 , 2
S’k
-sk-1
nk 1
dk
S’k-1
sk
nk 1 nk 1 yk 1 ( ) yk 1 k 1 sk 1 sk 1
nk 1uk 1 nk 1uk 1 yk 1 k 1
yk 1 0 yk 1
1 0 k 1 1
因为两空间主平面是共扼的，所以系统的垂直 放大率 β = 1 .
3-4 共轴系统成像
证明：如图
M
第3章 几何光学
M’
h h h h F’ H H’ h s F h’ h’ h’ f tan -x -f f’ x’ x tan( ) -s s’ f （此系统的原点必需以两个主 x 若物点在主平面上， 平面为原点.）
从几何光学角度，共轴球面光学系统成像，不 过是光在光学系统的各面上折（反）射的结果.如果 能确定各面上折（反）射的光路，最终可得光学系 统的成像性质.光路计算方法很多，逐面计算加上相 邻面过渡条件的方法，思路简单，但在用计算机进 行光学系统设计中不甚方便.利用矩阵代数计算光路 为共轴球面光学系统计算机设计提供了途径. 设；共轴球面光学系统有 N 个折（反）射面， 如图. 计算在系统中任意两个相邻面上光线的折射.
L04-C2-3 理想系统成像规律及求解
3
Applied optics
3. 理想光学系统的基本概念
1
单个球面的主点与顶点重合
1
置于空气中的系统，节点与 主点重合
（1）F与F’不是共轭点 F ’ 共轭于 轴上无穷远物点 F 共轭于 轴上无穷远像点 （2）焦距的计算
f ' h1 / tan(Uk ') h1 / uk '
f 2 '( f1 ' f 2 ) xH ' xF ' f ' f1 ( f1 ' f 2 ) xH xF f
20
Applied optics
4. 垂轴放大率
H1
A
H1’
H2
H2’
x
F
xF
F1
x1
按牛顿公式
f x' x f'
物点对组合系统的物距-x,对第一光组的物距-x1, 组合系统物 方焦点距第一系统焦点的距离-xF
x x1 xF x1 f1 f1 '
f1 f 2 f1 f1 ' x1
表明，双光组系统（已知各自的焦距）的垂直放大率，可 由物点相对于第一光组物方焦点的距离x1直接求得。
21
Applied optics
例4
• 一组合系统由薄正透镜和薄负透镜组成， 两者的焦距分别为20mm和-20mm，间隔为 10mm；当一物体位于正透镜前方100mm处， 求组合系统的垂轴放大率的像的位置。
i
i 1 k
nl1 ' l2 ' lk ' n ' l1l2 lk
1 2 ... k
n1 1 nk '
Applied optics
3. 理想光学系统的基本概念
1
单个球面的主点与顶点重合
1
置于空气中的系统，节点与 主点重合
（1）F与F’不是共轭点 F ’ 共轭于 轴上无穷远物点 F 共轭于 轴上无穷远像点 （2）焦距的计算
f ' h1 / tan(Uk ') h1 / uk '
f 2 '( f1 ' f 2 ) xH ' xF ' f ' f1 ( f1 ' f 2 ) xH xF f
20
Applied optics
4. 垂轴放大率
H1
A
H1’
H2
H2’
x
F
xF
F1
x1
按牛顿公式
f x' x f'
物点对组合系统的物距-x,对第一光组的物距-x1, 组合系统物 方焦点距第一系统焦点的距离-xF
x x1 xF x1 f1 f1 '
f1 f 2 f1 f1 ' x1
表明，双光组系统（已知各自的焦距）的垂直放大率，可 由物点相对于第一光组物方焦点的距离x1直接求得。
21
Applied optics
例4
• 一组合系统由薄正透镜和薄负透镜组成， 两者的焦距分别为20mm和-20mm，间隔为 10mm；当一物体位于正透镜前方100mm处， 求组合系统的垂轴放大率的像的位置。
i
i 1 k
nl1 ' l2 ' lk ' n ' l1l2 lk
1 2 ... k
n1 1 nk '
应用光学 第二章 球面和球面系统
一.符号规则
1、沿轴线段：L、 L 、r以折射球面（或反射面）
顶点O为原点，到光线与光轴交点或球心的方向 与光线的传播方向相同，其值为正，反之为负；
2、垂轴线段：以光轴为基准，在光轴上为正，反 之为负； 3、孔径角U和U′ ：光轴以锐角方向转到光线，顺 时针为正，逆时针为负； 4、光线与法线的夹角：I 和I′ ，光线以锐角方向 转到法线，顺时针为正，逆时针为负； 5、光轴与法线的夹角 ：光轴以锐角方向转向法 线，顺时针为正，逆时针为负； 6、折射面之间的间隔：在折射系统中，d恒为正。
3：已知一个光学系统的结构参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm，现求 β, y’ （横向放大率与像的大小）
l2 l'1 d1 ,l3 l'2 d 2 ......lk l'k 1 d k 1
当只关心物像位置且折射面很少时，用方法2较为 方便。如需知道一些中间量且折射面较多时，多 采用方法1。
第五节 球面反射镜
一.球面反射镜的物像位置
1 1 2 l' l r
实物成实像
三个放大率之间的关系：
第四节 共轴球面系统
※光学系统一般是轴对称的，有一条公共轴线， 称为光轴。这种系统被称为“共轴系统”
光轴
一个共轴球面系统的结构参数由下列数值确定 （如有 k 个折射面）：各个折射面的曲率半 径 r1 ,r2 ,r3 rk ；各个折射球面的顶点之间的间 隔 d1 , d 2 , d3 dk-1 。各球面间的介质折射 率 n1 , n2 , n3 nk+1 ，其中 nk+1 nk
(应用光学)2.8-2.16 理想光学系统的物像关系
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系 根据单个折射球面近轴范围内的放大率公式
y' nl'
y n' l
当光线位在近轴范围内时：
u h l
由以上二式得
由此得到
u h l
u' h l'
u l' u' l
nuy n' u' y'
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
以上是单个折射球面物像空间存在的关系。对于由多个球面组成的共轴 系统来说有
B’
实物成等大倒立实像，位于二倍像方焦点上。分立两侧
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
（c）物在二倍焦距之内，一倍焦距之外
B 2F A F
H H’ F ’
A’ 2F ’
B’
• 成放大倒立实像，像在二倍焦距外两侧
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
（d）物在焦平面上
B
A
2F
F
H H’ F ’
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
节点性质： 凡过物方节点J的光线， 其出射光线必过像方节点J’， 并且和入射光线相平行。
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
节点位置 根据角放大率公式， x f
f ' x'
将γ=1代入，即可找到节点位置 x f 1
f ' x'
因此对节点J、J'有：
角放大率等于：
tgU' u'
tgU u
得 n tgU y n'tgU'y'
这就是理想光学系统的物像关系不变式。
2 共轴球面系统的物像关系 根据单个折射球面近轴范围内的放大率公式
y' nl'
y n' l
当光线位在近轴范围内时：
u h l
由以上二式得
由此得到
u h l
u' h l'
u l' u' l
nuy n' u' y'
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
以上是单个折射球面物像空间存在的关系。对于由多个球面组成的共轴 系统来说有
B’
实物成等大倒立实像，位于二倍像方焦点上。分立两侧
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
（c）物在二倍焦距之内，一倍焦距之外
B 2F A F
H H’ F ’
A’ 2F ’
B’
• 成放大倒立实像，像在二倍焦距外两侧
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
（d）物在焦平面上
B
A
2F
F
H H’ F ’
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
节点性质： 凡过物方节点J的光线， 其出射光线必过像方节点J’， 并且和入射光线相平行。
应用光学（第四版）
2 共轴球面系统的物像关系
节点位置 根据角放大率公式， x f
f ' x'
将γ=1代入，即可找到节点位置 x f 1
f ' x'
因此对节点J、J'有：
角放大率等于：
tgU' u'
tgU u
得 n tgU y n'tgU'y'
这就是理想光学系统的物像关系不变式。
第二章球面和共轴球面系统分析
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
1.2.2球面和共轴球面系统的理想成像
n' l'
n l
n' - n r
OF1
=
f
=
-
n'r n' -n
l
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.3在单球面的高斯公式 中 ，
n' - n
是一个表征球面光学特性的量，叫单折射球面的
r
屈光力，也称光焦度，简称焦度，用字母F表示，其单位是屈光度，符号是D。1屈光度定义为在
空气中焦距为1m的单折射球面的屈光力。1屈光度=100度
3. 理想（高斯）光学系统
N
N'
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
（1）厚透镜的成像作图
A
B
3. 理想（高斯）光学系统
B' A'
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
（2）薄透镜的成像作图
3. 理想（高斯）光学系统
A' B'
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
第一章 几何光学相关基础知识
单折射球面成像和共轴球面系统的理想成像
共轴球面系统与单折射球面
共轴球面系统由多个单折射球面 构成
1.单折射球面的成像
• 光轴AA' • 子午面（无数个） • 物距OA • 像距OA' • 物方孔径角∠EAO或U • 像方孔径角∠EA'O或U'
1.1单折射球面的相关术语
（2）薄透镜的成像作图
3. 理想（高斯）光学系统
B' A'
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.2公式法求像
（1）牛顿公式 pp’=ff’ β=y’/y=- f/p=-p’/f’ （2）高斯公式 N’/l’-n/l=n’/f’ β=nl’/n’l
第三章 光学球面的成像
因为β>0并且 并且|β|>1所成的像为的正立放 因为 并且 所成的像为的正立放 大的虚像。 大的虚像。
习题15，在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内 例：p32 习题 ，在一直径为 的球形玻璃鱼缸内 盛满水，鱼缸中心处有一条小鱼， 盛满水，鱼缸中心处有一条小鱼，求缸外观察者看 到鱼的位置及放大率！ 到鱼的位置及放大率！ 解：
f′ n′ =− f n
二、共轴球面系统的成像
' ' ' n2 = n1 , n3 = n2 , L , nk = nk −1 ' ' ' u2 = u1 , u3 = u2 , L , uk = uk −1 ' ' ' y 2 = y 1 , y 3 = y 2 , L , y k = y k −1
一凹球面反射镜， 12cm 当物距分别为cm， 例7-4 一凹球面反射镜， 半径r=-12cm，当物距分别为-2 、 -4、-9和-24cm时，求像的位置和垂轴放大率。 24cm时 求像的位置和垂轴放大率。 cm 解： 可求出
3 l = −2cm, l ' = 3cm, β = 2 l = −4cm, l ' = 12cm, β = 3 l = −9cm, l ' = −18cm, β = −2 1 l = −24cm, l ' = −8cm, β = − 3
第三章 光学球面的成像
实物成实像
实物成虚像
虚物成实像
虚物成虚像
复习： 复习：符号规则
n
−U
I
E
n′
r
O
φ
I'
U'
C
A
r
应用光学第二章球面与共轴球面系统
sin I L r sinU r
n
IE
n′
I′
sin I n sin I n
h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
U U I I r
L r r sin I
-L
L′
sinU
说明：
1）L′＝f (U、L、n、n′、r) 2）当L为定值时，L′随U变化而变化，象方光束失去同心性， 成不完善象，形成球差。
d）光线与法线夹角I、I′ 以光线转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” e）光轴与法线的夹角φ 以光轴转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” f）折射面的间隔d，一般取“＋” g）所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
二、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算） 给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′ 其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
1
4）三者关系：
nk 2 n1 1 n1 nk
4. 拉赫不变量： J n1u1 y1 nk uk yk
意义： J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用J来
校对光路计算是否正确。
例：厚透镜：
例：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球 面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂 直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，求箭头 经玻璃棒成像后像的位置、大小、正倒、虚实。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
第二章-球面和球面成像系统
不同 U 的光线经折射后不能相交于一点
n
E
n’
A
C
O -240mm
同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！
点－》斑 ——不完善成像！ ——球差（像差）
。在光学上称其为弥散斑
一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点的像都是弥 散斑，那么物体的像就是模糊的。
将物方倾斜角U 限制在一个很小的范围内，人为选择靠近光轴 的光线，只考虑近轴光成像，这时可以认为可以成完善像
的截距 L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为-1°、-2 °、
-3 °的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路。（即求像
方截距L’ 和像方倾斜角U’ ）
n
E
n’
A
C
O -240mm
• U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mm • U= -2 °: U’= 3.291334° L’=147.3711mm • U= -3 °: U’= 5.204484° L’=141.6813mm 由 以上几个公式可得出L一定, L' 是U的函数
sin I ' n sin I
（2－1） （2－2）
近 轴 光 线
i lru r
i' n i n'
n'
成
像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U' U I I'
公
像 u' u i i'
公
式 L' r(1 sin I ' ) （2－4） 式 l' r(1 i' )
sinU '
u'
大L公式
n
E
n’
A
C
O -240mm
同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！
点－》斑 ——不完善成像！ ——球差（像差）
。在光学上称其为弥散斑
一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点的像都是弥 散斑，那么物体的像就是模糊的。
将物方倾斜角U 限制在一个很小的范围内，人为选择靠近光轴 的光线，只考虑近轴光成像，这时可以认为可以成完善像
的截距 L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为-1°、-2 °、
-3 °的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路。（即求像
方截距L’ 和像方倾斜角U’ ）
n
E
n’
A
C
O -240mm
• U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mm • U= -2 °: U’= 3.291334° L’=147.3711mm • U= -3 °: U’= 5.204484° L’=141.6813mm 由 以上几个公式可得出L一定, L' 是U的函数
sin I ' n sin I
（2－1） （2－2）
近 轴 光 线
i lru r
i' n i n'
n'
成
像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U' U I I'
公
像 u' u i i'
公
式 L' r(1 sin I ' ) （2－4） 式 l' r(1 i' )
sinU '
u'
大L公式
第1.4讲 理想光学系统的物像关系
y B -x
F
H
H′ F′ x′
A′
-f K K′ f′
物点位置和大小（x，y） ， ）
像点位置和大小（x′, y′） ）
理想光学系统的物像关系式(高斯公式) 理想光学系统的物像关系式(高斯公式)
以主点为原点 物距l 物距l：以 H 为起点，H 到物点A的距离 为起点， 到物点A 像距l 像距l′：以 H′为起点，H′到像点A′的距离 为起点， 到像点A
f′ f 物 关 式: + =1 像 系 l′ l
y′ f l′ 垂 放 率: β = = − 轴 大 y f ′l
物点位置和大小（l，y） ， ）
y B
I A F H
I′
B′ y′
H′ F′
A′
-f K K′ f′ -l l′
像点位置和大小（l′, y′） ）
理想光学系统的物像关系式(说明) 理想光学系统的物像关系式(说明)
1. 只有知道系统的焦距后，才能使
用牛顿公式或高斯公式； 2. 牛顿公式和高斯公式计算的结果 应该是一致的； 3. 理想光学系统的焦距 任意物平面所对应的像平面的位 置和放大率。
物方焦距和像方焦距的关系
结论：与系统结构无关 f′ n′(像 间 质 折 率 空 介 的 射 ) =− f n(物 间 质 折 率 空 介 的 射 ) 光学系统位于空气中：f 光学系统位于空气中：f ′=－f 牛顿公式：x 牛顿公式：x x′=－f ′2 高斯公式： 1 1 1 l′ − = β= ′ l f′ l l 正透镜： f ′＞0 f ＜0 负透镜： f ′＜ 0 f ＞0
第1.4讲 理想光学系统的物像关系 1.4讲 理想像和理想光学系统 用作图法求光学系统的理想像 理想光学系统的物像关系式 物方焦距和像方焦距的关系 例题 作业题
理想光学系统
这个转面公式的实质就是将前一个系统所成的 像转换成后一个系统的物而进行的坐标变换。
3、入射光为平行光
在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物方光轴上无限远 处，这时可认为由物体发出的光束是平行于光轴的平行光束，
即L=-∞，U=0，入射角应按下式计算：
sin I h r
三 、近轴光线的光路计算
结论：
2）垂直于光轴的平面物所成的共轭平面像的几何 形状与物相似；
3）如果已知两对共轭面的位置和放大率，或者已知 一对共轭面的位置和放大率以及光轴上的两对共 轭点的位置，则其它的一切物点的像点都可以根据 这些已知的共轭面和共轭点确定。
2.1 光路计算与近轴光学系统
光路计算的依据：
以理想像成像性质为基础； 沿着任意一条光线的踪迹可以找到其共轭光线。
转面公式：
u2 u`1 l2 l`1d1
作业：
p47： 1
• 问题：u 0的光线是不是近轴光线
常用近轴光学基本公式：
n
U
Aห้องสมุดไป่ตู้
L
IE
n
h
I＇
U＇
O
C
r
L＇
如图中，h满足： l`u` lu h
由近轴光线公式可得： n`u`nu n`n h
r
或者，
n` n n`n l` l r
（2－11） （公式二）
2）当β＞0, l′和l同号，表示物和像处于球面的同侧， 物像虚实相反，即：实物成虚像，虚物成实像。
3）当β<0, l′和l异号，表示物和像处于球面的两侧， 物像虚实相同，即：实物成实像，虚物成虚像。
一、基本概念
n
I E
n
h
I＇
U
U＇
3、入射光为平行光
在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物方光轴上无限远 处，这时可认为由物体发出的光束是平行于光轴的平行光束，
即L=-∞，U=0，入射角应按下式计算：
sin I h r
三 、近轴光线的光路计算
结论：
2）垂直于光轴的平面物所成的共轭平面像的几何 形状与物相似；
3）如果已知两对共轭面的位置和放大率，或者已知 一对共轭面的位置和放大率以及光轴上的两对共 轭点的位置，则其它的一切物点的像点都可以根据 这些已知的共轭面和共轭点确定。
2.1 光路计算与近轴光学系统
光路计算的依据：
以理想像成像性质为基础； 沿着任意一条光线的踪迹可以找到其共轭光线。
转面公式：
u2 u`1 l2 l`1d1
作业：
p47： 1
• 问题：u 0的光线是不是近轴光线
常用近轴光学基本公式：
n
U
Aห้องสมุดไป่ตู้
L
IE
n
h
I＇
U＇
O
C
r
L＇
如图中，h满足： l`u` lu h
由近轴光线公式可得： n`u`nu n`n h
r
或者，
n` n n`n l` l r
（2－11） （公式二）
2）当β＞0, l′和l同号，表示物和像处于球面的同侧， 物像虚实相反，即：实物成虚像，虚物成实像。
3）当β<0, l′和l异号，表示物和像处于球面的两侧， 物像虚实相同，即：实物成实像，虚物成虚像。
一、基本概念
n
I E
n
h
I＇
U
U＇
基于Zemax的应用光学教程 第2章 共轴球面系统成像理论
光学系统
光学系统
子午面
子午面
光轴
轴外物点
光轴
子午面
轴上物点
任意平面
主光线
➢ 轴上物点包含共轴球面系统的对称轴(光轴） ➢ 轴外物点的主光线与光学系统主轴所
构成的平面为子午面。
的所有截平面都称为子午面。
➢ 轴外物点的子午面有且只有一个
➢ 轴上物点的子午面有任意多个
4
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2!
4!
6!
当θ很小即近轴条件下，上述级数中θ²以上各项可以忽略，
即有 ≈， ≈ ， ≈ 。
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近轴光线
★ 近轴条件：sin i tani i
光线在主轴附近很小的区域，
且与主轴夹角较小（<5度）。
★ 实际光线用大写字母，
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近轴光线
nrl
l
nl n(l r )
像距只与物距有关与角
度无关能成完善像
★ 近轴细光束所成的完善像。——高斯像
★ 高斯像面通过高斯像点且垂直于光轴的平面。
——高斯像面
★ 物像共轭点
20
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近轴光线
何为近轴并没有严格的规定，根据实际应用情况而定。
实际非理想情况表现出来的是像差，需要优化设计
表2-1 不同角度的正弦值与其弧度的相对误差
sin
sin
相对误差
θ/°
sin θ
θ/rad
0.5
0.008727
0.008727
光学系统
子午面
子午面
光轴
轴外物点
光轴
子午面
轴上物点
任意平面
主光线
➢ 轴上物点包含共轴球面系统的对称轴(光轴） ➢ 轴外物点的主光线与光学系统主轴所
构成的平面为子午面。
的所有截平面都称为子午面。
➢ 轴外物点的子午面有且只有一个
➢ 轴上物点的子午面有任意多个
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2!
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当θ很小即近轴条件下，上述级数中θ²以上各项可以忽略，
即有 ≈， ≈ ， ≈ 。
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近轴光线
★ 近轴条件：sin i tani i
光线在主轴附近很小的区域，
且与主轴夹角较小（<5度）。
★ 实际光线用大写字母，
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近轴光线
nrl
l
nl n(l r )
像距只与物距有关与角
度无关能成完善像
★ 近轴细光束所成的完善像。——高斯像
★ 高斯像面通过高斯像点且垂直于光轴的平面。
——高斯像面
★ 物像共轭点
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近轴光线
何为近轴并没有严格的规定，根据实际应用情况而定。
实际非理想情况表现出来的是像差，需要优化设计
表2-1 不同角度的正弦值与其弧度的相对误差
sin
sin
相对误差
θ/°
sin θ
θ/rad
0.5
0.008727
0.008727
第2章 共轴球面系统.ppt
二、符号规则 1.光线传播方向：规定光线从左向右传播为正。
2.线段： 沿轴线段:以顶点O为基准，左负右正；
垂轴线段:(h)以光轴为准，上正下负；
间隔d：以前一个面为基准，左负右正。
2.1光线经单个折射球面的折射
3.角度： 光轴与光线组成角度：光轴以锐角方向转到光
线，顺时针正逆时针负； 光线与法线组成角度：光线以锐角方向转到法
2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式：
sin I L r sinU sin I n sin I
r
n
U U I I L r(1 sin I ) sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度
表示为： i h / r
2.1光线经单个折射球面的折射
不变量公式，它表示单个折射球面物方和像方的
Q值相等；（3）式表示近轴光线经球面折射后物
像方孔径角的关系。
例题：有一折射球面，其参数为 r 20mm,n 1,n 1.5163,
物距为 l 60mm ，求像距的值。
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.1光线经单个折射球面的折射
一、概念
1.子午平面：包含光轴的平面。 2.截距：物方截距——物方光线与光轴的交点到顶
点的距离；像方截距——像方光线与光轴的交点 到顶点的距离。 3.孔径角：物方孔径角——物方光线与光轴的夹角； 像方孔径角——像方光线与光轴的夹角。
2.1光线经单个折射球面的折射
分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下方，如 何区别？
2.线段： 沿轴线段:以顶点O为基准，左负右正；
垂轴线段:(h)以光轴为准，上正下负；
间隔d：以前一个面为基准，左负右正。
2.1光线经单个折射球面的折射
3.角度： 光轴与光线组成角度：光轴以锐角方向转到光
线，顺时针正逆时针负； 光线与法线组成角度：光线以锐角方向转到法
2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式：
sin I L r sinU sin I n sin I
r
n
U U I I L r(1 sin I ) sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度
表示为： i h / r
2.1光线经单个折射球面的折射
不变量公式，它表示单个折射球面物方和像方的
Q值相等；（3）式表示近轴光线经球面折射后物
像方孔径角的关系。
例题：有一折射球面，其参数为 r 20mm,n 1,n 1.5163,
物距为 l 60mm ，求像距的值。
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.1光线经单个折射球面的折射
一、概念
1.子午平面：包含光轴的平面。 2.截距：物方截距——物方光线与光轴的交点到顶
点的距离；像方截距——像方光线与光轴的交点 到顶点的距离。 3.孔径角：物方孔径角——物方光线与光轴的夹角； 像方孔径角——像方光线与光轴的夹角。
2.1光线经单个折射球面的折射
分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下方，如 何区别？
理想光学系统
系统焦点和焦面的特性： ①物方平行于光轴的入射光线，经过光学系统后，起出射光线必
定通过像方焦点F’与物方无限远的光轴上的一点共轭； ②通过物方焦点F入射的光线，经过系统后，在像空间其出射光线
必定平与光轴，即物方焦点与像方无限远光轴上一点共轭； ③一个光学系统的物方焦点F和像方F’焦点不是一对共轭点； ④自物方无限远的轴外点发出的入射光线，经光学系统后，在像
第四节 理想光学系统组及透镜
理想光学系统组合就是已知个分光组的基点、基面、焦距以及各光 组之间的间隔，求等效光组的基点、基面、基焦距与分光组基点 （面）、焦距、间隔等的关系。
1、作图求：
Q’
同样可以找到 F、Q、H
F’ H’
2、计算法：
xF
以F1为起点到F的距离
xF ' 以F2’为起点到F’的距离
空间必定通过像方焦平面上轴外某一点； ⑤自物方焦平面上轴外点发出的入射光线，经光学系统后，其出
射光线应为一束与光轴有一定倾斜角的平行光束。
2、主点、主面和焦距
横向放大率为+1的一对共轭平面为光学系统的主面，主面与光 轴的交点成为主点。包括物方主点（面）和像方主点（面）。
将光线的多次实际偏折等效于在主平面上的一次偏折来代替。 自光学系统的物方主点到物方焦点的距离成为光学系统的物方焦 距，以f表示； ………………像方主点到像方焦点…………………………像方焦 距，以f’表示。 焦距的符号以主点为原点来确定。
P’
B
y
B’ R R’
M’
F’
y’
F
A
A’ H H’
-f’
f
例3：已知焦点F、F’，主点H、H’，以及焦距f、f’图 中f’>0,求虚物AB的像
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n
n'
F
H
UJ
xH = - f xJ = f '
H'
UJ '
F'
J J'
xJ' = f xH' = - f '
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节面(Nodal Planes)
分为物方节平面（也称前节面）和 像方节平面（也称后节面）。
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过节点的光线 平行出射
yy
22
概 念
5、屈光力（光焦度）F
光焦度表征光学系统偏折光线的能力。
光焦度F （-）表起发散作用 （+）表示起 会聚作用
单位：屈光度D——以米为单位的焦距的倒 数。
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眼镜的度数=屈光度数×100
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24
二、转面（过渡）公式：
1
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于是，高斯公式可表示为 V′– V = F
即光学系统的光焦度等于一对共轭点之间的光 束会聚度之差值，单位为屈光度（D）。
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光学系统的光焦度：
光学系统中折合焦距的倒数 以F 表示，也称屈光力或焦度或度数
n' n F= =-
f' f
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67
在空气中，n′= n = 1，此时，光焦度则是
yy
29
演示一下
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yy
30
这里F与F’是不是共轭点呢？
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31
2、主点与主平面(Principal Planes)
横向放大率为+1的一对共轭平面称为主平面， 其和光轴的交点称为主点， 分别用H、H′表示物方主点和像方主点。
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演示一下
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B
B′
H'
F
A
F′ A′
H
UH
UH '
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三条主光线4
B
A'
H
H'
F'
N
N'
F
A
B'
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62
五、 光学系统的光焦度和 光束的聚散度
定义： 一线段与所在介质的折射率之比值为此线段
在该介质中的折合距离， l / n 、 l ' / n'
f ' / n' 称为光学系统的折合焦距。
yy
25
三、理想光学系统
把近轴区成完善像的范围扩大到整个 光学系统的任意空间；
即当任意大范围的物体以任意宽的光 束经光学系统后均能成完善像的光学系统。
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理想光学系统的性质
一一对应
⑴一物点成像后仍为一像点 ⑵一直线成像后仍为一直线 ⑶一平面成像后仍为一平面
物像互为共轭
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三种放大率之间的关系：
n’
n
= 2 ； =
n
n’
=
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四、 光学系统的节点和节平面
节点(Nodal Points)
——光学系统中一对角放大率为+1的特 殊共轭点 分为物方节点（前节点）和 像方节点 （后节点） 分别以N、N ’表示。
〈讨论〉
① β<0: 表示成倒像；此时l 与l ′必异号，即物、
像分居折射面两侧，像的虚实与物一致；
② β>0: 表示成正像，此时l 与l ′同号，即物、
像同侧，像的虚实与物相反； ③ β>1：表示成放大像；β<1：表示成缩小像。
（绝对值）
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4、单折射球面的前、后焦点和焦距：
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单折射球面的前、后焦点和焦距：
n
n′
F
O
F′
-f
f′
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21
单折射球面的焦距及两焦距间的关系：
n′r
像方焦距： f ′=
n′－ n nr
物方焦距： f = －
n′－ n 两焦距间的关系：
n′/ f ′= － n / f = F f ′+ f = r
例
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Q
Q'
A
H H'
A'
-l
R R' l'
这里F > 0 : V < 0 ; V ' > 0
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镜片的顶镜度：
此即为顶焦距的倒数，其单位与光焦度 的单位相同，都是屈光度（D）。
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72
六、两个光组的组合
两个有一定焦距的光组组合， 系统的总焦距或光焦度除与各自的光焦度有关外 还与其间隔 d 有关
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第二节 球面和共轴球 面系统的理想成像
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1
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2
一、单折射球面成像
E i
B
y -u
i׳ h
u׳
A
OD
C
r
-l
l׳
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五条线段 四个角度
yy
A׳ y
B׳
3
1、 符号规则
线段：
1. 坐标方向： 横坐标自左向右为正，反之为负。 纵坐标由下向上为正，反之为负。
y -u
A
E i
i׳ h
OD
C
r
u׳
A׳
y
B׳
-l
l׳
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2、单球面近轴区的物像放大率：
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1）横向放大率：
即像高与物高之比，其定义式为：
y′ β=
y
应用相似三角形原理，可求得
y′ n l′
β= =
y
n’ l
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这表明近轴光线所成的像是完善的。
通常把近轴光线所成的像点称为“高斯像点”。
通过高斯像点而垂直于光轴的像面称为“高斯像面”。
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1、常用的物像共轭位置关系式：
高
n′ n －
l′ l
n′－ n =
r
斯 公
式
注：线段单位 米
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15
B
方法一
B
F
H
H'
F' A'
A
B'
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1、
B
A
H F
H'
F' A'
B'
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39
2、
B′
B
H
H′
F′
A′
FA
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3、 B
B′
H H′
F
A
F′ A′
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4、 B
B′
H
H′
F
A′ F′ A
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5、 B
A′
H
H′
F′
F
A
B′
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轴上点成像作图
A F H H′ F′
A′
A F H H′ F′
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yy
A′
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2、解析法求像
1、牛顿公式
定量计算
公式中的物距 p和像距 p' 分别以物方焦点 F和像方焦点F'为原点，其与光线传播方
向相同者为正。
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y' f
p'
β= =- =-
y
p f'
或为
l' f n l' β=- =
l f ' n' l
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48
2、轴向放大率
当物点A沿光轴有一微量移动 dx 或 dl 时， 其像点A′相应地移动距离dx′或 dl′，
则轴向放大率定义为
或为
dp′
α=
dp
dl′
α=
dl
2019/5/22
yy
49
轴向放大率——像与物沿轴移动量之比
2019/5/22
yy
50
3、角放大率 γ
像方、物方倾斜角的正切之比
tgU′
γ=
tgU
将 tgU′= h/l ′ ; tgU = h/l 代入上式，得
l
γ=
l'