金融工程中的数值方法

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二叉树模型－基本思想
金融保险学院
0.5
1 把时间区间
1
1
0.5
2
0.5 2
╋
分成两段 0.5 - 1
0.5 1
2
0.5 1
2
时间跨度=1
时间跨度=1/2 时间跨度=1/2
继续细分 时间区分
1
1
1
0.5 n
0.5 n
0.5
n
0.5
-1
╋
1
0.5 -
╋…╋
0.5 - 1
n
n
n
时间跨度=1/n 时间跨度=1/n
假设买入Δ股股票同时卖出一份看涨期权
组合在3个月末的价值为： STD-fT 为了复制无风险资产：22Δ-2=18Δ => Δ=0.5
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二叉树模型－实例
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S0= ￥20 f0=？
ST= ￥22 fT= ￥2 ST= ￥18 fT= ￥0
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二叉树模型－推广
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fS 0D (S 0 u D fu)e rT ， D S 0 fu u S fd 0 d
f e rT p fu (1 p )fd
其中
p
erT d ud
变量p可以解释为基础证券价格上升的概率，1-p则为
基础证券价格下降的概率
衍生证券未来价值的期望可表示为：pfu＋(1－p)fd
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衍生证券的价格－期权
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看涨期权（欧式、美式）
f0 ,0 e rT T i 0p T ,im a x {fT ,i K ,0 )
欧式看跌期权
f0 ,0 e rT T i 0p T ,im a x {K fT ,i,0 )
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二叉树模型－基本思想
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假设基础资产价格的运动是由大量的小幅 度二值运动构成，在每个小的时间间隔内 资产的价格只有两种运动的可能：上升或 者下降
p
S0u
S0
1-p
S0d
通过现金流再造技术和无套利原理求解衍 生证券的价格
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上述组合终值恒为￥9 无套利原理：无风险组合的收益率应为无风险利率,
组合的现值为：9e-0.12×0.25=￥8.734(无风险利率=12%) 净现值定价法：资产的价格等于其期望收益的现值
20×0.5-f0 =8.734 => f0=￥1.266
Go
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S0D f (S0uDfu)erT
f S 0 D (S 0 u D fu )e r T
D
fu S0u
fd S0d
衍生证券价格的决定因素：标的资产的当前价格和 未来价格、衍生证券的类型和期限、无风险利率
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二叉树模型－一般方法
投资者对风险采取无所谓的态度 所有资产的期望收益率都是无风险利率 资产的价格可以用其期望值按无风险利率贴现
风险中性定价与无套利均衡
无套利均衡分析的过程和结果与投资者的风险偏好程 度无关
如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好程度 无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界 里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立
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fS 0 D (S 0 u D fu)e rT
D
fu S0u
fd S0d
P
基础证券: S0
基础证券: S0u 基础证券: S0d
公式并未用到基础证券价格上升和下降的概率
• 我们只是根据基础证券的价格估衍生证券的价值
• 基础证券价格未来上升和下降的概率已经包含在 其价格中
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当(1)、(2)价值相等时
S0uΔ-fu =S0dΔ-fd
D fu fd S0u S0d
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二叉树模型－一般方法
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若无风险收益率为r，上述组合终值对应的现值为
(S0uDfu)erT(或(S0dDfd)erT)
组合的成本应该等于其现值
衍生证券的价值是其未来期望价值按无风险利率贴现
得到的现值
基于虚拟概率
p的期望值！
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二叉树模型－推广
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p e rT d 时基础证券未来的期望价格
ud
E(ST)＝pS0u＋(1－p)S0d
p S0u
＝pS0 (u－d)＋S0d
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二叉树模型－风险中性定价
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例子：
S0= ￥20
ST= ￥22 fT= ￥2 ST= ￥18 fT= ￥0
在风险中性世界，股票的预期收益率等于无风险利
率12％：2 2 p 1 8 (1 -p ) 2 0 e0 .1 2 0 .2 5p0.6523
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二叉树模型－实例
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问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3
个月后的价格可能为ST=￥22或ST = ￥18
执行价格K=￥20、有效期T=3个月欧的式欧看式涨看期涨权期
权的当前价格f0是多少？
赋予投资者在
ST= ￥22 fT=￥2 到期日T按照
S0u2d, 3p2q S0ud, 2pq
S0ud2 , 3pq2 S0d2, q2
S0d3 , q3
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S0u4, p4 S0u3d , 4p3q S0u2d2 , 6p2q2 S0ud3 , 4pq3
S0d4 , q4
S t,i S 0 u t id i,t 0 T ,i 0 t pt,i Cti ptiqi
有效期为3个月的欧式看涨期权的执行价格 K=￥20。如何求上述看涨期权的价格f0？
0.8 ST= ￥22 fT=￥2
S0= ￥20
? f0=
0.2
=> E[fT]=1.6 ST= ￥18 fT=￥0
净现值定价法：资产的价格等于其期望现金流的现值
概率：ST=￥22和ST=￥18的概率分别为0.8和
时间跨度：t
E[ZDt ]0 Var[ZDt ]1 E[Zt]tE[ZDt]0 V a r[Z t]tV a r[Z D t]t
当 n时，根据中心极限定理，Z t 趋向于布朗运动
特征1： Dz Dt ε服从标准正态分布
特征2：对任意不同时间间隔Dt，Dz相互独立
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美式看跌期权
f t , i m a x { m a x { S 0 u t i d i K , 0 } ,e r D t ( p f t 1 , i q f t 1 , i 1 ) }
执行期权
等待
按照以上算法，只要给定 fT, 0 … fT, T ，就可以通过逆 推的法则求出美式看跌期权在当前时间的价格f0, 0
有限差分
Finite Difference Methods
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二叉树模型－简介
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John C. Cox，Stephen Ross and Mark Rubinstein. Option Pricing: a Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 1979（7）：229-263
1-p S0d
＝ S0erT
基础证券的价格以无风险利率增长
设定基础证券价格上升的概率等于p就等价于假设基础 证券的收益率等于无风险利率
？ 风险中性世界
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二叉树模型－风险中性定价
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风险中性世界（risk-neutral world）
Bc
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二叉树模型-参数估计
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基础证券波动率，不支 付红利，无风险收益率r
风险中性世界
p Su S
1-p Sd
Dt
Δt内的均值： pu(1p)d e rDt
Δt内的方差： pu2(1p)d2e2rDt 2 D t
附加条件
(1) u 1 perD td,ueD t,deD t
d
ud
1
(2) p
u e ( r 2 /2 ) D tD t,d e ( r 2 /2 ) D tD t
2
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多期二叉树
S0, 1
S0u, p S0d, q
S0u3, p3 S0u2, p2
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时间跨度=1/n
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二叉树模型－基本思想
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Dt=1
单期树
Dt=1/2
Dt=1/n
二期树
n期树
正态 分布
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二叉树模型－基本思想
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1 0.5 0.5
-1 Dt=1
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二叉树模型－一般方法
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基础证券: S0 衍生证券: f ?
基础证券: S0u 衍生证券: fu 基础证券: S0d 衍生证券: fd
组合：买入Δ份基础证券同时卖出1份衍生证券
(1) 如基础证券价格上升，组合终值为：S0uΔ-fu
(2) 如基础证券价格下降，组合终值为：S0dΔ-fd
e(rq)Dt d
p
0.5169
ud
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衍生证券的价格－期权
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欧（美）式看涨期权
424.19
389.00
124.19
356.73
90.99
356.73
327.14
60.71
327.14
56.73
执行远期和约：ft,i S 0 u t id i K ,t 0 T ,i 0 t 执行看涨期权：f t,i m a x { S 0 u t id i K ,0 } ,t 0 T ,i 0 t 执行看跌期权：f t,i m a x { K S 0 u t id i,0 } ,t 0 T ,i 0 t
S0= ￥20
固定价格K买 ST= ￥18 fT=￥0 入股票的权利
看涨期权的到期价值
当ST≥20时，执行权利：fT=ST-20 当ST < 20时，放弃权利：fT=0
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二叉树模型－实例
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问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3 个月后的价格可能为ST=￥22或ST = ￥18
0.2
?f0=1.6e-0.012×0.25
贴现率：无风险年Cop利yrigh率t ©为20071Z2. Li％？
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二叉树模型－实例
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S0= ￥20 f0=？
ST= ￥22 fT= ￥2 ST= ￥18 fT= ￥0
思路：构造一个由股票和看涨期权组成的投资组 合，使该组合在3个月末的价值是确定的，这样 该组合就复制了无风险资产的现金流！
金融保险学院
金融工程专题
金融衍生产品定价 的数值方法
李志生
中南财经政法大学 新华金融保险学院
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数值方法分类
金融保险学院
二叉树
Binomial Trees
金融定价中的数值方法
Numerical Methods in Finance
Monte Carlo模拟
Monte Carlo Simulation
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衍生证券的价格
S0, 1
S0u2, p2
S0u, p S0ud, 2pq
S0d, q S0d2, q2
… … …
… …
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S0uT, pT S0uT-1d , CT1pT-1q
S0udT-1, CTT-1pqT-1
S0dT , qT
在三个月末，看涨期权价值为￥2的概率为0.6523， 价值为￥0的概率为0.3477，因此其期望值为：
0 . 6 5 2 3 2 0 . 3 4 7 7 0 ￥ 1 . 3 0 4 6
按无风险利率贴现得期权现在的价值：
f 0 .6 5 2 3 e -0 .1 2 0 .2 5 ￥ 1 .2 6 6
Go
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衍生证券的价格－期权
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例子：S0＝300；K＝300；r＝8%； q＝0%；＝
30%；T＝4m
求解思路：
把4个月分为4个周期
Dt1m =0.0833y e-rDt=0.9934
设定u＝1/d
ue Dt 1.0905 de Dt 0.9170