人教版高中数学必修2学案：2.3.1直线与平面垂直的判定

2.3.1直线与平面垂直的判定

一、学习目标:

知识与技能：理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法； 过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。 二、学习重、难点

学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 三、使用说明及学法指导:

1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。

3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.

4、A 级是自主学习,B 级是合作探究,C 级是提升 四、知识链接：

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 五、学习过程：自主探究 一、直线与平面垂直的判定 1、线面垂直的定义

A 问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义． (1)阳光下，直立于地面的旗杆A

B 与它在地面上的影子B

C 所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC 的位置也会移动,而旗杆AB 与影子BC 所成的角度是否会发生改变?

(3)旗杆AB 与地面上任意一条不过点B 的直线B 1C 1的位置关系如何?依据是什么？ A 问题2、直线与平面垂直的定义

如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。

符号语言： 图形语言:

思想: 直线与平面垂直 直线与平面垂直

A 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

⇒a l l a αα

⎫

⇒⊥⎬⊥⎭

是平面内任一直线α

l

P

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即若

αα⊂⊥a l ,，则a l ⊥

2、直线与平面垂直的判定定理

A 问题3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）

（图1） （图2） （1）折痕AD 与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ A 问题4、直线与平面垂直的判定定理。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言： 图形语言:

思想: 直线与直线垂直直线与平面垂直

例1有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

A 问题5、如图，在长方体ABCD-A 1

B 1

C 1

D 1中，请列举与平面ABCD 垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？

⇒D

C B A

D

B

A

C

α

αα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n

l m l P n m n m ,,,l

α m

n

p

A

B C

D A 1

B 1

C 1

D 1

A 例2：如图5，已知α⊥a b a ,//，则α⊥b 吗？请说明理由。

小结:判断直线与平面垂直的方法

(1)定义法:(2)直接法:线面垂直的判定定理(3)间接法: 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面即α⊥a b a ,//，则α⊥b 3、直线与平面所成的角 问题6: 斜线: 斜足:

斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角:

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法4) 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角． 例3:在正方体1111_ABCD A B C D 中,求: (1)直线1A B 和平面ABCD 所成的角

(2)直线1A B 和平面11A B C D 所成的角

▲ 小结：直线和平面所成角的步骤 ①作图—找出或作出直线在平面上的射影

②证明—证明所找或所作角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角

六、达标检测:

1直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）在平面α内 （D ）无法确定 2对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：

①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值θ；③与a 距离为定值d 那么这样的直线b 有（ ）

（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条

A

B

C

D A 1

D 1

C 1

B 1