2017-数学一模-杨浦区数学一模(有答案)

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2017年杨浦一模试卷(18,24,25)

18、如图，在ABC 中，AB=AC=5BC=6BD AC D ^，，于点，将BCD B 绕点逆时针旋转，旋转角的大小与CAB Ð相等，如果点C D 、旋转后分别落在点E F 、的位置，那么EFD Ð的正切值是_________________
23.已知：如图，在ABC D 中，
点D G 、分别在边AB BC 、上，
A C D =
B A G
C
D 行，与相交于点
（1）求证：2AC =AD AB ×；
（2）若AD
DF
=AC CG ，求证2CG =DF BG ×
24、在直角坐标系中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-++<的顶点为D ，它的对称轴与x 轴交点为M ；
（1）求D M 、的坐标
（2）如果该抛物线与y 轴的交点为A ，点P 在抛物线上，且AM DP ，AM=2DP ，求a 的值
25、在直角三角形ABC 中，ACB=90AC=BC=2Ð ，，点P 为边BC 上一动点（不与B C
、重合），点P AC AB 关于直线、的对称点分别为M N 、，联结MN 交AB 于点F ，AC E 交边于点；
（1）如图，当点P 为边BC 的中点时，求M Ð的正切值
（2）联结FP ，设,.MPF CP x S y D ==求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域
（3）联结AM ，当点P 在边BC 上运动时，AEF ABM D
D 和是否一定相似？若是，请证明，若不是，请求出AEF ABM D
D 和相似时CP 的长；。

2017-2018上海市杨浦区高三数学一模试卷

2017-2018上海市杨浦区高三数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算1lim(1)n n→∞-的结果是________ 2．已知集合1,{}2,A m =，{3,4}B =，若{3}A B ⋂=，则实数m =________ 3．已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+=________ 4．若行列式124012x -=，则x = .5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=_________6．在62()x x -的二项展开式中，常数项的值为________7．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．8．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________.9．在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为________ 10．抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a -=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 .11．已知函数()cos (sin )f x x x x =+x ∈R ，设0a >，若函数()()g x f x α=+为奇函数，则α的值为________12．已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实数λ的取值范围为________二、单选题13．在复平面内，复数2i i-对应的点位于（）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．给出下列函数：①2log y x =；②2y x ；③||2x y =；④arcsin y x =.其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 15．“0t ≥”是“函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S 的最大值是（）.A ．12B ．2C ．4D ．8三、解答题17．（2020-2021学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18．如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）19．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.20．设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程. 21．若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记{}012max ,,,n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.参考答案1．1【解析】11lim(1)1lim 101n n nn →∞→∞-=-=-= 故答案为12．3【解析】∵ 集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，且{}3A B ⋂=∴3m =故答案为33．35【解析】 ∵3cos 5θ=- ∴3sin()cos 25πθθ+==- 故答案为354．2 【解析】试题分析：由行列式的定义把方程转化为一般代数式方程即可.ab ad bc cd =-.考点：行列式的定义.5．6【分析】根据关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵，写出方程组，求出方程组的解，即可得到结论.【详解】解：由题意关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得关于x y 、的二元线性方程组22x y y -=⎧⎨=⎩，可得42x y =⎧⎨=⎩，故6x y +=，故答案为：6.【点睛】本题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于基础题型.6．－160【解析】展开式的通项为6621662()(2)r r r r r r r T C xC x x--+=-=- 令620r -=，得3r = ∴在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为336(2)160C -=- 故答案为160-点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1）求展开式中的特定项：可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7．112【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：所有的基本事件共6636⨯=个，其中，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，∴出现向上的点数之和为4的概率是313612=，故答案为：112．【点睛】本小题考查古典概型及其概率计算公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=，属于基础题．8．12n -【解析】解：因为 221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 9．3π 【解析】∵在ABC ∆中，sin A 、sin B 、sin C 依次成等比数列，∴2sin sin sin B A C = ，则由正弦定理可得：2b ac = 根据余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时取等号∴B 的取值范围为(0,]3π，即角B 的最大值为3π 故答案为3π 10．3π 【解析】试题分析：因为抛物线28y x =-的焦点为(2,0),-所以22212, 3.a a +==所以双曲线2221x y a-=的渐近线方程为y =3π. 考点：双曲线的渐近线考点：11．*()26k k N ππα=-∈【解析】∵()()cos sin f x x x x =∴sin 2cos 2)()sin(2)2223x x f x x π+=+-=+ ∵函数()()g x f x α=+为奇函数 ∴()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，则2()3k k Z παπ+=∈∵0a > ∴*()26k k N ππα=-∈ 故答案为*()26k k N ππα=-∈ 12．1[,3]3 【解析】①当直线斜率存在时，设过点()0,2M 的直线方程为2y kx =+，联立方程222{14y kx x y =++=，整理可得22(14)16120k x kx +++=，则22(16)4(14)120k k ∆=-⨯+⨯≥，即234k ≥ 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1221614k x x k +=-+，1221214x x k ⋅=+ ∵MD MC λ=∴12x x λ= ∴2216(1)14k x k λ+=-+，22212()14x k λ⋅=+，即2222222(1)161464641()114123(14)34k k k k k k λλ++=⨯==⨯+++ ∵234k ≥ ∴2(1)1643λλ+≤<∴133λ<< ②当直线斜率不存在时，则过点()0,2M 的直线方程为0x =，此时(0,1)C ，(0,1)D -，或(0,1)C -，(0,1)D当(0,1)C ，(0,1)D -时，3λ=；当(0,1)C -，(0,1)D 时，13λ= 综上，133λ≤≤ 故答案为1[,3]3 点睛：本题考查解析几何问题和向量的联系，题设中出现MD MC λ=，可以得出12x x λ=，结合韦达定理找到λ与k 之间的关系，再利用0∆≥建立不等关系即可得解，本题要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏.13．C【分析】根据复数除法运算法则，求出2i i-的实部和虚部，即可得出结论. 【详解】 22i (2)()12i i i i i ---==---， 2i i-对应点的坐标为(1,2)--，位于第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义，属于基础题.14．B【解析】对于①，2log y x =的定义域为(0,)+∞，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；对于②，2y x =是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件；对于③，2x y =是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件；对于④，arcsin y x =是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件.故选B15．A【解析】函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点，则240t t =+≥，解得0t ≥或4t ≤-. 所以“0t ≥”是“函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点”的充分而不必要条件. 故选A.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x 轴的交点个数；四是，区间端点值.16．B【解析】设AB a =，AC b =，AD c = ．∵0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，∴AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即222244a b c R ++==．∵1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积， ∴()()22212311222S S S ab ac bc a b c ++=++≤++=，当且仅当a b c ==时取等号 ∴123S S S ++的最大值是2，故选B ．点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．17．（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6l x =时，2max 12l y =. 【解析】（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，∴场地面积()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）()222333612l l y x l x x lx x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当且仅当6l x =时，2max 12l y =. 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l.18．（1）12π.（2）arctan 4. 【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出5BS =，从而求出4SO =，由此能求出圆锥的体积；（2）取OB 中点H ，连结PH AH 、，由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角，由此能求出异面直线SO 与PA 所成角的大小．试题解析：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =，故4SO == ，从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. （2）如图，取OB 中点H ，连结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒ PH ⊥平面OAB ⇒ PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得AH ==在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，AH =则tan AH APH PH ∠==，∴异面直线SO 与PA 所成角的大小 . 19．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论．试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-，因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭ 而1ln32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.20．（1）2;（2）1x =，9x =;（3）2240x x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p 的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线l 的方程为x my b =+，分0m =与0m ≠两种情况讨论，分析m 的取值，综合可得m 可取的值，将m 的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线:AB x my b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线的方程与抛物线方程联立，结合0OA OB ⋅=，由根与系数的关系分析可得答案．试题解析：（1）∵抛物线Ω的方程为24y x =∴抛物线Ω的焦点到准线的距离为2 （2）设直线:l x my b =+当0m =时，1x =和9x =符合题意;当0m ≠时，()11,A x y 、()22,B x y 的坐标满足方程组24x my by x=+⎧⎨=⎩， ∴2440y my b --=的两根为1y 、2y ，()2160m b ∆=+>，124y y m += ∴2121242x x my b my b m b +=+++=+，∴线段AB 的中点()22,2M m b m + ∵1AB CM k k ⋅=-，1AB k m= ∴2225CM mk m m b ==-+-，得232b m =- ∴()()22161630m b m ∆=+=->，得203m<<∵4r ===∴23m =（舍去）综上所述，直线l 的方程为：1x =，9x = （3）设直线:AB x my b =+，()11,A x y 、()22,B x y 的坐标满足方程组24x my by x =+⎧⎨=⎩，∴2440y my b --=的两根为1y 、2y()2160m b ∆=+>，124y y m +=，124y y b =-∴222121212124044y y OA OB x x y y y y b b ⋅=+=⋅+=-=，得0b =或4b =0b =时，直线AB 过原点，所以()0,0Q ； 4b =时，直线AB 过定点()4,0P设(),Q x y ∵OQ AB ⊥，∴()()22,4,40OQ PQ x y x y x x y ⋅=⋅-=-+=（0x ≠），综上，点Q 的轨迹方程为2240x x y -+=点睛：本题主要考查直线与圆相切，求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于,x y 的关系，化简即可求出轨迹方程.21．（1）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩ ；（2）n 的最大值为65；(3)20288n n -+．【解析】试题分析：（Ⅰ）直接根据“U -数列”的定义，讨论列举法即可求出x ，y ；（Ⅱ）11112k k k k k k k a a a a a a a +-+-+>⇔->-可得()()112201712n n --≤-，解得：6265n -≤≤，故65n ≤，另外，任意的264k ≤≤，1k k b b ->，故数列{}n a 为“U -数列”，此时651012632017a =++++⋅⋅⋅+=，即65n =符合题意；（Ⅲ）利用放缩法()221120012822228m m m a a m m a a n n m m M +++-+-+-+≥≥≥=，即可得结论. 试题解析：：（Ⅰ）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）n 的最大值为65，理由如下一方面，注意到：11112k k k k k k k a a a a a a a +-+-+>⇔->-对任意的11i n ≤≤-，令1i i i b a a +=-，则i b Z ∈且1k k b b ->（21k n ≤≤-），故11k k b b -≥+对任意的21k n ≤≤-恒成立．当11a =，2017n a =时，注意到121110b a a =-≥-=，得()()()1122111i i i i i b b b b b b b b i ---=-+-+⋅⋅⋅+-+≥-（21i n ≤≤-）此时()()112110122122n n a a b b b n n n --=++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+-=-- 即()()112201712n n --≤-，解得：6265n -≤≤，故65n ≤ 另一方面，取1i b i =-（164i ≤≤），则对任意的264k ≤≤，1k k b b ->，故数列{}n a 为“U -数列”，此时651012632017a =++++⋅⋅⋅+=，即65n =符合题意．综上，n 的最大值为65．（Ⅲ）M 的最小值为200288n n -+，证明如下：当02n m =（2m ≥，*m N ∈）时，一方面：由（★）式，11k k b b +-≥，()()()1121m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++-+-+-+-=-+-+⋅⋅⋅+-≥．此时有：()()()()()()()()121122112111222111m m m m m m m m m m m a a a a b b b b b b b b b b b b m m m m m +++--++--+-+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-≥++⋅⋅⋅+=-故()221120012822228m m m a a m m a a n n m m M +++-+-+-+≥≥≥=另一方面，当11b m =-，22b m =-，…，11m b -=-，0m b =，11m b +=，…，211m b m -=-时，()()11111210k k k k k k k k k a a a a a a a b b +-+--+-=---=-=>取1m a =，则11m a +=，123m a a a a >>>⋅⋅⋅>，122m m m a a a ++<<⋅⋅⋅<，且()()11211112m m a a b b b m m -=-++⋅⋅⋅+=-+ ()()2112211112mm m m m a a b b b m m +++-=+++⋅⋅⋅+=-+此时()200122811128mn n M a a m m -+===-+=．综上，M 的最小值为200288n n -+．。

杨浦区中考数学一模及答案精编版

杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 2018.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（）（A ）:6:5x y =；（B ）:5:6x y =；（C ）5,6x y ==；（D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）（A ）都含有一个40°的内角；（B ）都含有一个50°的内角；（C ）都含有一个60°的内角；（D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（）（A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =（,a b 均为非零向量）,那么下列结论错误的是（）（A ）//a b ；（B ）20a b -=；（C ）12b a =；（D ）2a b =． 5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是（）（A ）0a >；（B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是（）（A ）EA EDBD BF =；（B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=；（D ）BD BABF BC=.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（第6题图）7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 . 8．化简：112()3()22a b a b --+= . 9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 . 11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = .12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 . 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交于点O ，如果AB =12，那么CO = .16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 . 17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第象限． 18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .C（第18题图）（第11题图）（第12题图）（第15题图）B21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .（第20题图）（第21题图）x（第22题图）（第23题图）24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长；（2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（第24题图）（备用图）（图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议2018.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、()0,3-； 8、142a b -rr ； 9、<；10、24y x =-+等； 11、12； 12、36； 13、27； 14、2.4； 15、4； 16、()1,4； 17、二、四； 18、4 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122⋅-⋅+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分） ∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分）∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分）解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分）设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分）过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ． ∵∠E =45°，∴EF =AF =x ．在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG =2.8 ----------------------------------------------------------------------- （1分）答：灯杆AB 的长度为2.8米．------------------------------------------------------------（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ，∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分） ∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分） ∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF .--------------------------------------------------- （1分）A B C D F G∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）（2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分） ∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分）（2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分） ∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的顶点是（2，-1）.∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分）（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-.整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. 整理得：220m m +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分） ∴1m =-或2m =-.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC .xx∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分）设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分）（2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC ===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分）在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AM AM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN .--------------------------------------------------（2分）。

2017-2018上海杨浦区数学一模试卷与答案

三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分）
2 3 3 1 解：原式= 2 2 3 --------------------------------------------------（6 分） 1 1 2 2
2
= 2 =

2
1 2 ----------------------------------------------------------------（2 分）
E G C B
A E
A
B B
（第 18 题图）
C
（第 12 题图）
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分）计算：
cos 45 tan 45 sin 60 cot 60 cot 45 2sin 30
20．（本题满分 10 分，第（1）、（2）小题各 5 分）已知：如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，sinB = 上，且 AD∶DB=2∶3，DE⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设
3 ，点 D、E 分别在边 AB、BC 5
A
D
=
，
=
，试用、表示
. C E
（第 20 题图）
B
大力数学工作室 • 李老师
2
21．（本题满分 10 分）甲、乙两人分别站在相距 6 米的 A、 B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面 1 米的 C 处发出一球，乙在离地面 1.5 米的 D 处成功击球，球飞行过程中的最高点 H 与甲的水平距离 AE 为 4 米，现以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度. y H． C A（O） 22．（本题满分 10 分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 BC 的高为 10 米，灯柱 BC 与灯杆 AB 的夹角为 120° ．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 的长为 13.3 米，从 D、 E 两处测得路灯 A 的仰角分别为 α 和 45° ，且 tanα = 6. 求灯杆 AB 的长度． A B E

2017年上海市各区初三数学一模18题集锦(含答案)

九年级一模18题1、（2017年杨浦区一模第18题）△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，BD AC ⊥于点D ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转，旋转角的大小与CBA ∠相等，如果点C 、D 旋转后分别落在点E 、F 的位置，那么EFD ∠的正切值是________.【答案】12tan cot cot EFD DFB CEB ∠=∠=∠，问题的本质是在△EBC 中，已知两边EB=BC=6，∠ABC 的余弦为3，求边EC 长.可由余弦定理，或过E 点向BC 添高，得EC=1255，cos CEB ∠=1tan 2EFD ∠=.2、（2017年徐汇区一模第18题）如图，在□ABCD 中，3:2:=BC AB ，点F E 、分别在边BC CD 、上，点E 是边CD 的中点，BF CF 2=，︒=∠120A ，过点A 分别作DF AQ BE AP ⊥⊥、，垂足分别为Q P 、，那么AQAP 的值是________．【答案】13392AP DF AQ BE ===请注意本题中面积法的作用.3、（2017年长宁区一模第18题）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点'A 处，当'A E AC ⊥时，'A B =___________.【答案】722或以A 为原点，射线AC 为横轴正半轴，建立直角坐标系.①设AE=a ，则'DA DA =，得22(4)(3)25a a -++=，解得a =1，从而'(1,1)(8,6)A B -，，'2A B =；②22(4)(3)25a a -+-=，解得a =7，从而'(7,7)(8,6)A B ，，'2A B =.4、（2017年崇明区一模第18题）如图，已知ABC ∆中，45ABC ∠= ，AH BC ⊥于点H ，点D 在AH 上，且DH CH =，联结BD ，将BHD 绕点H 旋转，得到EHF ∆（点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果4BC =，tan 3C =，那么AE 的长为.【答案】3105△AEH 相似于△CFH ，且相似比为3：1，过H 向AC 做垂线段HM ，则11022cos 2110FC CM CH C ==⋅⋅∠=⋅⋅31035AE CH ==.5、（2017年宝山区一模第18题）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═12，那么CF：DF═________．【答案】65∵DE⊥AB，tanA═12，∴DE=12AD，∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═12，∴BC=4，AB=4，又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，∴AD=BD=2，DE=，∴Rt△ADE中，AE=5，∴CE=8﹣5=3，∴Rt△BCE中，BE=5，如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则Rt△BDE中，DH==2，Rt△BCE中，CG==，∵CG∥DH，∴△CFG∽△DFH，∴===．6、（2017年奉贤区一模第18题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点P是边AD上的一点，联结BP，将△ABP沿着BP 所在直线翻折得到△EBP，点A落在点E处，边BE与边CD相交于点G，如果CG=2DG，那么DP的长是________．【答案】1∵CG=2DG，CD=6，∴CG=4，DG=2，由勾股定理得，BG=5，∴EG=1，由折叠的性质可知，∠E=∠A=90°，又∠EGD=∠CGB，∴△HEG∽△BCG，∴==，∴HG=，∴DH=DG﹣HG=，同理，DP=1．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=23（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为________.【答案】13PQ垂直平分CD，故CM=6，∠PMC=∠QMC=90°，注意到∠PCM=∠A，∠QCM=∠B，于是32tan tan661323PQ PM QM CM PCM CM QCM=+=⋅∠+⋅∠=⨯+⨯=.8、（2017年闵行区一模第18题）如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D在边BC上，将△ABD沿着直线AD翻折，点B落在点B1处，如果B1D⊥AC，那么BD=________.【答案】32-作DE⊥AB于E，由折叠的性质可知，∠B′=∠B=60°，∵B1D⊥AC，∴∠B′AC=30°，∴∠B′AC=90°，由折叠的性质可知，∠B′AD=∠BAD=45°，在Rt△DEB中，DE=BD×sin∠B=BD，BE=BD，∵∠BAD=45°，DE⊥AB，∴AE=DE=BD，则BD+BD=2，解得BD=2﹣2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，点B 、C 分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC 边交于点D ，那么'BD DC=________.【答案】2过C ’作C’H ⊥AC 于点H，则33'''22BC a CA C A C H C A a =====，，，于是23''32BD BC a DC C H a ===.10、（2017年普陀区一模第18题）如图，DE ∥BC ，且过△ABC 的重心，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点P 是线段DE 上一点，CP 的延长线交AB 于点Q ，如果14DP DE =，那么S △DPQ ：S △CPE 的值是________.【答案】115由重心定理及条件，易知DP ：PE ：BC=1：3：6，于是△DPQ 与△EPC 的高之比为1：5，从而S △DPQ ：S △CPE 1115315=⨯=.如图，已知△ABC ，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，连接BD ，如果∠DAC=∠DBA ，那么BD AB的值是________.【答案】512-如图，由旋转的性质得到AB=AD ，∠CAB=∠DAB ，∴∠ABD=∠ADB ，∵∠CAD=∠ABD ，∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD ，∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∴∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，过D 作∠ADB 的平分线DF ，∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°，∴∠BFD=72°，∴AF=DF=BD ，∴△ABD ∽△DBF ，∴，即，解得=.12、（2017年松江区一模第18题）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=23，把△ABC 绕着点C 旋转，使点B 与AB 边上的点D 重合，点A 落在点E ，则点A 、E 之间的距离为________.【答案】过C 作CH ⊥AB 于H ，△ACE 相似于△BCE ，相似比为2，所以2222cos cos 93AE BD BH BC B AB B ⎛⎫===⋅∠=⋅∠=⨯= ⎪⎝⎭.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=1，BC=3，点P 是边AB 上一点，如果把△BCP 沿折痕CP 向上翻折，点B 恰好与点D 重合，那么sin ∠ADP 为________.【答案】23CP 垂直平分线段BD ，CD=CB=3，从而得到，设AP=x ，则-x ，在△APD中，由勾股定理得2221)x x +=，解得255x =，BP=355，于是sin ∠ADP=23..14、（2017年黄浦区一模第18题）如图，菱形ABCD 形内两点M 、N ，满足MB ⊥BC ，MD ⊥DC ，NB ⊥BA ，ND ⊥DA ，若四边形BMDN 的面积是菱形ABCD 面积的15，则cos A =．D NMC BA 【答案】23。

2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷含详解

2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是命题（填：真、假）2．（4分）已知A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），若A∪B=R，则a的取值范围是．3．（4分）z+2=9+4i（i为虚数单位），则|z|=．4．（4分）若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是．5．（4分）若函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a=．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+a n）=．9．（5分）已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是．12．（5分）函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f （x）=2x+1，若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n﹣1﹣f（x n））|=2016，则n+x n的最小值为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•=•”是“⊥（﹣）”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．1215．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800B．6000C．6200D．640016．（5分）若直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），则下列不等式正确的是（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．+≤1D．+≥1三、解答题（满分76分）共5题17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°．（1）求半径PB的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V柱=S底•h．18．（14分）如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM=BM=NM=CN（1）求证：异面直线AC与BN垂直；（2）若四面体ABCN的体积V ABCN=9，求异面直线l1，l2之间的距离．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2=1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．20．（14分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1=1，△a n﹣a n=2n，求数列{a n}的通项公式；（3）对（b）中的数列{a n}，是否存在等差数列{b n}，使得b1C+b2C+…+b n C=a n，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{b n}的通项公式，若不存在，请说明理由．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数”，求k的取值范围；（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是真命题（填：真、假）【考点】2K：命题的真假判断与应用；71：不等关系与不等式．【专题】33：函数思想；48：分析法；5L：简易逻辑．【分析】利用函数f（x）=x3在R是单调增函数判定．【解答】解：函数f（x）=x3在R是单调增函数，∴当a＞b，一定有a3＞b3，故是真命题答案为：真．【点评】本题考查了命题的真假判定，涉及到不等式的性质，属于基础题．2．（4分）已知A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），若A∪B=R，则a的取值范围是a ≤0．．【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用集合的性质直接求解，解题时要注意的是a=0是成立的【解答】解：若A∪B=R，A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），必有a≤0；故答案为：a≤0．【点评】本题考查集合的包含关系的判断，解题的关键是分析出集合A、B的关系．3．（4分）z+2=9+4i（i为虚数单位），则|z|=5．【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入z+2=9+4i，化为：3x﹣yi=9+4i，利用复数相等即可得出．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），∵z+2=9+4i，∴x+yi+2（x﹣yi）=9+4i，化为：3x﹣yi=9+4i，∴3x=9，﹣y=4，解得x=3，y=﹣4．∴|z|==5．故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是1．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形；59：不等式的解法及应用．【分析】由条件可得△ABC的面积S=ab•sinC，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵C=30°，a+b=4，∴△ABC的面积S=ab•sinC=ab•sin30°=ab≤×（）2=×4=1，当且仅当a=b=2时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．5．（4分）若函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a=2．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），得函数f（x）=log2的图象经过点（3，﹣2），代入计算可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），∴函数f（x）=log2的图象经过点（3，﹣2），∴﹣2=log2，∴a=2，故答案为2．【点评】本题考查了反函数，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是π．【考点】MI：直线与平面所成的角；ND：球的性质．【专题】11：计算题．【分析】充分利用球的半径OA、球心与截面圆心的连线、OA在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．【解答】解：设截面的圆心为Q，由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，∴S=π•12=π．答案：π．【点评】本题主要考查了球的性质、直线与平面所成的角，还考查了空间想象力．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；37：集合思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n=6×6×6=216，由a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根，得a=1，c=b2+1，由此能求出a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，基本事件总数n=6×6×6=216，∵a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根，∴（a+bi）2﹣2（a+bi）+c=0，即，∴a=1，c=b2+1，∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根包含的基本事件为：（1，1，2），（1，2，5），∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+a n）=．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】由=，根据x6的系数为4，求出r=2，从而=4，解得a=，由此能求出（a+a2+…+a n）的值．【解答】解：∵常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，∴=，当时，r=2，∴=4，解得a=，∴a+a2+…+a n===（1﹣），∴（a+a2+…+a n）==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理、极限性质的合理运用．9．（5分）已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为1．【考点】IT：点到直线的距离公式．【专题】11：计算题．【分析】通过方向向量求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，通过点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线的方向向量为（2，﹣1），所以直线的斜率为：﹣，直线方程为：x+2y+=0，由点到直线的距离可知：=1；故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查直线的方程的求法，得到直线的距离的求法，考查计算能力．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．【考点】K8：抛物线的性质；KM：直线与双曲线的综合；KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：抛物线y=x2的准线：y=﹣，双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为a=，焦点在y轴上．双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴=，可得b=，则此双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是m≥或m≤﹣．【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】根据题意，设出点P（1﹣my，y），代入|PA|=2|PB|，化简得（4﹣m2）y2﹣8y+16=0，由△≥0，求出实数m的取值范围．【解答】解：设P（1﹣my，y），∵|PA|=2|PB|，∴|PA|2=4|PB|2，∴（1﹣my﹣1）2+y2=4（1﹣my﹣4）2+y2，化简得（m2+1）y2+8my+12=0则△=64m2﹣48m2﹣48≥0，解得m≥或m≤﹣，即实数m的取值范围是m≥或m≤﹣．故答案为：m≥或m≤﹣．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．12．（5分）函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f （x）=2x+1，若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n﹣1﹣f（x n））|=2016，则n+x n的最小值为1513．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数可知函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f （x）min=4，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后可得n+x n的最小值．【解答】解：∵函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f（x）=2x+1，∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=4，要使n+x n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，且f（0）=1，f（2）=﹣3，∵0≤x1＜x2＜…＜x m，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=2016，∴n的最小值为，相应的x n最小值为1008，则n+x n的最小值为1513．故答案为：1513．【点评】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•=•”是“⊥（﹣）”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据向量数量积运算和向量垂直的充要条件，可得答案．【解答】解：“•=•”⇔“•﹣•=0”⇔“•（﹣）=0”⇔“⊥（﹣）”，故“•=•”是“⊥（﹣）”的充要条件，故选：C．【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量的数量积满足分配律．14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．12【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为：D13=（﹣1）4=2×6﹣5×3=﹣3．故选：B．【点评】本题考查余子式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余子式的性质的合理运用．15．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800B．6000C．6200D．6400【考点】BB：众数、中位数、平均数．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】由已知能求出8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，由此能求出结果．【解答】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为=5400，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400．故选：D．【点评】本题考查中位数的求法及判断，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数性质的合理运用．16．（5分）若直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），则下列不等式正确的是（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．+≤1D．+≥1【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5T：不等式．【分析】先把点代入得到bcosθ+asinθ=ab，即可得到（sinθ+φ）=ab，得到≤ab，问题得以判断【解答】解：直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），∴bcosθ+asinθ=ab，∴sin（θ+φ）=ab，其中tanφ=，∴≥ab，∴a2+b2≥a2b2，∴+≥1，故选：D．【点评】本题考查了直线和点的位置关系以及三角函数的问题，属于中档题．三、解答题（满分76分）共5题17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°．（1）求半径PB的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V柱=S底•h．【考点】G7：弧长公式．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）在△ABP中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB的长度；（2）求出V柱=S底•h，即可求该零件的重量．【解答】解：（1）∵AB=55，AC=88，BP=R，∠BAC=60°．AP=88﹣R，∴在△ABP中，由余弦定理可得：BP2=AB2+AP2﹣2AB•AP•cos∠BAC，可得：R2=552+（88﹣R）2﹣2×55×（88﹣R）×cos60°，∴解得：R=49mm．（2）在△ABP中，AP=88﹣49=39mm，AB=55，BP=49，cos∠BPA==≈0.2347，∴sin∠BPA≈0.972．∴∠BPA=arcsin0.972．V柱=S底•h=（S△ABP+S扇形BPC）•h=（+）•3该零件的重量=（+）•3÷1000×8.9≈82.7．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查面积的计算，属于中档题．18．（14分）如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM=BM=NM=CN（1）求证：异面直线AC与BN垂直；（2）若四面体ABCN的体积V ABCN=9，求异面直线l1，l2之间的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可．【解答】解：（1）证明：由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（2）∵AM=BM=NM=CN，MN是它们的公垂线段，就是异面直线l1，l2之间的距离，由中垂线的性质可得AN=BN，四面体ABCN的体积V ABCN=9，可得：V ABCN=9==MN3，∴MN=3．异面直线l1，l2之间的距离为3．【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2=1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线AB、CD的方程，与椭圆方程联立求得A、D的坐标，求出AD所在直线斜率得答案；（2）由（1）结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边AB、CD的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值．【解答】（1）证明：由椭圆C：+y2=1，得a2=4，b2=1，∴．设k1=k，则AB所在直线方程为y=kx+，CD所在直线方程为y=kx﹣，联立，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0．解得，不妨取，则同理求得，．则==，则k1•k2=；（2）解：由（1）知，，|AB|===．AB、CD的距离d=，∴=．令1+4k2=t（t≥1），则，∴当t=3时，S max=4．【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了换元法求函数的最值，考查计算能力，是中档题．20．（14分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1=1，△a n﹣a n=2n，求数列{a n}的通项公式；（3）对（b）中的数列{a n}，是否存在等差数列{b n}，使得b1C+b2C+…+b n C=a n，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{b n}的通项公式，若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】23：新定义；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列{a n}的通项公式a n=n2﹣n，结合新定义，可判定{△a n}是首项为4，公差为2的等差数列；（2）由△a n﹣a n=2n入手能够求出数列{a n}的通项公式；（3）结合组合数的性质：1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n（C n﹣10+C n﹣11+C n﹣12+…+C n﹣1n﹣1）=n•2n﹣1进行求解．【解答】解：（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是等差数列，理由如下：∵a n=n2﹣n，∴△a n=a n+1﹣a n=（n+1）2﹣（n+1）﹣（n2﹣n）=2n，﹣△a n=2，且△a1=4，∵△a n+1∴{△a n}是首项为4，公差为2的等差数列；（2）∵△a n﹣a n=2n．△a n=a n+1﹣a n，﹣2a n=2n，∴a n+1∴﹣=，（6分）∴数列{}构成以为首项，为公差的等差数列，即=⇒a n=n•2n﹣1；（3）b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=a n，即b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=n•2n﹣1，∵1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n（C n﹣10+C n﹣11+C n﹣12+…+C n﹣1n﹣1）=n•2n﹣1，∴存在等差数列{b n}，b n=n，使得b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=a n对一切自然n∈N都成立．【点评】第（1）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（2）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（3）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数”，求k的取值范围；（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据T同比不减函数的定义即可证明，（2）根据T同比不减函数的定义，分离参数得到k≥sin（x﹣），根据三角形函数的性质即可求出k的范围，（3）画出函数f（x）的图象，根据图象的平移即可求出T的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2，∴f（x+T）﹣f（x）=（x+T）2﹣x2=2xT+T2=T（2x+T），由于2x+T与0的小无法比较，∴f（x+T）≥f（x）不一定成立，∴对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数，（2）∵函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数，∴f（x+）﹣f（x）=k（x+）+sin（x+）﹣kx﹣sinx=+cosx﹣sinx=﹣sin（x﹣）≥0恒成立，∴k≥sin（x﹣），∵﹣1≤sin（x﹣）≤1，∴k≥，（3）f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，∴T≥4．【点评】本题考查了新定义的理解和应用，考查了学生的分析问题，应用问题，解决问题的能力，属于中档题．。

2017年上海杨浦区初三一模数学试卷答案

D. 100cos α
∴ ． AB = BC ⋅ cotα = 100cotαm
3.
将抛物线y
=
2(x
−
2 1) +
3向右平移2个单位后所得的抛物线的表达式是（
）．
A. 2 y = 2(x − 1) + 5
B. 2 y = 2(x − 1) + 1
C. 2 y = 2(x + 1) + 3
D. 2 y = 2(x − 3) + 3
答案 D
解析根据平移的规律，左加右减，向右平移两个单位，应在原来自变量x的基础上减2个单位，故答案为． y = 2(x − 3)2 + 3
4.
在二次函数y
=
2 ax
+
bx
+
c中，如果a
>
， 0 b
<
， 0 c
>
0，那么它的图象一定不经过（
）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
如果点C 、D旋转后分别落在点E、F 的位置，那么∠EF D的正切值是
．
答案 1
2
解析作AH ⊥BC 于H ，延长C D交EF 于G，
∵ ， AB = AC
∴ ， 1 BH = C H = BC = 3 2
由勾股定理得，， −−−−−−−−−− AH = √AB2 − BH 2 = 4
，即， 1
/04
目录
选择题填空题解析题
学生版
∴当x = 0时，y = 3，
教师版
答案版
故答案为3．
2018/12/04

上海市杨浦区2017年中考数学一模试卷(含解析)

上海市杨浦区2017年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果延长线段AB到C，使得，那么AC：AB等于（）A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：22．在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（）A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα3．将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+34．在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列命题不一定成立的是（）A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B．两个等腰直角三角形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似6．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A．40° B．60° C．80° D．100°二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．线段3cm和4cm的比例中项是cm．8．抛物线y=2（x+4）2的顶点坐标是．9．函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而．10．如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线．11．如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为．12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那么S△ADC：S△ABC 的值为．13．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是cm．14．如果+=3，2﹣=，那么= （用表示）．15．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α= 度．16．如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1：．17．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：那么该二次函数在x=0时，y= ．18．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G．（1）设=， =，试用向量和表示向量；（2）在图中求作向量与的和向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．21．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为．求：（1）对角线BD的长；（2）梯形ABCD的面积．22．（10分）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．24．（12分）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．（1）求点D、点M的坐标；（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C 重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．2017年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果延长线段AB到C，使得，那么AC：AB等于（）A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2【考点】两点间的距离．【分析】作出图形，用AB表示出AC，然后求比值即可．【解答】解：如图，∵BC=AB，∴AC=AB+BC=AB+AB=AB，∴AC：AB=3：2．故选D．【点评】本题考查了两点间的距离，用AB表示出AC是解题的关键，作出图形更形象直观．2．在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（）A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可．【解答】解：∵∠BAC=α，BC=100m，∴AB=BC•cotα=100cotαm．故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．3．将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位，可得y=2（x﹣1﹣2）2+3，即y=2（x﹣3）2+3，故选：D．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据已知条件“a＞0，b＜0，c＞0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．【解答】解：①∵a＞0、c＞0，∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；②∵a＞0，b＜0，∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴是x=﹣＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；综合①②，二次函数y=ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．5．下列命题不一定成立的是（）A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B．两个等腰直角三角形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似【考点】命题与定理．【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．【解答】解：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似一定成立；两个等腰直角三角形相似一定成立；两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立；各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似一定成立，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A．40° B．60° C．80° D．100°【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．【解答】解：∵，∴∠B与∠D是对应角，故∠B=∠D=60°．故选B．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．线段3cm和4cm的比例中项是2cm．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求．【解答】解：设比例中项是xcm，则：3：x=x：4，x2=12，x=±2，∵线段是正值，∴负值舍去，故答案为：2．【点评】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数是解答此题的关键．8．抛物线y=2（x+4）2的顶点坐标是（﹣4，0）．【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的解析式可求得答案．【解答】解：∵y=2（x+4）2，∴抛物线顶点坐标为（﹣4，0），故答案为：（﹣4，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x ﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．9．函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而减小．【考点】二次函数的性质．【分析】由解析式可确定其开口方向，再根据增减性可求得答案．【解答】解：∵y=ax2（a＞0），∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．10．如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线x=．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），∴对称轴为x==，故答案为：x=．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等是解题的关键．11．如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】利用DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，利用相似的性质的得==，再利用比例性质得=，然后证明△CEF∽△CAB，然后利用相似比可得到的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∴=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，故答案为．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，如果BC=2AD ，那么S △ADC ：S △ABC 的值为 1：2 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】根据梯形的性质和三角形的面积计算公式，可以解答本题．【解答】解：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，设AD 与BC 间的距离为h ，则，故答案为：1：2．【点评】本题考查梯形、三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是 20 cm ．【考点】相似三角形的性质．【分析】因为两个三角形的面积之比9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线．【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25， ∴大三角形的周长：小三角形的周长是5：3， ∵小三角形一边上的中线长是12cm ，∴大三角形对应边上的中线长是20cm．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如果+=3，2﹣=，那么= （用表示）．【考点】*平面向量．【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．【解答】解：∵2﹣=，∴6﹣3=3，∵+=3，∴+=6﹣3，∴=．故答案是：．【点评】本题考查了平面向量的运算，类似于解一元一次方程进行计算即可，比较简单，要注意移项要变号．15．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α= 60 度．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据30°角的余弦值等于，正切值是的锐角为60°解答即可．【解答】解：∵tanα=2cos30°=2×=，∴α=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键．16．如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1： 2.4 ．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据定义解答．【解答】解：由题意得，水平距离==12，∴坡比i=5：12=1：2.4．故答案为2.4【点评】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题．17．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：那么该二次函数在x=0时，y= 3 ．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），∴对称轴为x=2，∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，∵当x=4时，y=3，∴当x=0时，y=3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．18．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是．【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．【分析】作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、BD、CD、AD，根据旋转变换的性质得到∠FBD=∠CBA，证明FB∥AH，根据四点共圆得到∠EFD=∠GBD，求出tan∠GBD即可．【解答】解：作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=3，由勾股定理得，AH==4，×BC×AH=×AC×BD，即6×4=5×BD，解得，BD=，∴CD==，AD=，∵∠FBD=∠CBA，∴∠FBE=∠DBC，∵∠DBC+∠C=90°，∠HAC+∠C=90°，∴∠FBE=∠BAH，∴FB∥AH，∴∠FBC=∠AHC=90°，∴EF∥BC，∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA，∴AG=AE=BE﹣AB=BC﹣AB=1，∴DG=，∴∠F=∠BDC=90°，∴F、B、D、G四点共圆，∴∠EFD=∠GBD，tan∠GBD==，∴∠EFD的正切值是，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用，掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2017•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G．（1）设=， =，试用向量和表示向量；（2）在图中求作向量与的和向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量；作图—复杂作图．【分析】（1）证△AGF∽△BCF得==，即AG=CB，由=（）可得答案；（2）延长CB到E，使BE=AG，连接AE，则=．【解答】解：（1）∵AG∥BC，AF=AB，∴△AGF∽△BCF， =，∴==，即AG=CB，∴=（）=﹣；（2）如图所示，==．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算、作图，熟练掌握向量的基本运算法则是解题的关键．20．（10分）（2017•杨浦区一模）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）求出原抛物线上x=﹣2时，y的值，若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1），根据纵坐标的变化可得其中的一种平移方式．【解答】解：（1）将点B（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴此抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中，当x=﹣2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5，若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1），则需将抛物线向上平移4个单位．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．21．（10分）（2017•杨浦区一模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为．求：（1）对角线BD的长；（2）梯形ABCD的面积．【考点】梯形；解直角三角形．【分析】（1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；（2）过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ABD=∠C，∴△ABD∽△DCB，∴=，∵AD=4，BC=9，∴BD=6；（2）过D作DE⊥BC于E，则∠DEB=90°，∵锐角∠DBC的正弦值为，∴sin∠DBC==，∵BD=6，∴DE=4，∴梯形ABCD的面积为×（AD+BC）×DE=×（4+9）×4=26．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解直角三角形等知识点，能求出BD的长是解此题的关键．22．（10分）（2017•杨浦区一模）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】首先证明AC=AB=12，根据时间=路程÷速度，计算即可解决问题．【解答】解：如图，由题意，∠ABF=30°，∠CBF=60°，∴∠FAB=60°，∠ABC=∠C=30°，∴AC=AB=12，货轮从出发到客轮相逢所用的时间==1.2小时．答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间1，2小时．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型．23．（12分）（2017•杨浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线，由角平分线得出，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD•AB；（2）证明：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF=∠ACG，∵=，∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，∴，∴，∴CG2=DF•BG．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．24．（12分）（2017•杨浦区一模）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．（1）求点D、点M的坐标；（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）由y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+3，可得顶点D（2，3），M（2，0）．（2）作PN⊥DM于N．由△PDN∽△MAO，得===，因为OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1，所以P（1，a+3），DN=﹣a，根据OA=2DN，可得方程﹣4a﹣3=﹣2a，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+3，∴顶点D（2，3），M（2，0）．（2）作PN⊥DM于N．∵AM∥DP，∴∠PDN=∠AMG，∵DG∥OA，∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，∵∠PND=∠AOM=90°，∴△PDN∽△MAO，∴===，∵OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1，∴P（1，a+3），∴DN=﹣a，∵OA=2DN，∴﹣4a﹣3=﹣2a，∴a=﹣．（当点A在y的正半轴上时，方法类似，求得a=﹣）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．25．（14分）（2017•杨浦区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB 于点F，交边AC于点E．（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先求出CP=1，利用对称得出∠MB N=90°，BP=BP=3，最后用锐角三角函数的定义即可；（2）先求出FG，再利用同角的三角函数相等，得出PG，再用三角形的面积公式求解即可；（3）利用对称先判断出AM=AP=AN，进而得出三角形AMN是等腰直角三角形，即可得出∠AMN=45°，得出∠AFE=∠AMB，即可判断出△AEF∽△BAM．【解答】解：（1）如图1，连接BN，∵点P为边BC的中点，∴CP=BP=BC=1，∵点P与点M关于AC对称，∴CM=CP=1∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵点P与点N关于AB对称，∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45°，∴∠CBM=90°，BM=CM+BC=3，在Rt△MBN中，tan∠M==；（2）如图2，过点F作FG⊥BC，设PG=m，∴BG=BP﹣PG=2﹣x﹣m，MG=MP+PG=2x+m，在Rt△BFG中，∠FBG=45°，∴FG=BG=2﹣x﹣m，在Rt△FMG中，tan∠M==，在Rt△MNB中，tan∠M==，∴，∴m=，∴y=S△MPF=MP•FG=×2x×=（0＜x＜2）；（3）△AEF∽△BAM理由：如图3，连接AM，AP，AN，BN，∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，∴AM=AP=AN．∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB，∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45°，∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2（∠PAC+∠PAB）=90°，∴∠AMN=45°=∠ABC，∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF，∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABM=45°，∴△AEF∽△BAM．。

2017年上海市各区初三数学一模18题集锦(含答案)(1)

九年级一模18 题1、（2017 年杨浦区一模第18 题）△ABC 中，AB = AC = 5 ，BC = 6 ，BD ⊥ AC 于点D ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA 相等，如果点C 、D 旋转后分别落在点E 、F 的位置，那么∠EFD 的正切值是.2、（2017 年徐汇区一模第18 题）如图，在□ABCD 中，AB : BC = 2 : 3 ，点E、F 分别在边CD、BC 上，点E 是边CD 的中点，CF = 2BF ，∠A = 120︒ ，过点A 分别作AP ⊥ BE、AQ ⊥ DF ，垂足分别为P、Q ，那AP么的值是．AQ3、（2017 年长宁区一模第18 题）如图，在∆ABC 中，∠C = 90︒ ，AC = 8 ，BC = 6 ，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将∆ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A ' 处，当A 'E ⊥ AC 时，A 'B = .以4、（2017 年崇明区一模第18 题）如图，已知∆ABC 中，∠ABC = 45 ，AH⊥BC 于点H ，点D 在AH 上，且DH = CH ，联结BD ，将 BHD 绕点H 旋转，得到∆EHF （点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果BC = 4 ，tan C = 3 ，那么AE 的长为.5、（2017 年宝山区一模第18 题）如图，D 为直角△ABC 的斜边AB 上一点，DE⊥AB 交AC 于E，如果△AED 沿DE 翻折，A恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F，如果AC═8，tanA═1，那么CF：DF═．26、（2017 年奉贤区一模第18 题）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=3，点P 是边AD 上的一点，联结BP，将△ABP 沿着BP 所在直线翻折得到△EBP，点A 落在点E 处，边BE 与边CD 相交于点G，如果CG=2DG，那么DP 的长是．7、（2017 年静安区一模第18 题）一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB= 2（如图），将它折叠使直角顶点C 与斜3边AB 的中点重合，那么折痕的长为.8、（2017 年闵行区一模第18 题）如图，已知△ABC 是边长为2 的等边三角形，点D 在边BC 上，将△ABD 沿着直线AD 翻折，点B 落在点B1 处，如果B1D⊥AC，那么BD=.9、（2017 年浦东新区一模第18 题）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，点B、C 分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC 边交于点D，那么BDDC '=.10、（2017 年普陀区一模第18 题）如图，DE∥BC，且过△ABC 的重心，分别与AB、AC 交于点D、E，点P 是线段DE 上一点，CP 的延长线交AB 于点Q，如果DP1，那么S ：S的值是. DE 4△DPQ△CPE【答案】 111、（2017 年青浦区一模第 18 题）如图，已知△ABC ，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转，使点 C 落在边 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，连接 BD ，如果∠DAC=∠DBA ，那么 BD 的值是.AB【答案】 5 12如图，由旋转的性质得到 AB=AD ，∠CAB=∠DAB ，∴∠ABD=∠ADB ， ∵∠CAD=∠ABD ，∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD ， ∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∴∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，过 D 作∠ADB 的平分线 DF ，∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°，∴∠BFD=72°，∴AF=DF=BD ，∴△ABD ∽△DBF ，∴，即，解得 = .12、（2017 年松江区一模第 18 题）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=9，cosB= 2 ，把△ABC 绕着点 C 旋转，使点 B 与 AB 边3上的点 D 重合，点 A 落在点 E ，则点 A 、E 之间的距离为 .【答案】 4 5过 C 作 CH ⊥AB 于 H ，△ACE 相似于△BCE ，相似比为 2： 5 ，所以9⨯ 2 = AEBD 2BH 2 2 BC ⋅ cos ∠B AB ⋅ cos 2∠B = 2 ⎛ ⎫ ⎪ .⎝3 ⎭13、（2017 年虹口区一模第 18 题）5 5如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=1，BC=3，点 P 是边 AB 上一点，如果把 △BCP 沿折痕 CP 向上翻折，点 B 恰好与点 D 重合，那么 sin ∠ADP 为.【答案】 23CP 垂直平分线段 BD ，CD=CB=3，从而得到 AB= ，设 AP=x ，则 DP=BP= -x ，在△APD 中，由勾股定理得 x 2 + 12 = ( 5 - x )2 ，解得 x =2 5 ，BP=3 5 ，于是 sin ∠ADP= 2..14、（2017 年黄浦区一模第 18 题）5 5 3如图，菱形 ABCD 形内两点 M 、N ，满足 MB ⊥BC ，MD ⊥DC ，NB ⊥BA ，ND ⊥DA ，若四边形 1BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的 5，则 cos A =．BAMNCD【答案】 23。

2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷

2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1. 若“”，则“”是________命题（填：真、假）【答案】真【考点】命题的真假判断与应用不等式的概念与应用【解析】利用函数在是单调增函数判定．【解答】解：函数在是单调增函数，∴当，一定有，故是真命题答案为：真．2. 已知,，若，则的取值范围是________．【答案】．【考点】并集及其运算【解析】利用集合的性质直接求解，解题时要注意的是是成立的【解答】解：若，,，必有；故答案为：．3. （为虚数单位），则________．【答案】【考点】复数的模【解析】设，代入，化为：，利用复数相等即可得出．【解答】解：设，∵，∴，化为：，∴，，解得，．∴．故答案为：．4. 若中，，，则面积的最大值是________．【答案】【考点】正弦定理【解析】由条件可得的面积，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得的最大值．【解答】解：在中，∵，，∴的面积，当且仅当时取等号，故答案为：．5. 若函数的反函数的图象经过点，则________．【答案】【考点】反函数【解析】由函数的反函数的图象经过点，得函数的图象经过点，代入计算可得结论．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，∴，故答案为．6. 过半径为的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则该截面的面积是________．【答案】【考点】直线与平面所成的角球的性质【解析】充分利用球的半径、球心与截面圆心的连线、在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．【解答】设截面的圆心为，由题意得：，，∴．7. 抛掷一枚均匀的骰子（刻有，，，，，）三次，得到的数字依次记作，，，则（为虚数单位）是方程的根的概率是________．【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数，由（为虚数单位）是方程的根，得，，由此能求出（为虚数单位）是方程的根的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的骰子（刻有，，，，，）三次，得到的数字依次记作，，，基本事件总数，∵（为虚数单位）是方程的根，∴，即，∴，，∴（为虚数单位）是方程的根包含的基本事件为：，，∴（为虚数单位）是方程的根的概率是．故答案为：．8. 设常数，展开式中的系数为，则________．【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】由，根据的系数为，求出，从而，解得，由此能求出的值．【解答】解：∵常数，展开式中的系数为，∴，当时，，∴，解得，∴，∴．故答案为：．9. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为________．【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】通过方向向量求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，通过点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线的方向向量为，所以直线的斜率为：，直线方程为：，由点到直线的距离可知：；故答案为：．10. 若双曲线的一条渐近线为，且双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为________．【答案】【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的求解直线与双曲线的位置关系【解析】求出抛物线的准线方程，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：抛物线的准线：，双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为，焦点在轴上．双曲线的一条渐近线为，∴，可得，则此双曲线的标准方程为：．故答案为：．11. 平面直角坐标系中，给出点，，若直线存在点，使得，则实数的取值范围是________．【答案】或【考点】两点间的距离公式【解析】根据题意，设出点，代入，化简得，由，求出实数的取值范围．【解答】解：设，∵，∴，∴，化简得，则，解得或，即实数的取值范围是或．故答案为：或．12. 已知偶函数满足，且在时，，若存在，，…满足，且（，则最小值为________．【答案】【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由函数是最小正周期为的偶函数可知函数的值域为，对任意，,…,，都有，要使取得最小值，尽可能多让,…,取得最高点，然后可得的最小值．【解答】解：∵偶函数满足，∴函数是周期为4的偶函数，且当时，，∴函数的值域为，对任意，,…,，都有，若，注意到在上是单调递减函数，，，则，∴不妨设当时，，要使取得最小值，则尽可能多让,…,取得最高点与最低点，且，，，∵，且，=2018，根据，且，相应的最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，满分20分）若与都是非零向量，则“”是“”的（）A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【考点】平面向量数量积的运算必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据向量数量积运算和向量垂直的充要条件，可得答案．【解答】解：“”“”“”“”，故“”是“”的充要条件，故选：行列式中，元素的代数余子式的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二阶行列式的定义【解析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素的代数余子式为：．故选：．一个公司有名员工，其中名员工的月工资分别为，，，，，，另两名员工数据不清楚，那么位员工月工资的中位数不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数【解析】由已知能求出位员工月工资的中位数的取值区间为，由此能求出结果．【解答】∵一个公司有名员工，其中名员工的月工资分别为，，，，，，∴当另外两名员工的工资都小于时，中位数为，当另外两名员工的工资都大于时，中位数为，∴位员工月工资的中位数的取值区间为，∴位员工月工资的中位数不可能是若直线通过点，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】先把点代入得到，即可得到，得到，问题得以判断【解答】解：直线通过点，∴，∴，其中，∴，∴，∴，故选：三、解答题（满分76分）共5题某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为毫米线段和毫米的线段以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中．（1）求半径的长度；（2）现知该零件的厚度为毫米，试求该零件的重量（每个立方厘米铜重克，按四舍五入精确到克）．柱底．【答案】解：（1）∵，，，．，∴在中，由余弦定理可得：，可得：，∴解得：．（2）在中，，，，，∴．∴．柱底扇形该零件的重量．【考点】弧长公式【解析】（1）在中，由余弦定理建立方程，即可求半径的长度；（2）求出柱底，即可求该零件的重．量【解答】解：（1）∵，，，．，∴在中，由余弦定理可得：，可得：，∴解得：．（2）在中，，，，，∴．∴．柱底扇形该零件的重量．如图所示，，是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段，点，在直线上，且位于点的两侧，在上，（1）求证：异面直线与垂直；（2）若四面体的体积，求异面直线，之间的距离．【答案】解：（1）证明：由已知，，，可得平面．由已知，，可知且．又为在平面内的射影．∴（2）∵，是它们的公垂线段，就是异面直线，之间的距离，由中垂线的性质可得，四面体的体积，可得：，∴．异面直线，之间的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】（1）欲证，可先证面，根据线面垂直的判定定理只需证，即可；（2）判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可．【解答】解：（1）证明：由已知，，，可得平面．由已知，，可知且．又为在平面内的射影．∴（2）∵，是它们的公垂线段，就是异面直线，之间的距离，由中垂线的性质可得，四面体的体积，可得：，∴．异面直线，之间的距离为．如图所示，椭圆，左右焦点分别记作，，过，分别作直线，交椭圆，，且．（1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；（2）求四边形面积的最大值．【答案】（1）证明：由椭圆，得，，∴．设，则所在直线方程为，所在直线方程为，联立，得．解得，不妨取，则同理求得，．则，则；（2）解：由（1）知，，．、的距离，∴．四边形令，则，∴当时，．【考点】直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线、的方程，与椭圆方程联立求得、的坐标，求出所在直线斜率得答案；（2）由（1）结合弦长公式求得，再由两平行线间的距离公式求出边、的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值．【解答】（1）证明：由椭圆，得，，∴．设，则所在直线方程为，所在直线方程为，联立，得．解得，不妨取，则同理求得，．则，则；（2）解：由（1）知，，．、的距离，∴．四边形令，则，∴当时，．数列，定义为数列的一阶差分数列，其中（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；（2）若，，求数列的通项公式；（3）对中的数列，是否存在等差数列，使得，对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）若，试判断是等差数列，理由如下：∵，∴，∵，且，∴是首项为，公差为的等差数列；（2）∵．，∴，∴，∴数列构成以为首项，为公差的等差数列，即；（3），即，∵，∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）根据数列的通项公式，结合新定义，可判定是首项为，公差为的等差数列；（2）由入手能够求出数列的通项公式；（3）结合组合数的性质：进行求解．【解答】解：（1）若，试判断是等差数列，理由如下：∵，∴，∵，且，∴是首项为，公差为的等差数列；（2）∵．，∴，∴，∴数列构成以为首项，为公差的等差数列，即；（3），即，∵，∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”；若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵，∴，由于与的小无法比较，∴不一定成立，∴对任意正常数，都不是“同比不减函数，（2）∵函数是“同比不减函数，∴恒成立，∴，∵，∴，（3）图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，∴．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）根据同比不减函数的定义即可证明，（2）根据同比不减函数的定义，分离参数得到，根据三角形函数的性质即可求出的范围，（3）画出函数的图象，根据图象的平移即可求出的范围．【解答】解：（1）∵，∴，由于与的小无法比较，∴不一定成立，∴对任意正常数，都不是“同比不减函数，（2）∵函数是“同比不减函数，∴恒成立，∴，∵，∴，（3）图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，∴．。

届杨浦区中考数学一模及答案

杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 2018.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（）（A ）:6:5x y =；（B ）:5:6x y =；（C ）5,6x y ==；（D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）（A ）都含有一个40°的内角；（B ）都含有一个50°的内角；（C ）都含有一个60°的内角；（D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（）（A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =r r （,a b r r均为非零向量）,那么下列结论错误的是（）（A ）//a b r r ；（B ）20a b -=r r ；（C ）12b a =r r ；（D ）2a b =r r ．5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是（）（A ）0a >；（B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是（）（A ）EA EDBD BF =；（B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=；（D ）BD BABF BC=.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（第6题图）7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 .8．化简：112()3()22a b a b --+r r r r= .9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 . 11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = .12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 . 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交于点O ，如果AB =12，那么CO = .16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 . 17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第象限． 18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，试用a r 、b r 表示AC uuu r.C（第18题图）（第11题图）（第12题图）（第15题图）B21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .（第20题图）（第21题图）． H A （O ） B C Dxy E （第22题图）ABC （第23题图）A B CDE24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长；（2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（第24题图）（备用图）（图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议2018.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、()0,3-； 8、142a b -rr ； 9、<；10、24y x =-+等； 11、12； 12、36； 13、27； 14、2.4； 15、4； 16、()1,4； 17、二、四； 18、4 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122⋅+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分）∵AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，∴25AD a =u u u r r . DC b =-u u ur r .--------------------（2分）∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，∴25AC a b =-u u u r r r.-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分）解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分）设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分）过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ． ∵∠E =45°，∴EF =AF =x ．在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG =2.8 ----------------------------------------------------------------------- （1分）答：灯杆AB 的长度为2.8米．------------------------------------------------------------（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ，∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分） ∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分）A B C EG∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF .--------------------------------------------------- （1分） ∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）（2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分） ∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分）（2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分） ∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的顶点是（2，-1）.∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分）（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-.整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. 整理得：220m m +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分） ∴1m =-或2m =-.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE .xx∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分）设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分）（2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC ===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分）在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AM AM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN .--------------------------------------------------（2分）。

2017年上海杨浦区高考一模数学

2017年上海市杨浦区高考一模数学一、填空题(本大题满分54分)共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.若“a＞b”，则“a 3＞b 3”是____命题(填：真、假)解析：函数f(x)=x 3在R 是单调增函数，∴当a ＞b ，一定有a 3＞b 3，故是真命题. 答案：真.2.已知A=(﹣∞，0]，B=(a ，+∞)，若A ∪B=R ，则a 的取值范围是____. 解析：若A ∪B=R ，A=(﹣∞，0]，B=(a ，+∞)，必有a ≤0. 答案：a ≤0.3.z+2z =9+4i(i 为虚数单位)，则|z|=____.解析：设z=x+yi(x ，y ∈R)，∵z+2z =9+4i ，∴x+yi+2(x ﹣yi)=9+4i ，化为：3x ﹣yi=9+4i ， ∴3x=9，﹣y=4，解得x=3，y=﹣4. ∴223(4)5z =+-=.答案：5.4.若△ABC 中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC 面积的最大值是____. 解析：在△ABC 中，∵C=30°，a+b=4， ∴△ABC 的面积211111sin sin 30412244)4(2S ab C ab b ab a =⋅=⋅︒==+≤⨯⨯=，当且仅当a=b=2时取等号.答案：1.5.若函数()2g 1lo x f x ax -+=的反函数的图象经过点(﹣2，3)，则a=____. 解析：∵函数()2g 1lo x f x ax -+=的反函数的图象经过点(﹣2，3)，∴函数()2g 1lo x f x ax -+=的图象经过点(3，﹣2)，∴232log 31a-=-+，∴a=2. 答案：2.6.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是____.解析：设截面的圆心为Q ，由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，∴S=π·12=π. 答案：π.7.抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，则a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根的概率是____.解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，基本事件总数n=6×6×6=216，∵a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根，∴(a+bi)2﹣2(a+bi)+c=0，即222022a b c a ab b⎧-+-=⎨=⎩，∴a=1，c=b 2+1， ∴a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根包含的基本事件为： (1，1，2)，(1，2，5)，∴a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根的概率是21216108p ==. 答案：1108.8.设常数a ＞0，9(x 展开式中x 6的系数为4，则()2lim n n a a a →∞++⋯+=____.解析：∵常数a ＞0，9(x +展开式中x 6的系数为4， ∴183922199r r r rrrr r T C x a xa C x---+==，当18362r-=时，r=2， ∴2294a C =，解得13a =，∴2211(1)1111133(1)13332313n n n na a a -+++==⋯-+-++= ， ∴()2111lim lim[(1)]232nn n n a a a →∞→∞++-==⋯+. 答案：12.9.已知直线l 经过点(且方向向量为(2，﹣1)，则原点O 到直线l 的距离为____. 解析：直线的方向向量为(2，﹣1)，所以直线的斜率为：﹣12，直线方程为：， 1=；答案：1.10.若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x 2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为____. 解析：抛物线y=x 2的准线：14y =-，双曲线与抛物线y=x 2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为14a =，焦点在y 轴上. 双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴12a b =，可得12b =，则此双曲线的标准方程为：22111164y x -=. 答案：22111164y x -=.11.平面直角坐标系中，给出点A(1，0)，B(4，0)，若直线x+my ﹣1=0存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则实数m 的取值范围是____. 解析：设P(1﹣my ，y)， ∵|PA|=2|PB|，∴|PA|2=4|PB|2，∴(1﹣my ﹣1)2+y 2=4(1﹣my ﹣4)2+y 2，化简得(m 2+1)y 2+8my+12=0则△=64m 2﹣48m 2﹣48≥0，解得mm即实数m 的取值范围是mm答案：mm12.函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1，若存在x 1，x 2，…x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，且|f(x 1)﹣f(x 2)|+|f(x 2)﹣f(x 1)|+…+|f(x n ﹣1﹣f(x n ))|=2016，则n+x n 的最小值为____.解析：∵函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1， ∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i ，x j (i ，j=1，2，3，…，m)，都有|f(x i )﹣f(x j )|≤f(x)max ﹣f(x)min =4，要使n+x n 取得最小值，尽可能多让x i (i=1，2，3，…，m)取得最高点，且f(0)=1，f(2)=﹣3，∵0≤x 1＜x 2＜…＜x m ，|f(x 1)﹣f(x 2)|+|f(x 2)﹣f(x 3)|+…+|f(x n ﹣1)﹣f(x n )|=2016， ∴n 的最小值为201615054+=，相应的x n 最小值为1008，则n+x n 的最小值为1513. 答案：1513.二、选择题(本大题共4题，满分20分) 13.若a 与b c - 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅ ”是“()a b c ⊥-”的()A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：“a b a c ⋅=⋅ ”⇔“0a b a c ⋅-⋅= ”⇔“()0a b c ⋅-= ”⇔“()a b c ⊥-”，故“a b a c ⋅=⋅ ”是“()a b c ⊥-”的充要条件.答案：C14.行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为() A.﹣15 B.﹣3 C.3 D.12解析：∵行列式147258369， ∴元素7的代数余子式为： D 13=(﹣1)42536=2×6﹣5×3=﹣3.答案：B.15.一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是() A.5800 B.6000 C.6200 D.6400解析：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为5300550054002+=，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为6100650063002+=， ∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]， ∴8位员工月工资的中位数不可能是6400. 答案：D. 16.若直线1x ya b+=通过点P(cos θ，sin θ)，则下列不等式正确的是() A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1C.22111a b +≤ D.22111a b+≥ 解析：直线1x ya b+=通过点P(cos θ，sin θ)，∴bcos θ+asin θ=ab ，)ab θφ+=，其中tan b aφ=，ab ≥， ∴a +b ≥a b ，∴22111a b+≥，答案：D三、解答题(满分76分)共5题17.某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中∠BAC=60°. (1)求半径PB 的长度；(2)现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量(每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克).V 柱=S 底·h.解析：(1)在△ABP 中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB 的长度； (2)求出V 柱=S 底·h ，即可求该零件的重量.答案：(1)∵AB=55，AC=88，BP=R ，∠BAC=60°.AP=88﹣R ，∴在△ABP 中，由余弦定理可得：BP 2=AB 2+AP 2﹣2AB ·AP ·cos ∠BAC ，可得：R 2=552+(88﹣R)2﹣2×55×(88﹣R)×cos60°， ∴解得：R=49mm.(2)在△ABP 中，AP=88﹣49=39mm ，AB=55，BP=49，222394955897cos 0.2347239493822BPA +-∠==≈⨯⨯，∴sin ∠BPA ≈0.972.∴∠BPA=arcsin0.972.V 柱=S 底·h=(S △ABP +S 扇形BPC ) ·h=21(arcsin 0.972)49(5539)322360π⋅⨯⨯⨯+⋅该零件的重量=213(arcsin 0.972)49(5539)32360π⋅⨯⨯⨯+⋅÷1000×8.9≈82.7.18.如图所示，l 1，l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A ，B 在直线l 1上，且位于M 点的两侧，C 在l 2上，AM=BM=NM=CN (1)求证：异面直线AC 与BN 垂直；(2)若四面体ABCN 的体积V ABCN =9，求异面直线l 1，l 2之间的距离.解析：(1)欲证AC ⊥NB ，可先证BN ⊥面ACN ，根据线面垂直的判定定理只需证AN ⊥BN ，CN ⊥BN 即可；(2)判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可.答案：(1)证明：由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN ∩l 1=M ，可得l 2⊥平面ABN.由已知MN ⊥l 1，AM=MB=MN ，可知AN=NB 且AN ⊥NB.又AN 为AC 在平面ABN 内的射影. ∴AC ⊥NB(2)∵AM=BM=NM=CN ，MN 是它们的公垂线段，就是异面直线l 1，l 2之间的距离，由中垂线的性质可得AN=BN ，四面体ABCN 的体积V ABCN =9，可得：31119323ABCN V AB MN CN MN ==⨯⨯⨯=， ∴MN=3.异面直线l 1，l 2之间的距离为3.19.如图所示，椭圆C ：2241x y +=，左右焦点分别记作F 1，F 2，过F 1，F 2分别作直线l 1，l 2交椭圆AB ，CD ，且l 1∥l 2.(1)当直线l 1的斜率k 1与直线BC 的斜率k 2都存在时，求证：k 1·k 2为定值； (2)求四边形ABCD 面积的最大值.解析：(1)由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线AB 、CD 的方程，与椭圆方程联立求得A 、D 的坐标，求出AD 所在直线斜率得答案；(2)由(1)结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边AB 、CD 的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值.答案：(1)证明：由椭圆C ：2241x y +=，得a 2=4，b 2=1，∴c =设k 1=k ，则AB 所在直线方程为，CD 所在直线方程为y=kx，联立2241y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得(1+4k 2)x 22x+12k 2﹣4=0.解得2214x k -±=+不妨取221＝B x --，则2214＝B y k -+ 同理求得2214C x k -=+2214＝C y k-+.则214k k ==-，则12·()44k k k k =⋅-=-；(2)解：由(1)知，＝A B x x +，2212414＝A B k x x k -+()224114k AB k +===+. AB 、CD的距离d =，(224114四边形＝ABCD k S k +=+令1+4k 2=t(t ≥1)，则2311118316816＝S t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-+，∴当t=3时，S max =4.20.数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中△a n =a n+1﹣a n (n ∈N *)(1)若a n =n 2﹣n ，试判断{△a n }是否是等差数列，并说明理由；(2)若a 1=1，△a n ﹣a n =2n，求数列{a n }的通项公式；(3)对(b)中的数列{a n }，是否存在等差数列{b n }，使得1212nn n n n n bC b C b C a ++⋯+=，对一切n ∈N *都成立，若存在，求出数列{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由.解析：(1)根据数列{a n }的通项公式a n =n 2﹣n ，结合新定义，可判定{△a n }是首项为4，公差为2的等差数列；(2)由△a n ﹣a n =2n入手能够求出数列{a n }的通项公式；(3)结合组合数的性质：1C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n(C n ﹣10+C n ﹣11+C n ﹣12+…+C n ﹣1n ﹣1)=n·2n ﹣1进行求解.答案：(1)若a n =n 2﹣n ，试判断{△a n }是等差数列，理由如下：∵a n =n 2﹣n ，∴△a n =a n+1﹣a n =(n+1)2﹣(n+1)﹣(n 2﹣n)=2n ， ∵△a n+1﹣△a n =2，且△a 1=4，∴{△a n }是首项为4，公差为2的等差数列；(2)∵△a n ﹣a n =2n.△a n =a n+1﹣a n ，∴a n+1﹣2a n =2n，∴111222n n n n a a ++-=， ∴数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以12为首项，12为公差的等差数列，即1222﹣n n n n a n a n =⇒=⋅； (3)b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=a n ，即b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=n·2n ﹣1， ∵1C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n(C n ﹣10+C n ﹣11+C n ﹣12+…+C n ﹣1n ﹣1)=n ·2n ﹣1，∴存在等差数列{b n }，b n =n ，使得b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=a n 对一切自然n ∈N 都成立.21.对于函数f(x)(x ∈D)，若存在正常数T ，使得对任意的x ∈D ，都有f(x+T)≥f(x)成立，我们称函数f(x)为“T 同比不减函数”.(1)求证：对任意正常数T ，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数”； (2)若函数f(x)=kx+sinx 是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； (3)是否存在正常数T ，使得函数f(x)=x+|x ﹣1|﹣|x+1|为“T 同比不减函数”；若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：(1)根据T 同比不减函数的定义即可证明，(2)根据T 同比不减函数的定义，分离参数得到)4﹣k x ππ≥，根据三角形函数的性质即可求出k 的范围，(3)画出函数f(x)的图象，根据图象的平移即可求出T 的范围.答案：(1)∵f(x)=x 2，∴f(x+T)﹣f(x)=(x+T)2﹣x 2=2xT+T 2=T(2x+T)，由于2x+T 与0的小无法比较， ∴f(x+T)≥f(x)不一定成立，∴对任意正常数T ，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数，(2)∵函数f(x)=kx+sinx 是“2π同比不减函数， ∴sin sin 222（）（）（）（）f x f x k x x kx x πππ+-=+++--=cos sin 0224（）k k x x x πππ+-=-≥恒成立，∴4（）k x ππ≥-， ∵﹣1≤sin(x ﹣4π)≤1，∴k ≥(3)f(x)=x+|x ﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x ∈D ，都有f(x+T)≥f(x)成立， ∴T ≥4.。

2017-2018年上海市杨浦区中考一模数学试题含答案

杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 2018.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（A ）:6:5x y =；（B ）:5:6x y =；（C ）5,6x y ==；（D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（A ）都含有一个40°的内角；（B ）都含有一个50°的内角；（C ）都含有一个60°的内角；（D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =（,a b 均为非零向量）,那么下列结论错误的是（A ）//a b ；（B ）20a b -=；（C ）12b a =；（D ）2a b =． 5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是（A ）0a >；（B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是（A ）EA EDBD BF =；（B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=；（D ）BD BABF BC=.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（第6题图）7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 ▲ ．8．化简：112()3()22a b a b --+= ▲ ． 9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m ▲ n （填“<”或“>”）．10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 ▲ ． 11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = ▲ ． 12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 ▲ ． 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = ▲ . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ ▲ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH交于点O ，如果AB =12，那么CO = ▲ ．16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ▲ ．17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 ▲ 象限．18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 ▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）C（第18题图）（第11题图）（第12题图）（第15题图）B已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .（第20题图）（第21题图）x（第22题图）（第23题图）24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长；（2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（第24题图）（备用图）（图1） A B D NP ME（图2） A B D N P M E （第25题图）A B C D杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议2018.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、（0，-3）； 8、142a b -rr； 9、<； 10、24y x =-+等； 11、12； 12、36； 13、27； 14、2.4； 15、4； 16、（1，4）； 17、二、四； 18、4 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122⋅+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222-----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分） ∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分） ∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分） ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分）解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分）设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分）22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分）过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ．∵∠E =45°，∴EF =AF =x ．在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG =2.8 ----------------------------------------------------------------------- （1分）答：灯杆AB 的长度为2.8米．------------------------------------------------------------（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ，∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分）ABC EG∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分） ∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF .--------------------------------------------------- （1分） ∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）（2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分） ∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分）（2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分）∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的顶点是（2，-1）.∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分）（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1）， ∴H （,0m ），G （2,1m m m --+） ∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AO DG HO =. ∴2211(1)m m m m m m m---+=----+-. 整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1）， ∴H （,0m ），G （2,1m m m --+） ∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AO DG HO =. ∴2211(1)m m m m m m m-+-=----+-. xx整理得：220m m +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分）∴1m =-或2m =-.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分）设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分）（2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC ===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分）在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AM AM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN .--------------------------------------------------（2分）。

杨浦区2017届高三一模数学卷答案及官方评分标准

8
2
MN 就是异面直线 l1
l2 之间的距离
10
设 d = AM = BM = NM = CN
1 1 1 所以 VABCN = ( (2d ⋅ d ) ⋅ d = d 3 = 9 3 2 3
所以 d = 3 ，即异面直线 l1
12
l2 之间的距离为 3
14
19
本题满证明：根据对
14
本题共有 2 个小题，第 1 小题满
x = −1 时，因为 f (−1 + T ) ≥ f (−1) = 1 = f (3) 成立，所以 −1 + T ≥ 3 ，所以 T ≥ 4 13 而另一方面，若 T ≥ 4 ， x ∈ (−∞, − 1] 时， f ( x + T ) − f ( x) = x + T + | x + T − 1| − | x + T + 1| −( x + 2) = T + | x + T − 1| − | x + T + 1| −2 因为 | x + T − 1| − | x + T + 1| ≥ − | ( x + T − 1) − ( x + T + 1) |= −2 所以 f ( x + T ) − f ( x) ≥ T − 2 − 2 ≥ 0 ，所以有 f ( x + T ) ≥ f ( x) 成立 15 x ∈ [−1, + ∞ ) 时， f ( x + T ) − f ( x) = x + T − 2 − ( x + | x − 1| − | x + 1|) = T − 2− | x − 1| + | x + 1| 因为 | x + 1| − | x − 1| ≥ − | ( x + 1) − ( x − 1) |= −2 所以 f ( x + T ) − f ( x) ≥ T − 2 − 2 ≥ 0 即 f ( x + T ) ≥ f ( x ) 成立 17 综，恒有有 f ( x + T ) ≥ f ( x ) 成立所以 T 的取值范围是 [4, + ∞) 18

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上海市杨浦区2017届高三一模数学试卷
2017.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若“a b >”，则“33
a b >”是命题（填：真、假）
2. 已知(,0]A =-∞，(,)B a =+∞，若A B R =，则a 的取值范围是
3. 294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =
4. 若△ABC 中，4a b +=，30C ︒
∠=，则△ABC 面积的最大值是
5. 若函数2()log 1
x a
f x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =
6. 若半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60︒
，则该截面的面积是
7. 抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a 、b 、c ，则a bi +（i 为虚数单位）是方程2
20x x c -+=的根的概率是
8. 设常数0a >，9
(x
+展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=
9. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为
10. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2
y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为
11.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得
||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是
12. 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[2,0]x ∈-时，()21f x x =+，若存在1x 、2x 、⋅⋅⋅、n x 满足120n x x x ≤<<⋅⋅⋅<，且1223|()()||()()|f x f x f x f x -+-+⋅⋅⋅
1|()()|2016n n f x f x -+-=，则n n x +最小值为；
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
14. 行列式147
2
58369
中，元素7的代数余子式的值为（） A. 15- B. 3- C. 3 D. 12
15. 一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200、5300、5500、6100、6500、 6600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（） A. 5800 B. 6000 C. 6200 D. 6400 16. 若直线
1x y
a b
+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（） A. 221a b +≤ B. 22
1a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b
+≥
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，某柱体实心铜制零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中60BAC ︒
∠=；（1）求半径PB 的长度；
（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）；（V s h =⋅柱底）
18. 如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在1l 上，
且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN ===；（1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；
（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离；
19. 如图所示，椭圆2
2:14
x C y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线 1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ∥2l ；
（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值；
20. 数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1n n n a a a +∆=-，*
n N ∈；
（1）若2
n a n n =-，试判断{}n a ∆是否是等差数列，并说明理由；（2）若11a =，2n
n n a a ∆-=，求数列{}n a 的通项公式；
（3）对（2）中的数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得1212n
n n n n n b C b C b C a ++⋅⋅⋅+=
对一切*
n N ∈都成立，若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由；
21. 对于函数()f x ()x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意x D ∈，都有()()f x T f x +≥ 成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”；
（1）求证：对任意正常数T ，2
()f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“
2
π
同比不减函数”，求k 的取值范围；（3）是否存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围，若不存在，请说明理由；
参考答案
一. 填空题
1. 真
2. 0a ≤
3. 5
4. 1
5. 2
6.π
7.
1108 8. 12
9. 1 10. 22
1641y x -=
11. (,[3,)-∞+∞ 12. 1513
二. 选择题
13. C 14. B 15. D 16. D
三. 解答题
17.（1）49；（2）3344.7克； 18.（1）略；（2）3；
19.（1）1
4
-
；（2）4； 20.（1）2n a n ∆=；（2）1
2n n a n -=⋅；（3）n b n =；
21.（1）略；（2）k π
≥；（3）4T ≥；。