第四章 地基中的应力计算
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土力学-土中应力计算
（1）地下水位下降情况
水位未降前 scz前=′z
水位下降后
scz后 = z
scz后 scz前
因scz后 scz前 土中有效应力增加
地面沉降
原地下水位 1
变动后地下水位 1′
原自重应力分布曲线
1′
变动后地下水位
1
原地下水位
地下水位变动后的 自重应力分布曲线
2′
2
z
2
2′
z
（2）地下水位上升
地基土和基础的刚度；荷载；基础埋深；地基土性质
基底压力是地基和 基础在上部荷载作 用下相互作用的结 果，受荷载条件、 基础条件和地基条 件的影响
暂不考虑上部结构的影 响，用荷载代替上部结 构，使问题得以简化
•大小
荷载条件： •方向
•分布
基础条件:
• 刚度 • 形状 • 大小 • 埋深
• 土类
地基条件： • 密度
二.水平向自重应力计算
s cx s cy K0s cz
z
K0——侧压力系数
t 0
scz scy
W
scx
F=1
无侧向变形（有侧限）条件下：
scz scx
εx εy 0
σx σy
scy
根据弹性力学中广义虎克定律：
εx
1 E
σx
υ
σy
σz
ch s cx s cy K0s cz
K0
• 土层结构等
1.基础的刚度的影响
柔性基础(EI=0)
Eg.土坝(堤)、路基、油罐等薄板基础、机场跑道。
沉降各处不同， 中央大边缘小
变形地面
反力
基底压力分布与 作用的荷载的分
布完全相同
4土中应力(自重-地基附加应力)
水对土体有浮力作用，则下部 分柱体取有效重度，即
cz ( w ) z ' z
当地下水位下降，地基中有效自重应力增加，从而引起地面
大面积沉降的严重后果
当地下水位上升时，水位上升引起地基承载力的减小，湿陷
性土的陷塌
原地下水位
1’
1 1
1’
原地下水位
2’
2
2
2’
4.不透水层的影响
四、公式的应用
1.均质地基土的自重应力stress in homogeneous soil
cz Z
2.成层地基土的自重应力
当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为i，则在深度z处 土的自重应力计算公式为：
式中n为从天然地面到深度z处的 土层数。
3.地下水的影响
计算点在地下水位下时，由于
不透水层层面的自重应力按上覆土层的水土总重计算
5.自重应力图的绘制 ① 建立直角坐标系 ② 确立特征点并编号 （地面、层面、 地下水位面、不透水层层面）
③ 计算各点的竖向自重应力
④ 按比例绘出特征点自重应力的位置 ⑤ 用直线连接各点 ⑥ 校核 （地下水位处，不透水层处）
§4.3 基底压力
一、概述
土力学中应力符号的规定
z
zx
地基：半无限空间
o
∞ x ∞
y yz
xy
x
∞ y
z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
一. 土力学中应力符号的规定
zx
材料力学
z +
正应力
剪应力
-
zx
土力学
z
地基中的应力计算
1. 土中的孔隙水压pore water pressure和有效应力effective stress
? 剪应力是否产
生孔隙水压力
Psv
u
A Psv uAw
地基中的应力计算
一、土中一点的应力状态和应力平衡方程
z
地基
1,1
2, 2
yz
zx
zx
zy
x
z
y
yx xy
y
x
应力分量： x y z yx xy yz zy zx xz
平衡方程：
x xy xz X
x y z
xy y yz Y
x y z
xz yz z - Z
x y z
土体的平衡方程：
x xy xz 0
x y z
xy y yz 0
x y z
xz yz z
x y z
未知量：15个
应力stress分量6个： x、 y、 z、 yx ( xy )、 yz ( zy )、（zx xz） 应变strain分量6个： x、 y、 z、 yx ( xy )、 yz ( zy )、 （zx xz） 位移displacement分量3个： u、v、w
b
P M
p1
p1
P A
M W1
P (1 A
e )
1
p2
PM A W2
P (1 A
e )
12
p2
e a
c1
c2
PM
p1
•大偏心荷载
eP b
e
p1 b b / 3
P
1 2
bp1
a
b b e 32
p1
2P 3a(b
地基中的应力计算
地基中的应力计算地基是地下工程中最基本的构造部分，承受着上部结构的重量和荷载，承担着巨大的压力作用。
在地基设计中，应力计算是非常重要的一部分，它能够提供地基承载力和安全性的评估。
本文将介绍地基中应力计算的方法和计算公式。
首先，需要了解地基中的应力是如何形成的。
地基承受的主要应力有自重应力、活载荷载应力和附加应力。
自重应力是由于地基材料本身的重量所引起的应力，可以通过材料的密度和重力加速度计算得到。
活载荷载应力是由上部结构的荷载所引起的应力，可以根据上部结构的设计荷载计算得到。
附加应力是由于地基中存在的其他因素所引起的应力，比如建筑物的自身形变引起的应力。
接下来，我们介绍如何计算地基中的应力。
地基中的应力计算可以根据不同的地基类型和荷载情况采用不同的方法。
下面以均质土壤的地基为例，介绍几种常用的应力计算方法。
1.利用铁索计算应力：铁索是一种常用的应力计算工具，可以通过测量铁索的伸长量来计算地基中的应力。
首先，在地基中铺设一根长度合适的铁索，然后测量并记录铁索的伸长量。
根据该伸长量和铁索的初始长度，可以通过应力-应变关系计算得到地基中的应力。
2.利用试孔计算应力：试孔是另一种用于计算地基中应力的方法。
首先，在地基中进行试孔，并记录试孔的深度和直径。
然后，根据试孔的直径和土壤的剪切强度，可以计算得到地基中的应力分布情况。
3.利用数值模拟计算应力：数值模拟是一种常用的计算地基应力的方法，它可以通过建立地基的有限元模型来模拟地基的应力分布情况。
首先，需要根据地基的实际情况建立有限元模型，然后通过数值计算方法求解得到地基中的应力。
综上所述，地基中的应力计算是地基设计的重要环节，可以通过铁索、试孔和数值模拟等多种方法进行计算。
在进行应力计算时，需要考虑地基的类型、荷载情况和材料特性等因素，确保计算结果的准确性和可靠性。
地基中的应力计算对于确保地基的稳定性和安全性具有重要意义，是地基设计中不可或缺的一环。
地基中的应力计算
地基中的应力计算地基的应力计算是指在一定的力作用下，地基所承受的应力大小的计算。
地基的应力计算对于建筑物的稳定性和安全性具有重要的意义。
本文将介绍地基的应力计算的基本原理和步骤，并结合实例进行说明。
地基的应力计算需要考虑以下几个因素：承载力参数、土体性质参数、荷载参数、地基间隙参数等。
首先，根据土体的类型和性质，确定地基的力学特性参数。
土体的力学特性参数包括单位体重、内摩擦角、剪切强度等。
这些参数可以通过室内试验或现场勘探获取。
其中，单位体重是指土体的重量与体积的比值，内摩擦角是指土体颗粒间的内摩擦阻力大小，剪切强度是指土体发生剪切破坏时的抗剪强度。
其次，确定荷载参数。
荷载参数包括活载、静载和地震力等。
活载是指建筑物短期内发生的变动荷载，如人员、设备等。
静载是指建筑物长期受到的恒定荷载，如建筑本身的重量、设备、土压力等。
地震力是指地震作用下施加在建筑物上的力。
然后，确定地基的承载力参数。
地基的承载力参数包括基坑尺寸、地基底面积、承载力系数等。
基坑尺寸是指地基开挖的深度和面积。
地基底面积是指基坑底部的面积大小。
承载力系数是指地基在承受荷载时的稳定系数。
最后，根据以上参数，可以利用下述公式计算地基的应力值：地基的竖向应力计算公式为：σ=γ*h+q其中，σ是地基的竖向应力，γ是土体的单位体重，h是地基的深度，q是荷载的大小。
地基的水平应力计算公式为：σh=Kp*σv其中，σh是地基的水平应力，Kp是地基的水平系数，σv是地基的竖向应力。
地基的剪切应力计算公式为：τ=Ks*σh其中，τ是地基的剪切应力，Ks是地基的剪切系数，σh是地基的水平应力。
下面通过一个实例来说明地基应力计算的步骤。
假设建筑物的基坑开挖深度为10m，地基底面积为100m²。
土体的单位体重为20kN/m³，内摩擦角为30°，剪切强度为15kPa。
荷载大小为500kN。
首先σ=γ*h+q=20*10+500=700kPa然后，计算地基的水平应力：σh=Kp*σv=Kp*700最后，计算地基的剪切应力：τ=Ks*σh=Ks*(Kp*700)通过上述计算，可以得到地基的应力值。
土力学-地基中的应力计算概述
基础传至地 基的荷载
地基
基础 埋深
（1）集中荷载作用下的解 ( Boussinesq 解，1885 )
P
x
r
y
x
y
R
z
z
• 位移解
ux4PG[R xz3(12)R(Rxz)]
uz
4PG[R z23
(1)1]
R
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学 家，对数学物理、流体力学 和固体力学都有贡献。
a
a
a
b
角点
b
p
b
中心点
1
2
34
任意点
z
z
z
k(a , b
z) b
p
z
z
z
4k(a, b
2z) b
p
z z
k k1 k2 k3 k4
z k p
3）矩形线性荷载 （角点下）
角点
b
角点
p
z
a
z
p
z
k(b , a
z) a
p
查表计算
3. 应力计算小结
（1）自重应力及均匀满布荷载作用下的附加应力，可利用平衡方程 等通过简单方法获得。
（2）线状荷载作用下的应力（Flamant解）
p
1）属平面应变问题，即：
a. 应变 y 0 。
dP pdy
b. 位移、应力等量仅与坐标
x、z有关。
x
2）利用Boussinesq解，通过 沿荷载分布线积分得到应力。
x - dx=2p(x2x2zz2)2
y
xz
2p
土力学课件
若坡高为5m,试确定安全系数为1.2时的稳定坡角。若坡角为60°,试确定安全系数为1.5时的最大坡高
①在稳定坡角时的临界高度:
H cr =KH = 1.2×5=6m
【解答】
稳定因数:9
.80
.1268.17=⨯==c H N cr
s γ由ϕ=15°,N s = 8.9查图得稳定坡角= 57°
②由β=60°,ϕ=15°查图得泰勒稳定数N 为8.6 6.80.128.17=⨯==
库伦理论假定破坏面为一平面,而实际上为曲面。实践证明,计算的主动土压力误差不大,而被动土压力误差较大。
地面荷载作用下的土压力
第八章土坡稳定分析
主要内容
无粘性土土坡稳定分析
粘性土土坡稳定分析
土坡稳定分析中有关问题*
土坡稳定概述天然土坡人工土坡
由于地质作用而
自然形成的土坡
在天然土体中开挖
或填筑而成的土坡坡底坡脚坡角
一、概述
土压力:
挡土结构背后土体的自重或外荷载在结构上产生的侧向作用力。
自重土压力
墙后墙前墙顶
墙底(基底)墙趾
墙跟(踵)
墙
背刚性结构和柔性结构
墙
面
三、Rankine 土压力理论(1857
)
William John Maquorn Rankine
(1820 -1872)
土力学热力学
英国科学家
ττ=
二、地基中的应力计算
地基假设为:
半无限体
弹性
均质
各项同性
地基
如考虑
3. 基底的接触压力
•刚性基础
•柔性基础
•绝对柔性基础
Valentin Joseph Boussinesq(1842-1929)
①在稳定坡角时的临界高度:
H cr =KH = 1.2×5=6m
【解答】
稳定因数:9
.80
.1268.17=⨯==c H N cr
s γ由ϕ=15°,N s = 8.9查图得稳定坡角= 57°
②由β=60°,ϕ=15°查图得泰勒稳定数N 为8.6 6.80.128.17=⨯==
库伦理论假定破坏面为一平面,而实际上为曲面。实践证明,计算的主动土压力误差不大,而被动土压力误差较大。
地面荷载作用下的土压力
第八章土坡稳定分析
主要内容
无粘性土土坡稳定分析
粘性土土坡稳定分析
土坡稳定分析中有关问题*
土坡稳定概述天然土坡人工土坡
由于地质作用而
自然形成的土坡
在天然土体中开挖
或填筑而成的土坡坡底坡脚坡角
一、概述
土压力:
挡土结构背后土体的自重或外荷载在结构上产生的侧向作用力。
自重土压力
墙后墙前墙顶
墙底(基底)墙趾
墙跟(踵)
墙
背刚性结构和柔性结构
墙
面
三、Rankine 土压力理论(1857
)
William John Maquorn Rankine
(1820 -1872)
土力学热力学
英国科学家
ττ=
二、地基中的应力计算
地基假设为:
半无限体
弹性
均质
各项同性
地基
如考虑
3. 基底的接触压力
•刚性基础
•柔性基础
•绝对柔性基础
Valentin Joseph Boussinesq(1842-1929)
4土中应力(自重-地基附加应力)解析
F
实际情况
F
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
d
p0
p
0
d
基底附加压力
p0 p 0 d
自重应力
基底压力呈梯形分布时， 基底附加压力
p0 m a x p0 m in
pm a x pm in
0d
注意
❖因为基础具有一定的埋深，弹性力学解答具有近似性。 ❖ 基坑平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在沉降 计算中，为了适当考虑这种坑底回弹和再压缩增加沉降，取
若基础底面的形状或分布荷载都是有规律时，用积分法。
dA dd dF p(x, y)dd
（ 3 ）圆形面积上作用均布荷载时，土中附加应力的计算
z r p0
r f (z / r0 )
additional stress induced by uniform circular load
条形均布荷载下地基中的应力分布规律
土力学中应力符号的规定
z
zx
地基：半无限空间
xy
x
o
∞
y yz
x
∞
y z
∞
ij=
x xy xz yx y yz
zx zy z
一. 土力学中应力符号的规定
- zx
z
+
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
e>l/6
e=l/6
pmin=0
基底ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力重分布
土体中的应力计算
min
P 6e 1 A b
pmin
P 6e 1 A b
12
pmax
min
P 6e 1 A b
矩形面积单向偏心荷载
土不能承 受拉应力
P b e x y
p max
P b e
P b
压力调整
K e
L
x y
L
x
L
K=b/2-e
3K y pmin 0
L
y o b
L
b
L
pP A
P—集中力
P M y M yx p ( x, y ) x A Ix Iy
P’
P Pv Ph
P’
条 形
P’
b
b
b
p P b
P’—单位长 度上的荷载
P Mx p ( x) b I
P Pv Ph
14
§4.4竖直集中力作用下的附加应力计算
3
§4.2 地基中自重应力的计算
水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 侧限应变条件一维问题 计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
4
1.计算公式
均质地基
竖直向：
角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应 力
23
角点法计算地基附加应力
a.矩形面积内
C z ( aA aB a aD ) p
B
A
C
h
b.矩形面积外
P 6e 1 A b
pmin
P 6e 1 A b
12
pmax
min
P 6e 1 A b
矩形面积单向偏心荷载
土不能承 受拉应力
P b e x y
p max
P b e
P b
压力调整
K e
L
x y
L
x
L
K=b/2-e
3K y pmin 0
L
y o b
L
b
L
pP A
P—集中力
P M y M yx p ( x, y ) x A Ix Iy
P’
P Pv Ph
P’
条 形
P’
b
b
b
p P b
P’—单位长 度上的荷载
P Mx p ( x) b I
P Pv Ph
14
§4.4竖直集中力作用下的附加应力计算
3
§4.2 地基中自重应力的计算
水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 侧限应变条件一维问题 计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
4
1.计算公式
均质地基
竖直向：
角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应 力
23
角点法计算地基附加应力
a.矩形面积内
C z ( aA aB a aD ) p
B
A
C
h
b.矩形面积外
第四章 地基应力计算
六、条形荷载下地基中的附加应力
（一）均布线荷载
d z
3qz3
2R5
dy
线积分
z
2
3qz3dy x2 y2 z2
5 2
2qz3 x2 z2 2
2qz3
R0 4
2q
z
c os4
（二）均布条形荷载
z s p
：均布条形荷载下的附加应
zx zy z
6.二维问题
o x
y
z
ij =
x 0 xz
0 y 0
zx 0 z
ij=
x 0 xz
0 y 0
zx 0 z
7.侧限应力状态——一维问题
o x
y
A
z
B
sA sB
0 00
x 0 0
ij = 0 0 0 ij= 0 y 0
0 0 z
第四章 地基应力计算
目录
第一节 概述 第二节 自重应力 第三节 地基附加应力 第四节 基底附加压力 第五节 有效应力原理 第六节 应力路径
本章教学目的
1.理解自重应力、附加应力的基本概念； 2.掌握均匀地基和成层地基的自重应力计算方法； 3.掌握矩形面积受竖直均布荷载作用、矩形面积受水 平均布荷载作用、矩形面积受竖直三角形分布荷载作用、 条形荷载作用下地基附加应力计算方法；
z
1
P1 z2
2
P2 z2
n
Pn z2
1 z2
n
i Pi
i 1
二、矩形面积承受均布荷载作用时的附加应力
求解方法：先求出矩形面积角点下的附加应力， 再利用“角点法”求出任意点下的附加应力。
4 土中应力计算
i 1
8
z 10m :
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa
i 1
8
第五节 竖向分布荷载作用下 土中应力计算
分布荷载作用下土中应力计算
• 在基底范围取元素 面积dF，作用在 元素面积上的分布 集中力可以用集中 力dQ表示。
dF d d dQ p( , )d d
第四章 土中应力计算
第一节 概述
• 土中应力：是指土体在自身重力、构筑 物荷载以及其它因素（土中水渗流、地 震等）作用下，土中所产生的应力。土 中应力包括自重应力与附加应力。 • 计算方法：主要采用弹性力学公式，也 就是把地基土视为均匀的、各向同性的 半无限弹性体。
土的应力－应变关系
• 连续介质问题 • 线性弹性体问题 • 均质、等向问题
• 某建筑场地 的地质柱状 图和土的有 关指标列于 图中。计算 地面下深度 为2.5m、 3.6m、 5.0m、 6.0m、 9.0m 处的自重应 力，并绘出 分布图。
例 题 4.1
例 题4.2
• 计算绘制地基中自重应力沿深度分布曲线。
第三节 基础底面的 压力分布与计算
基础底面压力分布的概念
• 接触压力问题及其 影响因素：基础刚 度、尺寸、埋深、 土性、荷载大小
• 绝对柔性基础 • 柔性基础 • 刚性基础
基础底面压力分布的概念
• 刚性基础：基础各点的沉降是相同的，基 底压力分布随荷载的增大依次呈马鞍形分 布、抛物线形分布及钟形分布。
接触压力计算方法
• 简化方法——材料力学轴心和偏心受 压公式 • 弹性地基上的梁板理论——弹性力学 理论，考虑基础刚度的影响
例题 4.7
某基础为方形，基础 深度范围内土的重度 γ＝18kN/m3，试计算 基础最大压力边角下 深度z=2m处的附加 应力。
8
z 10m :
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa
i 1
8
第五节 竖向分布荷载作用下 土中应力计算
分布荷载作用下土中应力计算
• 在基底范围取元素 面积dF，作用在 元素面积上的分布 集中力可以用集中 力dQ表示。
dF d d dQ p( , )d d
第四章 土中应力计算
第一节 概述
• 土中应力：是指土体在自身重力、构筑 物荷载以及其它因素（土中水渗流、地 震等）作用下，土中所产生的应力。土 中应力包括自重应力与附加应力。 • 计算方法：主要采用弹性力学公式，也 就是把地基土视为均匀的、各向同性的 半无限弹性体。
土的应力－应变关系
• 连续介质问题 • 线性弹性体问题 • 均质、等向问题
• 某建筑场地 的地质柱状 图和土的有 关指标列于 图中。计算 地面下深度 为2.5m、 3.6m、 5.0m、 6.0m、 9.0m 处的自重应 力，并绘出 分布图。
例 题 4.1
例 题4.2
• 计算绘制地基中自重应力沿深度分布曲线。
第三节 基础底面的 压力分布与计算
基础底面压力分布的概念
• 接触压力问题及其 影响因素：基础刚 度、尺寸、埋深、 土性、荷载大小
• 绝对柔性基础 • 柔性基础 • 刚性基础
基础底面压力分布的概念
• 刚性基础：基础各点的沉降是相同的，基 底压力分布随荷载的增大依次呈马鞍形分 布、抛物线形分布及钟形分布。
接触压力计算方法
• 简化方法——材料力学轴心和偏心受 压公式 • 弹性地基上的梁板理论——弹性力学 理论，考虑基础刚度的影响
例题 4.7
某基础为方形，基础 深度范围内土的重度 γ＝18kN/m3，试计算 基础最大压力边角下 深度z=2m处的附加 应力。
土力学-第四章
水平向自重应力
地基中自重应力
必须指出：只有通过土粒接触点传递的粒间应力，才
能使土粒彼此挤紧，从而引起土的变形，而粒间应力又是
影响土体强度的一个重要因素，所以粒间应力又称为有效 应力。因此，土中自重应力可定义为土自身有效重力在土
体中引起的应力。土中竖向和侧向的自重应力一般均指有
效自重应力。为简便起见，常把σCZ称为自重应力，用σC表 示。
静止侧压 力系数
4.2.2 水平向自重应力
x cx
E
E
cz
cy 0
cx cy
1
cz
4.2.2 水平向自重应力
K0—— 静止侧压力系数，它是在无侧向变 形条件下水平有效应力与竖向有效应力之
比。其值由试验确定，与土层应力历史及
土的类型、重度等有关。
z1 t1 pt
z2 a t1 p0 t2 pt
t是m，n的函数，其中n=L/b，m=z/b。 b是沿
三角形分布方向上的长度，z是从基底起算的 深度。
矩形面积基底受水平荷载角点下的 竖向附加应力
注意：b是平行于水平荷载作 用方向的长度。
圆形面积均布荷载作用中心的附加应力
重应力等于单位面积上覆土柱的有效重量。 天然地面
cz z
cz
σcz= z
z
cy
cz
cx
1
1
z
4.2.1 竖向自重应力
二、成层土的自重应力计算
a
h1
天然地面
b
1
2 3
1 h 1
cz 1h1 2 h2 h3 i hi
'
第四章 地基中附加应力与变形计算
20 18 16
Elevation (metres)
14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distance - metres
圆形基底均布压力－地基竖向应力等值线分布 Lesson 1: Pressure distribution under a circular footing
当水平场地地基表面作用局部均布荷载时，仍然假定 土柱的变形属于侧向变形条件，只产生竖向变形。但 是，随深度增大，水平面上的竖向压应力逐渐减小， 需要分层确定竖向应变和竖向变形量。
s
H1
H2
H3
s = ∑εi Hi
i =1
3
侧限压缩变性特性
地基土的侧限压缩变形特性可以由侧限压缩试验测试
p
H H
H 1 + eo
Distance - metres
条形基底均布压力－地基竖向应力等值线分布 Lesson 2: Pressure distribution under a strip footing
3m Footing 100 kPa E = 5000 kPa, Poisson's Ratio = 0.334
20
80
18
90
20
10
Elevation (metres)
12
10
8
6
30
4
2
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
40
50
14
60
16
70
Distance - metres
条形基底均布压力－地基水平向应力等值线分布 Lesson 2: Pressure distribution under a strip footing
第四章 地基中的应力
对于单向偏心荷载下的矩形基础如图2-6所 示。设计时，通常基底长边方向取与偏心方向 一致，此时两短边边缘最大压力设计值与最小
压力设计值按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p max p min
= F G M
lb W
将偏心距e=M/(F+G) 引入式中
W是基础地面的抵抗矩， m3,W=bl2/6
pmax pmin
z Kt1 p0
2 mn 1 n K t1 2 m 2 n 2 1 n 2 m 2 n 2 1
同理，还可求得荷载最大值边的角点2下任意深度z处的竖 向附加应力为 z ： (2—23) K p (K K ) p
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
[例题2-3] 以角点法计算例图2-3所示矩形基础甲的基底 中心点垂线下不同深度处 的地基附加应力的分布，并考 虑两相邻基础乙的影响(两相邻柱距为6m，荷载同基础 甲 )。 [解] (1)计算基础甲的基底平均附加压力标准值如下： 基础及其上回填土得总重 G G Ad 20 5 4 1.5 600kN F G 1940 600 基底平均附加压力设计值 p 127kPa
1 K r p0 p0 1 ( 1 1)3/ 2 2 2 z / r0
三、条形荷载下的地基附加应力 设在地基表面上作用有无限长及条形荷载，且荷 载沿宽度可按任何形式分布，但沿长度方向则不 变，此时地基中产生的应力状态属于平面问题。 在工程建筑中，当然没有无限长的受荷面积，不 过，当荷载面积的长宽比l/b≥10时，计算的地基 附加应力值与按 l/b=∞ 时的解相比误差甚少。因 此，对于条形基础，如墙基、挡土墙基础、路基、 坝基等，常可按平面问题考虑。条形荷载下的地 基附加应力为：
压力设计值按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p max p min
= F G M
lb W
将偏心距e=M/(F+G) 引入式中
W是基础地面的抵抗矩， m3,W=bl2/6
pmax pmin
z Kt1 p0
2 mn 1 n K t1 2 m 2 n 2 1 n 2 m 2 n 2 1
同理，还可求得荷载最大值边的角点2下任意深度z处的竖 向附加应力为 z ： (2—23) K p (K K ) p
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
[例题2-3] 以角点法计算例图2-3所示矩形基础甲的基底 中心点垂线下不同深度处 的地基附加应力的分布，并考 虑两相邻基础乙的影响(两相邻柱距为6m，荷载同基础 甲 )。 [解] (1)计算基础甲的基底平均附加压力标准值如下： 基础及其上回填土得总重 G G Ad 20 5 4 1.5 600kN F G 1940 600 基底平均附加压力设计值 p 127kPa
1 K r p0 p0 1 ( 1 1)3/ 2 2 2 z / r0
三、条形荷载下的地基附加应力 设在地基表面上作用有无限长及条形荷载，且荷 载沿宽度可按任何形式分布，但沿长度方向则不 变，此时地基中产生的应力状态属于平面问题。 在工程建筑中，当然没有无限长的受荷面积，不 过，当荷载面积的长宽比l/b≥10时，计算的地基 附加应力值与按 l/b=∞ 时的解相比误差甚少。因 此，对于条形基础，如墙基、挡土墙基础、路基、 坝基等，常可按平面问题考虑。条形荷载下的地 基附加应力为：
地基基础--地基中的应力计算
2.3 地基中的附加应力
地基附加应力：由新增外加荷载在 地基中产生的应力。
计算假定：
（1）基础刚度为零，即基底作用的荷载为 柔性荷载。
（2）地基为连续、均匀、各向同性的线性 变形半无限体。
布辛涅斯克解（1885）
z
3Pz3
2R5
3
1
21r25/2
PKP
z2
z2
z
竖向附加应力的分布规律：
空间问题的附加应力计算：
单向偏心荷载作用：
pm mianxFblG16le
式中： GGAd Abl
几点说明
重度取值：一般取20kN/m3。地下水位以下取 有效重度。 条形基础：沿长度取1m计算。 基底压力分布：均布、梯形分布或三角形分布。
当e l 6
时：
2FG
pmax 3ab
式中： a l e 2
基底附加压力计算
矩形面积上作用 均布的垂直荷载
空间问题的附加应力计算：
矩形面积上作用 三角形分布的垂直 荷载
例题：
某荷载面为2×1m2， 其上均布荷载为 p=100kPa。求荷载 面积上点A、E、O以 及荷载面积外点F、 G等各点下z=1m深度 处的附加应力。并利 用计算结果说明附加 应力的扩散规律。
空间问题的附加应力计算：
圆形面积上作用 垂直均布荷载
平面问题的附加应力计算：
均布竖向线荷载 作用
平面问题的附加应力计算：
均布竖向条形荷 载作用
平面问题的附加应力计算：
三角形分布的竖 向条形荷载作用
2.4 地基中附加应力的有关问题
地基附加应力的分布规律
非均质地基中的附加应力
上软下硬情况
上硬下软情况
第4章 土中应力
19×3＝57.0kPa 57+10.5×2.2=80.1kPa 80.1+9.2×2.5=103.1kPa 103.1+10×4.7=150.1kPa 150.1+22×2=194.1kPa
§4.2 土中自重应力
例4-2：某地基土层情况及其物理性质指标如图所示， 试计算a，b，c3个点处的自重应力σz度（m）。
则基底压力p按下式计算：
§4.3 基底压力
2.偏心荷载下的基底压力
对于单向偏心荷载下的矩形基础
（如图），通常基底长边方向和偏心
方向一致，基底两边缘的最大、最小
压力pmax、pmin按下式计算：
pmax
pm
in
F G lb
M W
式中：M - 作用于的矩形基础底面的力矩，kN m；
§4.1 概 述
（3）土体可视为半无限体 所谓半无限体就是无限空间体的一半。即该物 体在水平方向是无限延伸的，而在竖直方向仅在向 下的方向是无限延伸的，向上的方向为零。地基土 在水平方向和深度方向相对于建筑物地基的尺寸而 言，可认为是无限延伸的。因此，可以认为地基土 体是符合半无限体的假定。
§4.1 概 述
§4.3 基底压力
荷载条件 基底压力分布
地基条件
•大小 •方向 •分布
基础条件
•土类 •密度 •土层结构等
•刚度 •形状 •大小 •埋深
§4.3 基底压力
1. 基础刚度的影响 基础刚度是指其抗弯刚度，基础按刚度可划分 为如下三种类型： （1）柔性基础 柔性基础刚度很小，在荷载作用下，基础的变 形与地基的变形一致，如土坝、土堤、路基等土工 建筑物，其基底压力分布和大小与作用在基底上的 荷载分布和大小相同。
§4.4 地基附加应力
§4.2 土中自重应力
例4-2：某地基土层情况及其物理性质指标如图所示， 试计算a，b，c3个点处的自重应力σz度（m）。
则基底压力p按下式计算：
§4.3 基底压力
2.偏心荷载下的基底压力
对于单向偏心荷载下的矩形基础
（如图），通常基底长边方向和偏心
方向一致，基底两边缘的最大、最小
压力pmax、pmin按下式计算：
pmax
pm
in
F G lb
M W
式中：M - 作用于的矩形基础底面的力矩，kN m；
§4.1 概 述
（3）土体可视为半无限体 所谓半无限体就是无限空间体的一半。即该物 体在水平方向是无限延伸的，而在竖直方向仅在向 下的方向是无限延伸的，向上的方向为零。地基土 在水平方向和深度方向相对于建筑物地基的尺寸而 言，可认为是无限延伸的。因此，可以认为地基土 体是符合半无限体的假定。
§4.1 概 述
§4.3 基底压力
荷载条件 基底压力分布
地基条件
•大小 •方向 •分布
基础条件
•土类 •密度 •土层结构等
•刚度 •形状 •大小 •埋深
§4.3 基底压力
1. 基础刚度的影响 基础刚度是指其抗弯刚度，基础按刚度可划分 为如下三种类型： （1）柔性基础 柔性基础刚度很小，在荷载作用下，基础的变 形与地基的变形一致，如土坝、土堤、路基等土工 建筑物，其基底压力分布和大小与作用在基底上的 荷载分布和大小相同。
§4.4 地基附加应力
地基应力计算范文
地基应力计算范文地基是土木工程中承载建筑物和其他结构的基础，因此地基的稳定性和承载能力对工程的安全和可靠性具有重要影响。
地基应力是指土体中由于外力作用而引起的应力状态，它是地基承载能力和变形性质的基础。
本文将对地基应力的计算方法进行详细介绍。
地基应力是由地面载荷和土体自重共同作用引起的。
在地基应力的计算中，需要考虑到土体的本重、活动土压力以及黏聚力和内摩擦角等参数。
首先，地基应力的计算需要确定土体的本重。
土体的本重是指单位体积土体所具有的重量。
根据土体的类型和密度，可以通过测定土样的重量和体积来计算土体的本重。
常见的土体类型包括砂土、粘土、黏土等，它们的本重可以通过实验测定获得。
其次，对于受到地面载荷影响的地基应力计算，需要根据地面载荷的情况进行不同的计算方法。
例如，对于集中载荷作用在地表上的情况，可以利用点载荷的公式来计算地基应力。
对于均布载荷作用在地表上的情况，可以利用均布载荷的公式来计算地基应力。
对于倾斜载荷作用在地表上的情况，需要将载荷分解为水平和垂直两个方向的分力进行计算。
另外，黏聚力和内摩擦角是影响地基应力计算的重要参数。
黏聚力是土体粒子之间的吸附力，它是导致土体固结和粘聚的主要因素。
内摩擦角是土体颗粒之间发生剪切运动时所能够抵抗剪切力的能力。
黏聚力和内摩擦角的值可以通过室内试验或现场取样后进行实验室测试得到。
最后，根据地基应力的计算结果，可以评估地基的承载能力和变形性质。
地基的承载能力是指地基在承受来自建筑物或其他结构的载荷时所能够安全承受的最大荷载。
地基的变形性质是指地基在承受荷载时所发生的变形情况，包括沉降、收缩、膨胀等。
综上所述，地基应力的计算是土力学中的一项重要内容，它对于工程的设计和施工具有重要意义。
通过合理和准确地计算地基应力，可以确保工程的稳定性和安全性，从而为工程的顺利进行提供科学依据。
因此，在土木工程实践中，地基应力的计算是一项必不可少的工作。
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2 2 '=9.80KN/m 3 r1 3 3 '=9.40KN/m 3 r1 4 4
3-3面 4-4面
' σ cz3 σ cz2 γ 3h 3 82.82 9.8 1.5 97.52kpa
h3=1.5m h4=2.0m
σ cz4 σ cz3 γ '4h 4 97.52 9.4 2 116.32kpa
讨论题
成层土中竖向自重应力沿深度的分布
cz
cz
1h1
1 2 3 , 3
h1
h2 h3 地下水位面
1h1 2 h2
1h1 2h2 3h3
wh3
w (h3 h4 )
h3 1h1 2 h2 3 h4 w (h3 h4 ) 4
天然地面 h1 h2
h
i 1 i
n
i
1 2
1 h 1
水位面
1 h 1 + 2 h 2
h3
3
1 h1 + 2h2 + 3h3
三、有地下水时的自重应力
1. 水下的砂性土应该考虑浮力； 2. 粘性土需视其性质而定：
1）如果水下粘性土的IL≥1，认为土体受到水的浮力作用； 2）如果IL≤0，认为土体不受水的浮力影响； 3）如果0＜IL＜1，土体是否受到浮力影响不易确定，实际中 一般按不利状态来考虑。
—若考虑浮力作用，应采用土的有效重度（浮重度）γ ′替代湿 重度γ 计算。
sat w
• 说明： 1. 自重应力从天然地面起算； 2. 一般情况下，地下水位以上土层采用天然重 度，地下水位以下土层采用浮重度； 3.若地下水位以下存在不透水层（如岩层、致密 粘土），则在不透水层层面处浮力消失，此处 的自重应力等于全部上覆的水和土全重。 4. 对于一般土，由于成土年代长久，土体在自 重应力作用下已经完成压缩变形；对于新近沉 积土或人工填土，自重应力仍将产生土体或地 基的变形。
4.1 概述 4.2 自重应力的计算
4.3 基底压力计算 4.4 地基附加应力的计算 4.5 有效应力原理
4.1 概述
上部结构
内墙
外墙
基坑开挖， 施工地下室
•地基——支承建筑物荷载的土层 •持力层——与建筑物基础底面直接接触的土层 •下卧层——持力层下面的土层 •按引起的原因分为自重应力和附加应力；
3
h3=1.5m h4=2.0m
3 3
Z
cz1 γ 1h1 18.23 2.5＝45.58kpa
1-1面
O
2-2面
h1=2.5m
1
r1=18.23KN/m 3
1
σ cz2 σ cz1 γ 2h 2
45.58 18.62 2 82.82kpa
h2=2.0m r2=18.62KN/m 3
F
地基
基础
G
持力层（受力层）
下卧层
主 要 受 力 层
自重应力——由土体自身重量所产生的应力。 附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。
形成年代久远水位下降、大面积堆土等，也会 引起地基变形
基础结构的外荷载
基底反力
4 , 4
h4
不透水层面
z
例1-1：某地基土由四层土组成，厚度与重度如图， 试计算每土层接触面处的竖向自重应力并画出应 力曲线。
O
h1=2.5m
1
r1=18.23KN/m
1
3
h2=2.0m
2
r2=18.62KN/m
2 ' r1 =9.80KN/m 3 3 ' r1 =9.40KN/m 4 4
地下水对地基的影响，利用及防治
判断正误
1）计算土中自重应力时，地下水位以下的土层应采用 饱和重度。 2）在均质地基中，竖向自重应力随深度线性增加，而 水平向自重应力则呈非线性增加。 3）土中自重应力与地下水位的升降无关。 4）若地表为一无限大的水平面，则土的重力在土中任 一竖直面上所产生的剪应力等于零。 5）对于新填土场地，自重应力应从填土面算起。 6）土的侧压力系数K0为土的侧向与竖向有效自重应力 之比。 7）由于土的自重应力属于有效应力，因此在建筑物建 造后，自重应力仍会继续是土体产生变形。
基底压力
附加应力——是引起地基变形 的主要原因
附加应力 地基沉降变形
应力—应变关系假设及计算方法
• 目前在计算地基中的应力时， 常假设土体为连续体、线弹性 及均质各向同性体。实际上土 是各向异性的、弹塑性体。
• 地基中的几种应力状态
1、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
2、二维（空间）应力状态
xy 0 xz ij 0 0 yy 0 zz zx
地面
z y
z x
3、侧限应力状态
0 xy 0 ij 0 0 yy 0 zz 0
侧限应力状态
土力学中应力符号规定
法向应力：压为正，拉为负
z
x
y
剪应力：对单元体内任意点之矩为顺时针转向时规定为
正，反之为负
4.2
自重应力的计算
自重应力：修建建筑物以前，由土体自身的有效重 量产生的应力。 假定： 地基是半无限空间体，线性、均匀、各向同 性的弹性材料（有侧限应变条件）
面积无限大的荷载 没有侧向变形和剪切变形 只有竖向变形
K0 —土的侧压力系数或静止土压力系数。由实测或经验公式确定。 如： K 0 ，K 0 1 sin 1
xy 、 yz 、 zx —天然地面任意深度z处土单元体的剪应应力。
二、成层土的自重应力
cz 1h1 2 h2 n hn
Z
O
h1=2.5m
1
45.58kpa
1
h2=2.0m
2
82.82kpa
2
h3=1.5m
3
97.52kpa
3
h4=2.0m 116.32kpa
4 4
Z
自重应力曲线图
地下水位升降对土中自重应力的影响
σcz
原地下水位
变动后地下水位
h
变动后地下水位
h
原地下水位
rwh
rwh
Z
地下水下降，有效自重应力增大 地下水上升，有效自重应力减小
一、 均质土中的自重应力
cz z
天然地面
cz
cx cy K0 z
xy yz zx 0
z
cz z
1
z
cz 线
z
cz z
cz —天然地面任意深度z处水平面上的竖直自重应力。
cx 、 cy—天然地面任意深度z处竖直面上的水平自重应力。
3-3面 4-4面
' σ cz3 σ cz2 γ 3h 3 82.82 9.8 1.5 97.52kpa
h3=1.5m h4=2.0m
σ cz4 σ cz3 γ '4h 4 97.52 9.4 2 116.32kpa
讨论题
成层土中竖向自重应力沿深度的分布
cz
cz
1h1
1 2 3 , 3
h1
h2 h3 地下水位面
1h1 2 h2
1h1 2h2 3h3
wh3
w (h3 h4 )
h3 1h1 2 h2 3 h4 w (h3 h4 ) 4
天然地面 h1 h2
h
i 1 i
n
i
1 2
1 h 1
水位面
1 h 1 + 2 h 2
h3
3
1 h1 + 2h2 + 3h3
三、有地下水时的自重应力
1. 水下的砂性土应该考虑浮力； 2. 粘性土需视其性质而定：
1）如果水下粘性土的IL≥1，认为土体受到水的浮力作用； 2）如果IL≤0，认为土体不受水的浮力影响； 3）如果0＜IL＜1，土体是否受到浮力影响不易确定，实际中 一般按不利状态来考虑。
—若考虑浮力作用，应采用土的有效重度（浮重度）γ ′替代湿 重度γ 计算。
sat w
• 说明： 1. 自重应力从天然地面起算； 2. 一般情况下，地下水位以上土层采用天然重 度，地下水位以下土层采用浮重度； 3.若地下水位以下存在不透水层（如岩层、致密 粘土），则在不透水层层面处浮力消失，此处 的自重应力等于全部上覆的水和土全重。 4. 对于一般土，由于成土年代长久，土体在自 重应力作用下已经完成压缩变形；对于新近沉 积土或人工填土，自重应力仍将产生土体或地 基的变形。
4.1 概述 4.2 自重应力的计算
4.3 基底压力计算 4.4 地基附加应力的计算 4.5 有效应力原理
4.1 概述
上部结构
内墙
外墙
基坑开挖， 施工地下室
•地基——支承建筑物荷载的土层 •持力层——与建筑物基础底面直接接触的土层 •下卧层——持力层下面的土层 •按引起的原因分为自重应力和附加应力；
3
h3=1.5m h4=2.0m
3 3
Z
cz1 γ 1h1 18.23 2.5＝45.58kpa
1-1面
O
2-2面
h1=2.5m
1
r1=18.23KN/m 3
1
σ cz2 σ cz1 γ 2h 2
45.58 18.62 2 82.82kpa
h2=2.0m r2=18.62KN/m 3
F
地基
基础
G
持力层（受力层）
下卧层
主 要 受 力 层
自重应力——由土体自身重量所产生的应力。 附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。
形成年代久远水位下降、大面积堆土等，也会 引起地基变形
基础结构的外荷载
基底反力
4 , 4
h4
不透水层面
z
例1-1：某地基土由四层土组成，厚度与重度如图， 试计算每土层接触面处的竖向自重应力并画出应 力曲线。
O
h1=2.5m
1
r1=18.23KN/m
1
3
h2=2.0m
2
r2=18.62KN/m
2 ' r1 =9.80KN/m 3 3 ' r1 =9.40KN/m 4 4
地下水对地基的影响，利用及防治
判断正误
1）计算土中自重应力时，地下水位以下的土层应采用 饱和重度。 2）在均质地基中，竖向自重应力随深度线性增加，而 水平向自重应力则呈非线性增加。 3）土中自重应力与地下水位的升降无关。 4）若地表为一无限大的水平面，则土的重力在土中任 一竖直面上所产生的剪应力等于零。 5）对于新填土场地，自重应力应从填土面算起。 6）土的侧压力系数K0为土的侧向与竖向有效自重应力 之比。 7）由于土的自重应力属于有效应力，因此在建筑物建 造后，自重应力仍会继续是土体产生变形。
基底压力
附加应力——是引起地基变形 的主要原因
附加应力 地基沉降变形
应力—应变关系假设及计算方法
• 目前在计算地基中的应力时， 常假设土体为连续体、线弹性 及均质各向同性体。实际上土 是各向异性的、弹塑性体。
• 地基中的几种应力状态
1、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
2、二维（空间）应力状态
xy 0 xz ij 0 0 yy 0 zz zx
地面
z y
z x
3、侧限应力状态
0 xy 0 ij 0 0 yy 0 zz 0
侧限应力状态
土力学中应力符号规定
法向应力：压为正，拉为负
z
x
y
剪应力：对单元体内任意点之矩为顺时针转向时规定为
正，反之为负
4.2
自重应力的计算
自重应力：修建建筑物以前，由土体自身的有效重 量产生的应力。 假定： 地基是半无限空间体，线性、均匀、各向同 性的弹性材料（有侧限应变条件）
面积无限大的荷载 没有侧向变形和剪切变形 只有竖向变形
K0 —土的侧压力系数或静止土压力系数。由实测或经验公式确定。 如： K 0 ，K 0 1 sin 1
xy 、 yz 、 zx —天然地面任意深度z处土单元体的剪应应力。
二、成层土的自重应力
cz 1h1 2 h2 n hn
Z
O
h1=2.5m
1
45.58kpa
1
h2=2.0m
2
82.82kpa
2
h3=1.5m
3
97.52kpa
3
h4=2.0m 116.32kpa
4 4
Z
自重应力曲线图
地下水位升降对土中自重应力的影响
σcz
原地下水位
变动后地下水位
h
变动后地下水位
h
原地下水位
rwh
rwh
Z
地下水下降，有效自重应力增大 地下水上升，有效自重应力减小
一、 均质土中的自重应力
cz z
天然地面
cz
cx cy K0 z
xy yz zx 0
z
cz z
1
z
cz 线
z
cz z
cz —天然地面任意深度z处水平面上的竖直自重应力。
cx 、 cy—天然地面任意深度z处竖直面上的水平自重应力。