非线性微分方程基本理论
非线性微分方程及稳定性
定理 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.12)的零解是渐近稳定的;
(2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.12)的零解是不稳定的.
定理(Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程
的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:
定理 若特征方程
没有零根或零实部的根，则非
就有
则称系统(6.3)的零解
是渐近稳定的; 区域
称为
吸引域;如果吸引域是全空间,则称
是全局渐近
稳定的
. (3) 若
都
与
使
但
则称
是不稳定的。
6.3 相平面
现在讨论二阶微分方程组
（6.5）
它的解
（6.6）
如果把时间t当做参数，仅考虑x，y为坐标的（欧氏）空间， 此空间成为方程组（6.5）的相平面（若方程组是高阶的，则称为 相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线。对一般 的方程组（6.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但 如果方程组（6.5）是驻定方程组，即其右端函数不显含时间t的情 形，此时（6.5）式变成：
为研究（6.1）的特解
邻近的解的性态，通常先利用
变换: 把方程（6.1）化为：
(6.28) （6.3）
其中 此时显然有：
（6.4）
6.2 稳定性的基本概念
定义6.1 设
是系统(6.3)适合初值条件
的解
(1) 若
使得只要
对一切
恒有
则称系统(6.3)的零解
是稳定的。
(2) 若 1)
是稳定的;
2)
使得只要
）趋近于它时，称此极限圈为
稳定的。如果轨线是负向（即
第六章非线性微分方程
第六章 非线性微分方程教学目的：使学生重点掌握二维自治系统奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性；了解周期解和极限环的概念．教学内容：1、存在唯一性定理、稳定性2、相平面相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性． 3、Liapunov 第二方法 Liapunov 第二方法． 4、极限圈 周期解、极限环．教学重难点：奇点的分类与相应零解的稳定性 教学过程：§6.1 稳定性6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理本章讨论非线性常微分方程组n R Y Y t G dtdY∈=),;( （6.1）的解的性态.设给定方程组（6.1）的初值条件为00)(Y t Y =， （6.2） 考虑包含点),,,;(),(02010000n y y y t Y t Λ=的某区域 b Y Y a t t R ≤-≤-00,:. 在这里Y 的范数Y 定义为∑==ni iyY 12. 所谓),(Y t G 在域G 上关于Y 满足局部利普希茨条件是指：对于G 内任一点),(00Y t ，存在闭邻域G R ⊂，而),(Y t G 于R 上关于Y 满足利普希茨条件，即存在常数0>L ，使得不等式Y Y L Y t G Y t G -≤-~);()~;( （6.3） 对所有R Y t Y t ∈),(),~,(成立. L 称为利普希茨常数.存在唯一性定理 如果向量函数),(Y t G 在域R 上连续，且关于Y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解),;(00Y t t Y ϕ=，它在区间h t t ≤-0上连续，而且0000),;(Y Y t t =ϕ 这里);(max ),,min(),(Y t G M Mba h G Y t ∈==.解的延拓与连续定理 如果向量函数),(Y t G 在域G 内连续，且关于Y 满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解),;(00Y t t Y ϕ=)),((00G Y t ∈可以延拓，或者延拓到∞+（或∞-）；或者使点)),;(,(00Y t t t ϕ任意接近区域G 的边界. 而解),;(00Y t t ϕ作为00,;Y t t 的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理 如果向量函数),(Y t G 及),,2,1,(n j i y G jiΛ∂∂在域G 内连续，那么方程组（6.1）由初值条件（6.2）确定的解),;(00Y t t Y ϕ=作为00,;Y t t 的函数，在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2 李雅普诺夫稳定性考虑一阶非线性方程2By Ay dtdy-= （6.4）其中B A ,为常数且0>⋅B A ，初值条件为0)0(y y =.为研究方程组（6.1）的特解)(t Y ϕ=邻近的解的性态，通常先利用变换)(t Y X ϕ-= （6.6） 把方程组（6.1）化为);(X t F dtdX=， （6.7）其中))(;())(;()();();(t t G t X t G dtt d Y t G X t F ϕϕϕ-+=-=. 此时显然有 0)0;(=t F （6.8） 而把方程组（6.1）的特解)(t Y ϕ=变为方程组（6.7）的零解0=X . 于是，问题就化为讨论方程组（6.7）的零解0=X 邻近的解的性态.驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6.4）的特解)(),(21t y t y . 微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解.考虑微分方程组（6.7），假设其右端函数),(X t F 满足条件（6.8）且在包含原点的域G 内有连续的偏导数，从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性定理的条件.定义1 如果对任意给定的0>ε，存在)(00有关和一般与t εδδ>，使当任一0X 满足δ≤0X 时，方程组（6.7）的由初值条件00)(X t X =确定的解)(t X ，对一切0t t ≥均有ε<)(t X .则称方程组（6.7）的零解0=X 为稳定的.如果（6.7）的零解0=X 稳定，且存在这样的00>δ使当00δ≤X 时，满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为渐近稳定的.如果零解0=X 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D X ∈时满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则域0D 称为（渐近）稳定或吸引域. 若稳定域为全空间，即+∞=0δ，则称零解0=X 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.当零解0=X 不是稳定时，称它是不稳定的. 即是说：如果对某个给定的0>ε不管0>δ怎样小，总有一个0X 满足δ≤0X ，使由初值条件00)(X t X =所确定的解)(t X ，至少存在某个01t t >使得ε=)(1t X ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为不稳定的.二维情形零解的稳定性态，在平面上的示意图如图（6.2）（见254页）6.1.3 按线性近似决定稳定性 考虑一阶常系数线性微分方程组AX dtdX= （6.10） 由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由n i e t cii lm t m im≤≤∑=1,0λ （6.11）的线性组合，这里i λ为方程组（6.10）的系数矩阵A 的特征方程0)det(=-E A λ （6.12） 的根，i l 为零或正整数，由根i λ的重数决定.根据（6.11），与第五章相对应的可得如下结论.定理1 若特征方程（6.12）的根均具有负实部，则方程组（6.10）的零解是渐近稳定的；若特征方程（6.12）具有正实部的根，则方程组（6.10）的零解是不稳定的；若特征方程（6.12）没有正实部的根，但有零根或具有零实部的根，则方程组（6.10）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1而定.考虑非线性方程组)(X R AX dtdX+=， （6.13）其中0)0(=R ，且满足条件0)(→XX R （当0→X 时）. （6.14）显然0=X 是方程组（6.13）的解. 亦是方程组的奇点.问题 在什么条件下，（6.13）的零解稳定性能由线性微分方程组（6.10）的零解的稳定性来决定. 这便是所谓按线性近似决定稳定性的问题.定理2 若特征方程（6.12）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.10）的零解的稳定性态一致. 这就是说，当特征方程（6.12）的根均具有负实部时，方程组（6.13）的零解是渐近稳定的，而当特征方程（6.12）具有正实部的根时，其零解是不稳定的.（6.2中再补充证明）该定理说明非线性微分方程组（6.13）的零解是否为渐近稳定的取决于其相应的特征方程（6.12）的全部的根是否具有负实部.临界情形至于特征方程（6.12）除有负实部的根外还有零根或具零实部的根的情形，非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态并不能由线性近似方程组（6.10）来决定. 因为可以找到这样的例子，适当变动)(t R （条件（6.14）仍满足），便可使非线性微分方程组（6.13）的零解是稳定的或是不稳定的.例1 考虑有阻力的数学摆的振动，其微分方程为0sin 22=++ϕϕμϕl gdt d m dtd ， （6.15） 这里长度l ，质量m 和重力加速度g 均大于0，并设阻力系数0>μ. 令dtd y x ϕϕ==,，将方程（6.15）化为一阶微分方程组x lg y m dt dy y dt dx sin ,--==μ （6.16） 原点是方程组的零解.赫尔维茨（Hurwitz ）判别代数方程的根的实部是否均为负的法则. 定理3 设给定常系数的n 次代数方程0122110=+++++---n n n n n a a a a a λλλλΛ， （6.18）其中00>a ，作行列式,,0,,345123013231211Λa a a a a a a a a a a a a =∆=∆=∆ ,000142322212012301-----∆==∆n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM MM M M ΛΛ 其中0=i a （对一切n i >）.那么，方程（6.18）的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立： 0,0,,0,0,01321>>∆>∆>∆>-n n a a Λ. 证明见高等代数的课本，略.例2 考虑一阶非线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--+=++-=+-+-=),(,,222232z y e z y x dtdz z y x y x dtdy e x z y x dt dx x x 例3 对三次方程0)1(2)()1(23=-++++++c ab c a b b a λλλ，其中0,0,0>>>c b a ，考虑其根均具有负实部时参数c 的变化范围.习题6.1 第260页1（1），（3）；3（1），（3）；4（1），（3）；5§6.2 V 函数方法6.2.1 李雅普诺夫定理对于数学摆的振动，当摆有阻力时可由其线性近似方程组决定它的稳定性. 但当摆无阻力时，方程组（6.16）变成x lg dt dy y dt dx sin ,-== （6.19） 属于临界情形，不能按线性近似决定其稳定性. 为判断其零解的稳定性态. 直接对方程组（6.19）进行处理. 李雅普诺夫第二方法的思想：构造一个特殊的函数),(y x V ，并利用函数),(y x V 及其通过方程组的全导数dty x dV ),(的性质来确定方程组解的稳定性. 具有此特殊性质的函数),(y x V 称为李雅普诺夫函数，简称V 函数.如何应用V 函数来确定非线性微分方程组的解稳定性态问题. 只考虑非线性驻定微分方程组)(X F dtdX= （6.20）定义2 假设)(X V 为在域H X ≤内定义的一个实连续函数，0)0(=V . 如果在此域内恒有0)(≥X V ，则称函数V 为常正的；如果对一切0≠X 都有0)(>X V ，则称函数V 为定正的；如果函数V -是定正的（或常正的），则称函数V 为定负（或常负）的.进而假设函数)(X V 关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程（6.20）的解代入，然后对求t 导数i ni ii n i i f x Vdt dx x V dt dV ∑∑==∂∂=∂∂=11， 这样求得的导数dtdV称为函数V 通过方程（6.20）的全导数. 例1函数 2)(),(y x y x V +=是常正的；而函数42)(),(y y x y x V ++=是定正的；定理4 如果对微分方程组（6.20）可以找到一个定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为常负函数或恒等于零，则方程组（6.20）的零解是稳定的. 如果有定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为定负的，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的.如果存在函数)(X V 和某非负常数μ，而通过（6.20）的全导数dtdV可以表示为)(X W V dtdV+=μ， 且当0=μ时，W 为定正函数，而当0≠μ时W 为常正函数或恒等于零；又在0=X 的任意小邻域内都至少存在某个X ，使0)(>X V ，那么，方程组（6.20）的零解是不稳定的. 证明详见第265页.几何解释 由未知函数组成的空间称为相空间，二维相空间又称为相平面，微分方程的解在相空间中的轨迹称为轨线，轨线亦可定义为积分曲线在相空间中的投影.以平面微分方程组为例，从相平面上轨线与V 函数的关系来说明稳定性定理的几何意义.例2 考虑平面微分方程组33,ay x dtdyax y dtdx+=+-=， （6.26）定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理，对含有时间t 的非驻定的微分方程组及含有时间t 的V 函数),(X t V 也有相应的定理，其证明也一样.定理5 如果存在定正函数)(X V ，其通过方程组（6.20）的全导数dtdV为常负，但使 0)(=dtt dV 的点X 的集中除零解0=X 之外并不包含方程组（6.20）的整条正半轨线，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的. 定理5的证明与定理4的类似.例3 数学摆的稳定性问题 6.2.2 二次型V 函数的构造应用李雅普诺夫第二方法判断微分方程组零解的稳定性的关键是找到合适的V 函数. 如何构造满足特定性质的V 函数是一个有趣而复杂的问题. 这里考虑常系数线性微分方程组构造二次型V 函数的问题，并利用它来补充证明按线性近似决定稳定性的定理2定理6 如果一阶线性方程组AX dtdX= （6.10）的特征根i λ均不满足关系),,2,1,(0n j i j i Λ==+λλ，则对任何负定（或正定）的对称矩阵C ，均有唯一的二次型 )()(B B BXX X V T T== （6.27）使其通过方程组（6.10）的全导数有)(C C CX X dtdVT T ==. （6.28）且对称矩阵B 满足关系式C BA B A T=+， （6.29） 这里TA ，TB ，TC TX 分别表示X C B A ,,,的转置.如果方程组（6.10）的特征根均具有负实部，则二次型（6.27）是定正（或定负）的；如果方程组（6.10）有均正实部的特征根，则二次型（6.27）不是常正（或常负）的.例4 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdtx d ， 经过变换y dtdx= 习题6.2 1（1），（3），（5）；2（1），（3）；3（1），（3），（5）；4；5§6.3 奇点考虑二维（平面）一阶驻定微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(y x Y dtdy y x X dt dx（6.33）同时满足0),(,0),(==y x Y y x X 的点),(**y x 是微分方程组（6.33）的奇点，*=x x ，*=y y 是方程的解. 可从通过坐标平移将奇点移到原点)0,0(，此时0)0,0()0,0(==Y X .考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态，并根据奇点邻域内轨线分布的不同性态来区分奇点的不同类型. 这时方程的形式为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,dy cx dtdyby ax dt dx（6.36）显然，坐标原点0,0==y x 是奇点. 如果方程组的系数满足条件0≠dc b a （6.37）则此奇点还是唯一的. 以下假定条件（6.37）成立.按特征根为相异实根、重根或共轭复根，分五种情形进行讨论. 情形1 同号相异实根 这时方程的标准形式为ηληξλξ21,==dtd dt d ，（6.40） 其解为t tBe t Aet 21)(,)(λληξ==， （6.41）其中21,λλ为实特征根，而B A ,是任意实数.21,λλ同为负实数时，方程的零解是渐近稳定的，称对应的奇点为稳定结点. 21,λλ同为正实数时，方程的零解为不稳定的，而对应的奇点称为不稳定结点.情形2 异号实根, 奇点称为鞍点.鞍点是不稳定的. 情形3 重根 这时可分两种情况讨论：（1）0≠b 或0≠c . 如前面所指出的，这时方程可化为如下标准形式ληηηλξξ=+=dtd dt d ,， （6.42） 其解为t tAe t eB At t λληξ=+=)(,)()(， （6.43）其中λ为实特征根，而B A ,是任意实常数.当0<λ时，奇点称为稳定退化结点. 假如0>λ，奇点是不稳定退化结点.（2）0==c b ，这时方程组（6.36）取形式 d a y dtdy x dt dx ====λλλ,,， 其解为t tBe t y Ae t x λλ==)(,)(，于是 x ABy =. 奇点称为奇结点，且0<λ时为稳定的，而0>λ时为不稳定的.情形4 非零实部复根 这时方程的标准形式为αηβξηβηαξξ+-=+=dtd dt d ,，（6.44） 这里βα,分别为特征根的实部和虚部. 方程（6.44）的解的极坐标形式B t Ae r t +-==βθα,， （6.45） 其中0>A 和B 为任意常数.奇点为焦点，且0<α时为稳定的，而0>α时为不稳定的. 情形5 纯虚根奇点称为中心. 零解为稳定，但非渐近稳定的. 定理7 如果平面线性驻定方程组（6.36）的系数满足条件（6.37），则方程的零解（奇点）将依特征方程（6.39）的根的性质而分别具有如下的不同特性：（1）如果特征方程的根21λλ≠为实根，而021>λλ时奇点为结点，且当01<λ时结点是稳定的，而对应的零解为渐近稳定的，但当01>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当021<λλ时奇点为鞍点，零解为不稳定的.（2）如果特征方程具有重根λ，则奇点通常为退化结点，但在0==c b 的情形奇点为奇结点. 又当0<λ时，这两类结点均为稳定的，而零解为渐近稳定的，但当0>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的.（3）如果特征方程的根为共轭复根，即21λλ=，则当0Re 1≠λ时奇点为焦点，且当0Re 1<λ时焦点为稳定的，对应的零解为渐近稳定的，而当0Re 1>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当0Re 1=λ时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的.程（6.36）的奇点)0,0(O ，当0det ≠A 时，根据A 的特征根的不同情况可有如下的类型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧中心—实部为零焦点—实部不为零复根退化结点临界结点重（非零）实根鞍点—异号结点—同号相异（非零）实根实根 A 的系数与奇点分类的关系1）042>-q p○1 0>q奇点为结点二根同负二根同正--⎭⎬⎫><00p p○2 奇点为鞍点二根异号--<0q 2）042=-q p结点奇点为临界结点或退化负的重根正的重根--⎭⎬⎫><00p p 3）042<-q p0≠p 复数根的实部不为零，奇点为焦点 0=p 复数根的实部为零，奇点为中心.综合上面的结论，由曲线q p 42=，q 轴及p 轴把q p 0平面分成几个区域，不同的区域，对应着不同类型的奇点（见288页（图6.10））.例1 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdtx d ， 通过变换y dt dx=可将它化为下列方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧--==,32,y x dtdyy dt dx习题6.3 1；2；3.§6.4 极限环和平面图貌6.4.1 极限环对于二阶常系数微分方程组，除了在中心型奇点邻域内轨线是一族围绕原点的闭曲线（对应于方程组的周期解）外；其余的情形均是一端趋于奇点（+∞→t 或-∞→t ），另一端趋于无穷远（-∞→t 或+∞→t ）或两端都趋于无穷远的轨线，不存在其他的复杂情形. 对于非线性微分方程组，在6.1中利用线性近似方程组讨论了奇点邻域的轨线性态，至于全相平面的轨线图貌，情况就复杂多了.例1 对平面二阶非线性驻定方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+-+=)(),(2222y x y y x dtdy y x x y x dt dx （6.47） 如取极坐标θcos r x =，θsin r y =，则方程组（6.47）可化为)1(2r r dt dr -=，1-=dtd θ， 孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为极限环. 当极限环附近的轨线均正向（即+∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为稳定的. 如果轨线是负方向（即-∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为不稳定的. 当此极限环的一侧轨线正向趋近于它时，称此极限环为半稳定的.不先求出特解（如上例的1=r ），而仅仅由构造出的环域D 便可以证明在此环域内必存在极限环. 这种构造特殊环域来寻求极限环的方法称为本迪克松（Bendixson ）方法. 定理8 如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含有方程组（6.33）的奇点，而（6.33）的经过域D 上点的解)(),(t y y t x x ==，当0t t ≥（或0t t ≤）时不离开该域，则或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于D 内的某一周期解（闭轨线）.通过构造有特殊性质的域D 可以确定周期解（极限环）的存在性，能否通过构造具有别的性质的域*D 来否定周期解（极限环）的存在呢？定理9 如果于G 内存在单连通域*D ，在其内函数yY x X ∂∂+∂∂不变号且在*D 内的任何子域上不恒等于零，则方程组（6.33）在域*D 内不存在任何周期解，更不存在任何极限环.例2 考虑6.1例1的数学摆，范德波尔微分方程 0)1(222=+-+x dt dx x dtx d μ， （6.49） 考虑所谓的李纳（Lienard ）微分方程0)()(22=++x g dt dx x f dt x d ， （6.50）如果记⎰=x dx x f x F 0)()(，并设)(x F dt dx y +=，则方程（6.50）可化为平面微分方程组 )(),(x g dtdy x F y dt dx -=-=. （6.51） 对于方程（6.50）或方程组（6.51），有下面的定理.定理10 假设（1）)(x f 及)(x g 对一切x 连续，)(x g 满足局部利普希茨条件；（2）)(x f 为偶函数，)(,0)0(x g f <为奇函数，当0≠x 时0)(>x xg ；（3）当±∞→x 时，)(;)(x F x F ±∞→有唯一正零点a x =，且对)(,x F a x ≥是单调增加的.那么，方程（6.50）有唯一周期解，即方程组（6.51）有一个稳定的极限环6.4.2 平面图貌奇点和极限环是相平面上两种特殊的轨线，希望在相平面上画出一般的轨线的图貌，以了解微分方程的解的性态.定理11 两种群竞争一般模型（6.53）的每一条轨线，当∞→t 时都趋于有限个平衡点之一.定理12 平面驻定微分方程（6.33）在平面有界区域上结构稳定的充要条件是（1） 只有有限个奇点，且均为双曲的；（2） 只有有限个闭轨，且均为单重极限环；（3） 没有鞍点之间的分界线.习题6.4 第307页 1（1），（3）；2（1），（3）.。
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法全篇
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
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un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求解非齐次偏微分方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号:BY 1004120冃录1、绪论 (3)1・1背景 (3)1・2现状 (7)2、非线性偏微分方程的儿种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (13)2.4辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (16)2.6双曲正切函数展开法 (18)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE 来描述，很多重要的物理、力学等学科的基木方程本身就是NLPDE,另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示岀了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。
下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。
1-1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。
随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方而，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并己初步形成比较完善的理论体系。
非线性微分方程的定义和基本概念
非线性微分方程的定义和基本概念随着现代科学和工程技术的发展，越来越多的研究者开始关注非线性现象的研究。
对于很多非线性的问题，求解常微分方程已经不能满足要求，需要引入更为复杂的数学模型：非线性微分方程。
这篇文章主要介绍非线性微分方程的定义，以及一些基本概念。
一、非线性微分方程的定义首先，必须先定义一下什么是微分方程。
微分方程，简单地说，就是含有未知函数及其导数的方程。
而非线性微分方程，则是包括了未知函数及其导数的非线性方程。
形式上，可以表示为：$$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$$其中 $F$ 是一个非线性的函数。
而 $y,y',y'',\cdots,y^{(n)}$ 分别表示 $y$ 函数的一阶、二阶…… $n$ 阶导数。
值得注意的是，这里的 $n$ 不一定是有限的，可能是无限的。
比如，我们熟知的波动方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$就可以看做是一个无限阶的微分方程。
当然，这里的非线性微分方程主要是对于有限阶的微分方程进行研究。
二、一些基本概念1. 阶数一个微分方程的阶数，就是它中最高阶导数的阶数。
比如，$y''+y^2+3y=0$ 是一个二阶的微分方程。
2. 解和通解对于一个微分方程，找到一个满足它的函数 $y=\phi(x)$，就称为微分方程的一个解。
而对于微分方程，一般存在多个解。
这些解中，包含有一个常数 $C$ 的函数族 $\phi+C$，称为微分方程的通解。
3. 初值问题和边值问题在求解微分方程时，需要知道未知函数 $y$ 在某些点处的值，才能唯一地确定通解中的常数 $C$。
这种类似于需要确定初值的问题，称为初值问题。
而一些微分方程需要满足的边界条件，称为边值问题。
4. 局部解和整体解有些微分方程可能只在某些范围内才有解。
《常微分方程》第六章 非线性微分方程
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).
非线性微分方程解的稳定性.ppt
四、李雅普诺夫第二方法
讨论如何应用函数来确定非线性微分方程组的稳定性态
问题，为简单起见，我们只考虑非线性自治微分方程组
其中
dx f (x) dt
（7）
x1
x
x2
xn
f1(x1, x2 ,
f
(x)
f2 (x1,
x2 ,
fn (x1, x2 ,
, xn )
xn
)
xn
)
假设f (0) 0 且 f (x) 在某域G : x A ( A为正常数)内连续的偏导 数，因而方程组（7）的由初始条件x(t0 ) x0 所确定的解在原 点的某个邻域内存在且唯一。显然 x 0 是其特解。
时是定负的。
定理3 如果对微分方程组（7）可以找到一个定正函V数(x) ，其通过（7）
的全导数dV 为常负函数或恒等于零，则方程组（7）的零解为稳定
dt
的。如果有定正函V数(x) ，其通过（7）的全导数dV 为定负的，则方 dt
程组（7）的零解为渐近稳定的。
定理4 （零解稳定判别定理） 对系统
dx F (x), x Rn dt
• 3.线性问题是非线性问题的基础,在一定条件 • 下，非线性问题在局部可以转化为线性问题 • 来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一 • 个难题。
19世纪末20世纪初
Poincare(法国) 创立微分方程定性理论 Liapunov(俄国) 创立微分方程稳定性理论
Logistic方程 Logistic方程
的。
五、结论
本文简述了非线性系统，根据非线性稳定性定理对方 程解的稳定性作了分析，非线性系统主要采用李雅普诺夫 第二方法进行稳定性判断。李雅普诺夫第一方法是将非线 性方程线性化，然后根据线性化后的方程的稳定性就可以 知道原非线性方程在定点邻域内的稳定性。李雅普诺夫第 二方法是构造李雅普诺夫函数不求解方程，用类似能量函 数直接做出判断。
第十一讲 非线性微分方程定性 与稳定性理论(1)
{
}
定义3: 定义3: 若 ∃ε 0 > 0 对 ∀δ > 0 ，∃ x 0尽管 x0 ≤ δ ， 但由初始条件 x (t0 ) = x0 确定的解 x (t ) ,总存在某 个时刻 t1 > t0 使得
x (t1 ) ≥ ε 0
则称（3）式的零解 x = 0是不稳定的。 是不稳定的。 则称（
(a)
A > 0, B > 0
t
0
ε
y′ > 0
(b )
A < 0, B < 0
二、相平面
本节主要讨论二阶线性方程
dx dt = ax + by dy = cx + dy dt
的奇点及其分类
a b ≠0 c d
一般二阶微分方程组的相关概念和性质
dx = X (t; x , y ) dt dy = Y (t; x , y ) dt
0
则称（3）式的零解 x = 0 是稳定的。 是稳定的。 则称（ 若（3）式的零解稳定,且 ∃δ0 >0 使得当 x0 ≤ δ 0时, 式的零解稳定, 由 x (t0 ) = x0 确定的解 x ( t )有 则称零解 x = 0 是渐近稳定的. 是渐近稳定的.
t → +∞
lim x ( t ) = 0
x = y − ϕ (t ) ɺ ɺ ɺ ⇒ x = y − ϕ (t ) = g (t ; y ) − g (t ;ϕ (t )) =g (t ; x + ϕ (t )) − g (t ;ϕ (t )) ≡: f (t ; x )
ɺ x = f (t ; x )
f (t ;0) = 0
第四章 非线性微分代数系统
第四章非线性微分代数系统的局部结构理论本章主要目的在于从定性的角度研究平衡点的局部性态。
第1节介绍微分代数系统指数的概念及其数学基本结构。
第2节首先考察线性微分代数系统中的一个带根本性的问题，即其广义特征根与其向量场的特征根的等价性问题。
然后，在此基础上我们依据广义特征根对对余二维线性违反微分代数系统的平衡点(奇点)作出了全面分类。
第3节考虑非线性微分代数系的线性近似问题，主要研究非线性微分代数系统与线性微分代数系统的局部拓扑等价性。
第4节研究非线性微分代数系统的局部参数化问题，给出受限系统的最小状态空间形式，其内容主要是为第5节讨论线性近似为中心的情形以及微分代数系统的分支问题做准备的。
第5节通过取定系统状态空间形式，利用后继函数判别法和形式级数判别法给出中心..焦点的判别法则和算法步骤。
第6节考察一个具体微分代数系统局部性态，作为第4和第5节中的方法和结果的应用4.1 微分代数系统的指数和数学结构由于微分代数系统由微分方程和代数方程混合而成，我们总希望通过微分运算把微分代数系统化显示常微分方程的形式。
在这种变换过程中所用到的微分次数称之为微分代数系统的指数，这样，微分方程有指数0。
在给出微分代数系统的指数的精确定义之前，我们考察余下几个简单的例子。
例题4.1 设()q t 是一个给定的光滑函数，如下关于变量y 的纯量方程()y q t = (1.1) 是一个指数1的微分代数方程,这是由于对(1.1)式两边微分一次就可把纯量方程(1.1)化为关于纯量y 显示微分方程。
系统121()y q t y y ='= (1.2)是指数2系统。
事实上，先对第一个方程微分得21()y y q t ''== 再对上式微分得21()y y q t '''''== 通过两次微分运算得到微分方程12()()y q t y q t ''='''= 类似地，通过三次微分运算可以把系统3()u q t y u =''= (1.3) 化为3y 的微分方程，因此，系统(1.3)有指数3.非线性微分代数系统一般形式由如下隐式形式给出(,,)0F t y y '= (1.4) 其中Jacobian 矩阵函数/F y '∂∂可以是奇异的。
常系数非齐次线形微分方程
解的稳定性
要点一
稳定性定义
如果微分方程的解在某个初始条件下，对于任意小的扰动 ，其解的轨迹变化都不显著，则称该解是稳定的。
要点二
判定方法
通过分析微分方程的系数和初值条件，利用线性化方法和 Lyapunov函数等方法进行稳定性判定。
04 微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡器模型，如弹簧振荡器、电磁振 荡器等。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
非线性微分方程
定义
非线性微分方程是指未知函数及其导数之间存在非线 性关系的微分方程。
解法
非线性微分方程的解法通常需要使用数值方法或近似 解法，如迭代法、摄动法等。
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波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、水波等的 传播规律。
非线性微分方程
• 微分方程（4）右端不含自变量，其右端为零得到的代数 方程Ay-By2=0的解y1(t)= 0 ,y2(t)= A/B是微分方程（4）的 常数解，称为平衡解。
• 微分方程（7）右端不含自变量时为驻定微分方程。
• 驻定微分方程右端为零得到的代数方程的解
是微分方程的常数解，也是特解，称为驻定解或平衡解。
9 第六章 非线性微分方程§6.1
按线性近似的稳定性 dx Ax (8) dt
现考虑非线性驻定微分方程组 d x Ax R(x), R(0) 0 (11)
右端函数满足条件
dt R(x)
lim
0
x 0 x
显然，方程组有零解x=0。 可以按(11)的线性近似方程组
(8)零解的稳定性态决定非线性驻定微分方程组(11)的稳定性 态。即
• 二维情形零解的稳定性态在平面上的示意图如图(6.2)。
6 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性态在平面上的示意图
7 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性态在平面 上的示意图
d y Ay By2 (4) dt
例 对微分方程(4)，当 A<0,B<0时，其零解y=0 为渐近稳定，稳定域为 y<A/B。特解y2(t)=A/B 为不稳定。
4 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性定义 d x f (t, x), dt
f (t,0) 0. (5)
假设 方程组(5)的右端函数f(t,x)在包含原点的域G内有连续的 偏导数，从而满足方程组的解的存在唯一性、延拓、连续 性和可微性条件。
稳定性定义 如果对任意给定的 >0，存在 = ( ,t0)，使 当任一x0满足||x0||≤ 时，方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确 定的解x(t)对一切t≥t0均有||x(t)||≤ ，则称方程组(5)的零解 是稳定的。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
非线性微分方程的行为及其动力学研究
非线性微分方程的行为及其动力学研究在数学和物理领域，非线性微分方程一直是研究的焦点之一。
与线性微分方程不同的是，非线性微分方程中的函数关系不满足线性叠加的原理，而是具有高度的复杂性和非可积性。
此类方程广泛应用于自然现象的建模和预测中。
非线性微分方程研究的主要目的是理解这些复杂的现象，为解决实际问题提供必要的工具和方法。
本文将从非线性微分方程的基础知识开始，介绍它的性质和解析技术。
然后，我们将讨论非线性微分方程的一些典型行为及其动力学研究，包括周期解、混沌、吸引子和边界层现象等。
1. 非线性微分方程的基础知识1.1 定义对于一般形式的非线性微分方程，可以表示为：$$\frac{d}{dt}u(t)=f(u(t))$$其中 $u(t)$ 表示未知函数，$f(u(t))$ 表示非线性函数。
该方程的初值条件为$u(0)=u_0$。
1.2 常见的非线性微分方程1.2.1 Lotka-Volterra 方程又称捕食-繁殖方程，由 Lotka 和 Volterra 在20世纪初提出。
描述了生态系统中两个种群之间的相互作用关系。
该方程形式为：$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}x(t)&=ax(t)-bx(t)y(t) \\ \frac{d}{dt}y(t)&=-cy(t)+dx(t)y(t) \end{aligned}$$其中，$x(t)$ 和 $y(t)$ 分别表示捕食者和猎物的种群密度，$a$、$b$、$c$、$d$ 是常数。
1.2.2 Van der Pol 方程由荷兰电气工程师 Van der Pol 在20世纪20年代提出。
描述了电路中非线性振荡的现象。
方程形式为：$$\frac{d^2}{dt^2}x(t)-\mu(1-x^2(t))\frac{d}{dt}x(t)+x(t)=0$$其中，$x(t)$ 表示电路中的电量，$\mu$ 是常数。
1.3 动力学系统对于一个非线性微分方程，我们可以将它看作一个动力学系统。
非线性偏微分方程
2
(3.4) (3.5)
∂u ∂ζ
+β
∂2 u ∂ζ
2
=0
(3.6)
+ 2 u2 − cu = A
1
(3.7)
βu2 + 6 u3 − 2 cu2 − Au = β 2
1
1
(3.8)
写成
1 2 1
u2 + r u = 0
(3.9) (3.10)
r u = 6β (u3 − 3cu2 − 6Au − 6β)
n i=0 k i xi
+ wt
(3.2)
n 是空间维数 k 是波矢 w 是频率 可将 NPDE 化为常微分方程（ODE） p u, uζ , uζ
ζ
,⋯ = 0
(3.3)
如对（3.3）直接积分与可直接积分求出通解 二、对 KDV 方程孤波解 KDV 方程 ut + uxx + βuxxx = 0 引入ζ = x − ct (3.4)代为 u−c 积分一次得 β 再乘 u 积分得
第一讲 概论
一、非线性偏微分方程（NPDE） 又称非线性数学物理方程又称非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程 领域如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。 二、方程的建立、分类 常微分方程 古典分类 分类 耗散结构 抛物型 双曲型 椭圆型 du = Lλ u + G(uλ ) dt 三、关于 NPDE 研究有重要科学意义及广泛应用背景。主要研究内容集中在两 个方面： 一是定性。主要研究解得存在性及状态。 二是定量。主要研究构建科学的精确解。 四、化繁为简 化偏微为常微 化高阶为低阶 化非线性为线性 第三讲 非线性偏微分方程行波解的直接积分法 一、思路：对 NPDE p u, ux
数学中的非线性偏微分方程研究
数学中的非线性偏微分方程研究1. 引言数学中的非线性偏微分方程是当前热门的研究领域之一，其应用涵盖物理、化学、工程、生物学等多个领域。
非线性偏微分方程在研究中的作用是多方面的，包括模拟天气、研究气体动力学、描述流体力学等方面。
本篇文章将从以下几个方面来介绍数学中非线性偏微分方程的研究。
2. 基本概念和基础理论在开始介绍非线性偏微分方程的研究内容之前，首先需要解释一些基本概念和理论。
微分方程是数学中的重要分支，它是描述物理问题中动态变化规律的数学工具。
微分方程根据方程中未知函数与其偏导数的关系，分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
其中，偏微分方程描述的是一个函数的各方向上的偏导数与自变量的关系。
偏微分方程可分为线性和非线性两类。
线性偏微分方程能够通过相加和相乘的方式来叠加解，非线性偏微分方程则不能。
在实际应用中，非线性偏微分方程更为普遍和实用。
3. 常见的非线性偏微分方程非线性偏微分方程按照具体应用领域可以分为多种类型，常见的有以下几种：3.1 反应扩散方程反应扩散方程是描述物种在不同地点和时间内扩散和反应的方程，这种方程在环境科学、化学、生物学等领域有着重要的应用。
该方程通常有如下形式：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\nabla^2u+f(u)$$其中，$u$是密度场，$D$是扩散系数，$f(u)$是反应项。
3.2 汉密尔顿–雅可比方程汉密尔顿–雅可比方程是描述动态系统演化的非线性偏微分方程，它在经济学、物理学、控制论等多个领域具有重要的应用。
汉密尔顿-雅可比方程有如下表达式：$$\frac{\partial u}{\partial t}=H(x)\frac{\partial u}{\partial x}$$其中，$H(x)$是哈密尔顿量，即系统的能量。
3.3 斑图方程斑图方程主要用于描述分子扩散过程，该方程中自变量为两维空间坐标和时间。
其形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\nabla^2u+au^3-bu$$其中，$u$是密度场，$a$和$b$为常数。
非线性微分方程和稳定性
第六章 非线性微分方程和稳定性6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过()0,0x 的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。
1）+∞<<-∞>>+=02,0,0,x B A Bx Ax dtdx 2）()()0,310≥--=x x x x dtdx 解 1）方程可化为 )(x BA Bx dt dx +=，则其常数特解为B A x x -==21,0，即为驻定解。
由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当BA x x -≠≠,0时，分离变量得 Adt dxB A x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11 方程的通解为At Ce BxA x =+ 利用初始条件()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠≠=B A x x x x 000,00，得 00Bx A x C +=，故得原方程满足初始条件的解为()0)(0≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-t e B x A B At x At（1） 由式（1）和方程右端的表达式，得出当00>x 时，0>dt dx ，)(t x 递增， 又 B e B x A B B x A At →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->+-00,时，+∞→)(t x ， 即)1ln(10+=→B x A A t t 时，+∞→)(t x 。
当 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-><+>-<>+<000,0000000 dt dx ,B A x , B x A dt dx ,B A x B x A x 时，有 ()+∞→-→t BA t x )( 所以解（1）的图像如图6-5所示。
图6-5从解的图像可以看出：解01=x 不稳定；解B A x -=2稳定。
利用变换BA x y +=，可将原方程化为 22)()(By Ay BA yB B A y A dt dy +-=-+-= 所以原方程的驻定解BA x -=2对应于方程 2By Ay dtdy +-= 的零解0=y 。
数学物理方程第八章 非线性偏微分方程与积分方程
t ≥ 0 都存在，而只是在某个有限时间内存在，见下例
例 3 考虑瑞卡提方程的初值问题
⎧ dv 2 ⎪ =v , t>0 ⎨ dt ⎪ ⎩v(0) = v0 (v0 是常数)
容易求出它的解
v(t ) =
v0 1 − v0 t
显然， 若 v0 < 0 ， 则方程的解对所有 t ≥ 0 都存在， 简称存在整体解； 若 v0 > 0 ， 则当 t →
v∈M ϕ
(8.1.2)
这是一个变分问题 如何求出变分问题式（8.1.2）的解？我们先来看看假若 u ∈ M ϕ 是式（8.1.2）的解，那
么 u 必需满足什么样的条件。为此，我们定义 M 0 = v v ∈ c (Ω), v
1
{
∂Ω
= 0}, 任取 v ∈ M 0 ，
对任意 ε ∈ (−∞,+∞), u + εv ∈ M ϕ , 记 j (ε ) = J (u + εv) 式中， J (u ) 由式（8.1.1）确定，从 式（8.1.1）可知 j (ε ) 是定义在 R 上的一个可微函数，由于 u 是式（8.1.2）的解，所以对任 意 ε ∈ R, j (ε ) ≥ j (0) ，即 j (ε ) 在 ε = 0 处取的是最小值，故 j ′(0) = 0) 不难算出 j ′(ε ) =
∂ 2u = eu ∂x∂y
（8.2.1）
这是一个半线性的二阶方程，若令 u1 是
∂ 2 u1 =0 ∂x∂y
的解，则再构造一个偏微分方程组
1 ( u + u1 ) ⎧ ∂u ∂u1 2 = − β e ⎪ ⎪ ∂x ∂x ⎨ 1 ⎪ ∂u = − ∂u1 − 2 e 2 ( u −u1 ) ⎪ ∂y β ⎩ ∂y
二阶非线性微分方程组的解法
二阶非线性微分方程组的解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
其中，二阶非线性微分方程组是一类常见的微分方程，在实际应用中也具有重要的意义。
本文将介绍二阶非线性微分方程组的解法。
一、基本概念与知识首先，我们需要了解一些基本概念和知识。
二阶非线性微分方程组一般形式为：$$\begin{cases}y''=f(x,y,y')\\z''=g(x,y,z,z')\end{cases}$$其中，$y$, $z$ 分别是自变量 $x$ 的函数，$f$, $g$ 是已知函数，$'$ 表示对自变量求导。
这类微分方程的解法不像线性微分方程组那样简单，需要运用一些特殊的技巧。
二、变系数法变系数法是解决二阶非线性微分方程组的一种有效方法。
其基本思想是将原方程组中的一个方程看作另一个方程的辅助方程，从而将原方程组化为一个二阶非齐次线性微分方程，然后再利用常规的线性微分方程的求解方法来解决。
具体步骤如下：(1) 假设 $z$ 是 $y$ 的辅助方程，即 $z''=g(x,y,z,z')$。
(2) 将 $z''$ 在 $y''$ 的方程中代入，得到二阶非齐次线性微分方程：$$y''-f(x,y,y')+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}=\frac{d^2 z}{dx^2}+\frac{d g(x,y,z,z')}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}\frac{dz}{dx}$$(3) 求解该方程。
(4) 由 $z''=g(x,y,z,z')$ 得到 $z$。
注意事项：在应用变系数法的过程中，需要注意以下几点：(1) 辅助方程的选取需要灵活，一般选取在求导和代入方便的方程作为辅助方程。
数学中的非线性偏微分方程与方法论
总结
物理意义
非线性偏微分方程是描述 自然界中很多现象的数学 模型，具有重要的物理意 义。
数学难题
应用前景
研究进展
非线性偏微分方程的数学 性质复杂，相关的数学难 题是数学家们研究的重点 之一。
非线性偏微分方程在物理 学、工程学等领域具有广 泛的应用前景，对于理解 和解决实际问题具有重要 意义。
目前关于非线性偏微分方 程的研究进展迅速，涉及 到数值方法、理论分析等 多个方面。
数学难题和研究进展
Navier-Stokes方程的非线 性性质导致了很多数学难 题，目前研究仍在进行中， 取得了一些进展。
S c h r öd i n g e r 方 程
01 量子力学中的地位和作用
量子力学是描述微观粒子行为的重要理论， 而Schrödinger方程是量子力学的基础方程之 一。
02 波函数解释和统计物理学意义
非线性反应-扩散 方程的数值解法
非线性反应-扩散方 程是描述许多物理现 象的重要数学模型。 在数值模拟中，我们 需要考虑扩散系数和 反应速率对解的影响。 误差分析和收敛性检 验是评估数值解法有 效性的重要步骤。
非线性波动方程的数值模拟
有限差分离 散
离散化过程
波的传播和 干涉
现象分析
稳定性分析
数值模拟性质
● 04
第四章 非线性偏微分方程的 解析理论
非线性偏微分方程的解的存在 性定理
01 Leray-Schauder定理
解的存在性和唯一性
02 Sobolev空间
在存在性定理中的应用
03 解的存在性与正则性
关系及应用
拉普拉斯算子的谱理论
本征函数
描述 性质
谱理论应用
非线性微分方程及稳定性
如果向量函数 g (t; y ) 在某域 G 内连
续，且关于 y 满足局部里普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初始
条件 y(t0 ) y0 的解 y (t; t0 , y0 )((t0 , y0 ) G) 可以延拓，或者延拓 到 (或 - ); 或者使点 (t , (t; t0 , y0 )) 任意接近区域 G 的边界。
则n阶微分方程可以用一阶方程组
dy 写成向量形式： g (t ; y ) dt
（6.1）
设给定方程组（6.1）的初始条件为 y(t0 ) y0 考虑包含点(t0 , y0 ) (t0 ; y10 ,, yn0 ) 的某区域 R :| t t0 | a, y y0
b
所谓 g (t; y0 ) 在域 G 上关于 y 局部满足利普希茨条件是指对于 G
6.2 稳定性的基本概念
定义6.1 设 的解 (1) 若
x(t; t0 , x0 )
是系统(6.3)适合初值条件 x(t0 ) x0
使得只要 x0 , 对一切
0, ( ) 0,
t t0
恒有
x(t; t0 , x0 ) ,
则称系统(6.3)的零解 (2) 若 1) 2)
R 上连续且关于
y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解 y (t; t0 , y0 ),
它在区间 t t0 h 上连续，而且 (t0 ; t0 , y0 ) y0 b 这里 h min( a, ), M max g (t ; y ) . ( t , y )R M 解的延拓与连续性定理
内任意点 (t0 , y0 ), 存在闭邻域 R G, 而 g (t; y0 ) 与
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4.1 存在与唯一性定理
4.2 解的延拓 4.3 解对初值和参数的连续性和可微性
初值问题解的存在唯一性：
dy f x, y dx y x0 y0
我们有下述定理
定理4.1 设 f x, y 满足下列两个条件
（1）函数 f在区域G中连续 （2）偏导数 f y 在G中存在且连续
如果 f (x, y)在整个 x y 平面上定义、连续和有界，
存在关于 y 的一阶连续偏导数，则方程
dy f ( x, y ) dx
的任一解均可以延拓到区间 (,)。 证明
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
y ( x) K ( x) K
无界，或者 ( x, ( x)) 趋于区域 G 的边界。
引理4.1（Bellman不等式）
设 u( x)与g ( x) 为闭区间 a, b 上的非负连续函数，如果存在常数
M 0, x0 a, b 使得
u ( x) M
则有
x
x0Biblioteka u ( s ) g ( s )ds , a x b
u ( x) Me
x0 g ( s ) ds
x
,a x b
证明
x x0
h( x) M u(s) g (s)ds
x0
x
h( x) -u( x) g ( x) -h( x) g ( x), a x x0
或
g ( s ) ds x0 h( x ) e 0, a x x0
的解，若 y ( x) x [a1 , b1 ]
[a, b] [a1 , b1 ] ，当 x [a, b] 时， ( x) ( x)
则称解 ( x) 是解 ( x) 在区间 [ a, b] 上的延拓。
解的延拓定理
如果方程(3.1)右端的函数 f ( x, y) 在有界区域 G 中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 ( x0 , y0 )的解 y ( x) 可以延拓。 直到点 ( x, ( x)) 任意接近区域G 的边界。 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果
x
对上述不等式在 x, x0 上积分
h( x)e
故有
x0 g ( s ) ds
x
h( x0 ) M , a x x0
u( x) h( x) Me
x0 g ( s ) ds
x
, a x x0
例
设(x, y)∈D：|x+1|≤1，|y|≤1，求初值问题
dy 2 2 x y dx y -1 0
13
f ( x, y) K
所以
y ( x) 值域在两条直线夹角内，否则
y
y ( x) 将穿过直线
y y0 K ( x x0 ) y y0 K ( x x0 )
则会有
y y0 K ( x x0 )
( x) K
y0
y ( x)
与 f ( x1 , y1 ) K 矛盾。
的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计
解
2 2 设 f x, y =x y 显然，方程在D上满足解的存在唯一性定理的条件
M max f ( x, y) 4, a 1, b 1
b 1 1 h min a, =min 1, M 4 4
L max
f
y
: x, y R
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 , ( x, y1),( x, y2 ) R
称函数在R上关于y满足利普希茨条件，同时称L为 函数在R上的利普希茨常数
定理4.2 设函数
f ( x, y)定义于 R : x x0 a, y y0 b
方程过（-1，0）的解的存在区间为 x 1
1 5 4 ,即 x 4 4 3
0 ( x) 0
x2 1 1 ( x) x dx 1 3 3 x x2 1 x 7 x 4 x 3 x 11 2 2 ( x) x dx 1 63 18 3 9 42 3 3
x o x0 x1
14
由解的延拓定理推论，方程的 任一解均可以延拓到区间 (,) 。
y y0 K ( x x0 )
谢谢大家
则对于G中任一内点 ( x0 , y0 ) ，必存在h>0，使初值问题存在唯一的定义于区间
x0 h, x0 h 的解 y ( x) ，且当
x x0 h时点 ( x, ( x)) 位于G内
R : x x0 a, y y0 b 包含于G
f 与 f y 均在R上存在且连续
且满足下列两个条件：
（1）函数 （1）函数
f
在R中连续 在R中满足利普希茨条件，即存在常数L>0使得
f
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 , ( x, y1),( x, y2 ) R 成立
则初值问题存在唯一的定义于区间 x0 h, x0 h 的解，其中
x 2
在区间 x 1
1 ，误差为 4
ML2 4 L2 1 3 2 ( x) ( x) h (2 1)! 3! 43
f 4 22 1 1 取 2 y 2 L, 所以 2 ( x) ( x) y 3! 43 24
例
用解的延拓定理证明
y ( x)
只能延拓的区间 x0 x m上，则当
( x, ( x)) 趋近于区域 G 的边界。
x m时，
推论
如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下, 方程(3.1)的通过点 ( x0 , y0 )的解 y ( x) 可以延拓， 以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况: (1) 解 y ( x) 可以延拓到区间 [ x0 ,) (2) 解 y ( x)只可以延拓到区间 [ x0 , m) 其中m 为有限数，则当 x m 时，或者 y ( x)
b h min a, , M max f x, y : x, y R M
定义
设 y ( x) x [a, b] 是
dy (3.1.1) f ( x, y)......... dx ...(3.1.2) ( x0 ) y 0 ..........