随机过程考试题及答案(精选.)

2010级硕士生《随机过程》考试题

解：状态转移概率如下图所示：

，，

（1）由图可知：

状态空间S 可分为C1：{1 ,2,3}，C2：{4,5}，C3：{6}三个不可约闭集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1。 （2） 21)1(11=f

2723132312131313221)4(11

=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=f

（3）

由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。

平稳分布的计算公式为：

⎪⎩⎪⎨

⎧≥==∑∑∈∈I j j j I i ij i j p 0,1ππππ

对C1：{1 ,2,3}

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=+++=+=+=1

32313221312132132

32

12311ππππππππππππ

解得：

838

341

321=

==πππ，，

对C2：{4 ,5}

⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪

⎪⎨⎧=++=+=121212121545

45544ππππππππ

解得：

2154=

=ππ

对C3：{6}

易得：16=π （4）C1：{1 ,2,3}中，

各状态的平均返回时间分别是：

4

1

1

1==

πμ

3

81

2

2=

=πμ

3

81

3

3=

=πμ

C2：{4 ,5}中，

2

1

4

4==

πμ

2

1

5

5==πμ

C3：{6}中，

1

1

6

6==

πμ

1.

5.设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动，到达0点或者4点后以概率1停留在原处，在其他整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或者停留在原处，画出转移概率图并求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解：

转移概率图如下：

二步概率转移矩阵为

10.

3 . 设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到

达的顾客不超过3人的概率。

1. 设在[0,t]内事件A 已经发生n 次，且0

})(|)({n t X k s X P ==.

解：利用条件概率及泊松分布，得

})({}

)(,)({})(|)({n t X P n t X k s X P n t X k s X P ====

==

})({}

)()(,)({n t X P k n s X t X k s X P =-=-==

!)()!

()]([!)()(n t e

k n s t e k s e n

t k n s t k s

λλλλλλ-------=

k

n k

k n t s t s C -⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1

2. 设电话总机在(0,t]内接到电话呼叫数)(t X 是具有强度（每分钟）为λ的泊松分布，求：

（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；

（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。 解： （1）

λ

λλλ232334!3)2(}3)()2({--===-+e

e t X t X P

（2）

∑=-≥-=-=2

0}

3)1()2(,)0()1({k k X X k X X P P

∑=-≥-=-=2

}

3)1()2({})0()1({k k X X P k X X P

)

1(2

)1()2

1(2

2

λλλ

λ

λλλ

λ

λλλλλλ----------+

--+-

--=e e e e

e e e

e

e

)]

221()2

1[(22

λλλλλλ

++-+

+=--e e

3 . 设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。