最新初中数学二次函数经典测试题附答案

A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于 21 时，原数等于 30
D．当原数取 50 时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为 m，则新数为 1 m2 ， 100
故答案选：D． 【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字
规律转化为数学符号．
3．要将抛物线 y x2 平移后得到抛物线 y x2 2x 3 ，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B．向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C．向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D．向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线 y=x2 的顶点坐标是（0， 0）， 则平移的方法可以是：将抛物线 y=x2 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度．
∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确；
∵抛物线与直线 y=m 有一个公共点，
∴抛物线与直线 y=m+1 有 2 个公共点，
∴一元二次方程 ax2+bx+c=m+1 有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选:C．
【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的
【分析】
由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称
轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线交 y 轴于负半轴，则 c<0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向上可推出 a>0；
∵对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x= b >0， 2a
5．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与 x 铀的 一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝ 4a（c﹣m）；④一元二次方程 ax2+bx+c＝m+1 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个 数是（ ）
2
故选 D． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特 征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．
9．如图，矩形 ABCD 的周长是 28cm ，且 AB 比 BC 长 2cm ．若点 P 从点 A 出发，以 1cm / s 的速度沿 A D C 方向匀速运动，同时点 Q 从点 A 出发，以 2cm / s 的速度沿 A B C 方向匀速运动，当一个点到达点 C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数
与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
8．已知抛物线W : y x2 4x c ，其顶点为 A ，与 y 轴交于点 B ，将抛物线W 绕原点
旋转180 得到抛物线W ' ，点 A, B 的对应点分别为 A', B ' ，若四边形 ABA' B' 为矩形，则 c 的值为（ ）
7．二次函数 y＝x2+bx 的对称轴为直线 x＝2，若关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0（t 为
实数）在﹣1＜x＜4 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 b，确定二次函数解析式，关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数 y＝ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物
线与 x 轴交点的个数确定解答．
【详解】
①由抛物线的对称轴可知：﹣ ＞0，
∴ab＜0， ∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确；
1 S△APQ= AP
AB 1 t 8 4t ，
2
2
图像是一条线段，故选项 D 不正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据动点 P 和 Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，
解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出 S 与 t 的函数关系式．
10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不 考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位： s）之间的关系如下表：
最新初中数学二次函数经典测试题附答案
一、选择题 1．小明从如图所示的二次函数 y ax2 bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息： ①c＞0，②abc＜0，③a-b+c＞0，④ b2 ＞4ac，⑤2a=－2b，其中正确结论是
（ ）．
A．①②④
B．②③④
C．③④⑤
D．①③⑤
【答案】C
【解析】
∴A(2，c-4)，B(0，c)，
∵将抛物线W 绕原点旋转180 得到抛物线W ' ，点 A, B 的对应点分别为 A', B ' ， ∴ A'(2，4 c)，, B '(0， c) ， ∵四边形 ABA' B' 为矩形， ∴ AA' BB' ，
∴2 (2)2 (c 4) (4 c)2 (2c)2 ，解得： c 5 ．
设新数与原数的差为 y
则 y m 1 m2 1 m2 m ，
100
100
易得，当 m＝0 时，y＝0，则 A 错误
∵ 1 0 100
m ﹣ b ﹣ 1 50
当
2a
2
﹣1010
时，y 有最大值．则 B 错误，D 正确．
当 y＝21 时， 1 m2 m ＝21 100
解得 m1 ＝30， m2 ＝70，则 C 错误．
故选：A． 【点睛】 此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移， 寻找平移方法．
4．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列 4 个结论：①abc＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别 a，b，c 的正负；根据抛物线的
对称轴位置可判别在 x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线 y=m 的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与 y 轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线 x=－ b =1 2a
又∵a>0，
∴b<0；
由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，
∴c<0，
故 abc>0，故②错误；
③结合图象得出 x=−1 时，对应 y 的值在 x 轴上方，故 y>0，即 a−b+c>0，故③正确；
④由抛物线与 x 轴有两个交点可以推出 b2−4ac>0，故④正确；
⑤由图象可知：对称轴为 x= b = 1 2a 2
t
01
2
345
67
…
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 t 9 ； 2
③足球被踢出 9s 时落地；④足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m. 其中正确结论
解：由题意得 2AB 2BC 28， AB BC 2 ，
可解得 AB 8 ， BC 6 ，即 AD 6 ，
①当 0≤t≤4 时，Q 在边 AB 上，P 在边 AD 上，如图 1，
1 S△APQ= AP
AQ 1 t
2t t2 ，
2
2
图像是开口向上的抛物线，故选项 B、C 不正确；
②当 4＜t≤6 时，Q 在边 BC 上，P 在边 AD 上，如图 2，
a 和 b 异号，
b 0 ， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，
c 0，
bc 0 ，所以①错误；
当 x 1时， y 0 ，
a b c 0 ，所以②错误；
抛物线经过点 (1, 0) 和点 (3, 0) ，
抛物线的对称轴为直线 x 1 ，
即 b 1， 2a
2a b 0 ，所以③正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点，
数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，﹣1＜x＜4 时﹣4≤y＜5，进而求解；
【详解】
解：∵对称轴为直线 x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数 y 的取值为﹣4≤y＜5，
A． 3 2
【答案】D 【解析】
B． 3
C． 3 2
D． 5 2
【分析】
先求出 A(2，c-4)，B(0，c)， A'(2，4 c)，, B '(0， c) ，结合矩形的性质，列出关于 c 的方
程，即可求解．
【详解】
∵抛物线W : y x2 4x c ，其顶点为 A ，与 y 轴交于点 B ，
∴b<0
∴abc＞0；①正确；
∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线
x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当 x=-1 时，y<0，
即 a-b+c<0，所以②不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，m），
∴ 4ac b2 =m， 4a
时间为 t(s) ， APQ 的面积为 S cm2 ，则 S cm2 与 t(s) 之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】 【分析】 先根据条件求出 AB、AD 的长，当 0≤t≤4 时，Q 在边 AB 上，P 在边 AD 上，如图 1，计算 S 与 t 的关系式，分析图像可排除选项 B、C；当 4＜t≤6 时，Q 在边 BC 上，P 在边 AD 上，如 图 2，计算 S 与 t 的关系式，分析图像即可排除选项 D，从而得结论． 【详解】
的交点在 x 轴下方得到 c 0 ，则可对 A 进行判断；利用当 x 1 时， y 0 可对 B 进行判
断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x b 1，则可对 C 进行判断； 2a
根据抛物线与 x 轴的交点个数对 D 进行判断．
【详解】
解： 抛物线开口向上，
a 0， 对称轴在 y 轴的右侧，
源自文库
则 2a=−2b，故⑤正确；
故正确的有：③④⑤．
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与
x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．
2．一列自然数 0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以 100，得到 一列新数．则下列结论正确的是（ ）
②∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确． ③∵（0，c）关于直线 x＝1 的对称点为（2，c）， 而 x＝0 时，y＝c＞0， ∴x＝2 时，y＝c＞0， ∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确； ④由图象可知：△＞0， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质， 属于中考常考题型．
关系是关键．
6．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0； ②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的是( )
A．②④
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到 a 0 ，利用对称轴在 y 轴的右侧得到 b 0 ，利用抛物线与 y 轴
△ b2 4ac 0 ，
即 4ac b2 ，所以④错误．
综上所述：③正确；①②④错误．
故选： C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y ax2 bx c(a 0) ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 （左同右异）．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 (0,c) ．抛物线与 x 轴交点个数由△决定．