欣赏数学思想之美

欣赏数学思想之美

文学的最高境界是美的境界，而数学也具有诗歌和散文的内在气质，达到文学性的方面，达到一定境界后，也能体会和享受到数学之美。

“数学思想”是数学的灵魂，研究一些数学思想方法，将会使你站在一个崭新的高度去审视问题，去体会数学之美。只有熟练地掌握数学思想和方法，才能使你在解答高考综合题时左右逢源，游刃有余。

因有兄弟学校到我校交流学习，笔者被安排开一节观摩课，考虑到学生对函数知识的一轮复习已结束，因此这节课设计着重放在函数——方程——不等式三者间的相互转化来解决一类函数最值问题，进而体会转化思想在函数中的应用。现将本节课的教学设计反思呈现如下，

一、教学实录（片段）

1问题的提出及解法探究

例1：已知函数，求函数的值域？

生：（题目一出，有一个学生立马报答案）

师：厉害！请问你用什么方法做的？

生：分子分母同除，再用基本不等式求。

师：好！但是这个函数定义域为R，同除要注意先讨论的函数值，用基本不等式求解时也要对正、负值讨论。（板书出正确过程）

还有其他方法吗？

生：导数法。（有同学表示此题用导数比较繁琐）

让学生动手算，并比较与之前方法的利弊。

生：用求导有点复杂，写值域时也易犯错，要注意才能得出正确结论。还是基本不等式计算简单。

师：分析的很好！其实很多函数问题不一定都用导数来做，不过同学们往往也不太喜欢分类讨论，还有计算更快的办法吗？

学：（有的沉思，有的交流，看到学生没有响应，教师及时点拨。）

师：方法一我们把函数问题转化为不等式问题，那么还能转化成什么呢？函数通常与哪些知识可以相互间转化？

生：函数—方程—不等式。

师：很好！我们说函数不一定是函数，其实函数—方程—不等式甚至代数式等很多时候都是对立统一的，可以相互转化。那么现在要转化成什么呢？

生：化为一元二次方程，因为这个函数定义域为，去分母后把函数转化为方程对任意的都成立，即方程恒有实根。当时，有实根，当时，，综上。

师：发现的好，也注意对二次项系数的讨论。这种解法就运用了转化思想。

2变式训练，引申拓展

变式1：是否存在实数，使得最大值为9，最小值为1？若存在，求出的值。

请学生分析变式1与例1的区别在哪里？（学生讨论）

生：例1是函数已知，求值域，而变式1中函数未知，值域已知，反过来求。

师：那这个问题和前面的问题又有什么相同之处吗？若有，怎样利用刚才解决问题的办法？

生：求导太繁，还是转化成一元二次方程好。

师：请个学生帮我们化下式子。

生：把它转化成。时，，此时函数不能同时存在最大和最小值，因此，且即（*）。

师：可怎么把最大是9，最小是1用进去呢？

生：最大是9，最小是1就是，即（*）的解集，因此1和9是（*）对应的方程的两根，由韦达定理可以解和都为5

师：分析的很透彻，对一元二次不等式的解集掌握的也很好。（板书过程）不过我们做题不是得出答案就好，最好把解出的和代回去检验下，这样一来保证正确率，二来反思下做题过程中所用到的数学思想等。

请学生来总结这两个题。

生：我们拿到函数题第一想法就是求导做，其实有些题转化成不等式、方程可能更简便。

二、教后反思

高三复习教学中，要紧扣教材，夯实基础，以基础题型的复习和基本数学思想、数学方法的训练为主，注重课本例题研究，尽量从多方面、多角度进行思考和探索，做到一题多解、多提一解，不断积累并总结解题的经验和方法。课堂上要舍得花时间让学生去探索、讨论，引导学生注重对题后的反思、回顾、引申，要让学生经历探索、比较归纳，提炼出一般解题方法。高三复习课要求老师真正让学生的思维动起来，教学设计上要铺设探究性通道，让学生自己去领悟隐含于题中的数学思想，并自觉地运用到今后的解题中去，最终达到用思想指导方法的思维习惯。这样的课堂才会高效，才能拓展学生的思维，提升能力。