结识抛物线(1)y=ax2的图象和性质

当x=1时，y=1 时 当x=2时，y=4 时
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ 二次函数y=- 的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (2)先想一想，然后作出它的图象． 先想一想
驶向胜利 的彼岸
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？ 它与二次函数 的图象有什么关系？
当x=1时,y= -1 时 当x= 2时,y= -4 时
看图说话
y y 函数y=a (a≠0)的图象和性质 y=ax 的图象和性质: 函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 0
y=x2
它们之 间有何 关系？
x
?
y=-x2
0 x
二次函数y=ax2的性质 二次函数
１.顶点坐标与对称轴 顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 位置与开口方向 ３.增减性与最值 增减性与最值 根据图形填表： 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=x2 （0，0） ， ） y轴 轴 轴的上方(除顶点外 在x轴的上方 除顶点外 轴的上方 除顶点外) 向上
x
y= - x2
y = x2
二次函数y=ax2的性质
y = −x2
1.抛物线 抛物线y=ax2的顶点是原点 对称 的顶点是原点,对称 抛物线 轴是y轴 轴是 轴.
2.当a>0时，抛物线 当 轴的上方(除顶点外 时 抛物线y=ax2在x轴的上方 除顶点外 它的开 轴的上方 除顶点外),它的开 口向上,并且向上无限伸展 并且向上无限伸展； 口向上 并且向上无限伸展； 抛物线y=ax2在x轴的下方 除顶点外 它的开 轴的下方(除顶点外 当a<0时,抛物线 时 抛物线 轴的下方 除顶点外),它的开 口向下,并且向下无限伸展 并且向下无限伸展. 口向下 并且向下无限伸展 3.当a>0时,在对称轴的左侧 随着 的增大而减小；在对称轴 当 在对称轴的左侧,y随着 的增大而减小； 时 在对称轴的左侧 随着x的增大而减小 右侧,y随着 的增大而增大.当 随着x的增大而增大 时函数y的值最小 右侧 随着 的增大而增大 当x=0时函数 的值最小 时函数 的值最小. 随着x的增大而增大 当a<0时，在对称轴的左侧 随着 的增大而增大；在对称轴 时 在对称轴的左侧,y随着 的增大而增大； 的右侧,y随着 增大而减小,当 随着x增大而减小 函数y的值最大 的右侧 随着 增大而减小 当x=0时,函数 的值最大 时 函数 的值最大.
4
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2 2 1
y = x2
二次函数y=x2的 二次函数 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 时所经过的路线 我 们把它叫做抛物线 抛物线. 们把它叫做抛物线 这条抛物线关于 y轴对称 轴就 轴对称,y轴就 轴对称 是它的对称轴. 是它的对称轴 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 抛物线的顶点
在对称轴的左侧,y随着 的增大而减小 在对称轴的左侧 随着x的增大而减小 随着 的增大而减小. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而增大. 随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着 的增大而增大
y = x2
y = −x2
y= -x2 （0，0） ， ） y轴 轴 轴的下方( 在x轴的下方 除顶点外 轴的下方 除顶点外) 向下
1.抛物线 抛物线y=ax2的顶点是原点 对称轴是 轴. 的顶点是原点,对称轴是 对称轴是y轴 抛物线 2.当a>0时,抛物线 当 抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口 轴的上方（ 时 抛物线 轴的上方 除顶点外） 它的开口 向上,并且向上无限伸展 并且向上无限伸展； 向上 并且向上无限伸展； 抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向 轴的下方（ 当a<0时,抛物线 时 抛物线 轴的下方 除顶点外） 它的开口向 并且向下无限伸展. 下,并且向下无限伸展 并且向下无限伸展 3.当a>0时,在对称轴的左侧 随着 的增 在对称轴的左侧,y随着 当 时 在对称轴的左侧 随着x的增 y = x2 大而减小； 大而减小； 在对称轴右侧,y随着 的增大而增大.当 随着x的增大而增大 在对称轴右侧 随着 的增大而增大 当x=0 时函数y的值最小 的值最小. 时函数 的值最小 在对称轴的左侧,y随着 当a<0时,在对称轴的左侧 随着 的增大而 时 在对称轴的左侧 随着x的增大而 增大； 增大； 在对称轴的右侧,y随着 增大而减小,当 随着x增大而减小 在对称轴的右侧 随着 增大而减小 当x=0 y = −x2 函数y的值最大 时,函数 的值最大 函数 的值最大.
2
当x= -2时,y= -4 时 当x= -1时,y= -1 时
抛物线y= 抛物线 -x2在x轴的 轴的 下方(除顶点外 除顶点外),顶点 下方 除顶点外 顶点 是它的最高点,开口 是它的最高点 开口 向下,并且向下无限 向下 并且向下无限 伸展;当 函数y 伸展 当x=0时,函数 时 函数 的值最大,最大值是 最大值是0. 的值最大 最大值是
独立 作业
知识的升华
P41 习题2.2
1,2题.
Hale Waihona Puke 祝你成功！P41 习题2.2 1,2题
独立 作业
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮 廓线呈抛物线形 状. 2．设正方形的边长为,面积为,试作出S随a的变化而变化 的图象.
-8
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 -10 你找出几对对称点,并与同伴交流.
y= - x2
y
二次函数y= 二次函数 -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 时所经过的路线 我 们把它叫做抛物线 抛物线. 们把它叫做抛物线 这条抛物线关于 y轴对称 轴就 轴对称,y轴就 轴对称 是它的对称轴. 是它的对称轴
数形结合,直观感受
•在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律 在二次函数y=x ,y随 是什么？ 是什么？ •你想直观地了解它的性质吗? 你想直观地了解它的性质吗? 你想直观地了解它的性质吗 你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? y=x 的图象吗? 观察y= 的表达式,选择适当x y=x 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应 完成下表： 的y值,完成下表：
y= x
2
当x<0 (在对称轴的 在对称轴的 左侧)时 随着 随着x的增大而 左侧 时,y随着 的增大而 减小. 减小 当x>0 (在对称轴的 在对称轴的 右侧)时 随着 随着x的增大而 右侧 时, y随着 的增大而 增大. 增大
当x=-2时，y=4 时 当x=-1时，y=1 时
抛物线y=x2在x轴的 抛物线 轴的 上方(除顶点外 除顶点外),顶点 上方 除顶点外 顶点 是它的最低点,开口 是它的最低点 开口 向上,并且向上无限 向上 并且向上无限 伸展;当 函数y 伸展 当x=0时,函数 时 函数 的值最小,最小值是 最小值是0. 的值最小 最小值是
在对称轴的左侧,y随着 的增大而增大 在对称轴的左侧 随着x的增大而增大 随着 的增大而增大. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而减小. 随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着 的增大而减小
最小值为0. 当x=0时,最小值为 时 最小值为
最大值为0. 当x=0时,最大值为 时 最大值为
看图说话
y
描点, 描点,连线
-4 -3 -2 -1
y 2 0 0 0 0 1 2 3 4 x
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. 1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. 你能描述图象的形状吗
-1 （2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? -2
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ -4 （4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 -6 知道的？
我思，我进步
1.已知抛物线 已知抛物线y=ax2经过点 （-2，-8）. 经过点A（ ， ） 已知抛物线 （1）求此抛物线的函数解析式； ）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点 （-1，- 4）是否在此抛物线上 ）判断点B（ ， ）是否在此抛物线上. 的点的坐标. （3）求出此抛物线上纵坐标为 的点的坐标 ）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标 解（1）把（-2，-8）代入 ） ， ）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 得 解得a= 所求函数解析式为 所求函数解析式为y= 解得 -2,所求函数解析式为 -2x2. 所以点B（ （2）因为 − 4 ≠ −2( −1) 2 ,所以点 （-1 ，-4） ） 所以点 ）
y = −x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 抛物线的顶点
y
y =−x
当x<0 (在对称轴的 在对称轴的 左侧)时 随着 随着x的增大而 左侧 时,y随着 的增大而 增大. 增大 当x>0 (在对称轴 在对称轴 的右侧)时 随着 的右侧 时, y随着 x的增大而减小 的增大而减小. 的增大而减小
x y=-x2 x … … -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 … …
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
？
描点, 描点,连线
-4 -3 -2 -1
y 2 -1 -2 -4 -6 0 0 0 0 1 2 3 4 x
?
-8 -10
y= - x2
观察图象,回答问题串
九年级数学(下)第二章 二次函数
结识抛物线(1)y=ax 2.结识抛物线(1)y=ax2的图象和性质
大邑县外国语学校 王 波
学习目标 1、会用描点法画二次函数y=x2和 会用描点法画二次函数y=x y= y=- 的图象； y=-x2的图象； 根据函数y=x y=函数y= 图象， 2、根据函数y=x2和y=-x2的图象， 直观地了解它的性质. 直观地了解它的性质.
y= x2
函数y=ax (a≠0)的图象和性质 的图象和性质: 函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函数y=x y=在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
0
y=y=x2和y=-x2是 a=± y=ax2当a=±1时2的 特殊例子.a .a的符号 特殊例子.a的符号 确定着抛物线 的……
x y=x2 x … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
描点, 描点,连线
y 10 8 6 4
y= x2
?
-4 -3 -2 -1
2 1 0 -2 1 2 3 4 x
议一议P 议一议 39 3
观察图象,回答问题串
y 10 8
y= x2
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. 你能描述图象的形状吗 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什 6 么?请你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3) x , ?
3
在对称轴的右侧,y随着 随着x的 左侧,y随着 的 左侧 随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧 随着 的 随着 增大而减小,当x=0时,函数 的值最大,最大值是 当 时 函数y的值最大 最大值是 函数 的值最大 当x 0 ,
≠
0时,y<0. 时
小结
拓展
回味无穷
由二次函数y=x2和y=-x2知： y=x y=y=
?
不在此抛物线上. 不在此抛物线上 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, ） 得 x=± 3 所以纵坐标为-6的点有两个 的点有两个， 所以纵坐标为 的点有两个，它们分别是
( 3 ,−6)与(− 3 ,−6)
知道就做别客气
2.填空 抛物线y=2x2的顶点坐标是 0，0）,对称轴是 y轴 , 2.填空:(1)抛物线 填空 抛物线 （ ， ） 对称轴是 轴 随着x的增大而增大 在 对称轴的右 侧,y随着 的增大而增大；在对称轴的左 侧,y随 随着 的增大而增大； 随 的增大而减小,当 函数y的值最小 着x的增大而减小 当x= 0 时,函数 的值最小 最小值是 0 , 的增大而减小 函数 的值最小,最小值是 抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外 除顶点外). 抛物线 轴的 除顶点外 (2)抛物线 y = − 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外 在对称轴的 抛物线 除顶点外),在对称轴的 轴的 除顶点外