最全数列知识点归纳
数列基础 知识点总结大全
数列基础知识点总结大全一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用a1, a2,a3, …, an 表示。
数列通常用以下形式来表示：{a1，a2，a3，…，an}其中a1, a2, a3，…，an为数列的项，n表示数列的个数。
二、数列的分类1. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之差都相等。
公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 等比数列等比数列是一种每一项与前一项之比都相等的数列。
公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)3. 通项公式通项公式即能用一个公式来表示数列中任意一项的公式。
对于等差数列和等比数列，都有相应的通项公式。
4. Fibonacci数列Fibonacci数列是一个非常有趣的数列，它的每一项都是前两项之和。
其通项公式为：fn = fn-1 + fn-2，其中f1 = 1, f2 = 1。
5. 幂次数列幂次数列是一种每一项都是前一项的某个幂次方的数列。
其通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
6. 其他特殊数列除了上述的几种常见数列之外，还有各种各样的特殊数列，比如等差递增数列、等差递减数列、等比递增数列、等比递减数列等。
三、数列的性质1. 有界性如果数列的项数有限，则称该数列是有界的。
相反，如果数列的项数无限，则称该数列是无界的。
2. 单调性如果一个数列的每一项都大于或等于其前一项，则称该数列是单调递增的；如果一个数列的每一项都小于或等于其前一项，则称该数列是单调递减的。
3. 求和公式对于等差数列和等比数列，都有求和公式。
等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)。
数列知识点总结大全
数列知识点总结大全一、数列的概念与定义1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数的集合，数列中的每个数称为数列的项。
2. 数列的定义：数列可以用一个通项公式或者递推公式来表示，通项公式指明了数列的第n个项与n的关系，递推公式则指明了数列的第n+1项与第n项的关系。
二、常见的数列类型1. 等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 调和数列：如果一个数列中任意相邻两项的倒数之差都相等，那么这个数列就是调和数列。
调和数列的通项公式为an=1/(1+d(n-1))，其中d为公差。
三、数列的性质1. 有限数列与无限数列：有限数列指数列中的项是有限个，无限数列指数列中的项是无限个。
2. 数列的奇偶性：如果数列的每一项的奇偶性相同，则称该数列为奇数列或偶数列。
3. 数列的首项和公差：首项指数列中的第一个元素，公差指等差数列中相邻两项之差。
4. 数列的前n项和：数列的前n项和可以用求和公式来表示，对于等差数列和等比数列有相应的公式。
5. 数列的递推公式：递推公式指明了数列的第n+1项与第n项的关系，可以通过递推公式求出数列的任意一项。
四、数列的应用1. 等差数列与等比数列的求和：等差数列和等比数列的前n项和在数学和物理问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们简化复杂的计算。
2. 数学归纳法：数学归纳法是证明数学命题的一种方法，在数列中的应用尤其广泛。
3. 数列的模型应用：数列模型可以用来描述自然界和社会现象中的变化规律，比如人口增长、物种演化等。
五、数列的判断与证明1. 数列的判断：如何判断一个数列是等差数列、等比数列、调和数列等，需要根据数列的性质和通项公式进行分析。
数列知识点归纳
数列知识点归纳（一）数列的概念 一．数列的概念1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列可以看做定义域为*N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
二、数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
三、数列的分类1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小 四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni in n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n（二）等差数列的相关知识点1．定义：)()(1∙+∈=-N n d a a n n 常数。
当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。
2．通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a m )(-+=q pn d a dn +=-+=)(1d =11--n a a n ，d =mn a a mn -- 是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+-Bn An +=2 {nS n}是等差数列。
4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5、等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:q pn a n += (4)前n 项和法:Bn An S n +=26．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q(2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列. (4) 若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a +-,,, 四数：d a d a d a d a 3,,,3-+-- 9、项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有nd S S =-奇偶 ，1+=n na a S S 偶奇项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. （三）等比数列（类比等差数列） 1、定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠0,≠n a ）， ，摆动数列当时时，数列递减且；且当时，数列递增且；且当0q 10100100101111<><<<><<<>>q a q a q a q a 2、通项公式：11-=n n q a a =（0,1≠q a ）m n m n q a a -==3、前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意q 的讨论）A Aq n-=4、等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S5、等比数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1/a n =q 是常数 (2)等比中项法:221++∙=n n n a a a (3)通项法: n n cq a =(q c ,为非零常数). (4)前n 项和法: A Aq S nn -= 6、性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··（2）a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公比为 的等比数列.（3）232n n n n n S S S S S --，，……)0(≠n S 仍为等比数列,公比为nq . 7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a ⋅,,/, 四数：d a d a d a d a 3,.,/,3/⋅⋅9．、．非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 10、正数列{n a }成等比，则数列)1}({log >a a na 成等差数列；若数列{n a }成等差，则数列}{n aa 成等比数列； 11.会从函数角度理解和处理数列问题.（四）、求通项1、形如 a n+1-a n =f(n) 形式，求法：累加法2、形如a n+1=a n ·f(n), 求法：累乘法3、形如a n+1=Aa n +B (A B ≠0), 求法：构造法4、形如a an n nmka 1-=+ (k ≠0)形式，求法：m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法5、已知S n ,求a n例1：已知数列{a n }中，a 1=1，na n =a 1+2a 2+3a 3+……(n-1)a n-1(n ≥2),求a n例2：已知数列{a n }中，a 1=1，对所有n ≥2,都有a 1a 2a 3……a n =n 2,求a n （五）数列求和的常用方法： 1、公式法：（等差、等比数列直接用公式）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n ③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n 2.等差数列的绝对值的和① 当a 1>0,d<0时，若a k ≥0,a k+1<0,则: S=|a 1|+|a 2|+……|a k |+|a k+1|+……|a n |= ② 当a 1<0,d>0时，若a k ≤0,a k+1>0,则: S=|a 1|+|a 2|+……|a k |+|a k+1|+……|a n |=3、分组求和法：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- （答：(1)n n -⋅）4、倒序相加法：求证：01235(21)(1)2n nn n n n C C C n C n +++++=+5.裂项相消求和,常见类型==∙-==++=++=+-=+++-aa C C Cnn mnm n m nn n n n n n n n n k n n 111log !11)2)(1(1)12)(12(1)(16.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
数列章节知识点归纳总结
数列章节知识点归纳总结数列是数学中常见的一种数学对象，可以用于描述一系列按照规律排列的数字。
在数学中，数列的研究与应用非常广泛，涉及到各个领域。
本文将对数列的基本概念、分类、性质以及常见的数列类型进行归纳总结。
一、数列的基本概念数列是由一系列有序的数字组成的集合。
其中，每一个数字被称为数列的项，用a₁、a₂、a₃等表示。
数列可以有无穷多个项，也可以有有限个项。
对于一个数列，我们可以通过以下方式来表示：1. 列表法：数列的项按照顺序列出，用逗号隔开。
例如：1, 2, 3, 4, 5, ...2. 通项公式法：数列的每一项都可以用一个公式来表示。
例如：an = 2n，表示数列的第n项是2n。
二、数列的分类根据数列的规律和性质，数列可以分为以下几类：1. 等差数列（Arithmetic Progression, AP）：在等差数列中，每一项与它的前一项之差都相等。
其中，公差（common difference）表示了相邻两项之间的差值。
通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d 为公差。
2. 等比数列（Geometric Progression, GP）：在等比数列中，每一项与它的前一项之比都相等。
其中，公比（common ratio）表示了相邻两项之间的比值。
通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）：斐波那契数列是一个特殊的数列，其每一项都是前两项之和。
通常情况下，将前两项定义为1，即F₁ = F₂ = 1。
后续项可以通过递推关系式Fn = Fn-1 + Fn-2计算得出。
4. 调和数列（Harmonic Progression）：在调和数列中，每一项的倒数与一常数之差都相等。
通项公式为an = 1/(a₁ + (n - 1)d)，其中a₁为首项，d为公差。
三、数列的性质除了上述分类，数列还具有一些重要的性质。
数列知识点总结和题型归纳
数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。
公差d是等差数列中相邻两项的差值。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。
公比q是等比数列中相邻两项的比值。
二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。
2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。
3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。
4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。
四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。
常见数列知识点总结归纳
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
《数列》知识点归纳
《数列》知识点归纳一、数列：（1）一般形式：n a a a ,,,21⋯ (2)通项公式：)(n f a n =(3)前n 项和：12n n S a a a =++⋯及数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：1121(1)(2)n n n n n Sn S a a a a S S n -=⎧=++⋯⇔=⎨-≥⎩ 二、等差数列： 1等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列3等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数 4等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2)1(1-+=对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5等差中项:⑦如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5等差数列的性质:⑧等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑨对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑩若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列如下图所示：kkk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 6奇数项和与偶数项和的关系：⑾设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：前n 项的和偶奇S S S n +=当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n（其中中a 是等差数列的中间一项）7前n 项和与通项的关系：⑿若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n b a三、等比数列1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q 表示（0≠q ）2．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项 也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =23．等比数列的判定方法：①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列 4．等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 或n m n m a a q -=5．等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○3当1=q 时，1na S n =当1q ≠时，前n 项和必须．．具备形式(1),(n n S A q A =-≠ 6．等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=② 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时,k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 四、等差数列与等比数列的性质及其应用 1一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n2等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a m +(n--m )d (其中a 1为首项、a m 为已知的第m 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数3等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式4等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1212--n S n 5等差中项公式：A=2ba + （有唯一的值） 6等比数列的通项公式:a n = a 1 q n-1 a n = a m q n --m(其中a 1为首项、a m 为已知的第m 项，a n ≠0)7等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --118等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值）9等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列10等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+11等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ∙=∙12等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列（当m 为偶数且公比为-1的情况除外）13两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列14两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ∙b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列15等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d18三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (因为其公比为2q >0,对于公比为负的情况不能包括) 19{a n }为等差数列，则{}na c(c>0)是等比数列20{b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } (c>0且c ≠1) 是等差数列五、数列的通项求法1、公式法：①d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=；②11-=n n q a a 或n mn m a a q-=2、观察法：1137153121,,,,...4816322n n n a ++-=3、裂项相消法：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=4、利用n nS a 与的关系求（定义法）：⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 5、逐差求和法：1(),(2)n n a a f n n --=≥若，)2(12f a a =-则 ， )3(23f a a =-，………， )(1n f a a n n =--1(2)(3)()n a a f f f n ⇒-=++⋯ 6、逐商求积法：)(1n g a a n n =-若，)2(12g a a =则，)3(23g a a =，………，)(1n g a a n n =-1(2)()n ag g n a ⇒=⋯7、构造等差、等比数列法：11();()1n n n n qp q x p x x pa a a a ++=+⇒-=-=- 11111111}1,1,{}21122,21221{}.211(),2()222n n nn n n n n n n n n a a a a a a a a b b a a a +++--==+-==-==-=-∴∴=--==-+1n n 1n n n 例：在数列{中，求数列的通项.解：（-2） 令 则是以-1为首项，为公比的等比数列由知 b b b b b111{}1133)323233)()323nn n n n n n n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -=∙+⇒=∙+⇒-=-∴--=-∙⇒=-n+1n+1n+1n+1n+1n n+1n+1n+1n n+1n 1n 1511例2.已知=,=+(),求数列的通项.63212解：22223322(232{2}是以公比为，首项为（2-3）的等比数列.32(2六、数列求和的方法高考要求等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法 知识点归纳1等差数列的前n 项和公式法：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + S n =d n n na n 2)1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 2等比数列的前n 项和公式法：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --113拆项法求数列的和，如a n =2n+3n4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5裂项法求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n rn r n n nα6倒序相加法求和，如a n =nnC 1007求数列{a n }的最大、最小项的方法：①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 如a n = -2n 2+29n-3 ②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n 1562+n n8等比、等差数列和的形式：{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列 {}(1)(0)n n n a S A q A ≠⇔=-≠(q 1)成等比数列9无穷递缩等比数列的所有项和：{}1lim 1n n n a a S S q→∞⇔==-(|q|<1)成等比数列题型讲解例1 （分情况讨论）求和：)(*122221N n b ab b a b a b a a S n n n n n n n ∈++++++=---- 解：①当a=0或b=0时，)(n n n a b S = ②当a=b 时，n n a n S )1(+=；③当a ≠b 时，ba ba S n n n --=++11例2（分部求和法）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++ 解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则12(1)32322n n na a n d n a =+-=-⇒=⋅-22423(222)2n na a a n ∴+++=+++-12(12)32322612n n n n +-=-=⋅--- 例3（分部求和法）求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n 的各项的和 解：其和为：(1＋3＋ (3))＋(13132+＋……＋13n )=3121321n n +--+-=12(3n ＋1-3-n)例4（裂项求和法）)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ 解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴ 1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n 例5（裂项求和法）已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111解：首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-n i i i a a d 11)11(1 则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11nni i ===也可用裂项求和法例6（错位相减法）设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和 解：①若a=0时，S n =0②若a=1，则S n =1+2+3+…+n=)1n (n 21- ③若a ≠1，a ≠0时，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），S n =]na a )1n (1[)a 1(a 1n n 2+++-- 例7（错位相减法）已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S解：,lg n n n n a a b n a a ==⋅232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a naa +∴=++++=++++……①……②①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-[]nn a na n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴ 点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法例8（组合化归法）求和：)12)(1(532321++++⋅⋅+⋅⋅=n n n S n解：)1(3)2)(1(2)342)(1(+-++=-++=n n n n n n n n a n而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的 求和问题了213221326122)1(,6)2)(1(++++-=∴=+=++n n n n n C C a C n n C n n n )(6)(12212322323433+++++-+++=∴n n n C C C C C C S3243212333323444612)(6)(12++++-=+++-+++=n n n n CCC C C C C C12(3)(2)(1)6(2)(1)4!3!n n n n n n n nS +++++∴=-2(3)(2)(1)(2)(1)21(1)(2)2n n n nn n nn n n +++=-++=++ 点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项(1)(243)n a n n n =++-展开为n 的多项式，再用分部求和法例9（逆序相加法）设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 解：因为nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 00111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ nn n n n n C a C a C a 0110+++=- 01101102()()()nn n n n n n nS a a C a a C a a C +-∴=++++++ 0100()()()2nn n n n n n a a C C C a a =++++=+ 110()2n n n S a a -+∴=+⋅点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列{}n a 的前n 项和n S 12)1(+-=nn ，是否存在等差数列{}n b 使得n n n n n n C b C b C b a +++= 2211对一切自然数n 都成立例10（递推法）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S 解：由题意：21(),2n n n S a S =-1n n n a S S -=-11111112(1)221.21n n n n n n S S S S S n -∴-=⇒=+-=-∴=- 点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式，是一种最佳解法小结：1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法。
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数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
完整版)数列知识点归纳
完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。
因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。
特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。
7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。
数列知识点归纳总结简洁版
数列知识点归纳总结简洁版数列是数学中的一种常见的数学概念，广泛应用于各个领域。
它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在学习数列时，我们需要了解其定义、分类、性质以及相应的求解方法。
本文将对数列的相关知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、数列的定义和分类1.1 数列的定义数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每一个数称为项，用a1、a2、a3...表示，而位置号称为下标，用n表示。
1.2 数列的分类根据数列的特点和规律，可以将数列分为以下几种类型：1）等差数列：相邻两项之差相等，常用的表示方法是an=a1+(n-1)d。
2）等比数列：相邻两项之比相等，常用的表示方法是an=a1*r^(n-1)。
3）等差-等比数列：既具有等差又具有等比的性质，常用的表示方法是an=a1+b(n-1)d。
4）斐波那契数列：前两项之和等于后一项，常用的表示方法是an=an-1+an-2。
二、数列的性质和运算2.1 数列的性质1）公式性质：数列可以通过一个通项公式来表示。
2）有界性质：数列可以是有界的，即存在上界和下界。
3）单调性质：数列可以是递增的或递减的，也可以是单调不变的。
4）有限性质：数列可以是有限的，也可以是无限的。
2.2 数列的运算1）数列的加法：将同一位置上的项相加得到一个新的数列。
2）数列的减法：将同一位置上的项相减得到一个新的数列。
3）数列的乘法：将同一位置上的项相乘得到一个新的数列。
4）数列的除法：将同一位置上的项相除得到一个新的数列。
三、数列的求解方法3.1 等差数列的求和公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，可以通过以下公式计算其前n项和Sn：Sn=n/2*(a1+an)3.2 等比数列的求和公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，可以通过以下公式计算其前n项和Sn：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r≠1。
3.3 递推关系的求解方法对于一些复杂的数列，无法使用简单的公式解决。
数列知识点总结
数列的知识点一、数列的概念1.数列的定义.2.数列的表示法：列表法、图象法、解析法（通项公式或递推公式）.3.数列的分类：①按数列中项的多少分为有穷数列和无穷数列；②按数列中项的变化情况分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列； ③按任一项的绝对值是否都大于某一正数分为有界数列和无界数列. 4.数列的递推公式. 5.数列的前n 项和.对于任一数列{}n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n n n二、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；3、等差中项的概念：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （5）在等差数列{}n a 中，若m+n=2p,则p n m a a a 2=+； （6）连续n 项的和仍成等差数列.特殊说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S奇-S 偶nd =； ②1n n S aS a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②1S nS n =-奇偶 6、数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩.三、等比数列1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠. 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）.4．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）. 说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.5．等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅.③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列．k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++四、数列的通项与求和1．数列求通项①用数学归纳法求通项公式；②用累加法求通项公式：形如()n f a a n n =-+1形成的数列均可利用累加法求通项； ③用累乘法求通项公式：形如()n f a a nn =+1形成的数列可利用累乘法求通项； ④已知递推公式求通项：形如()为常数，q p q pa a n n +=+1的递推式求通项可构造等比数列求解； ⑤已知数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求通项：n a =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n ；2、数列前n 项和①重要公式：()21321+=++++n n n ；()()61213213222++=++++n n n n ；()2333321321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n ；()212531n n =-++++ ； ()12642+=++++n n n .②等差数列中： ； ③等比数列中： ；④倒序相加法求和：如果一个数列，与首末两端“等距”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法；⑤错位相减法求和：错位相减适用于{}n n b a ⋅型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列； ⑥裂项相消法求和； ⑦分组求和.。
数列知识点、公式总结
数列知识点、公式总结一、数列的概念 1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；na 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列 1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质： （1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列 1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质： （1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列，{}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m ma a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）； （2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式： 对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得：()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
数列高考知识点大全总结
数列高考知识点大全总结一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有限或无限个数按照一定的顺序排列组成的。
用数学语言描述就是一个由实数构成的序列。
一般用字母或符号表示，如{an}、{bn}等。
2. 数列中的相关概念（1）通项公式：数列中的第n个数的一般表达式，通常用an表示。
（2）前n项和：数列前n项的和，通常用Sn表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：若数列中相邻两项的差恒定，称其为等差数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）等比数列：若数列中相邻两项的比恒定，称其为等比数列。
其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（3）常数数列：数列中的每一项都相等的数列称为常数数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：当数列中的数有上界和下界时，称其为有界数列。
（2）无界数列：当数列中的数没有上界和下界时，称其为无界数列。
2. 数列的单调性若数列中的每一项都满足an≤an+1或者an≥an+1时，称其为单调递增数列或者单调递减数列。
3. 数列的性质（1）数列的线性组合：若an和bn是两个数列，k和m是任意常数，那么k*an+m*bn 也是一个数列。
（2）数列的绝对值：若an是一个数列，那么|an|也是一个数列。
三、常见数列1. 等差数列（1）性质：等差数列的前n项和Sn=a1*n+n(n-1)d/2。
（2）求通项公式：an=a1+(n−1)d。
（3）常用公式：Sn=n/2(a1+an)。
2. 等比数列（1）性质：等比数列的前n项和Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，|q|>1。
（2）求通项公式：an=a1*q^(n-1)。
（3）常用公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3. 斐波那契数列（1）定义：斐波那契数列是一个典型的递推数列，前两项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
（2）通项公式：an=f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
（3）性质：斐波那契数列是一个无界数列。
数列知识点归纳总结笔记
数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。
2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。
数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。
（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。
（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。
（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。
（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。
（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。
2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。
（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。
3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim(n→∞) aₙ=L。
（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。
4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。
（2）数列的无穷和：如果lim(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。
数列知识要点梳理
知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n}注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。
函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。
其中是数列的第n项，也叫做通项。
（2）数列的特征：有序性。
一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。
（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。
2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。
4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。
5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
数列知识点及方法归纳总结
数列知识点及方法归纳总结数列是数学中重要的一部分，广泛应用于各个领域。
本文将对数列的概念、性质以及常见的解题方法进行归纳总结。
一、数列的概念与性质数列是由若干项按照一定规律排列组成的数序，用{an}或者{an}表示。
其中，an表示数列中的第n项。
数列的性质包括有界性、单调性和有限或无限等。
1. 有界性：如果数列{an}存在一个数M，使得对于任意的正整数n，都有an ≤ M，那么称这个数列有上界M；如果存在一个数m，使得对于任意的正整数n，都有an ≥ m，那么称这个数列有下界m。
既有上界又有下界的数列称为有界数列。
2. 单调性：如果数列{an}中的每一项与它的后一项比较，满足an ≤ an+1或者an ≥ an+1，那么称这个数列是单调递增的或者单调递减的。
3. 有限或无限：如果数列{an}只有有限个项，那么称它是有限数列；如果数列{an}有无穷多个项，那么称它是无限数列。
二、常见数列及其求和方法1. 等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的项之差都相等的数列。
通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的前n项和Sn的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的项之比都相等的数列。
通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列的前n项和Sn的求和公式为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，当q ≠ 1时成立。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
通常将第一项和第二项分别设为1，得到的数列为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...。
斐波那契数列有许多特殊性质及应用，详细的推导和性质可以进一步深入研究。
4. 算术级数算术级数是指数列中任意两个相邻的项之差都为定值的数列。
设首项为a1，公差为d，第n项为an，则有an = a1 + (n-1)d。
数列专题知识点归纳总结
数列专题知识点归纳总结数列是数学领域的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列包含了等差数列、等比数列、递推数列等多种类型，每种类型都有其独特的性质和求解方法。
在本文中，将对数列的常见知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握数列的概念和应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差等于一个常数的数列。
常用的表示方法为{a，a+d，a+2d，...}，其中a为首项，d为公差。
等差数列的性质如下：1. 公式推导- 第n项公式：an = a + (n-1)d- 前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)2. 两项和与差- 两项和：an + am = 2a + (n+m-2)d- 两项差：an - am = (n-m)d3. 性质与应用- 若两个等差数列的前n项和相等，则它们的每一项都相等。
- 等差中项：当n为奇数时，中项为第(n+1)/2项；当n为偶数时，中项为第n/2项和第(n/2+1)项的平均值。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比等于一个常数的数列。
常用的表示方法为{a，ar，ar^2，...}，其中a为首项，r为公比。
等比数列的性质如下：1. 公式推导- 第n项公式：an = ar^(n-1)- 前n项和公式：Sn = a(1-r^n)/(1-r)，其中r ≠ 12. 无穷项和- 当-1 < r < 1时，无穷项和存在，且为Sn = a/(1-r)- 当r > 1或r < -1时，无穷项和不存在3. 性质与应用- 等比数列的任意相邻三项满足：第二项的平方等于第一项与第三项的乘积。
三、递推数列递推数列是指通过前一项或前几项的值来确定后一项的值的数列。
递推数列常见的形式包括斐波那契数列、阶乘数列等。
1. 斐波那契数列- 定义：F(1) = 1，F(2) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 3)- 性质：任意两个相邻项的比值无限接近黄金分割比例 1.6182. 阶乘数列- 定义：n的阶乘数列为n! = n(n-1)(n-2) (1)- 性质：n!的增长速度迅速，且随着n的增大呈现指数增长。
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结第一篇一、概念数列是数学中的一类有规律的数的集合，通常用数学符号表示。
数列可以根据其对应的公式或规律进行分类，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
二、常见数列类型1. 等差数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
公式：an=a1+(n-1)d特征：公差d不变，每一项与前一项的差值相等。
例子：{2，5，8，11...}2. 等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项都是它前一项的r倍（r≠0），则这个数列称为等比数列。
公式：an=a1×r^(n-1)特征：公比r不变，每一项与前一项的比值相等。
例子：{1，2，4，8...}3. 斐波那契数列定义：一个数列中，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
即a(n) = a(n-1) + a(n-2)，其中n>2。
这个数列就是斐波那契数列。
斐波那契数列可以用于描述动植物种群的增长、黄金分割问题等。
例子：{1，1，2，3，5，8，13...}4. 等差-等比混合数列定义：有些数列既具有等差数列的特点，又具有等比数列的特点，那么这个数列就是等差-等比混合数列。
公式：an=a1+r^(n-1)m特征：首项a1+公差r乘上一个常数m后再乘上公比r的n-1次方。
例子：{1，3，9，27，81...}三、性质1. 推导通项公式：使用等差/等比公式或递推公式。
2. 求和公式：等差数列的和：S_n=(a1+an)n/2等比数列的和：S_n=(a1(1-r^n))/(1-r)四、求解题目步骤1. 确定数列类型（等差/等比/混合）2. 确定已知条件3. 构造数学模型4. 解方程组5. 检验答案五、应用举例1. 有一条长1000米的路需要铺设新的路面。
铺设工作将在第一天开展，每天的工作进度是前一天的50%。
问需要多少天才能完成铺设工作？解题：这是一个等比数列，首项为1000，公比为0.5。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结数学中，数列是一系列按照特定顺序排列的数。
数列在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。
理解和掌握数列的性质和特点，对于解决数学问题和应用数学于实际生活中具有重要意义。
本文将对数学数列相关的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用数列。
一、数列的定义和分类数列是指按一定顺序排列的数的集合。
根据数列的性质和特点，可以将数列分为等差数列、等比数列、递增数列、递减数列等。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。
等差数列可以用公式an = a1 + (n - 1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。
等比数列可以用公式an = a1 * r^(n - 1)来表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
3. 递增数列：递增数列是指数列中每一项都比前一项大的数列。
4. 递减数列：递减数列是指数列中每一项都比前一项小的数列。
二、数列的性质和运算了解数列的性质和运算规则，对于推导和计算数列的各种问题具有重要作用。
1. 数列的通项公式：数列的通项公式是指用一个公式来表示数列的每一项。
根据数列的性质和规律，可以通过观察和推导得到数列的通项公式。
2. 数列的前n项和：数列的前n项和是指数列中前n项的和。
对于等差数列、等比数列以及其他一些特殊数列，可以通过一定的方法得到前n项和的表达式。
3. 数列的运算：数列之间可以进行加法、减法和乘法运算。
对于等差数列和等比数列，可以通过运算得到新的数列，便于求解特定问题。
三、数列在实际问题中的应用数列在实际问题中的应用非常广泛，可以帮助解决各种计数、推导和预测等问题。
1. 数列的应用于数学问题：数列可以用于解决各种与数学相关的问题，如计数问题、排列组合问题、函数图像的刻画等。
2. 数列的应用于自然科学：数列在自然科学中的应用也非常广泛，可以用于描述自然界中一些变化的规律，如物种数量的变化、天体运动的轨迹等。
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最全数列知识点归纳
注意：（1）数列与集合的差异；（2）数列中只有很少一部分是等差或者等比数列，只是我们高中阶段仅仅研究与等差、等比相关联的特殊数列而已。
等差（等比）数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数。
注：常数，即与n 无关的数
等差数列判断方法： （1）1n n n a a d +-=≥（2） （2）112n n n a a a +-+= （3）An+B n a =（4）2n S An Bn =+ 等比数列判断方法： （1）
1(0)n n n
a q q a +=≠≥（2）（2）211n n n a a a +-⋅=（3）n-1n 1q kq (0)
n n a a a q ==≠或 （4）n
k+kq q n S =-（不为0或1）
数列的通项公式研究的是数列的通项n a （代表项）与序号n 之间的函数关系()f n n a =。
类型一：. eg8：若给出一般数列的某几项或无穷项111
11234
--（），，，...；
类型二：.若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型三：已知数列n S 与n 一个函数关系。
递推法 （注意n a 的表示形式，思考是否需要分类表示）
11
, 1
, 2n n n a n a s s n -=⎧=⎨
-≥⎩ 类型四：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）()1n n a a f n +=+的形式，求n a 。
累加法 类型五：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）为()1n n a a f n +=⋅的形式，求n a 。
累乘法
类型六：已知此数列的递推关系为1()n n a pa f n p q +=+（、为常数）等的形式，求n a 。
构造法 1(1) 32;n n a a +=+1(2) 321;n n a a n +=+-1(3) 33;n n n a a +=+1(4) 3321;
n n n a a n +=++-
类型七：已知此数列的递推关系为1
1n n n n ka a pa qa p q ++=+（、为常数）
等的形式，求n a 。
构造法 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n
ka a pa qa p q
ka a pa qa k a a a a a a a a ++++++++=+⇒
=+⇒=+
类型八：已知此数列的递推关系为111n n n n n n n pa m
ka a pa qa m a ka t
++++=++⇔=
+等的形式，求n a 。
特征方程
{}112200(); (1),,1(2), (3),n n
n n a x px m
x x kx t px m x x kx t a x x a a x ⎧⎫-+=⇒+=+⎨⎬+-⎩⎭⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
令方程有两根 则是等比数列
方程有两相等根 则是等差数列方程无实数根则是周期数列
类型九：已知此数列的递推关系为1n
n n pa a ka m
+=+等的形式，求n a 。
取倒数法
11111n n n
n n n n pa ka m m k
a ka m a pa a a p ++++=⇒=⇒=++
()123f n n n
a a a a =
+++
+
=。
若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法
类型二：. 若出现“等差、等比加减组合型”的通项，分组求和法 类型三：若出现“等差、等比乘除组合型”的通项，错位相减法 类型四：n a =分式可以使用裂项相消：如：111n(n+1)n (n+1)=-
=
裂项相消法 类型五：12-1n n a a a a +=+=
可以使用倒序相加：
类型六：既非等差也非等比但正负相间求和可以使用并项法求和。
如：1123456(1)n n +-+-+-+
+-
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
即：2
b
a A +=
或b a A +=2
如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
即G
b a
G
=
，也即ab G =2。
对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
对于等比数列{}n a ，若q p m n +=+，则n m p q a a a a ⋅=⋅
对于等差数列{}n a ， 232,,,k k k k k S S S S S --，是等差数列；n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列 对于等比数列{}n a ，232,,,
k k k k k S S S S S --，是等比数列
在等差或者等比数列中，用各种公式可以实现1n d n n a q a S 、（）、、、中的知三求二
类型一：. 求数列中s n 的最大（小）值以及此时对应的序号n 的值。
在等差数列中，因为其前n 项和可以看成是一个关于序号n 的不带常数项的二次函数，我们可以“借用”
函数的观点来研究当s n 取得最大（小）值时的一系列问题。
类型二：. 等差数列“奇数项和、偶数项和”的相关问题
1(2):;(21).1奇奇
偶偶
奇
奇偶偶
k k k
S a n k S S k d S a S k n k S S a S k +=-===--==-若数列的项数为偶数设，则； 若数列的项数为奇数设，则：；。