最全数列知识点归纳

最全数列知识点归纳

注意：（1）数列与集合的差异；（2）数列中只有很少一部分是等差或者等比数列，只是我们高中阶段仅仅研究与等差、等比相关联的特殊数列而已。

等差（等比）数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数。 注：常数，即与n 无关的数

等差数列判断方法： （1）1n n n a a d +-=≥（2） （2）112n n n a a a +-+= （3）An+B n a =（4）2n S An Bn =+ 等比数列判断方法： （1）

1(0)n n n

a q q a +=≠≥（2）（2）211n n n a a a +-⋅=（3）n-1n 1q kq (0)

n n a a a q ==≠或 （4）n

k+kq q n S =-（不为0或1）

数列的通项公式研究的是数列的通项n a （代表项）与序号n 之间的函数关系()f n n a =。

类型一：. eg8：若给出一般数列的某几项或无穷项111

11234

--（），，，...；

类型二：.若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型三：已知数列n S 与n 一个函数关系。递推法 （注意n a 的表示形式，思考是否需要分类表示）

11

, 1

, 2n n n a n a s s n -=⎧=⎨

-≥⎩ 类型四：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）()1n n a a f n +=+的形式，求n a 。 累加法 类型五：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）为()1n n a a f n +=⋅的形式，求n a 。 累乘法

类型六：已知此数列的递推关系为1()n n a pa f n p q +=+（、为常数）等的形式，求n a 。 构造法 1(1) 32;n n a a +=+1(2) 321;n n a a n +=+-1(3) 33;n n n a a +=+1(4) 3321;

n n n a a n +=++-

类型七：已知此数列的递推关系为1

1n n n n ka a pa qa p q ++=+（、为常数）

等的形式，求n a 。 构造法 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n

ka a pa qa p q

ka a pa qa k a a a a a a a a ++++++++=+⇒

=+⇒=+

类型八：已知此数列的递推关系为111n n n n n n n pa m

ka a pa qa m a ka t

++++=++⇔=

+等的形式，求n a 。 特征方程

{}112200(); (1),,1(2), (3),n n

n n a x px m

x x kx t px m x x kx t a x x a a x ⎧⎫-+=⇒+=+⎨⎬+-⎩⎭⎧⎫⎨⎬-⎩⎭

令方程有两根 则是等比数列

方程有两相等根 则是等差数列方程无实数根则是周期数列

类型九：已知此数列的递推关系为1n

n n pa a ka m

+=+等的形式，求n a 。取倒数法

11111n n n

n n n n pa ka m m k

a ka m a pa a a p ++++=⇒=⇒=++

()123f n n n

a a a a =

+++

+

=。

若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法

类型二：. 若出现“等差、等比加减组合型”的通项，分组求和法 类型三：若出现“等差、等比乘除组合型”的通项，错位相减法 类型四：n a =分式可以使用裂项相消：如：111n(n+1)n (n+1)=-

=

裂项相消法 类型五：12-1n n a a a a +=+=

可以使用倒序相加：

类型六：既非等差也非等比但正负相间求和可以使用并项法求和。如：1123456(1)n n +-+-+-+

+-

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2

b

a A +=

或b a A +=2

如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。即G

b a

G

=

，也即ab G =2。

对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。 对于等比数列{}n a ，若q p m n +=+，则n m p q a a a a ⋅=⋅

对于等差数列{}n a ， 232,,,k k k k k S S S S S --，是等差数列；n S n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等差数列 对于等比数列{}n a ，232,,,

k k k k k S S S S S --，是等比数列

在等差或者等比数列中，用各种公式可以实现1n d n n a q a S 、（）、、、中的知三求二

类型一：. 求数列中s n 的最大（小）值以及此时对应的序号n 的值。

在等差数列中，因为其前n 项和可以看成是一个关于序号n 的不带常数项的二次函数，我们可以“借用”

函数的观点来研究当s n 取得最大（小）值时的一系列问题。 类型二：. 等差数列“奇数项和、偶数项和”的相关问题

1(2):;(21).1奇奇

偶偶

奇

奇偶偶

k k k

S a n k S S k d S a S k n k S S a S k +=-===--==-若数列的项数为偶数设，则； 若数列的项数为奇数设，则：；